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02圆周运动的描述,角量与线量的关系,曲线运动

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第3讲 圆周运动的角量描述

第3讲 圆周运动的角量描述

第四节圆周运动及其描述上一节学习了一般的平面曲线运动，本节学习一种特殊且常见的曲线运动――圆周运动。

1 圆周运动的线量描述回顾上一节，我们在自然坐标系下使用了位置、速度、加速度等量来描述曲线运动。

这些量称为线量，所以上一节对于曲线运动的描述称为线量描述。

由于圆周运动是一种特殊的曲线运动，因而上一节关于曲线运动的描述完全适用于圆周运动的描述。

所以可以把上一节的结论直接用于圆周运动的线量描述。

位置：s＝s(t)速度：dsdt v=τ加速度：22d sdtτ=aτ(1a)2nvR=a n(1b)(1b)式中的R就是圆的半径，而v则是质点做圆周运动的速率。

质点作圆周运动时，如果切向加速度为0，就是所谓的匀速圆周运动．．．．．．。

2 圆周运动的角量描述极坐标系2.1 角位移除了线量描述形式外，对于圆周运动还有一种常用的描述形式――角量描述。

如图1所示，以圆心为极点，沿着任意方向引出一条线作为极轴，就建立了一个坐标系，称为极坐标系。

在极坐标系中，质点的位置所对应的矢径r与极轴的夹角θ称为质点的角位置，而dθ称为dt时间内的角位移。

注意：1，角位移．．．d．θ．既有大小，又有方向．．．．．．．．．(．但未必是矢量．．．．．．1)。

其方向由右手定则确定，即：伸出右手，使四指沿着质点旋转的方向弯曲，与四指垂直的拇指所指的方向1矢量的严格定义是：矢量是在空间中有一定的方向和数值，并遵从平行四边形加法法则的量。

即为d θ的正方向。

2，有限大小的角位移不是矢量(因为角位移的合成不符合交换律，比如翻一本书：先x->90，再y －>90，最后z －>90得到的结果，与先x->90，再z －>90，最后y －>90得到的结果不一样)，只有．．当△．．t ． ．0．时，角位移．．．．．d ．θ．才是矢量．．．．。

3，质点作圆周运动时，其角位移只有两种可能的方向，因此可以在标量前．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．加正号或者是负号来指明角位移的方向．．．．．．．．．．．．．．．．．。

高中物理新人教版必修2第五章曲线运动第5节《圆周运动》

高中物理新人教版必修2第五章曲线运动第5节《圆周运动》

[第5节圆周运动[精讲精析]知识精讲]知识点1. 描述匀速圆周运动的物理量(1)轨道半径(R):对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径.(2)线速度(v):是描述质点沿圆周运动快慢的物理量。

大小等于物体在一段时间内运动的弧长(s)与时间(t)的比值,方向为圆周的切线方向.公式: v=s/t=2πr/T=2πrf (3)角速度(ω,又称为圆频率):是描述质点绕圆心转动快慢的物理量。

大小等于一段时间内转过的角度(θ)与时间t的比值.公式: ω=θ/t=2π/T=2πf(4)周期(T):质点做圆周运动一周所需要的时间.(5)频率(f,或转速n):质点在单位时间内完成的圆周运动的次数.[例1]静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是( )A.它们的运动周期都是相同的B.它们的线速度都是相同的C.它们的线速度大小都是相同的D.它们的角速度是不同的[思路分析]地球绕自转轴转动时,所有地球上各点的周期及角速度都是相同的。

地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整条自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的,只有同一纬度处的物体转动半径相等，线速度的大小才相等，但即使物体的线速度大小相同，方向也个不相同.[答案] A[总结]线速度是描述物体运动快慢的物理量,若比较两物体做匀速圆周运动的快慢,则只看其线速度的大小即可.角速度、周期和转速都是描述物体转动快慢的物理量。

物体做匀速圆周运动时,角速度越大、周期越小、转速越大，则物体转动的越快，反之则越慢,由于线速度和角速度的关系为v=ωr,所以在半径不确定的情况下，不能由角速度大小判断线速度的大小，也不能由线速度大小判断角速度大小.[误区警示]有的同学往往误认为物体转动半径为地球半径，进而导致失误.在解决圆周运动问题时,转动中心的确定至关重要.地球本身匀速转动，地表各点角速度相等(但两极ω=0),角速度又称整体量；线速度随着半径不同而不同，线速度又称局部量. [变式训练1] 由于地球自转，乌鲁木齐和广州两地所在处物体具有的角速度和线速度相比较( )A.乌鲁木齐处物体的角速度大，广州处物体的线速度大B.乌鲁木齐处物体的线速度大，广州处物体的角速度大C.两处地方物体的角速度、线速度都一样大D.两处地方物体的角速度一样大，但广州的线速度比乌鲁木齐处物体线速度要大[答案] D知识点2。

2第二讲自然坐标系圆周运动的角量描述

2第二讲自然坐标系圆周运动的角量描述
dx
vx
u
dt
dy
gt
vy
dt
v u2 g 2 t 2
2
g
t
dv d
2
2 2

u g t
a
dt dt
u2 g 2 t 2
an a a
2
ug
2
u g t
2
2 2
相对运动
球
垂
直
往
返
运动具有相对性
球作曲线运动
如何变换？
描述运动三参量合成的约定
绝对量
建立自然坐标系：（P的切向）（P的法向）
p
o
ˆ
n̂
规定：切向单位矢量 ˆ ， 指向运动方向
法向单位矢量 n̂
指向轨道的凹侧
用这样一对正交的切向、法向单位矢量构成坐
标系统称为自然坐标系。
在自然坐标系中，切向、法向单位矢量并不固
定，它们随质点的位置而变。
p
ˆ
o
ˆ
n̂
n̂
直角坐标系是静坐标系
教学基本要求：
能计算质点在平面内运动时的速度和加速度；
能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度
、切向加速度和法向加速度。
本节内容提纲
一，自然坐标系
1，运动方程
2，速度
3，加速度
二，圆周运动的角量描述
1，角位置
2，角速度
3，角加速度
三，角量与线量的关系
四，一般曲线运动
一、自然坐标系中的运动方程，速度及加速度表示：

=

‫ ׬‬tgα


=


−

tgα

《大学物理》课程教学大纲

《大学物理》课程教学大纲

《大学物理》课程教学大纲一、课程基本信息总学时136学时，讲课102学时，习题讨论课26学时，演示实验8三、课程教学的有关说明1、本课程课内外学时比例：1:2；平均周学时：4。

2、本课程是公共基础课，分连续两个学期完成。

3、在教学中注意把传统教学手段和现代化教学手段相结合，充分利用现代化教学手段进行教学。

四、对于能力培养的基本要求通过大学物理课程教学,应注意培养学生以下能力：1.独立获取知识的能力——逐步掌握科学的学习方法，阅读并理解相当于大学物理水平的物理类教材、参考书和科技文献，不断地扩展知识面，增强独立思考的能力，更新知识结构；能够写出条理清晰的读书笔记、小结或小论文。

2.科学观察和思维的能力——运用物理学的基本理论和基本观点，通过观察、分析、综合、演绎、归纳、科学抽象、类比联想、实验等方法培养学生发现问题和提出问题的能力，并对所涉问题有一定深度的理解，判断研究结果的合理性。

3．分析问题和解决问题的能力——根据物理问题的特征、性质以及实际情况，抓住主要矛盾，进行合理的简化，建立相应的物理模型，并用物理语言和基本数学方法进行描述，运用所学的物理理论和研究方法进行分析、研究。

五、对于素质培养的基本要求通过大学物理课程教学,应注重培养学生以下素质：1.求实精神——通过大学物理课程教学，培养学生追求真理的勇气、严谨求实的科学态度和刻苦钻研的作风。

2.创新意识——通过学习物理学的研究方法、物理学的发展历史以及物理学家的成长经历等，引导学生树立科学的世界观，激发学生的求知热情、探索精神、创新欲望，以及敢于向旧观念挑战的精神。

3.科学美感——引导学生认识物理学所具有的明快简洁、均衡对称、奇异相对、和谐统一等美学特征，培养学生的科学审美观，使学生学会用美学的观点欣赏和发掘科学的内在规律，逐步增强认识和掌握自然科学规律的自主能力。

六、教学内容及基本要求模块1力学:第一单元质点运动学第一讲质点运动的描述，第二讲圆周运动与一般平面曲线运动，第三讲相对运动基本要求：1、质点运动的描述(1)掌握：位矢、位移、速度、加速度等物理量的定义及表达式，能够从已知的运动方程求导得到速度、加速度；同时能够从已知的速度或加速度积分得出运动方程。

自然坐标圆周运动相对运动

自然坐标圆周运动相对运动
《关于两门新科学的对话和数学证明对话集》 一书，总结了他的科学思想以及在物理学和天文学 方面的研究成果。
伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学 的新纪元。
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
3、绝对运动、牵连运动、相对运动
（1）位矢的关系
r
r'
质点P在相对作匀速直线运动
的两个坐标系中的移动 y y' u
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
2、相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
伽利略（Galileo Galilei，1564—1642）
伽利略杰出的意大利物理学家和 天文学家，实验物理学的先驱者。
他提出著名的相对性原理、惯性 原理、抛体的运动定律、摆振动的等 时性等。
2
1 x2g
y 2
v02
y
an
a
g
自然坐标、圆周运动、角量描述、相对运动
(2)
o v0
x
vx v0, vy gt
an
a
y
v
vx2 vy2
v02 g 2t 2
tan 1
gt v0
a
dv dt
g2t v02 g2t2
an g2 a 2
g
v0 g v02 g2t 2
与速度同向
与切向加速度垂直
总结：自然坐标
v v
a a an a ann
a
a
an
切向加速度
法向加速度
反映速度大小变 化的快慢
反映速度方向变 化的快慢程度
dv a dt
an
v2
aa
a 2 an 2

力学1-4复习和习题讲解

力学1-4复习和习题讲解

坐标原点，则该质点任意时刻的位矢是＿＿＿＿.
解： 依题意，有 a F t i 4ti dv
m 0.25
dt
分离积
分变量

v
dv
2j
t
4t i
dt
v 2t 2 i 2 j
0
再由 v dr dr vdt dt
量大小为_m__v_d____。
分析： L r mv L rmv sin(r ,v )
mvr sin
mθ v
d θ•
r
o
mvd
11. (学习指导p27. 35 ) 质点P的质量为2kg,位移矢量为r ,
速度为v ，它受到力 F 的作用，这三个矢量均在Oxy面内，
且r =3.0m , v=4.0m/s , F=2N , 则该质点对原点O的角动
1
v5 m
5
5m(5
2t )dt
（25 5t 2）5

0
0
0
5.（学习指导p24. 16） 如图所示，光滑平面上有一个运动物体P，在P的 正前方有一个连有弹簧和挡板M的静止物体Q， 弹簧和挡板的质量不计， P与Q质量相同。物体P 与Q碰撞后P停止， Q以碰前P的速度运动。在此 碰撞过程中，弹簧压缩量最大的时刻是（ ）
（1）串联后总的劲度系数k满足： （2）并联后总的劲度系数k满足：
11 1
k k1 k2 k k1 k2
k1
k2
F
（1）
k1

k2
F
（2）
解（1） 串联时，两弹簧受力相等，均为F；伸长分 别为x1、x2.则总伸长x=x1+x2.
∴有 F=k1x1=k2x2

圆周运动角速度与线速度

圆周运动和向心加速度目标1、理解匀速圆周运动的特点，掌握描述匀速圆周运动快慢的几个物理量：线速度、角速度、周期、转速的定义，理解它们的物理意义并能灵活的运用它们解决问题。

2、理解并掌握描写圆周运动的各个物理量之间的关系。

3、理解匀速圆周运动的周期性的确切含义。

4、理解向心加速度产生的原因和计算方法。

重点描述匀速圆周运动快慢的几个物理量：线速度、角速度、周期、转速、向心加速度的定义以及它们的相互关系，是学习的重点。

学习难点弄清描写匀速圆周运动的各个物理量之间的关系，理解匀速圆周运动是变速运动且是变加速运动是学习的难点。

知识点一：圆周运动的线速度要点诠释：1、线速度的定义：圆周运动中，物体通过的弧长与所用时间的比值，称为圆周运动的线速度。

公式：（比值越大，说明线速度越大）方向：沿着圆周上各点的切线方向单位：m/s2、说明1）线速度是指物体做圆周运动时的瞬时速度。

2）线速度的方向就是圆周上某点的切线方向。

线速度的大小是的比值。

所以是矢量。

3）匀速圆周运动是一个线速度大小不变的圆周运动。

4）线速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要取得足够小，公式计算的结果就是瞬时线速度。

注：匀速圆周运动中的“匀速”二字的含义：仅指速率不变，但速度的方向（曲线上某点的切线方向）时刻在变化。

知识点二：描写圆周运动的角速度要点诠释：1、角速度的定义：圆周运动物体与圆心的连线扫过的角度与所用时间的比值叫做角速度。

公式：单位：(弧度每秒)2、说明：1)这里的必须是弧度制的角。

2）对于匀速圆周运动来说，这个比值是恒定的，即匀速圆周运动是角速度保持不变的圆周运动。

3）角速度的定义式，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要取得足够小，公式计算的结果就是瞬时角速度。

4)关于的方向：中学阶段不研究。

5）同一个转动的物体上，各点的角速度相等。

例如. 木棒OA以它上面的一点O为轴匀速转动时，它上面的各点与圆心O的连线在相等时间内扫过的角度相等。

2018版高中物理必修2《优化设计》第五章曲线运动第4节

第4节圆周运动一、线速度阅读教材第16～17页“线速度”部分，知道线速度的概念，了解线速度的方向，知道匀速圆周运动线速度大小特征。

1.定义：物体做圆周运动通过的弧长与通过这段弧长所用时间的比值。

2.公式：v＝Δs Δt。

3.意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢。

4.方向：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直。

5.匀速圆周运动：(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度大小处处相等的运动。

(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以圆周运动是一种变速运动。

思维拓展匀速圆周运动和匀速直线运动中的两个“匀速”的含义相同吗？有什么区别？答案不同。

前者指线速度的大小不变，后者指速度的大小和方向都不变。

二、角速度阅读教材第17～18页“角速度”和“角速度的单位”部分，了解角速度的概念，知道角速度的单位，知道转速、周期的概念。

1.定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值。

2.公式：ω＝ΔθΔt。

3.意义：描述物体绕圆心转动的快慢。

4.单位：(1)角的单位：国际单位制中，弧长与半径的比值表示角的大小，称为弧度，符号：rad。

(2)角速度的单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s－1。

思维拓展如图1所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动。

图1(1)秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗？相同时间内，谁转动的角度大？谁转动得最快？(2)请指出秒针、分针和时针的周期。

答案(1)不相同。

根据角速度公式ω＝ΔθΔt知，在相同的时间内，秒针转过的角度最大，时针转过的角度最小，所以秒针转得最快。

(2)秒针的周期为60 s，分针的周期为60 min，时针的周期为12 h。

三、线速度与角速度的关系阅读教材第18页“线速度与角速度的关系”部分，知道线速度与角速度的关系表达式。

1.在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积。

2.关系式：v＝ωr。

思维拓展月亮绕地球做圆周运动。

人教版(2019)物理高中必修第二册 6 圆周运动各物理量之间的关系考点

圆周运动各物理量之间的关系一、把握基础知识 1．线速度与角速度的关系在圆周运动中，v ＝ ，即线速度的大小等于 与的乘积。

2．圆周运动中其他各量之间的关系(1)v 、T 、r 的关系：物体在转动一周的过程中，转过的弧长Δs ＝2πr ，时间为T ，则v ＝ΔsΔt＝ 。

答案：ωr ，半径，角速度大小，2πrT(2)ω、T 的关系：物体在转动一周的过程中，转过的角度Δθ＝2π，时间为T ，则ω＝ΔθΔt＝ 。

(3)ω与n 的关系：物体在1 s 内转过n 转，1转转过的角度为2π，则1 s 内转过的角度Δθ＝2πn ，即ω＝2πn 。

答案：2πT二、重难点突破 常见的传动装置及其特点(1)同轴转动：A 点和B 点在同轴的一个圆盘上，如图5－4－2所示，圆盘转动时，它们的角速度、周期相同：ωA ＝ωB ，T A ＝T B 。

线速度与圆周半径成正比，v A v B ＝r R。

(2)皮带传动：A 点和B 点分别是两个轮子边缘的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑。

如图5－4－3所示，轮子转动时，它们的线速度大小相同：v A ＝v B ，周期与半径成正比，角速度与半径成反比：ωA ωB ＝r R ，T A T B ＝Rr。

并且转动方向相同。

(3)齿轮传动：A 点和B 点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮轮齿啮合。

如图所示，齿轮转动时，它们的线速度、角速度、周期存在以下定量关系：v A ＝v B ，T A T B ＝r 1r 2，ωA ωB ＝r 2r 1。

A 、B 两点转动方向相反。

101小贴士：在处理传动装置中各物理量间的关系时，关键是确定其相同的量(线速度或角速度)，再由描述圆周运动的各物理量间的关系，确定其他各量间的关系。

趁热打铁：如图所示的装置中，已知大齿轮的半径是小齿轮半径的3倍，A 点和B 点分别在两轮边缘C 点离大轮轴距离等于小轮半径。

如果不打滑，则它们的线速度之比v A ∶v B ∶v C 为A ．1∶3∶3B ．1∶3∶1C ．3∶3∶1D ．3∶1∶3解析：A 、C 两点转动的角速度相等，由v ＝ωr 可知，vA ∶vC ＝3∶1；A 、B 两点的线速度大小相等，即vA ∶vB ＝1∶1，则vA ∶vB ∶vC ＝3∶3∶1。

大学物理12圆周运动

S系 (Oxyz)
基本参考系
S'系(O' x' y' z')
运动参考系
u是S’系相对S系
运动的速度
1-3 相对运动
yy'
P P'
*
oo'
xx'
t0
y
o
P
y'
D
r
P'
uQ
r'
xx'
ut o' t t
第一章 质点运动学
22
物理学
第五版
位移关系
r r'D 或 r r'ut
速度变换
r r' u t t v v'u
理解伽利略速度变换式, 并会用它求简 单的质点相对运动问题．
第一章 质点运动学
2
物理学
第五版
质点运动的自然坐标描述
自然坐标系 —— 坐标原点固接 于质点, 坐标轴沿质点运动轨道
1-2 圆周ev运t 动 evt B
的切向和法向的坐标系，叫做自
然坐标系。切向以质点前进方向 A
为 侧正方，向记 为做 正，ev记t ，做法ev向n以。曲线凹
y
A
r
二 圆周运动的角速度
❖ 角坐标 (t)
o
❖角位移
y
xx
B
❖ 角速度
lim
d
t0 t dt
r A
o
x
单位：rad·s-1
第一章 质点运动学
4
物理学
第五版
1-2 圆周运动
❖ 速率 v lim Δs r lim Δθ
Δt0 Δt
Δt0 Δt
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v = Rω aτ = Rβ 2 an = Rω = vω
Fan
很小并趋于零时， 在∆t很小并趋于零时，有： 很小并趋于零时
ˆ τ t时刻，速度单位矢量为： 时刻，速度单位矢量为：
ˆ n dθ
o ρ
P
p′ dθ
ˆ τ ˆ τ
,
ˆ ˆ | ∆τ |=| τ | ∆θ ˆ ˆ ˆ | dτ |= lim | ∆τ | = lim | τ | ∆θ = dθ
ds
ˆ 在∆t趋于零时， τ 的方向τ 跟垂直并指向 趋于零时， ˆ 趋于零时 d 圆心， 圆心，即指向圆周轨道的法向 n 的方向。 ˆ 的方向。
ˆ ˆ = aτ τ + an n
dv a 切向加速度： 表示速度大小变化的快慢。 切向加速度： τ = 表示速度大小变化的快慢。 dt v2 法向加速度： 速度方向的变化快慢。 法向加速度：an = 速度方向的变化快慢。
ρ
a
an
s
Fan
θ
aτ
讨论：在圆周运动中 讨论：在圆周运动中ρ=R
r a
r a
质点运动时的速度方向是沿 着运动轨道的切线并指向前进 的方向。 的方向。 r 速度可表示为： 速度可表示为： v = vτ ˆ
A
r vA
B
为沿速度方向的单位矢量。 τˆ 为沿速度方向的单位矢量。是一个大小不
r vB
变（恒为1）但方向不断变化的矢量。 恒为 ）但方向不断变化的矢量。 根据加速度的定义， 根据加速度的定义，有：
自然坐标系 的表示: 的表示
r an φ •
r ˆ n
r aτ
r ˆ t
矢量: 矢量
r r r a = an + aτ
2 n
v v dv v = n+ τ R dt
2
2
大小: 大小
a = a + aτ
aτ tgφ = , an
方向: 方向
必须指明角度. 必须指明角度
Fan
§1.5 圆周运动的角量表示角量与线量的关系
可以将加速度分解为切向和法向两个分量。 可以将加速度分解为切向和法向两个分量。
dv aτ = 切向加速度 dt
an =
v2
ρ
法向加速度
Fan
v2 ˆ dv r dv dτ ˆ τˆ + = n ˆ ∴a = τ + v ρ dt dt dt
切向加速度与法向加速度的意义： 切向加速度与法向加速度的意义：
Fan
三、角量和线量的关系
ds v= dt
s = Rθ
d ( Rθ ) Rdθ v= = dt dt = Rω
圆周运动加速度： 圆周运动加速度：
dv d (ωR) dω aτ = = =R = Rβ dt dt dt
v (ωR) an = = = ω 2R R R
2 2
Fan
线量与角量的关系： 线量与角量的关系：
d τˆ ˆ ˆ dθ dτ (dθn) v 可改写为： 可改写为： v ˆ =v =v n dt dt dt dt
∆t →0
∆t →0
ˆ τ′
ˆ ∆τ
ˆ dθτ
ˆ ˆ dτ = dθn
Fan
ˆ dθ dτ (dθn) ˆ v =v =v n dt dt dt
设轨道在P点的曲率半径为ρ 设轨道在 点的曲率半径为ρ， 点的曲率半径为
v1 P x
θ
Fan
y
B：t+∆t ： ∆ ∆θ O A：t ：
质点在oxy平面内绕 质点在 平面内绕O点沿 半径为R的圆周运动 的圆周运动， 半径为 的圆周运动，以Ox 轴为参考方向. 轴为参考方向 设 t 时刻质点在 A 处, 质点 的角位置为θ ; t + ∆t 时刻质 点在B处 点在 处. 在 ∆t 时间内质点的角位 规定逆时针为正. 移为 ∆θ , 规定逆时针为正
一、圆周运动中的角量
用位置矢量、速度、加速度描写圆周运动的方法， 用位置矢量、速度、加速度描写圆周运动的方法， 称线量描述法；也可用角度来确定其位置， 称线量描述法；也可用角度来确定其位置，称角量描 述法。 述法。
r 线量： 线量： r
r v
r a
y
v2 R
∆θ
P’
角量： 角量：θ ω β 角位置： 角位移： 角位置： θ 角位移：∆θ 角速度： 角加速度： 角速度： ω 角加速度： β
θ
x
平均角速度为
ω = ∆θ ∆t
Fan
角速度
ω = lim
∆t →0
∆θ ∆t
dθ ω= dt
平均角加速度
∆ω β= ∆t
角加速度
dω d θ = 2 β= dt dt
2
Fan
线量： 线位移(弧长 线量： S ——线位移 弧长 线位移 弧长)
v = ds / dt aτ = dv / dt 2 an = v / R
1 匀速率圆周运动
ω = 常量， 故 常量，
如 t = 0 时,
θ =θ 可得： 可得： θ =周运动
dω β= =常量， 常量， dt ω 如 t = 0 时, θ =θ ， =ω
0
0
ω =ω0 + β t 1 2 可得： 可得： θ = θ 0 + ω 0 t + β t 2 2 2 ω =ω0 + 2β (θ −θ0 )
——线速度 线速度 ——切向加速度 切向加速度 ——法向加速度 法向加速度
角量： 角位移(rad) 角量：θ ——角位移 角位移 角速度(rad/s) 角速度 ω = dθ / dt ——角速度 2 2 ——角加速度 角加速度(rad/s2) 角加速度 β = d θ / dt
Fan
二、圆周运动中的角量描述
τ
A s o
r
B
τ
∆s
∆s
r n
r n
3. 速度： 沿切线方向。 速度：
Fan
r ˆ ˆ 为沿速度方向的单位矢量。 v = vτ τ 为沿速度方向的单位矢量。是一个大小
不变（恒为 ）但方向不断变化的矢量。 不变（恒为1）但方向不断变化的矢量。 在自然坐标系中， 在自然坐标系中， 运动方程为
s = s(t )
r ˆ r dv d (vτ ) dv ˆ dτ ˆ = τ +v a= = dt dt dt dt
dv 代表着质点运动速度大小的变化。 代表着质点运动速度大小的变化。 dt
ˆ dτ v ? dt
Fan
增量为： ˆ ˆ ˆ τˆ 增量为： ∆τ = τ ′ − τ
ˆ t+Δt时刻， t+Δt时刻，速度单位矢量为τ ′ 时刻
根据速度的定义， 根据速度的定义，
r r dr v= dt
s
O’
ˆ τ
c
s+
r 因为 | dr |= ds •切向坐标 τ 沿运动轨迹的切线并指向质点运动的 切向坐标 ˆ
方向； 方向；
r 所以： dr = dsτ , 所以： ˆ
r ds ˆ ˆ v = τ = vτ dt
ds ∴v = dt
Fan
二、切向加速度与法向加速度
r
dθ p′ o dθ ρ
P
ˆ τ ˆ τ
,
ds ds ds Qρ = , v= dt dθ 2 r dτ dθ dθ ds dθ ds = v n ˆ ˆ ˆ ˆ ∴v =v n =v n =v n ρ dt dt ds dt ds dt 2 v ˆ r dv dτ dv ˆ τˆ + = n = aτ τ + an n ˆ ˆ ˆ ∴a = τ + v dt ρ dt dt
第1章
质点运动学
Fan
§1.4 用自然坐标表示平面曲线 运动中的速度和加速度
一、自然坐标系中的速度
坐标原点固接于质点, 自然坐标系 —— 坐标原点固接于质点 坐标轴沿质点运 动轨道的切向和法向的坐标系，叫做自然坐标系。 动轨道的切向和法向的坐标系，叫做自然坐标系。切向 r 以质点前进方向为正， 以质点前进方向为正，记做 τ ，法向以曲线凹侧方向 r 为正， 为正，记做 n 。 r 1. 位置：在轨道上取一固定点O， 位置：在轨道上取一固定点 ， 用质点距离O的路程长度 ， 用质点距离 的路程长度 s，可 惟一确定质点的位置。 惟一确定质点的位置。 位置 s有 有 正负之分。 正负之分。 2. 位置变化: 位置变化: