福建省莆田市第一联盟体2020届高三数学上学期期末联考试题理[含答案](20200729231654)

2020年福建省莆田市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A=｛x｜y=log2(x−1)｝，B=｛y｜y=√2−x｝，则A∩B=()A. (0,2］B. (1,2)C. (1,+∞)D. (1,2］2.|1+2i2−i|=()A. 35B. 1 C. 53D. 23.若sin(π6−θ)=13，则cos(2π3+2θ)的值为()A. 13B. −13C. 79D. −794.函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]的图象大致是()A. B.C. D.5.在某市举行“市民奥运会”期间．组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则不同分配方案的种数是()A. 96B. 72C. 36D. 246.执行如图所示的程序框图，若输出的值S=30，则p的取值范围为()A. (18,30]B. [18,30]C. (0,30]D. [18,30)7. 已知函数f(x)=alnx +2x 的图象在x =1处的切线过点(2,3)，则a 的值为( ) A. −1 B. 1 C. 3 D. 78. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的最小正周期为π，其图象关于直线x =π3对称，则|φ|的最小值为( )A. π12B. π6C. 5π6D. 5π129. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)焦点为F ，过F 作直线l 交抛物线l 于A 、B 两点，若|AF|=23，|BF|=2，则p =( )A. 1B. 32C. 2D. 52 10. 已知A ，B ，C 点在球O 的球面上，∠BAC =90°，AB =AC =2.球心O 到平面ABC 的距离为2，则球的表面积为( )A. 12πB. 16πC. 24πD. 20π 11. 已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，若双曲线C 右支上一点P满足|PF 1|=3|PF 2|且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2，则双曲线C 的离心率为( )A. 3B. √3C. 2D. √2 12. 已知函数f(x)=x +a x (a ∈R)，则下列结论正确的是( )A. ∀a ∈R ，f(x)在区间(0,+∞)内单调递增B. ∃a ∈R ，f(x)在区间(0,+∞)内单调递减C. ∃a ∈R ，f(x)是偶函数D. ∃a ∈R ，f(x)是奇函数，且f(x)在区间(0,+∞)内单调递增二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 若x ，y 满足约束条件{y ≥0,x −y +1≥0,2x +y −4≤0,则z =log 2(x +y −1)的最大值为______． 15. 已知函数f(x)={2,x ⩽03x 2−4,x >0，则f(f(−2))=___________． 16. 在△ABC 中，D 为AC 上一点，若AB =AC ，AD =12CD,BD =4，则△ABC 面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知在等差数列{a n}中，a1=2，a3=8，且b n=2a n+1．(1)求正项数列{b n}的通项公式；(2)已知数列{b n+(−1)n⋅n}的前2n项和是S2n，求S2n．18.如图，己知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形．E为棱AB的中点，PE⊥CE，AB=4，AD=2，PD=PE=2√2．(Ⅰ)证明：平面PDE⊥平面ABCD；(Ⅱ)求二面角D−PC−E的余弦值．19.受新冠肺炎疫情影响，2020年春节过后，广大市民积极响应国家号召居家防疫，工厂企业延迟开工，大中小学延迟开学，“网上办公”“网上教学”“网上购物”等成为人们的生活常态．为了解用户流量需求，提升服务水平，某市移动公司面向用户进行了一次使用手机流量上网时间的问卷调查，通过随机抽样，得到100人每天使用流量上网时间Z(单位：分钟)的数据，并统计如表：时间[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)[100,120)[120,140)[140,160)频数510203015128(1)由频率分布表可以认为，用户每天使用流量上网时间Z服从正态分布N(μ,958)，μ近似为这100人使用流量上网时间的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)，求P(60.6<Z≤153.6)；(2)记X表示全市100万用户中每天使用流量上网时间不低于60.6分钟的人数，在(1)的条件下，求E(X)；(3)在(1)的条件下，移动公司在疫情防控期间针对用户制定表中的奖励方案：获赠随机流量(单位：M)100200概率①每天使用流量上网时间不低于μ的用户每天可2次获赠随机流量，低于μ的用户每天可1次获赠随机流量；②每次获赠的随机流量和对应的概率如表所示．设某用户获赠的随机流量为ξ，求ξ的分布列及数学期望．附：①；②若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z<μ+ 2σ)=0.9545，P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9973．20.已知椭圆E：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点C(1,0)．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)若过点(−13,0)的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证：恒有|AB|=2|CM|．21.(1)判断函数f(x)=6x−x2零点的个数．(2)求证函数f(x)=x3+x+1只有一个零点．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1)求出圆C的直角坐标方程；(2)已知圆C与x轴交于A，B两点，直线l：y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l′，若直线l′上存在点P使得∠APB=90°，求实数m的最大值．23.已知函数f(x)=|x−2|−|2x−2|(Ⅰ)求不等式f(x)+1>0的解集；(Ⅱ)当x∈R时，f(x)<−x+a恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了集合的交集运算，属于基础题．解：由题意可知，集合A=｛x｜y=log2(x−1)｝={x|x>1}，B=｛y｜y=√2−x｝={y|y≥0}，∴A∩B={x|x>1}，故选C．2.答案：B解析：解：因为1+2i2−i =(1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=i，所以|1+2i2−i|=1，故选：B．化简代数式，根据复数模的定义，求出复数的模即可．本题考查了复数的化简问题，考查复数求模，是一道基础题．3.答案：D解析：解：∵sin(π6−θ)=13=cos(π3+θ)，∴cos(2π3+2θ)=2cos2(π3+θ)−1=2×19−1=−79，故选：D．由条件可得13=cos(π3+θ)，再利用二倍角的余弦公式求得cos(2π3+2θ)的值．本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4.答案：C解析：解：函数f(x)=cosxx−sinx ,x∈[−3π2,0)∪(0,3π2]满足f(−x)=−f(x)，故函数图象关于原点对称，排除A、B，当x∈(0,π2)时，f(x)=cosxx−sinx>0，故排除D，故选：C．分析函数的奇偶性，及x∈(0,π2)时，函数值的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的图象，难度中档．5.答案：C解析：解：根据题意，将甲，乙，丙，丁四位志愿者全部分配到A，B，C三个场馆执勤．若每个场馆至少分配一人，则其中1个场馆2人，其余2个场馆各1人，可以分2步进行分析：①、将4人分成3组，其中1组2人，其余2组每组1人，有C42=6种分组方法，②、将分好的3组对应3个场馆，有A33=6种对应方法，则一共有6×6=36种同分配方案；故选：C．根据题意，分2步进行分析，先将4人分为2、1、1的三组，再将分好的3组对应3个场馆，由排列、组合公式可得每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．本题考查排列、组合的运用，关键是根据“每个场馆至少分配一名志愿者”的要求，明确分组的依据与要求．6.答案：A解析：解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0执行循环体，S=3，n=2执行循环体，S=9，n=3执行循环体，S=18，n=4执行循环体，S=30，n=5由题意，此时应该不满足条件S<p，退出循环，输出S的值为30，可得18<p≤30，即p的取值范围为(18,30]．故选：A．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.答案：C解析：本题考查了切线方程问题，考查函数的导数的几何意义，属于基础题．求出函数的导数，求出切线方程，得到关于a的方程，解出即可；解：∵f′(x)=ax −2x2，∴f′(1)=a−2，f(1)=2，切点坐标(1,2)∴切线方程为y−2=(a−2)(x−1)，∵切线过点(2,3)，∴3−2=a−2，解得a=3；故选：C．8.答案：B解析：本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于基础题．利用正弦函数的周期性求得ω的值，再利用它的图象的对称性，求得|φ|的最小值．解：∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期为2πω=π，∴ω=2．根据其图象关于直线x=π3对称，可得2⋅π3+φ=kπ+π2，，即φ=kπ−π6，则|φ|的最小值为π6，故选：B．9.答案：A解析：本题考查抛物线的性质，属于基础题．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据|AF|，|BF|，利用抛物线的性质可得A ，B 的横坐标，利用y 12y 22=x 1x 2=(13)2=19，即可求得p 的值． 解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∵|AF|=23，|BF|=2，∴根据抛物线的性质可得x 1=23−p 2，x 2=2−p 2，如图，分别作AC 、BD 垂直x 轴于C 、D 两点，则有△ACF ∽△BDF ， 则|AF ||BF |=|AC ||BD |=|y 1||y 2|=232=13， ∴y 12y 22=x 1x 2=(13)2=19， ∴9(23−p 2)=2−p 2，∴p =1．故选：A ．10.答案：C解析：本题主要考查球的性质与表面积，考查了空间想象能力，属于较易题． 可得三角形ABC 的外接圆的半径为√2，即可得R 2=22+(√2)2=6，可求得球的表面积． 解：设球的半径为R ，因为∠BAC =90°，AB =AC =2，所以三角形ABC 的外接圆的半径为√2，又因为球心O 到平面ABC 的距离为2， 所以R 2=22+(√2)2=6，所以球的表面积为S =4π×R 2=24π． 故选：C ．11.答案：D解析：设|PF 2|=t ，则|PF 1|=3t ，利用双曲线的定义，可得t =a ，利用余弦定理可得cos∠F 1PF 2，再利用数量积公式，即可求出双曲线C 的离心率．本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义、余弦定理的运用，考查向量的数量积公式，属于中档题．解：设|PF 2|=t ，则|PF 1|=3t ，∴3t −t =2a ，∴t =a ， 由余弦定理可得cos∠F 1PF 2=9a 2+a 2−4c 22×3a×a=5a 2−2c 23a 2，∵PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2，∴3a ⋅a ⋅5a 2−2c 23a 2=a 2，∴c =√2a ， ∴e =√2． 故选：D ．12.答案：D解析：解：当a ≤0时，函数f(x)=x +ax 在区间(0,+∞)内单调递增，当a >0时，函数f(x)=x +ax 在区间(0,√a]上单调递减，在[√a,+∞)内单调递增， 故A ，B 均错误，∀a ∈R ，f(−x)=−f(x)均成立，故f(x)是奇函数， 故C 错误， 故选：D ．当a ≤0时，函数f(x)=x +a x 在区间(0,+∞)内单调递增，当a >0时，函数f(x)=x +ax 在区间(0,√a]上单调递减，在[√a,+∞)内单调递增，∀a ∈R ，f(−x)=−f(x)均成立，故f(x)是奇函数，进而得到答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的奇偶性和函数的单调性，难度中档．13.答案：4解析：解：∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0， 则OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4． 故答案为：4．由已知结合向量减法的三角形法则化简求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量减法的三角形法则，是基础题．14.答案：1解析：解：作出x ，y 满足约束条件{y ≥0,x −y +1≥0,2x +y −4≤0,对应的平面区域如图：(阴影部分)由z =log 2(x +y −1)得y =−x +u +1， 平移直线y =−x +u +1，由图象可知当直线y =−x +u +1经过点A 时，直线y =−x +u +1的截距最大， 此时u 最大．由{x −y +1=02x +y −4=0，解得A(1,2)， 代入目标函数z =log 2(x +y −1)得z =log 2(1+2−1)=1， 即目标函数z =log 2(x +y −1)的最大值为1． 故答案为：1．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.答案：8解析：本题考查了分段函数，求函数值，属于基础题.只要根据自变量的范围代入相应的解析式计算即可． 解：由题意f(−2)=2，所以f(f(−2))=f(2)=3×22−4=8． 故答案为8．16.答案：9解析：解：∵等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 是AC 上一点，设AB =AC =3x ， 则：故cosA =9x 2+x 2−162⋅3x⋅x=10x 2−166x 2．所以：sinA =√1−cos 2A =√1−(10x 2−166x2)2=√80x 2−16x 4−649x 4，△ABC 面积S =12⋅3x ⋅3x ⋅√80x2−16x 4−649x 4=32√−16(x 2−52)2+36≤32⋅6=9，故三角形面积的最大值为9． 故先答案为：9．由已知先在△ABD 中利用余弦定理表示出cos A ，进而求得sin A 的表达式，进而代入三角形面积公式利用转化为二次函数来解决．本题考查的知识要点：余弦定理和二次函数的性质的应用，考查考查运算求解能力．17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1=2，a 3=8， ∴2+2d =8，解得d =3， ∴a n =2+3(n −1)=3n −1， ∴b n =2a n +1=23n =8n ；(2)由(1)知b n +(−1)n ·n =8n +(−1)n ·n ，∴S 2n =(8+82+⋯+82n )+(−1)+2−3+⋯+(−1)2n−1·(2n −1)+(−1)2n ·2n =8−82n+11−8+(−1+2)+(−3+4)+⋯+[−(2n −1)+2n]=82n+1−87+n ．解析：本题主要考查了等差数列和等比数列的应用，考查了数列的求和，属于中档题． (1)先求出等差数列{a n }的通项公式，即可求出b n ； (2)利用分组转化求和法可求出S 2n ．18.答案：证明：(Ⅰ)∵四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形．E 为棱AB 的中点，PE ⊥CE ，AB =4，AD =2，PD =PE =2√2．∴DE =CE =√22+22=2√2，∴DE 2+CE 2=CD 2，∴DE ⊥CE ， ∵DE ∩PE =E ，DE 、PE ⊂平面PDE ， ∴CE ⊥平面PDE ， ∵CE ⊂平面ABCD ， ∴平面PDE ⊥平面ABCD ．解：(Ⅱ)以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，过E 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，P(√2,0，√6)，D(2√2,0，0)，C(0,2√2,0)，E( 0,0，0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0，−√6)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,2√2,−√6)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,√6)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0)， 设平面PCD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x −√6z =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√2x +2√2y −√6z =0，取x =√3，得n ⃗ =(√3,√3,1)，设平面PCE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x +√6z =0m ⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2√2y =0，取x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,0,−1)，设二面角D −PC −E 的平面角为θ， 则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√7⋅√4=√77． 由图可知二面角D −PC −E 为锐二面角，∴二面角D−PC−E的余弦值为√77．解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(Ⅰ)推导出PE⊥CE，DE⊥CE，从而CE⊥平面PDE，由此能证明平面PDE⊥平面ABCD．(Ⅱ)以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，过E作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D−PC−E的余弦值．19.答案：解：(1)由题意知：μ=30×0.05+50×0.1+70×0.2+90×0.3+110×0.15+130×0.12+150×0.08=91.6，∵σ=√958≈31，∴60.6=μ−31，153.6=μ+2×31，∴P(60.6<Z≤153.6)=P(μ−σ<Z<μ+2σ)=0.68272+0.95452=0.8186．(2)∵每位用户每天使用流量上网时间不低于60.6分钟的概率：P(Z≥60.6)=P(Z≥μ−σ)=0.5+0.68272=0.84135，X∽B(106,0.84135)，∴EX=106×0.84135=841350．(3)由题意知P(Z<μ)=P(Z>μ)=12，ξ的所有可能取值为100，200，300，400，P(ξ=100)=12×23=13，P(ξ=200)=12×13+12×23×23=718，P(ξ=300)=12×2×23×13=29，P(ξ=400)=12×13×13=118，ξ 100 200 300 400 P1371829118∴Eξ=100×13+200×718+300×29+400×118=200．解析：本题考查正态分布以及概率的求法和离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题． (1)根据正态分布性质可得P(60.6<Z ⩽153.6)=P(μ−σ<Z ⩽μ+2σ)，进而求解即可； (2)求得P(Z ⩾60.6)=0.84135，X ∼B (106,0.84135)，即可求出EX ；(3)P (Z <μ)=P (Z ≥μ)=12，然后根据ξ的所有可能取值为100，200，300，400，分别求出概率即可求出分布列和数学期望．20.答案：解：(Ⅰ)由题意知b =1，c a =√22，又因为a 2=b 2+c 2解得，a =√2， 所以椭圆方程为y 22+x 2=1．(Ⅱ)设过点(−13,0)的直线为x =ty −13，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2) 由{x =ty −13y 22+x 2=1得(9+18t 2)y 2−12ty −16=0，且．则{y 1+y 2=12t9+18t 2,y 1y 2=−169+18t2,又因为CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1,y 1)，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−1,y 2)， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2 =(ty 1−43)(ty 2−43)+y 1y 2=(1+t 2)y 1y 2−43t(y 1+y 2)+169=(1+t 2)−169+18t 2−4t 3⋅12t 9+18t 2+169=0，所以．因为线段AB的中点为M，所以|AB|=2|CM|．解析：本题考查了椭圆的性质，考查了直线和椭圆的关系，属中档题．(Ⅰ)由题意，可得ca =√22，b=1解得a=√2，故椭圆C的方程为y22+x2=1．(Ⅱ)联立直线与椭圆，根据韦达定理可得y1+y2=12t9+18t2，y1y2=−169+18t2，可证CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得|AB|=2|CM|．21.答案：解(1)法一∵f(x)=6x −x2=6−x3x，∴f(x)只有一个零点√63．法二令y1=6x，y2=x2，在同一坐标系中作出它们的图像如图．两函数图像只有一个交点，故f(x)只有一个零点．(2)证明因为x3，x+1在R上均为增函数，∴f(x)=x3+x+1在R上单调递增且在R上的图像是一条连续曲线．又∵f(−1)=−1，f(0)=1，∴f(x)在(−1,0)上有且只有一个零点．故f(x)=x3+x+1只有一个零点．解析：本题考查函数的零点，属于基础题型，考查运算能力和作图能力，(1)法一由f(x)=6x −x2=6−x3x直接求出零点；法二令y1=6x，y2=x2，在同一坐标系中作出它们的图像如图．由两函数图像只有一个交点得到f(x)只有一个零点．(2)利用函数零点存在性定理，再结合f(x)=x3+x+1在R上单调递增且在R上图像是一条连续曲线即可证明．22.答案：解：(1)∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2−4x=0，∴圆C的标准方程为(x−2)2+y2=4;(2)l:y=2x关于点M(0,m)的对称直线，∴l′:y=2x+2m，∵AB为圆C的直径，∴直线l′上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是：直线l′与圆有公共点，∴√5≤2，∴实数m 的最大值为√5−2．解析：本题考查了极坐标方程和参数方程的应用，是高考中常见的题型，属于中档题.(1)由题意得到ρ2=4ρcosθ，从而得到圆的标准方程；(2)由题意得到l′:y=2x+2m，结合直角，得到结果．23.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=|x−2|−|2x−2|，当x≤1时，f(x)=−(x−2)+(2x−2)=x，∴不等式f(x)+1>0转化为x+1>0，解得−1<x≤1；当1<x≤2时，f(x)=−(x−2)−(2x−2)=−3x+4，∴不等式f(x)+1>0化为−3x+5>0，解得1<x<53；当x>2时，f(x)=(x−2)−(2x−2)=−x，不等式f(x)+1>0化为−x+1>0，解得x∈⌀；综上，不等式f(x)+1>0的解集为{x|−1<x<53}；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，函数f(x)={x,x≤1−3x+4,1<x≤2−x,x>2；画出f(x)的图象如图所示；由图象知，当x=1时，令f(x)<−x+a，即1<−1+a，解得a>2；∴实数a的取值范围是(2,+∞)．解析：(Ⅰ)利用分类讨论法去绝对值，求不等式f(x)+1>0的解集即可；(Ⅱ)利用分段函数画出f(x)的图象，结合图象求出不等式f(x)<−x+a恒成立时a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，是中档题．。

2020届福建省莆田市（第一联盟体）上学期高三联考数学（理）试题一、单选题1．若复数z 满足43iz i =+，则z =（ ）A ．B ．3C ．5D ．25【答案】C【解析】由复数的除法以及模长公式求解即可. 【详解】()2434334i i i z i i i++===-，5z == 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数的除法以及模长公式，属于基础题.2．设集合{}{}260|24xM x x x N x =--<=≥，，则M N =I （ ） A ．∅ B ．(]22-， C ．[]23，D ．[)23，【答案】D【解析】化简结合集合M ，N ，求出交集即可. 【详解】{}{}{}{}2||6023242x M x x x x x N x x x =--<-<<=≥=≥，=所以{}|23x M N x =≤<I 故选：D 【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.3．在等比数列{}n a 中，1324510a a a a +=+=，，则123a a a ++=（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．15【答案】B【解析】由题意结合等比数列的通项公式，得出11,2a q ==，即可求出123a a a ++. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得：211311510a a q a q a q ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：11,2a q == 2123112127a a a ++=+⨯+⨯=故选：B 【点睛】本题主要考查了求等比数列的基本量，属于基础题.4．已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()46sin330P ，°，则cos2α的值为（ ） A ．725-B ．725C．2425-D ．2425【答案】B【解析】由三角函数的定义以及诱导公式求出4cos 5α=，再由二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】()()2222224cos 546sin 33046sin 360301462α====++-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎣⎦+⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦°°°2247cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-= ⎪⎝⎭故选：B 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义、诱导公式、以及二倍角的余弦公式，属于中档题. 5．某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为43，则图中x 的值为（ ）A ．2B 2C ．1D ．12【答案】C【解析】画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出x 的值. 【详解】该三视图对应的直观图是三棱锥S ABC -，如下图所示由棱锥的体积公式得：311442223233S ABC V x x x x -⎛⎫=⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭，解得：1x = 故选：C 【点睛】本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题.6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数()1sin 2f x x x =-的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由判断函数()f x 的奇偶性以及利用导数得出区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性即可判断. 【详解】()()()111sin sin sin ()222f x x x x x x x f x ⎛⎫-=---=-+=--=- ⎪⎝⎭则函数()f x 在R 上为奇函数，故排除B 、D.()1cos 2f x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1cos 2x >，即()0f x ¢<所以函数()f x 在区间0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故排除C故选：A 【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于中档题.7．在梯形ABCD 中，AD BC ‖，222BC AB AD ===，90BAC ∠=︒，若3BD BE =u u u r u u u r ，则AE BC ⋅u u u r u u u r的值为（ ）A ．116B ．12-C ．12D ．0【答案】D【解析】由直角三角形的性质得出60ABC ∠=︒，由向量的加减法得出1263AE BC BA =-u u u r u u u r u u u r，再由向量的数量积公式求解即可.【详解】在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，1,2AB BC ==，则60ABC ∠=︒()111112333263AE BE BA BD BA BA AD BA BA BC BA BC BA⎛⎫=-=-=+-=+-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r212122212cos 600636333AE BC BC BA BC BC BA BC ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⋅=-⨯⨯︒= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故选：D 【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式，涉及了向量的三角形法则，属于中档题. 8．设22a ln b lg ==，，则（ ） A ．a b ab a b ->>+ B ．ab a b a b >+>- C ．a b ab a b +>>-D ．a b a b ab +>->【答案】D【解析】利用对数的运算化简-a b ，+a b ，ab ，比较ln 2,ln101,ln101-+的大小，即可得到-a b ，+a b 的大小关系. 【详解】ln 2ln 2(ln101)ln 2ln10ln10a b --=-=，ln 2ln 2(ln101)ln 2ln10ln10a b ++=+=，ln 2ln 2ln10ab ⋅=23ln 11ln1012ln 1e e -=<-<=-，2ln1013ln 1e +>=+，ln 21ln e <=所以ln 2ln101ln101<-<+，即()()ln 2ln101ln 2ln101ln 2ln 2ln10ln10ln10-+⋅<<故a b a b ab +>-> 故选：D 【点睛】本题主要考查了比较对数的大小以及对数的运算，属于中等题. 9．关于函数()f x cos x sinx =+有下述四个结论：①()f x 的图象关于y 轴对称；②()f x 在[]ππ-，有3个零点；③()f x 的最小值为；④()f x 在区间4ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①③C ．①④D ．③④【答案】C【解析】证明函数()f x 的奇偶性判断①；根据函数())4f x x π+=，[]0,x π∈的零点以及单调性判断②④；根据单调性、周期性以及对称性判断③. 【详解】()()f x cos x sin x co i f x s x s nx =-+=-=-+，则函数()f x 为R 上的偶函数，故①正确；当[]0,x π∈时，()cos )4f x x sinx x π+=+=()0f x =⇒4x k ππ+=，即4x k ππ=-，则()f x 在区间[]0,π的零点只有一个，所以()f x 在[]ππ-，有2个零点，故②错误； 当[]0,x π∈时，5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数y sinx =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 即函数()f x 在区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故④正确；所以()f x 在[]0,π的最小值为：()514f ππ⎛===- ⎝⎭因为函数()()22i )2s n (f f x cos x sin x x x x cos πππ+=+=+=++，所以函数()f x 的周期为2π由对称性以及周期性可知，函数()f x 的最小值为：1-，故③错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数的零点个数、正弦型函数的单调性和周期性、在给定区间的正弦型函数的最值，属于较难题.10．已知双曲线()2222100x y a b a b -=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线右支交于点M ，若1230F MF ∠=°，则双曲线的渐近线斜率为（ ）A ．(3±B ．(3±+C ．1⎛±+ ⎝⎭）D ．1⎛± ⎝⎭【答案】A【解析】由直角三角形以及中位线的性质得出24MF a =，由双曲线的定义得16F M a =，再由余弦定理以及222c a b =+化简得出(3ba=±，即可得出双曲线的渐近线斜率. 【详解】取切点为B ，连接BO ，作21AF MF ⊥，垂足于A因为2BO AF P ，且O 为12F F ，的中点，所以222AF BO a == 在直角三角形2AF M 中，1230F MF ∠=°，所以2224MF AF a == 由双曲线的定义得： 1226F M a MF a =+=由余弦定理可知：()()()222264264cos30c a a a a =+-⨯⨯︒ 化简得：()221363c a =-，又222c a b =+所以()221263b a =-，即()222126333b a=-=-所以()33ba=±- 故双曲线的渐近线斜率为()33ba±=±- 故选：A【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，涉及了直角三角形的性质以及余弦定理，属于中档题. 11．2019年11月18日国际射联步手枪世界杯总决赛在莆田市综合体育馆开幕，这是国际射联步手枪世界杯总决赛时隔10年再度走进中国.为了增强趣味性，并实时播报现场赛况，我校现场小记者李明和播报小记者王华设计了一套播报转码法，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密的方法是：密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a bc z ，，，…，的26个字母（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数通过变换公式：()()**26121322262x N x x x y x x N x x +⎧⎪⎪=⎨⎪+∈∈≤⎪≤⎩，，不能被整除，，能被整除，将明文转换成密文，如6613162→+=，即f 变换成251:25132p +→=，即y 变换成m .若按上述规定，若王华收到的密文是ukweat ，那么原来的明文是（ ） A ．fujian B ．puxianC ．putianD ．fuxian【答案】C【解析】分别得出u 、w 对应的自然数，将21y =、23y =代入公式得出对应的明文，由排除法即可得出答案. 【详解】u 对应的自然数为21，即21y =，则1212x +=或13212x+=，解得：41x =(舍)，16x =即u 对应的明文为p ，故排除A ，D ； w 对应的自然数为23，即23y =，则1232x +=或13232x+=，解得：45x =(舍)，20x =，即w 对应的明文为t ，故排除B ；故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数已知函数值求自变量，属于中档题.12．函数()f x 满足()()()1'12x e f x f x x f e x ⎡⎫-=∈+∞=-⎪⎢⎣⎭，，，，若12f et ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭恒成立，则t 的取值范围为（ ）A ．213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．23⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦，C ．[]01，D ．1223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】A【解析】由导数公式得出()()ln 1xf x e x =-，利用导数证明函数()f x 的单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】因为()()'()1x xf x f x f x e e x '-⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln x f x x c e =+，(c 为常数)，即()()ln x f x e x c =+由()1f e =-，得ce e =-，则1c =-，所以()()ln 1xf x ex =-1()e ln 1x f x x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，令1()ln 1g x x x =+-则22111()x g x x x x -'=-=，()01g x x '>⇒>，1()012g x x '<⇒<< 则函数()g x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间()1,+?上单调递增则min ()(1)0g x g ==，即1()ln 10g x x x=+-≥ 所以1()e ln 10xf x x x ⎛⎫'=+-≥ ⎪⎝⎭，即函数()f x 在区间12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增 由于12f e t ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭在区间12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，恒成立，则11112222112(1)21t t f f t t ⎧⎧⎪-≥-≥⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎩ 解得213t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故选：A 【点睛】本题主要考查了利用函数单调性解抽象不等式以及利用导数证明函数的单调性，属于较难题.二、填空题13．若向量(),2a x =r 和()1,2b =-r垂直，则a b -=r r __________.【答案】5；【解析】由向量垂直得出4x =，再由向量模长的坐标公式求解即可. 【详解】向量()2a x =r ，和()12b =-r，垂直，则40x -=，解得：4x = 则(3,4)a b -=r r，5a b -==r r ，故答案为：5【点睛】本题主要考查了已知向量垂直求参数以及模长的求解，属于基础题.14．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，，则222x y y ++的取值范围是__________.【答案】[]0,9； 【解析】利用()()2201x y -++表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最值，即可求解222x y y ++的取值范围. 【详解】()()22222011x y y x y ++=-++-()()2201x y -++表示点(0,1)A -到点(,)x y 的距离1AO =，1910,9110AD AC =+==+=ACD 为等腰三角形则点(0,1)A -到点(,)x y 的距离的最小值为：110 所以222x y y ++的最小值为：2110-=，最大值为：101=9-故222x y y ++的取值范围为[]09，故答案为：[]09，【点睛】本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.15．已知直线:1l y x =-与抛物线2:4C y x =相交于不同的两点A B M ，，为AB 的中点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，则MN 的长为__________. 【答案】2；【解析】由直线l 与抛物线的方程以及韦达定理求得126x x +=，再由中点坐标公式以及直线l 的方程得出(3,2)M ，再根据线段AB 的垂直平分线的方程得出(5,0)N ，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y由214y x y x=-⎧⎨=⎩得，2610x x -+= 则126x x +=，所以(3,2)M ，则线段AB 的垂直平分线的方程为2(3)y x -=--即5y x =-+则(5,0)N22(35)(20)22MN =-+-=故答案为：22【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的交点的相关问题以及两点间的距离公式，属于中档题. 16．正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为2，动点P 在对角线BD '上，过点P 作垂直于BD '的平面α，记平面α截正方体得到的截面多边形（含三角形）的周长为()y f x =，设(023BP x x =∈，，. （1）下列说法中，正确的编号为__________. ①截面多边形可能为四边形；②332f =⎝⎭③函数()f x 的图象关于3x . （2）当3x =P ABC -的外接球的表面积为__________. 【答案】②③ 9π【解析】（1）先找到两个与BD '垂直的平面作为辅助平面，从而确定这两个平面之间的截面为六边形，从而判断①错误；由正方体的对称性判断③；由等体积法判断②； (2)找出该三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式计算即可. 【详解】（1）连接',,'AB AC B C ，,,A D A C DC ''''以点D 为坐标原点，分别以,,'DA DC DD 为,,x y z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),'(2,2,2),'(0,0,2)A B C B D (2,20)(022)(2,2,2)AC AB D B ''=-==-u u u r u u u r u u u u r ,,,,,()2222020AC D B '⋅=-⨯+⨯+⨯-=u u u r u u u u r ，()0222220AB D B ''⋅=⨯+⨯+⨯-=u u u r u u u u r所以,D B AC D B AB '''⊥⊥，,AC AB '⊂面AB C '，AC AB A '⋂= 即D B '⊥面AB C '同理可证：D B '⊥面A C D ''所以面A C D ''P 面AB C '，如下图所示，夹在面A C D ''和面AB C '之间并且与这两个平面平行的截面为六边形故截面只能为三角形和六边形，故①错误；由正方体的对称性，可得函数()f x 的图像关于2332x ==对称，故③正确；取,,B B BC AB '的中点分别为,,E F G ，连接,,EF EG FG ，如下图所示113112211132232B EFGV x -⎛⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即此时33x PB ==对应EFG ∆的周长为32 ，即3323f ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，故②正确；（2）当3x =时，此时点P 在线段1BD 的中点，连接,AC DB 交于点H 则3PA PB PC PD ====，1,2PH AH ==，则222AP AH PH =+所以PH AC ⊥ ，同理可证：PH BD ⊥,BD AC ⊂面ABCD ，BD AC H ⋂=，所以PH ⊥面ABCD取PH 的中点为O ，()2213222OB ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，则三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，半径为32，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为23492ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭故答案为：(1)②③；(2)9π 【点睛】本题主要考查了判断正方体截面的形状、棱锥的体积公式、棱锥的外接球的表面积，属于难题.三、解答题17．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=.（1）求A ；（2）设2AC =，点D 在AB 上，且3AD DB =，若BCD VBC 的长.【答案】（1）3A π=（2）【解析】(1)由正弦定理边化角以及两角和的正弦公式化简即可求解；(2)由题意得出ABC ∆的面积，由三角形面积公式得出8c =，再由余弦定理求出BC 的长. 【详解】解析（1）∵sin cos 2sin cos A B c bB A b -=，∴sin cos 2sin sin sin cos sin A BC B B A B-=∴sin cos 2sin sin cos A B C B A=-∴sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =- ∴sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A += ∴()sin 2sin cos A B C A += ∴sin 2sin cos C C A =又∵()0C π∈，，∴sin 0C ≠ ∴1cos 2A =，且()0A π∈，，∴3A π= （2）∵3AD DB =，∴4ABC BDC S S =V V∵BDC S V∴ABC S =V 2AC =∴1sin 2bc A =1222c ⨯⋅=∴8c =∴2222cos a b c bc A =+- ∴2644282cos 3a π=+-⨯⨯∴a =. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、三角形的面积公式以及余弦定理，属于中档题. 18．在正项数列{}n a 中，已知11121n n n na a a a a ++=-=+,且22n n a b =-.（1）证明：数列{}n b 是等差数列； （2）设{}n b 的前n 项和为n S ，证明：123111134n S S S S +++⋯+<. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】(1)由题设条件证明数列{}2n a 是等差数列，并得出数列{}2n a 的通项公式，进而得出21n b n =+，再由等差数列的定义证明即可；(2)由等差数列的前n 项和公式得出n S ，再由裂项求和法证明不等式. 【详解】 （1）∵112n n n na a a a ++-=+∴2212n n a a +-=，∴数列{}2n a 是公差为2的等差数列.∵11a =∴()2211121n a a n ==+-，， ∴221n a n =-，∴22n n a b =-， ∴22n n b a =+，∴21n b n =+，∴()123211n n b b n n +-=+-+=， ∴数列{}n b 是等差数列. （2）由（1）可得∴()()32122n n n S n n ++==+，∴111122n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴1231111nS S S S ++++…， 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了判断等差数列以及裂项求和的运用，属于中档题.19．如图：已知正方形ABCD 的边长为2，沿着对角线AC 将ACD V 折起，使D 到达P 的位置，且PA PB =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若M 是PC 的中点，点N 在线段PA 上，且满足直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值为6，求PN NA 的值.【答案】（1）证明见解析（2）23PNNA = 【解析】(1)利用线面垂直的判定定理证明AC ⊥平面POB ，得出POB ∠为平面P AC B --的平面角，由勾股定理证明90POB ∠=︒，即可证明平面PAC ⊥平面ABC ；(2) 建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】解：（1）取AC 的中点O ，连接OP OB ，∵PA PC =且O 为AC 的中点，∴OP AC ⊥；同理，OB AC ⊥.OP OB O =I ，,OP OB ⊂平面POB∴AC ⊥平面POB ，则有POB ∠为平面P AC B --的平面角， 又∵在POB V 中，1,2OP OB BP ===，则有222OP OB BP +=∴90POB ∠=︒， ∴平面PAC ⊥平面ABC .（2）由（1）可知，OP ⊥平面ABC ，则有OP OC ⊥，OP OB ⊥，又OB OC ⊥，则以O 为原点，,,OC OB OP 所在直线为,,x y z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系.则有，1OA OB OC OP ====，∴()()()()1,00010100001A B C P -,,,,,,,,,,， ∵M 是PC 的中点，∴M 11022⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，又设PN PAλ=，则PN PA λ=u u u r u u u r，则N 点的坐标为()0,1λλ--,，∴11,0,22MN λλ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u u r . 设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则有0PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r ， ∴取()1,1,1n =-r，∵直线MN 与平面PAB 所成角的正弦值为65， 6sin cos 5MN n MN n MN nθ⋅=<>==⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ，，解得23λ=，故23PNNA = 【点睛】本题主要考查了证明面面垂直以及已知线面角求其他等，求线面角可以采用建坐标的方式，利用向量法求解，属于中档题.20．已知：椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为,F M 为上顶点，O 为坐标原点，若OMF V 的面积为2，且椭圆的离心率为2. （1）求椭圆的方程；（2）直线l 交椭圆于,P Q 两点，当F 为PQM V 的垂心时，求PQM V 的面积.【答案】（1）22184x y +=（2【解析】(1)由OMF V 的面积以及离心率求解即可得到方程；(2)根据三角形垂心的性质得出直线PQ 的斜率，设出直线PQ 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得出PQ ，再利用点到直线的距离公式得出以PQ 为底MPQ V 的高，利用三角形面积公式求解即可.【详解】解（1）依题意可知()()00,F c M b ,,， 则122OMF S bc ==V，且2c a =，可得：2,2a b c ===，所以椭圆的方程为：22184x y +=.（2）∵F 为PQM V 的垂心，∴MF PQ PF QM ⊥⊥,由（1）知()()0220M F ,,,，∴11MF PQ k k =-=,， 设直线PQ 方程为y x t =+，()()1122,,,P x y Q x y联立22184x y y x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2234280x tx t ++-=， 可得28960t ∆=-+>，即(t ∈-， 且可得2121242833t t x x x x -+=-=，，∵PF QM ⊥，∴()()1122220PF QM x y x y ⋅=-⋅-=u u u r u u u u r，，，即12212122x x x y y y -+-，()()21212222x x t x x t t =+-++- ()()2222842233t t t t t --⎛⎫=+-⋅+- ⎪⎝⎭2321603t t +-==.解得83t =-或2t =， 当2t =时，,,P Q M 三点共线（舍去），∴83t =-， 此时12123256927x x x x +==,，PQ ==点M 到直线PQ 的距离d ==∴12MPQ S PQ d =⋅=V 【点睛】本题主要考查了根据,,a b c 的值求椭圆的方程以及利用弦长公式求三角形的面积，涉及了三角形垂心的性质、韦达定理、点到直线的距离公式，属于较难题.21．已知函数()(21f x x a alnx a R =+-∈，. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，记()f x 的最小值为M ，证明：5M e<. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】(1)讨论参数a 的值，利用导数证明单调性即可；(2)由(1)中所得的单调性得出()min f x ，构造函数()222ln g x x x x x =-+-，利用导数证明函数()g x 的单调性，利用单调性证明不等式即可. 【详解】（１）∵()f x 的定义域为()0,+?，又∵())1'1aa f x xx==∴当0a ≤时，()'0f x >，()f x 在()0,+?上单调递减；当0a >时，若()20x a∈,，()'0f x <，()f x 在()20a ,上单调递减；若()2x a ∈+∞,，()'0f x >，()f x 在()2a +∞,上单调递增.（2）∵0a >，由（1）知：()()22min 22ln f x f a aa a a ==-+-，令()222ln g x x x x x =-+-，设()()'22ln h x g x x x ==--， 由于()2'20h x x=--<恒成立， 故可知()h x 在()0,+?上单调递减，又∵122010h h e e ⎛⎫=-+>=< ⎪⎝⎭,，可知存在01x e ⎛∈ ⎝使得()000220h x x lnx =--=， ∴()00,x x ∈时，()()'0,g x g x >为增函数；()0,x x ∈+∞时，()()'0,g x g x <为减函数，即当0x x =时，()g x 取得最大值()0g x ，∵()()2220000000022211g x x x x lnx x x x =-+-=+=+-，又∵01x e ⎛∈ ⎝，∴21511M g e e ⎫<=+-==<⎪⎭. 【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数证明不等式，属于较难题. 22．已知曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换''x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得到曲线'C ，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.设A 点的极坐标为32π⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（1）求曲线'C 的极坐标方程；（2）若过点A 且倾斜角为6π的直线l 与曲线'C 交于M N ，两点，求AM AN ⋅的值. 【答案】（1）'C 的极坐标方程为：1ρ=（2）54【解析】(1) 由曲线C 的参数方程得出其普通方程，利用坐标变换得出'C 的方程，再转化为极坐标方程；(2)利用直线的参数方程的参数的几何意义求解即可.【详解】解：（1）曲线C 的普通方程为：2213x y +=， 将曲线C上的点按坐标变换''x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得到''x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入()()22''1x y +=得'C 的方程为：221x y +=.化为极坐标方程为：1ρ=.（2）点A 在直角坐标的坐标为3,02⎛⎫-⎪⎝⎭， 因为直线l 过点A 且倾斜角为6π， 设直线l的参数方程为32212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22:1C x y +=得：2504t -+=. 设M N ，两点对应的参数分别为12t t ，，则121254t t t t +==.所以1254AM AN t t ⋅==. 【点睛】 本题主要考查了参数方程与普通方程以及极坐标方程的转化、直线的参数方程参数的几何意义，属于中档题.23．已知函数()221f x m x =--，m R ∈，且102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤. （1）求m 的值；（2）若,,a b c 都为正数，且11124m a b c++=，证明：249a b c ++≥. 【答案】（1）1m =（2）证明见解析【解析】(1)由题设条件得出220m x -≥，解得m x m -≤≤，根据102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集求出m 的值；(2)将1代换为11124a b c ++，利用基本不等式证明不等式即可. 【详解】（1）由102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭得220m x -≥得m x m -≤≤， 因为102f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭的解集为{}11x x -≤≤， 所以1m =.（2）由（1）得111124a b c++=， ∴()1112442241119242424b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 当且仅当24a b c ==时，等号成立.所以249a b c ++≥成立.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式证明不等式，注意“1”的代换，属于中档题.。

【全国百强校】福建省莆田第一中学2020届高三上学期期末考试数学试题答案待公布查询试卷答案解析，微博搜索：答案家族微信搜索：高中生家族还可查询更多试卷答案！一.填空题1.设集合2{5,log (3)}A a =+，集合{,}B a b =，若{2}A B = ，则A B =2.74lim35n n n →∞+=-3.抛物线的焦点为椭圆22154x y +=的右焦点，顶点在椭圆的中点，则此抛物线的标准方程为4.二项式82x-的展开式中的常数项为5.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos 2cos b A a B c C +=-，则C ∠=6.已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为7.把函数sin y x =的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得图像上所有点向左平行移动3π个单位长度，得到的图像所表示的函数解析式为8.若0m >，0n >，1m n +=，且1t m n+（0t >）的最小值为9，则t =9.在随机抽取的9位同学中，至少有2为同学在同一月份出生的概率为（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）10.在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意*n ∈N ，都有1n n a a +≤，且对任意的*k ∈N ，数列{}n a 中恰有k 个k ，则2018a =11.已知P 为双曲线22:1916x y C -=上的点，点M 满足||1OM = ，且0OM PM ⋅= ，则当||PM取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为12.对于定义在R 上的函数()f x ，有下述命题：①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图像关于点(1,0)A 对称；②若函数(1)f x -的图像关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数；③若对x ∈R ，有(1)()f x f x -=-，则2是()f x 的一个周期；④函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像关于直线1x =对称；其中正确的命题是（写出所有正确命题的序号）二.选择题13.空间两条直线a 、b 与直线l 都成异面直线，则a 、b 的位置关系是（）A.平行或相交B.异面或平行C.异面或相交D.平行或异面或相交14.奇函数()f x 在区间[1,4]上为减函数，且有最小值2，则它在区间[4,1]--上（）A.是减函数，有最大值2-B.是增函数，有最大值2-C.是减函数，有最小值2-D.是增函数，有最小值2-15.函数||y m x =与y =在同一坐标系的图像有公共点的充要条件是（）A.m >B.m ≥C.1m >D.1m ≥16.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n ∈N ，都有11n n a a a n +=++，则122018111a a a ++⋅⋅⋅+等于（）A.20172019B.40362019C.40342019D.20182019三.解答题17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12CC AC BC ===，90ACB ∠=︒，P 是1AA 的中点，Q 是AB 的中点.（1）求证：PQ ⊥平面1B CQ ；（2）求直线1CB 与平面PCQ 所成角的大小.18.已知函数2()sin sin()2f x x x x πωωω=+⋅+（0ω>）的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间2[0,3π上的取值范围.19.已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n ∈N .（1）证明：数列{2}n n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，请说明理由.20.已知函数2|1|()4x m f x x +-=-，0m >且满足(2)2f =-.（1）求实数m 的值；（2）判断函数()y f x =在区间(,1]m -∞-上的单调性，并用单调性的定义证明；（3）若关于x 的方程()f x kx =有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.21.已知圆C 过定点(0,1)A ，圆心C 在抛物线22x y =上，M 、N 为圆C 与x 轴的交点.（1）求圆C 半径的最小值；（2）当圆心C 在抛物线上运动时，||MN 是否为一定值？请证明你的结论；（3）当圆心C 在抛物线上运动时，记||AM m =，||AN n =，求m nn m+的最大值，并求此时圆的方程.。

2020年福建莆田市高中毕业班教学质量检测理科数学试卷数学（理科）试题本试卷分Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}lg 1A x y x ==+，{}220B x x x =+-<，则A B =I （ ）A. {}11x x -<< B. {}12x x -<<C. {}21x x -<<-D. {}21x x -<<【答案】A 【解析】 【分析】计算{}1A x x =>-，{}21B x x =-<<，再计算A B I 得到答案.【详解】(){}{}lg 11A x y x x x ==+=>-，{}{}22021B x x x x x =+-<=-<<，故{}11A B x x ⋂=-<<. 故选：A .【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力. 2.若i •z ＝1﹣2i ，则|z |＝（ ）A.B.C. 3D. 5【答案】B【解析】 【分析】首先利用复数的运算法则进行化简，然后再进行复数模的运算即可. 【详解】Q 12i z i =-g ，∴z ()()212122i i i i i i---===---，∴z = 故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算以及模的运算，属于基础题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++，,,,a b c d R ∈，()()22ac bd bc ad ia bi c di c d++-+=++，,,,a b c d R ∈.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a bi +(),a b R ∈的实部为a 、虚部为b 、共轭复数为a bi -. 3.若0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 2425B. 725C. 725-D. 2425-【答案】A 【解析】 【分析】根据范围计算得到3sin 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin 22sin cos 366πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，计算得到答案.【详解】0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故2,663πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，4cos 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3sin 65πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 24sin 22sin cos 36625πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A .【点睛】本题考查了二倍角公式，同角三角函数关系，意在考查学生的计算能力.4.函数()22sin 1x x x f x x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】判断函数为奇函数排除AB ，计算06f π⎛⎫>⎪⎝⎭排除C ，得到答案. 【详解】()22sin 1x x x f x x -=+，()()22sin 1x x xf x f x x -+-==-+，函数为奇函数，排除AB . 2216260616f ππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，排除C . 故选：D .【点睛】本题考查了根据函数解析式选择图像，判断函数的奇偶性是解题的关键.5.甲、乙、丙、丁四名志愿者去A ，B ，C 三个社区参与服务工作，要求每个社区至少安排一人，则不同的安排方式共有（ ） A. 18种 B. 36种 C. 72种 D. 81种【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法将四人分为三组有246C =种，再全排列336A =种，计算得到答案.【详解】利用捆绑法将四人分为三组：246C =种，再全排列336A =种，故有6636⨯=种不同的安排方式.故选：B .【点睛】本题考查了排列组合中的捆绑法，意在考查学生的应用能力.6.高斯函数[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]22=，[]1.91=，[]3.64-=-.执行下边的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C 【解析】 分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】程序框图依次计算：1,1S n ==；1,2S n ==；2,3S n ==；3,4S n ==，结束. 故选：C .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的理解能力和计算能力.7.函数()3ln f x x ax =+的图象在点()1,(1)P f 切的切线分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，则a =（ ）A. 32-B. 14-C.14D.32【答案】B 【解析】 【分析】求导得到()21'3f x ax x =+，计算切线方程为()()131y a x a =+-+，故12,013a A a +⎛⎫⎪+⎝⎭，()0,12B a --，【代入向量计算得到答案.【详解】()3ln f x x ax =+，()21'3f x ax x=+，故()'113f a =+，()1f a =，()1,P a ， 故切线方程为：()()131y a x a =+-+，故12,013a A a +⎛⎫⎪+⎝⎭，()0,12B a --. 2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，即()122,2,1213a a a a+⎛⎫=--⎪+⎝⎭，解得14a =-. 故选：B .【点睛】本题考查了切线方程，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 8.已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象关于直线x 56π=对称，且7012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.当ω取最小值时，φ＝（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】 【分析】由正弦函数的对称轴和对称中心并结合正弦函数的图象，求得ω取最小值时，然后利用7012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ的值.【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+()0,0ωϕπ><<的图象关于直线56x π=对称，且7012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω取最小时，12574612πππω=-g， 可得2ω=，可得()()sin 2f x x ϕ=+， 再根据7012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 可得7212k πϕπ+=g，k Z ∈，求得76k πϕπ=-，k Z ∈， 因为0ϕπ<<， 所以56πϕ=， 故选：D.【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，主要考查函数的对称性和周期性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法，属于中档题．9.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，y 轴被以AB 为直径的圆所截得的弦长为6，则AB =（ ） A. 5 B. 7C. 10D. 14【答案】C 【解析】 【分析】故设直线AB 为()1y k x =-，设()11,A x y ，()22,A x y ，计算得到AB 中点的横坐标为221k +，22242k AB k +=+，根据22222312AB k ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算得到答案. 【详解】抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ，易知当斜率不存在时不成立，故设直线AB 为()1y k x =-，设()11,A x y ，()22,A x y .则()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，即()2222240k x k x k -++=，故212224k x x k ++=， 故AB 中点的横坐标为21222242122x x k k k ++==+，2122242k AB x x p k+=++=+. 故22222312AB k ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得223k =，故2224210k AB k +=+=. 故选：C .【点睛】本题考查了抛物线中的弦长问题，直线和圆的位置关系，意在考查学生的转化能力和计算能力. 10.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2PA AB BC ===，PB 与平面PAC 所成的角为30°，则球O 的表面积为（ ） A. 6π B. 12πC. 16πD. 48π【答案】B 【解析】 【分析】取AC 中点D ，连接,BD PD ，证明BD ⊥平面PAC ，故DPA ∠为PB 与平面PAC 所成的角为30°，球心O 在平面ABC 的投影为ABC ∆的外心D ，计算得到答案.【详解】取AC 中点D ，连接,BD PD ，2AB BC ==，则BD AC ⊥.PA ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，故PA BD ⊥.PA AC A =I ，故BD ⊥平面PAC ，故DPB ∠为PB 与平面PAC 所成的角为30°.PB =BD =，PD =AC =2ABC π∠=.球心O 在平面ABC 的投影为ABC ∆的外心D ， 根据OA OP =知，112OD AP ==，故2223R OD AD =+=， 故球的表面积为2412R ππ=. 故选：B .【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，确定球心O 在平面ABC 的投影为ABC ∆的外心D 是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的左支交于P ，Q 两点，若212PF F F =，且1132PF QF =，则C 的离心率为（ ） A.32B. 75C.53D. 2【答案】B 【解析】 【分析】计算得到2122PF F F c ==，122PF c a =-， ()13QF c a =-，23QF c a =-，根据1212cos cos PF F QF F ∠=-∠，利用余弦定理得到2251270c ac a -+=，计算得到答案.【详解】2122PF F F c ==，故12222PF PF a c a =-=-，1132PF QF =，故()13QF c a =-，故2123QF a QF c a =+=-.根据余弦定理222112212112cos 2PF F F PF PF F PF F F +-∠=⋅，222112212112cos 2QF F F QF QF F QF F F +-∠=⋅，1212cos cos PF F QF F ∠=-∠，化简整理得到：2251270c ac a -+=，即251270e e -+=，解得75e =或1e =（舍去）. 故选：B .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.设函数()()1x af x a x a =->的定义域为(0,)+∞，已知()f x 有且只有一个零点.下列四个结论：①a e =； ②()f x 在区间()1,e 单调递增；③x e =是()f x 的零点； ④1x =是()f x 的极大值点，()f e 是()f x 的最小值. 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】取()0x af x a x =-=，即x a a x =，两边取对数ln ln x a a x =，设()ln xh x x=，求导画出函数图像，计算a e =，故()1'x e f x e ex -=-，画出函数11x y e -=-和ln y x =的图像，根据图像得到函数单调性，依次判断每个选项得到答案.【详解】取()0x af x a x =-=，即x a a x =，两边取对数ln ln x a a x =，即ln ln a xa x =有且只有一个解，设()ln x h x x =，()21ln 'x h x x -=. 函数()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，画出函数图像，如图所示： 故ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或01a <<（舍去），故a e =，①正确； ()x e f x e x =-，()0f e =，③正确，()1'x e f x e ex -=-，取()10'x e f x e ex -==-，即1x e e ex -=，两边取对数()11ln x e x =+-，画出函数11x y e -=-和ln y x =的图像， 根据图像知： 当()1,x e ∈时，1ln 1x x e -<-，故()10'x e f x e ex -<=-，函数()f x 单调递减； 当()0,1x ∈或(),x e ∈+∞时，()10'x e f x e ex ->=-，函数()f x 单调递增.故②错误，④正确. 故选：C .【点睛】本题考查了利用导数求参数值，函数的单调性，极值，零点问题，意在考查学生的综合应用能力.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.13.已知非零向量a r ，b r 满足4a b =v v，且()2a b b -⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为__________.【答案】3π 【解析】 【分析】根据()2a b b -⊥r r r 得到()22cos 20a b b a b b θ-⋅=⋅-=r r r r r r ，计算得到答案.【详解】()2a b b -⊥r r r ，故()2222cos 20a b b a b b a b b θ-⋅=⋅-=⋅-=r r r r r r r r r ，故1cos 2θ=，即3πθ=.故答案为：3π. 【点睛】本题考查了向量夹角的计算，意在考查学生的计算能力.14.设,x y 满足约束条件10,-203x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2y z x =+的最大值为__________. 【答案】45【解析】 【分析】画出可行域，2yz x =+表示点(),x y 和()2,0-之间的斜率，根据图像得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域，2yz x =+表示点(),x y 和()2,0-之间的斜率.根据图像知：当3,4x y ==时，2y z x =+有最大值为45.故答案为：45.【点睛】本题考查了线性规划问题，将2yz x =+表示为两点的斜率是解题的关键. 15.已知函数()22,1,45,1,x x f x x x x ⎧<=⎨-+>⎩且()5f a =，则()2f a -=__________【答案】14【解析】 【分析】讨论1a <和1a >两种情况，分别计算得到4a =，再代入计算得到答案.【详解】当1a <时，()25af a ==，2log 51a =>，不成立；当1a >时，()2455f a a a =-+=，4a =或0a =（舍去）；综上所述：4a =，()()1224f a f -=-=. 故答案为：14. 【点睛】本题考查了分段函数求参数和函数值，意在考查学生的计算能力.16.ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c .已知()cos cos 0c B b A B ++=，BD 是AC 边上的中线，且1BD =，则ABC V 面积的最大值为__________. 【答案】23【解析】 【分析】根据正弦定理计算得到B C =，设2AB x =，则AD DC x ==，A θ∠=，根据余弦定理得到2251cos 4x xθ-=，故2225169994x S ⎛⎫--+⎪⎝⎭=，计算得到答案. 【详解】()cos cos 0c B b A B ++=，即cos cos c B b C =，即sin cos sin cos C B B C =， 故()sin 0B C -=，(),B C ππ-∈-，故B C =. 设2AB x =，则AD DC x ==，A θ∠=，在ABD ∆中：根据余弦定理，222144cos x x x θ=+-，即2251cos 4x xθ-=. 122sin 2S x x θ=⋅⋅，故()2242242445169251019941cos 41164x x x S x x x θ⎛⎫--+ ⎪⎛⎫-+⎝⎭=-=-= ⎪⎝⎭，当259x =，即3x =，面积有最大值为23. 故答案为：23. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（60分）17.设{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ⋅已知1a ，2a ，5a 成等比数列，525S =. （1）求{}n a 的通项公式;（2）设(1)2n a n n bn a =-+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）22222433n n T n =+⋅-【解析】 【分析】（1）根据题意得到()()21114a d a a d +=+，5151025S a d =+=，计算得到答案.（2）()21(1)212n n bn n -=--+，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）1a ，2a ，5a 成等比数列，故1225a a a =，即()()21114a d a a d +=+.5151025S a d =+=，解得1a 1,d 2==，故21n a n =-.（2）()21(1)2(1)212n a n n n n bn a n -=-+=--+.()22214221357 (43412241433)n n n n n n T -=-+-++--+-+=+⋅--.【点睛】本题考查了数列的通项公式，前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 18.如图，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，2AB AC ==，PA = PB PD =.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）若PA AC ⊥，点M 在棱PC 上，且BM MD ⊥，求二面角B AM C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】（1）连接BD 与AC 相交于E ，根据PE BD ⊥，AC BD ⊥得到BD ⊥平面PAC ，得到证明. （2）以,,AN AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设(,,),,01M a b M c P PC λλ=≤≤u u u u r u u u r，根据BM MD ⊥得到1(22M ，计算平面ABM的法向量为n =r ，平面ACM的法向量为3,0)m =-u r，计算夹角得到答案.【详解】（1）如图所示：连接BD 与AC 相交于E ， PB PD =，故PE BD ⊥，四棱锥P ABCD -的底面是菱形，故AC BD ⊥，AC PE E =I ，故BD ⊥平面PAC ，PD ⊂平面ABCD ，故平面PAC ⊥平面ABCD .（2）PA AC ⊥，故PA ⊥平面ABCD ，取BC 中点N ，连接AN ，故AN AD ⊥. 以,,AN AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则1,0),(0,2,0),(0,0,B D C P -，设(,,),,01M a b M c P PC λλ=≤≤u u u u r u u u r，(,,a b c λ∴-=-，解得a =，b λ=，c =. ,,)M λ∴-，1,,)BM λ=+u u u u r，),DM λ=-u u u u r ，BM DM ⊥u u u u r u u u u r，故(1)(2))0BM DM λλ⋅=-++-+=u u u u r u u u u r，解得12λ=或54λ=（舍去），122M ∴. 设平面ABM法向量为(),,n x y z =r，则1020n AM x y n AB y ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩u u u u v r u u u v r，取x n ==r ， 设平面ACM 的法向量为(),,m a b c =u r，则10220m AM a b m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩u u u u v v u u u v v，取a =3,0)m =-u r ， 设二面角B AM C --的平面角为θ，则cos m n m nθ⋅===⋅u r r ur r .【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.莆田市是福建省“历史文化名城”之一，也是旅游资源丰富的城市.“九头十八巷”、“二十四景”美如画.某文化传媒公司为了解莆田民众对当地风景民俗知识的了解情况，在全市进行网上问卷（满分100分）调查，民众参与度极高.该公司对得分数据X 进行统计拟合，认为X 服从正态分布()63,144N .（1）从参与调查的民众中随机抽取200名作为幸运者，试估算其中得分在75分以上（含75分）的人数（四舍五入精确到1人）；（2）在（1）的条件下，为感谢参与民众，该公司组织两种活动，得分在75分以上（含75分）的幸运者选择其中一种活动参与.活动如下：活动一 参与一次抽奖.已知抽中价值200元的礼品的概率为34，抽中价值420元的礼品的概率为14；活动二 挑战一次闯关游戏.规则如下：游戏共有三关，闯关成功与否相互独立，挑战者依次闯关，第一关闯关失败者没有获得礼品，第二关起闯关失败者只能获得上一关的礼品，获得的礼品不累计，闯关结束.已知第一关通过的概率为12，可获得价值300元的礼品；第二关通过的概率为13，可获得价值800元的礼品；第三关通过的概率为14，可获得价值1800元的礼品.若参与活动的幸运者均选择礼品价值期望值较高的活动，该公司以该期望值为依据，需准备多少元的礼品？ 附：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=【答案】（1）32；（2）8800 【解析】 【分析】（1）计算得到63μ=，12σ=，故()750.1587P X >=，计算得到答案.（2）计算()1255E Y =，活动二2Y 的取值可能有0，300，800，1800，计算概率得到分布列，得到()2275E Y =，计算得到答案.【详解】（1）X 服从正态分布()63,144N ，则63μ=，12σ=，()()51750.6826P X P X μσμσ-<<+=<<=，故()10.6826750.15872P X ->==，故人数为0.158720032⨯≈. （2）活动一的数学期望为：()13120042025544E Y =⨯+⨯=； 活动二2Y 的取值可能有0，300，800，1800， 故()2102p Y ==，()2121300233p Y ==⨯=，()211318002348p Y ==⨯⨯=， ()21111180023424p Y ==⨯⨯=.分布列为：.故()211110300800180027523824E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. ()()12E Y E Y <，故需要准备275328800⨯=元礼物.【点睛】本题考查了正态分布，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知12,F F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在E 上.有以下三个条件：①12F F =P的坐标为⎝⎭；③12PF PF ⊥且122PF PF ⋅=. （1）从三个条件中任意选择两个，求E 的方程；（2）在（1）的条件下，过点()4,0M -的直线l 与E 交于A ，B 两点，B 关于坐标原点的对称点为C ，求ABC V 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2 【解析】 【分析】（1）取条件①和②，则c =，22243199a b+=，解得答案. （2），设直线方程为4x my =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()22,C x y --，联立方程得到12284my y m+=+，122124y y m =+，ABC S ∆=，设t ，故21616ABC t t S ∆=+，利用均值不等式得到答案. 【详解】（1）取条件①和②，则c =，22243199a b +=，解得2,1a b ==，故椭圆方程为2214x y +=.（2）易知直线斜率不为0，设直线方程为4x my =-，()11,A x y ，()22,B x y ，()22,C x y --，故22144x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，即()2248120m y my +-+=，12284m y y m +=+，122124y y m =+.1212122||42ABC AOB S S OM y y y y ∆∆==⨯⋅⋅=-=2164m ==+，设t =，0t >，故2161616216168ABC t S t t t∆==≤=++.当且仅当4t =，即m =±>0∆成立，故面积最大值2.【点睛】本题考查了椭圆方程，面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 21.已知函数()cos sin 2sin xx xf x x e-=+，()()sin cos sin cos x g x x x e x x =-++. （1）求()f x 在区间()0,2π的极值点；（2）证明：()g x 在区间[]2,2ππ-有且只有3个零点，且之和为0. 【答案】（1）2x π=或32x π=；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导取()21cos '()0x xe xf x e -==，得到2x π=或32x π=，再根据单调性得到极值点. （2）化简得到1tan tan 1tan 4xx e x x π+⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭，得到若0x 是方程的根据，那么0x -也是方程的根，画出函数x y e =和tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，根据图像得到答案.【详解】（1）()cos sin 2sin x x xf x x e -=+，则()21cos '()x xe xf x e -=，取()21cos '()0x xe xf x e -==，则2x π=或32x π=. 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0f x >，函数单调递增；当3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'()0f x <，函数单调递减； 当3,22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'()0f x >，函数单调递增，故极值点为2x π=或32x π=.（2）()()sin cos sin cos 0xg x x x e x x =-++=，故()00g =.()()sin cos sin cos 0x g x x x e x x =-++=，即1tan tan 1tan 4xx e x x π+⎛⎫==+ ⎪-⎝⎭，735,,,4444x ππππ≠--，1tan tan 41tan x xx e x π--⎛⎫∴-== ⎪+⎝⎭，735,,,4444x ππππ≠--.若0x 是方程的根，那么0x -也是方程的根，故零点之和为0.画出函数xy e =和tan 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，如图所示： 根据图像知函数图像有三个交点，故()g x 在区间[]2,2ππ-有且只有3个零点. 综上所述：()g x 在区间[]2,2ππ-有且只有3个零点，且之和为0.【点睛】本题考查了函数的极值点，零点问题，画出函数图像是解题的关键，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.（二）选考题：共10分.请考生在第2、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.在直角坐标系xOy 中，已知直线l 过点P （2，2）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ﹣ρcos 2θ﹣4cos θ＝0. （1）求C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 交于A ，B 两点，求PA PB PA PB-⋅的最大值.【答案】（1）24y x =；（2 【解析】 【分析】（1）把曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，即可求出曲线C 的极坐标方程；（2）由已知直接写出直线l 的参数方程，把直线l 的参数方程代入曲线C 的极坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t 的几何意义求解.【详解】（1）曲线C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρρθθ--=，两边同时乘以ρ，得222cos 4cos 0ρρθρθ--=，把互化公式代入可得：22240x y x x +--=，即24y x =，所以C 的直角坐标方程为y 2＝4x.（2）设直线l 的倾斜角为α()0α≠，可得参数方程为：22x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入抛物线方程可得：()22sin 4sin 4cos 40t t ααα+--=，则12244cos sin t t sin ααα-+=，1224t t sin α=-＜0， ∴1212cos sin PA PB t t PA PBt t αα-+==-⋅4πα⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭当且仅当34πα=时，等号成立， ∴PA PB PA PB-⋅.【点睛】1.极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程；2.经过点()00,P x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为1t ，2t ，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到：（1）1202t t t +=； （2）1202t tPM t +==；（3）21AB t t =-；（4）12PA PB t t =g g.23.已知f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +2|. （1）求不等式f （x ）≤5的解集；（2）若x ∈[﹣1，+∞）时，f （x ）≥kx +k ，求k 的取值范围. 【答案】（1）423x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）5,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）可先将()f x 写成分段形式，从而求得解集；（2）1x =-时，()10f ≥成立；()1,x ∈-+∞时，+10x >，()f x kx k ≥+等价于()1f x k x ≤+，令()()1f x h x x =+，故()m x i k h x ≤即可，从而求得答案. 【详解】（1）由()212f x x x =-++， 不等式()5f x ≤等价于2125x x -++≤，可化为22125x x x ≤-⎧⎨-+--≤⎩，或1222125x x x ⎧-⎪⎨⎪-+++≤⎩＜＜ 或122125x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≤⎩； 解得423x -≤≤， 所以不等式()5f x ≤的解集是423x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭； （2）当1x =-时，()140f =≥成立，k ∈R ；当112x -<<时，()3f x x =-+，所以()+31x k x -≥+， 即34111x k x x -≤=-++，所以53k ≤； 当12x ≥时，()3f x x =+，所以()3+11x k x ≥+，即k 312311x k x x +≤=-++，所以53k ≤； 综上知，k 的取值范围是5,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】1.求解绝对值不等式的步骤：（1）求零点；（2）划区间，去绝对值符号；（3）分别解去掉绝对值符号的不等式；（4）取每个结果的并集，注意在分段讨论时，不要遗漏区间的端点值. 2.绝对值不等式有解问题的求解思路：（1）分离参数：根据不等式，将参数分离化为()a f x ≥或()a f x ≤的形式； （2）转化为最值问题：()f x a ≥恒成立⇔()min f x a ≥，()f x a ≤恒成立⇔()min f x a ≤； （3）得结论.。