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小波小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小区域的波，而且是长度有限、均值为0的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
如下图正弦波Meyer 小波Morlet小波202()t j t t ee ωψ-=或频域形式：20()/2()eωωψω--=⋅121210()110t t t others ψ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩Haar小波简单来说，小波函数必须满足下列条件:（1）2|()|t dt ψ∞-∞⎰, 也即2()L R ψ∈ 并单位化 ，(2) |()|t dt ψ∞-∞<+∞⎰, 也即1()L R ψ∈(3) ()0t dt ψ+∞-∞=⎰， 小波变换的反变换及对基本小波的要求小波变换区别于某些常用变换（如傅里叶变换、拉氏变换）的一个特点是没有固定的核函数，但也不是任何函数都可用作小波变换的基本小波()t ψ。
任何变换都必须存在反变换才有实际意义，但反变换并不一定存在，对小波变换而言，所采用的小波必须满足所谓“容许条件”(admissible condition),反变换才存在。
容许条件：20|()|d ψωωω∞<∞⎰正规性条件（regularity condition ）本来满足容许条件的()t ψ便可用作基本小波，但实际上往往要求更高些，对()t ψ还要施加正规性条件，以便()ψω在频域上表现出较好的局域性能。
也就是要求()0pt t dt ψ∞-∞=⎰，1,2,,,p n =⋅⋅⋅ 且n 越大越好。
sin 2sin(2)cos(100)y x x x πππ=++sin 2sin(2)y x x ππ=+光滑紧支撑正交小波()t ϕ的构造满足（1）{()}k Z x k ϕ∈-是中的标准正交基；（2）()x ϕ满足双尺度方程(/2)()k kx a x k ϕϕ=-∑， （3）1()()x L R ϕ∈且ˆ(0)0ϕ≠ （4）()x ϕ是紧支撑的。
⼩波变换（wavelettransform）的通俗解释（⼀）⼩波变换⼩波，⼀个神奇的波，可长可短可胖可瘦（伸缩*移），当去学习⼩波的时候，第⼀个⾸先要做的就是回顾傅⽴叶变换（⼜回来了，唉），因为他们都是频率变换的⽅法，⽽傅⽴叶变换是最⼊门的，也是最先了解的，通过傅⽴叶变换，了解缺点，改进，慢慢的就成了⼩波变换。
主要的关键的⽅向是傅⽴叶变换、短时傅⽴叶变换，⼩波变换等，第⼆代⼩波的什么的就不说了，太多了没太多意义。
当然，其中会看到很多的名词，例如，内积，基，归⼀化正交，投影，Hilbert空间，多分辨率，⽗⼩波，母⼩波，这些不同的名词也是学习⼩波路上的标志牌，所以在刚学习⼩波变换的时候，看着三个⽅向和标志牌，可以顺利的⾛下去，当然路上的美景要⾃⼰去欣赏（这⾥的美景就是定义和推导了）。
因为内容太多，不是很重要的地⽅我都注释为（查定义）⼀堆⽂字的就是理论（可以⼤体⼀看不⽤⽴刻就懂），同时最下⾯也给了⼏个⽹址辅助学习。
⼀、基傅⽴叶变换和⼩波变换，都会听到分解和重构，其中这个就是根本，因为他们的变化都是将信号看成由若⼲个东西组成的，⽽且这些东西能够处理还原成⽐原来更好的信号。
那怎么分解呢？那就需要⼀个分解的量，也就是常说的基，基的了解可以类⽐向量，向量空间的⼀个向量可以分解在x，y⽅向，同时在各个⽅向定义单位向量e1、e2，这样任意⼀个向量都可以表⽰为a=xe1+ye2，这个是⼆维空间的基，⽽对于傅⽴叶变换的基是不同频率的正弦曲线，所以傅⽴叶变换是把信号波分解成不同频率的正弦波的叠加和，⽽对于⼩波变换就是把⼀个信号分解成⼀系列的⼩波，这⾥时候，也许就会问，⼩波变换的⼩波是什么啊，定义中就是告诉我们⼩波，因为这个⼩波实在是太多，⼀个是种类多，还有就是同⼀种⼩波还可以尺度变换，但是⼩波在整个时间范围的幅度*均值是0，具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，可以是不规则，也可以是不对称,很明显正弦波就不是⼩波，什么的是呢，看下⾯⼏个图就是当有了基，以后有什么⽤呢?下⾯看⼀个傅⽴叶变换的实例：对于⼀个信号的表达式为x=sin(2*pi*t)+0.5*sin(2*pi*5*t);这⾥可以看到是他的基就是sin函数，频率是1和5，下⾯看看图形的表⽰，是不是感受了到了频域变换给⼈的⼀⽬了然。
