微分方程应用实例

数学中的微分方程组微分方程组是数学中一个重要的研究对象，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

它是由多个微分方程联立而成，描述了多个未知函数随着独立变量的变化而变化的关系。

本文将介绍微分方程组的基本概念、求解方法以及应用实例。

一、微分方程组的基本概念微分方程组是由多个微分方程联立而成的方程集合。

它可以描述多个未知函数与自变量之间的关系，并且这些未知函数与自变量之间可能存在相互影响。

在微分方程组中，未知函数的导数与自变量的关系通常是以向量形式表示的。

例如，考虑一个二阶线性微分方程组：\[ \frac{d^2y}{dt^2} + A \frac{dy}{dt} + By = 0 \]其中，未知函数y是一个向量，A和B是已知矩阵。

这个微分方程组可以描述物理系统中多个相关变量的演化规律。

二、微分方程组的求解方法求解微分方程组的方法通常取决于其类型和性质。

以下是几种常见的求解方法：1. 解析方法：对于一些可以求得解析解的微分方程组，可以直接通过积分和代数运算得到解析解。

例如，对于线性常系数微分方程组，可以通过特征值分解和特解叠加的方法求得解析解。

2. 数值方法：对于一般的微分方程组，往往难以求解解析解。

此时可以利用数值方法进行近似求解。

常见的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代来逼近真实解。

3. 变换方法：有些微分方程组可以通过变量替换或坐标变换的方法转化为更简单的形式，从而更容易求解。

例如，可以利用拉普拉斯变换、傅里叶变换等方法将微分方程组转化为代数方程组。

三、微分方程组的应用实例微分方程组在科学和工程领域有着广泛的应用。

下面将介绍几个应用实例。

1. 电路分析：电路中的电压和电流可以通过微分方程组来描述。

通过求解微分方程组，可以得到电路中各个节点和元件的电压和电流随时间的变化规律，从而分析电路的稳定性和性能。

2. 力学系统：刚体运动、振动系统等力学问题可以通过微分方程组进行建模和求解。

通过求解微分方程组，可以得到系统中各个物体的位置、速度和加速度随时间的变化规律，从而研究物体的运动特性。

微分方程的求解方法应用与实例微分方程是数学中的重要分支之一，广泛应用于各个领域，如物理、工程、经济等。

解微分方程是研究微分方程的核心问题之一，掌握微分方程的求解方法对于解决实际问题至关重要。

本文将介绍微分方程的求解方法，并结合实例进行详细说明。

一、初等解法初等解法是解微分方程最常用的方法之一，主要包括分离变量法、参数法、齐次法和常系数线性齐次微分方程方法等。

分离变量法适用于可分离变量的微分方程。

通过将方程中的变量分离并进行分别积分的方式，最终得到微分方程的解。

参数法适用于可以利用某些特定的参数化代换将微分方程化简的情况。

通过给定参数化代换，将原微分方程转化为更简单的形式，并求解得到解。

齐次法适用于齐次线性微分方程。

通过将微分方程中的变量进行替换，使之变为齐次线性微分方程，并通过相应的解法求解得到原微分方程的解。

常系数线性齐次微分方程方法适用于常系数线性齐次微分方程。

通过特征方程的求解，找到微分方程的通解。

二、变量分离法变量分离法是解微分方程常用的方法之一，适用于将微分方程中的未知函数和自变量分离的情况。

以一阶可分离变量的形式为例，设微分方程为dy/dx=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)是关于x和y的函数。

首先将方程两边同时乘以dx和1/g(y)，得到dy/g(y)=f(x)dx。

之后对方程两边同时积分，得到∫dy/g(y)=∫f(x)dx。

最后将等式两边积分得到微分方程的解。

三、常微分方程的解法常微分方程是微分方程中的一种重要类型，是指微分方程中未知函数与变量的最高导数只有一阶，没有更高阶的情况。

常微分方程的解法多种多样，如一阶常微分方程、二阶常微分方程等。

以一阶常微分方程为例，设方程为dy/dx=f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。

可以通过变量分离、齐次、恰当微分方程以及一些特殊的解法等方法求解常微分方程。

四、实例分析下面通过一个实例来详细说明微分方程的求解方法。

假设有一辆汽车的速度满足以下条件：在0时刻，汽车的初速度为10m/s，经过1小时，汽车的速度下降到5m/s。

微分方程模型浙江大学数学建模实践基地§3.1 微分方程的几个简单实例在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题，本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。

在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。

例1（理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。

从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsin θ，根据牛顿第二定律可得：sin ml mg θθ=- 从而得出两阶微分方程：0sin 0(0)0,(0)g l θθθθθ+==⎪=⎧⎪⎨⎩ （3.1）这是理想单摆应满足的运动方程（3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。

当θ很小时，sin θ≈θ，此时，可考察（3.1）的近似线性方程：00(0)0,(0)g l θθθθθ+==⎧=⎪⎨⎪⎩ （3.2）由此即可得出2g T l π=（3.2）的解为: θ(t )=θ0cosωtg l ω=其中当时,θ(t )=04T t =42g T l π=故有M Q P mgθl 图3-1（3.1）的近似方程例2我方巡逻艇发现敌方潜水艇。

与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。

设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。

这一问题属于对策问题，较为复杂。

讨论以下简单情形：敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。

设巡逻艇在A 处发现位于B 处的潜水艇，取极坐标，以B 为极点，BA 为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r =r (θ)，见图3-2。

B AA1dr ds dθθ图3-2由题意，，故ds =2dr 2ds dr dt dt =图3-2可看出，222()()()ds dr rd θ=+故有:2223()()dr r d θ=即:3rdr d θ=（3.3）解为：3r Ae θ=（3.4）先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。

微分方程应用微分方程是数学中的重要分支，它有着广泛的应用。

本文将介绍微分方程在不同领域的应用，包括物理学、生物学和经济学等。

通过这些应用实例，我们将看到微分方程在解决实际问题中的重要性和价值。

一、物理学中的物理学是微分方程的一个主要应用领域。

许多自然现象可以通过微分方程来描述和解释。

例如，牛顿第二定律将物体的运动与其所受的力联系在一起，可以用微分方程表示为：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}} = F(x)$$其中，$m$代表物体的质量，$x$代表物体的位置，$t$代表时间，$F(x)$代表作用在物体上的力。

通过解这个微分方程，我们可以预测物体随时间的变化和轨迹。

二、生物学中的微分方程在生物学中也有广泛的应用。

许多生物过程可以用微分方程建模，如人口增长、药物动力学和神经元的激活等。

以人口增长为例，我们可以用以下微分方程描述：$$\frac{{dN}}{{dt}} = rN(1-\frac{{N}}{{K}})$$其中，$N$代表人口数量，$t$代表时间，$r$代表人口的增长率，$K$代表环境的承载能力。

通过解这个微分方程，我们可以了解人口随时间的变化趋势，从而制定相应的政策措施。

三、经济学中的微分方程在经济学中也有重要的应用。

例如，经济增长模型可以用以下微分方程表示：$$\frac{{dY}}{{dt}} = sY - c$$其中，$Y$代表经济产出，$t$代表时间，$s$代表储蓄率，$c$代表消费。

通过解这个微分方程，我们可以预测经济增长的速度和趋势，为经济政策的制定提供依据。

总结：微分方程是数学中的重要工具，具有广泛的应用领域。

无论是在物理学、生物学还是经济学中，微分方程都能用来描述和解释自然现象，并从中得出有用的结论。

通过研究微分方程的应用，我们可以更好地理解和预测现实世界中的各种问题，为解决这些问题提供有效的方法和方案。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的微分方程模型，并结合相关领域的知识和数据进行求解和验证。

高考数学中的微分方程应用及实例题解析一、微分方程的应用微分方程在数学中有着广泛的应用，而在高考数学中尤为重要。

微分方程可以用来描述各种物理和工程问题中的连续变化。

在高考数学中，微分方程的应用主要包括解决物理和工程问题，并用微分方程模型求解。

下面，我们将以几个实例来解释微分方程的应用。

二、实例题解析1. 一个水箱有一个进水口和一个排水口，进水口的水速是10升/分钟，排水口排水的速度是6升/分钟。

在水箱的初态下，水箱的水量是7升。

求15分钟之后水箱的水量是多少？解答：由于水箱的进水口和排水口都是连续变化的，因此可以用微分方程来模拟。

不妨设水箱的初始状态下的水量为y，当t时间后，进水和排水的水量都为10-6=4升/分钟，因此有：y'(t)=4根据微分方程得：y(t)=4t+C由于初态下，水量为7升，因此C=7。

当t=15时，有：y(15)=4*15+7=67因此，15分钟后水箱的水量是67升。

2. 某商品的回报率为r，市场容量有限，其市场占有率y变化满足dy/dt=ry(1-y)，y初始为0.2，求当市场占有率达到60%时所需的时间。

解答：由于市场占有率随时间的变化是连续变化的，因此可以用微分方程来模拟。

设市场占有率为y，时间为t，有：dy/dt=ry(1-y)将该微分方程分离变量得：1/(y(1-y))dy=rdt两边积分得：ln|y/(1-y)|=rt+C由于当y=0.2时，t=0，因此C=ln(1/4)。

当y=0.6时，有：ln|0.6/(1-0.6)|=0.4r+C代入C得：ln(3/2)=0.4r+ln(1/4)解得r=ln3/16，因此所需的时间为：t=[ln(3/2)-ln(1/4)]/0.4ln3/16≈8.25因此，市场占有率达到60%时所需的时间为8.25。

三、总结微分方程在高考数学中的应用极为广泛，需要考生有扎实的微积分和数学建模的基础。

通过多做微分方程的实例题目，可以帮助考生更好地掌握微分方程的应用方法和技巧。

高考数学中的微分方程分析及应用实例微分方程是数学的一个分支，可以用来描述物理世界中的许多现象和规律。

在高中数学中，微分方程也是一个非常重要的知识点，尤其是在高考数学中，微分方程的考查频率也很高。

本文将从微分方程的定义、解法以及应用实例三个方面进行阐述，帮助大家更好地理解和应用微分方程。

一、微分方程的定义微分方程是描述一个未知函数及其导数之间关系的数学方程。

简而言之，微分方程就是“导数方程”。

形式化地表述，设$ y=f(x)$ ，则微分方程一般可以写成如下形式：$$F(x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)})=0$$其中，$ y^{(i)} $表示$ y $的$i$阶导数，$ F $是关于$ x,y,y',y'',\cdots,y^{(n)} $的函数。

二、微分方程的解法微分方程的解法主要有三种方法：分离变量法、齐次方程和一阶线性微分方程。

1. 分离变量法所谓“分离变量”，就是把方程中的$ x $和$ y $分别独立出来。

具体来说，就是在微分方程两边同时乘上$ dx $，然后把所有包含$ y $的项移到等号右边，所有包含$ x $的项移到等号左边，形如：$$F(y)dy=G(x)dx$$然后两边同时积分即可求得$ y $的解。

需要注意的是，这个方法只适用于能够分离变量的微分方程。

2. 齐次方程所谓“齐次方程”，就是系数和次数都相同的微分方程。

对于这类方程，我们可以进行一些变换，将其转化为可分离变量的形式。

具体方法是令$ y=vx $，然后把微分方程中的$ y $用$ v $和$ x $表示出来，形如：$$ y'=v+xv'$$将其代入微分方程中，消去$ v $得到一个可分离变量的方程。

3. 一阶线性微分方程所谓“一阶线性微分方程”，就是可以写成如下形式的微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$其中，$ P(x) $和$ Q(x) $都是已知函数。

二阶变系数齐次微分方程的举例应用引言微分方程作为数学中的一个重要分支，在科学与工程的许多领域中都有广泛的应用。

其中，二阶变系数齐次微分方程是一类常见的问题，在工程与物理学中有着重要的实际意义。

本文将以一个具体的举例来说明二阶变系数齐次微分方程的应用。

问题描述我们考虑一个简单的弹簧-质量系统。

弹簧的质量忽略不计，质量为m的物体连接在一个弹性系数为k的弹簧上，忽略空气阻力等影响。

我们希望求解物体的运动方程。

分析与推导设物体的位移为x(t)，根据牛顿第二定律，可以得到物体的运动方程： m * d^2x(t) / dt^2 = -k * x(t)我们可以看到，这是一个二阶变系数齐次微分方程，其特点是方程中的k是一个变量，它随着物体的运动而改变。

为了求解这个微分方程，我们可以尝试使用变量分离法。

我们将微分方程改写为： md^2x(t) / dt^2 + k * x(t) = 0假设解为x(t) = e(rt)。

将其代入微分方程，我们可以得到： mr2 * e^(rt) +k * e^(rt) = 0因为e(rt)永远不为0，我们可以约去e(rt)，并整理方程，得到：mr^2 + k = 0这是一个关于r的二次方程，解出r可得：r = ±√(-k / m)当k / m > 0时，r是虚数，我们可以直接看出解为复数。

当k / m < 0时，r是实数，我们可以得到两个解，分别为r_1 = √(-k / m)和r_2 = -√(-k / m)。

综上，我们可以看到当弹簧的弹性系数k / m < 0时，物体的运动由两个指数函数组成。

每个指数函数都代表一个解，我们可以用线性组合来表示通解： x(t) = c_1 * e^(r1t) + c_2 *e^(r2t)，其中c_1和c_2是任意常数。

当弹簧的弹性系数k / m > 0时，物体的运动由两个虚数指数函数组成。

虚数指数函数可以表示为两个实函数的线性组合：x(t) = c_1 * cos(√(k / m) * t) + c_2 * sin(√(k / m) * t)，其中c_1和c_2是任意常数。

一个数学问题都可以用不同的方法来求解的，不同的方法做出来效果不同，效率也不同。

下面就微分方程模型建模展开建模。

下面给出些微分方程建立模型的实例，供大家参考。

1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。

设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。

5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。

8．1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。

9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，（）10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。

第十节 数学建模—微分方程的应用举例微分方程在几何、力学和物理等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程在实际应用中的几个实例. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力.分布图示衰变问题★ 例1 ★ 例2 ★ 逻辑斯谛方程★ 环境污染的数学模型 ★ 例3 ★ 自由落体问题内容要点一、 衰变问题二、 逻辑斯谛方程三、 环境污染的数学模型 四、 自由落体问题例题选讲衰变问题例1（E01）镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t 的质量.解 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量，则dtdx表示x 在时刻t 的衰变速度，依题意得.kx dtdx-= (1) 它就是放射性元素衰变的数学模型，其中0>k 是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异.方程右端的负号表示当时间t 增加时，质量x 减少.易求出方程(1)的通解为.ktCex -=若已知当0t t =时，,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt ex C =则可得到特解,)(00t t k e x x --=它反映了某种放射性元素衰变的规律.注：物理学中，我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期，不同物质的半衰期差别极大.如铀的普通同位素)(238U 的半衰期约为50亿年；通常的镭)(226Ra 的半衰期为1600年，而镭的另一同位素Ra 230的半衰期仅为1小时.半衰期是上述放射性物质的特征，然而半衰期却不依赖于该物质的初始质量，一克Ra 226衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年，正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳－14测验的基础.例2 (E02) 碳14(C 14)是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质.活性人体因吸纳食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12含量不变，因而所含碳14与碳12之比为常数.已测知一古墓中遗体所含碳14的数量为原有碳14数量的80％，试求遗体的死亡年代.解 放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例，它符合指数函数的变化规律.设遗体当初死亡时C 14的含量为0p ,t 时的含量为),(t f p =于是，C 14含量的函数模型为,)(0kt e p t f p ==其中),0(0f p =k 是一常数.常数k 可以这样确定：由化学知识可知，C 14的半衰期为5730年，即C 14经过5730年后其含量衰减一半，故有,2573000k e p p = 即.215730k e =两边取自然对数，得,69315.021ln5730-≈=k 即.0001209.0-≈k 于是，C 14含量的函数模型为.)(0001209.00t e p t f p -==由题设条件可知，遗体中C 14的含量为原含量0p 的80％，故有 ,8.00001209.000t e p p -= 即.8.00001209.0te -=两边取自然对数，得,0001209.08.0ln t -= 于是 .184********.022314.00001209.08.0ln ≈--≈-=t由此可知，遗体大约已死亡1846年.二、 逻辑斯谛方程:逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为h (t ), 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (8.2) 其中0>k 是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程.下面来求解方程(8.2). 分离变量得,)(kdt h H h dh=-两边积分,)(⎰⎰=-kdt h H h dh得 ,)]ln([ln 11C kt h H h H+=-- 或,21k H t H C k H t e C e hH h==-+ 故所求通解为,11)(22kHtkHt kHt CeH e C He C t h -+=+= 其中的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>==-0112HC e C C C 是正常数. 函数)(t h 的图象称为Logistic 曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic 曲线, 由于它的形状, 一般也称为S 曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得.)(lim H t h t =+∞→这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.注: Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家V erhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-= (8.3)其中b k ,的称为生命系数.我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得,2=b 从而估计得:(1)世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2)到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销售的增长率,dtdx与)(t x 成正比, 同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx与尚未购买该产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比, 于是有)(x N kx dtdx-=(8.4)其中k 为比例系数. 分离变量积分, 可以解得kNtCeNt x -+=1)( (8.5)由,)1()1(,)1(2322222kNt kNt kNt kNt kNt Ce Ce e N Ck dt x d Ce ke CN dt dx -----+-=+= 当N t x <)(*时, 则有,0>dt dx 即销量)(t x 单调增加. 当2)(*N t x =时, ;022=dt x d 当2)(*N t x >时, ;022<dtxd 当2)(*N t x <时, 即当销量达到最大需求量N 的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足N 一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式(8.5)的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.三、环境污染的数学模型随着人类文明的发展,环境污染问题已越来越成为公众所关注的焦点.我们将建立一个模型,来分析一个已受到污染的水域,在不再增加污染的情况下,需要经过多长的时间才能将其污染程度减少到一定标准之内.记()t Q Q =为体积为V 的某一湖泊在时刻t 所含的污染物的总量.假设洁净的水以不变的流速r 流入湖中,并且湖水也以同样的流速流出湖外,同时假设污染物是均匀地分布在整个湖中,并且流入湖中洁净的水立刻就与原来湖中的水相混合.注意到Q 的变化率= — 污染物的流出速度,等式右端的负号表示Q 是减少的,而在时刻t ,污染物的浓度为VQ.于是 污染物的流出速度=污水外流的速度⨯浓度=VQr ⋅.这样,得微分方程 Q Vrdt dQ -= 又设当0=t 时,()00Q Q =,解得该问题的特解为Vrte Q Q -=0.污染量Q 随时间t 的变化如下图t Q 0Q 0（污染量）Q =Q 0e -rt/V例3（E03） 若有一已受污染的湖泊,其体积为6109.4⨯m 3,洁净的水以每年3310158m⨯的流速流入湖中,污水也以同样的流速流出.问经过多长时间,可使湖中的污染物排出90%?若要排出99%,又需要多长时间?解:因为03225.0109.41015833≈⨯⨯=V r t e Q Q 03225.00-=所以,当有90%的污染物被排出时,还有10%的污染物留在湖中, 即01.0Q Q =,代入上式,得 te Q Q 03225.0001.0-=解得 ()7203225.01.0ln ≈-=t (年) 当有99%的污染物被排出时,剩余的001.0Q Q =,于是t e Q Q 03225.00001.0-=,解得()14303225.001.0ln ≈-=t (年).自由落体问题例4（E04）一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).解 取连结地球中心与该物体的直线为y 轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点O (如图).设地球的半径为,R 物体的质量为,m 物体开始下落时与地球中心的距离为),(R l l >在时刻t 物体所在位置为),(t y y =于是速度为.)(dtdyt v =由万有引力定律得微分方程 ,222y kmM dt y d m -= 即 ,222y kMdt y d -=其中M 为地球的质量，k 为引力常数.因为当R y =时，g dtyd -=22 (取负号是因此时加速度的方向与y 轴的方向相反).,,22gR kM RkM g ==代入得到,2222ygR dt y d -=初始条件为 ,0l y t ==.00='=t y 先求物体到达地面时的速度.由,v dtdy=得 ,22dydvv dt dy dy dv dt dv dty d =⋅== 代入并分离变量得 dy ygR vdv 22-= .2122C y gR v += 把初始条件代入上式，得 ,221gR C -=于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=l y gR v 11222 .112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=l y g R v 式中令,R y =就得到物体到达地面时得速度为.)(2lR l gR v --= 再求物体落到地面所需的时间.,112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==l y g R v dt dy,0l y t == 分离变量得 .21dy yl yg l R dt --=由条件,0l y t ==得.02=C.a r c c o s 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l y l y ly g l R t 在上式中令,R y =便得到物体到达地面所需得时间为.arccos 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l R l R lR g l R t。