2012年高中自主招生考试数学模拟试卷

2012年余姚中学自主招生考试数学模拟卷（一）（考试时间90分钟，总分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每一小题给出四个选项中，有且仅有一个选项是符合题目要求．)1．下列命题：①有两边及一边的对角对应相等的两个锐角三角形全等；②有两边及一边的对角对应相等的两个直角三角形全等；③有两边及一边的对角对应相等的两个钝角三角形全等其中正确的说法是（ ）A 、①②B 、②③C 、②D 、①②③2．已知n 是正整数，下列代数式中，哪一个代数式的值可能是某个自然数的平方（ ） A 、2612n n ++ B 、2712n n ++ C 、2812n n ++ D 、 21526n n ++3．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，这些取法中， 以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m, 则nm的值为（ ） A 、101 B 、51 C 、103 D 、52 4．已知关于x 的不等式组230320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A 、23≤a ≤32 B 、43≤a ≤32 C 、43＜a ≤32 D 、43≤a ＜325．已知函数2,0,,0x x y x x -≤⎧=⎨>⎩ ，若4y =，则数x 值为（ ）A 、—4或—2B 、 —4或2C 、—2或4D 、—2或26．某彩电厂家为了打开市场,促进销售,准备对其生产的某种型号的彩电降价销售,在下面四种降价方案中, 当满足a>0,b>0,a≠b 时,降价幅度最小的是( ) A 、 先降价a%,再降价b% B 、 先降价b%,再降价a% C 、先降价2a b +%,再降价2a b+ % D 、一次性降价(a+b)% 7．先阅读，后填空：在逻辑学中：当命题“若 A 则 B ”为真时，A 称为 B 的充分条件；当命题“若 B 则 A ”为真时，A 称为 B 的必要条件；当命题“若 A 则 B ”与“若 B 则 A ”皆为真时，A 是 B 的充分必要条件，同时，B 也是 A 的充分必要条件； 当命题“若 A 则 B ”为真，而“若 B 则 A ”为假时，我们称 A 是 B 的“充分但非必要条件”，B 是A 的“必要但非充分条件”；反之亦然. 命题“a>1”是命题“11a<”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既非充分也非必要条件 8．当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点及抛物线上一点P 组成以P 为直角顶点的直角三角形时，点P 的纵坐标( )A 、只与a 有关B 、只与b 有关C 、只与c 有关D 、与a 、b 、c 均有关9． 如图1, CD 是RT △ABC 斜边上的高，如图2, 正方形CDEF 是 RT △ABC 的内接正方形，如图3, CD 是△ABC 的角平分线且∠ACB=120°，在图1、图2、图3三个图形中，满足111AC BC CD+=的有（ ）A 、图1、图2B 、图2、图3C 、图1、图3D 、图1、图2、图310． 如图4，直线43y x =与双曲线ky x=（0x >）交于点A ． 将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线ky x=（0x >） 交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BCAO，则k 的值为（ ） A 、4 B 、8 C 、9 D 、12二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．用[x ]表示不大于x 的最大整数，如[4.1]=4，[-2.5]= -3，则方程6x -3[x ]+7=0的解是 . 12.已知a 是方程3210x x +-=的一个实数根，则函数1y ax a =-+的图像不经过第 象限. 13．线段a x y +-=21（1≤x ≤3），当a 的值由-1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为__________________． 14．已知，直线y=34x+4与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，若将△ABC 沿AC 折叠，使点B 恰好落在x 轴上的点D 处，则点C 的坐标是 ．15．将一正五边形纸片沿其对称轴对折．旋转放置，做成科学方舟模型．如图所示，该正五边形的边心距OB 长为2，AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，则1AC AB += ．ABD图1 图2图3图416． 如图，M 是弧CAB 的中点，MP 垂直弦AB 于P,若弦AC 的长度为x ，线段AP 的长度是x+1，则用含x 的代数式表示线段BP= .17．已知A 为直线y =B 为（1，0）、点C 为（7，0），D 为平面内一点，当以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是有三边相等的等腰梯形时，则点D 的坐标为 .三、解答题(本大题共52分)18. （本题10分） 有一列数123,,,,n a a a a ，满足下列条件：10a =，211a a =+，3211,,1n n a a a a -=+=+ .求证：123,,,,n a a a a 这n 个数的算术平均数不小于12-.19. （本题10分）证明不等式：22222()()()a b c d ac bd ++≥+，并利用此不等式求函数y =20．（本题10分）已知，如图，AB=BM,AC=CN,P 是A 关于BC求证：PA 是∠NPM 的平分线.21．（本题10分）求出所有正整数a,使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根.22．（本题12分）已知点P 是抛物线2y x =上一点，过点M （0，2M ，（1）过点P 作⊙M 的两条切线1l 、2l ，若1l ⊥2l ，求点P 的坐标；（2）若过点Q(2,4)的直线l 与抛物线2y x =只有一个公共点时，求出点M 与直线的距离.P参考答案1．A 提示：对于①可作高，再证全等，②显然成立，对于③可举反例说明不成立.2.D 提示：因为2(3)n +<2612n n ++<2712n n ++<2812n n ++<2(4)n +，所以A 、B 、C 均不成立 而2(5)n +<21526n n ++<2(8)n +，若21526n n ++=2(6)n +，3n=10，n 不为整数； 若21526n n ++=2(7)n +，n=23，21526n n ++=230. 3．B 提示：共10种情况，边长为2，3，5或2，4，5时，组成的三角形为钝角三角形. 4．B 提示：取a =32、43验证. 5.B 提示：若0x ≤，4x -=，4x =-；若0x ＞，24x =，2x =±，0,2x x ∴= ＞. 6.C 提示：设降价前彩电的价格为1,降价后的彩电价格依次为x 1、x 2、x 3、x 4 则x 1=(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%·b%, x 2=(1-b%)(1-a%)=x 1,()()()()241231312324%%1a b % a b %,x 1a b %1a b %a%b%x x ,x x a%b%0,x x x x 111224%.%2a b a b x a b ++⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝=-+++⎡⎤⎣⎦=-+<-++⎭⎝⎭+⎛⎫- ⎪==-=>∴>=⎝>⎭7.B8． A 提示：P 的纵坐标为1a- 9．B10.D 提示：过A 作AD 垂直x 轴于D ，过B 作BE 垂直于x 轴于E,由题意有△OAD ∽△CBE,设CE=a ，BE=b,故OD=2a ，AD=2b,故A （2a ，2b ）、B （9/2+a ，b ）,故有2b=k/(2a)，b=k/(9/2+a),解得a=3/2,又A 在43y x =上，故b/a=4/3，所以k=4ab=4a ·b/a=12 11.利用x-1＜[x ]≤x ，求得107,33x -<≤-[x ]= 3-或4-，x=81936--或 12.用描点法画出3210x x +-=草图，可知0＜a ＜1，再画出1y ax a =-+草图，可看出函数1y ax a =-+的图像必定不经过第四象限13. 6 14.3(,0)2-或（6，0） 15.设正五边形边长为a ，面积为s ，则111252222s a a AC a AB =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯，得152AC AB += 16.过M 画AB 的平行弦MN 过N 作AB 的垂线交AB 于Q ，易证PQ=x ，QB=AP=x+1，BP=2x+117．分类讨论，11(2、、(1,-、(10,- 18.证明：∵10a =，211a a =+，3211,,1n n a a a a -=+=+ ， ∴22222221211322110,21,21,,21n n n a a a a a a a a a a --==++=++=++ ， ∴222222121211212221n n n a a a a a a a a a n --+++=+++++++- ，∴212(1)122n n a a a a n n ++++=- ≥12-，1n a =-时取等号. 19．证明：∵222222()()()()0(,.) a b c d ac bd da bc ad bc ++-+=-≥=当且仅当时等号成立，∴22222()()() a b c d ac bd ++≥+(,.)ad bc =当且仅当时等号成立 函数y =x 的取值范围为1≤x ≤6，2222222211]]3515y [y 15.y 00y .81x 3.=⨯⨯∴>∴<=++==∴==≤≤由题意知即时等号成立20.提示：易证，点A 、M 、P 在以点B 为圆心的圆上，∴∠APM=12∠ABM ，同理∠APN=12∠ACN ，易证∠CNA=∠BAC=∠AMB,从而∠BNC=∠BMC, 点B 、N 、M 、C 四点共圆，得∠ABM=∠ACN ，从而∠APM=∠APN21.由原方程知x ≠-2，不妨将方程整理成关于a 的一元一次方程2(44)212x x a x ++=+ 得22121(2)x a x +=≥+（因为a 是正整数），则得(4)(2)0x x +-≤，解得42x -≤≤,因此，x 只能 -4，-3，-1，0，1，2.，分别代入a 的表达式，故所求的正整数a 是1，3，6，10.22．（1）易证点P 、M 和两个切点组成的四边形是正方形，从而PM=2，设P 坐标为（2,t t ），则2242(2)2t t +-=，t =P 的坐标为（0，0）、）、（）；（2）若直线l 平行与y 轴，直线l 即x=2，此时点M 与直线l 的距离为2；若直线l 不平行与y 轴，可求得直线l 为44y x =-，易求得点M 与直线l.。

2012年五中初三数学高中自主招生考试模拟试卷（满分：100；时间：90分钟） 一、选择题（每小题4分，共16分）1.已知x 是1的相反数，则x 的绝对值为（ ） A.1 B.-1 C.2012 D.-20122.下列四个多项式：①22b a +-；②22y x --；③2)1(1--a ；④222n mn m +-，其中能用平方差公式分解因式的有（ ）A. ①②B. ①③C. ②④D. ②③ 3.在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是（ ）4.如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，OC 是⊙O 的半径，∠ABC =15°，那么∠OCA 的度数是（ ） A ．75° B ．72° C ．70° D ．65° 二、填空题（每小题3分，共24分）5.计算：432)2(a a a ÷⋅=6.如果点(12)P m m -，在第四象限，那么m 的取值范围是 . 7.实数a 在数轴上的位置如图所示， 化简：|1|a -=8.上海世博会主题馆安装有目前世界上最大的太阳能板，其面积达30 000平方米，这个数据用科学记数法表示为_ _ 平方米．9.口袋里只有红球、绿球和黄球若干个，这些球除颜色外，其余都相同，其中红球4个，绿球6个，又知从中随机摸出一个绿球的概率为52，那么，随机从中摸出一个黄球的概率为 . 10.若圆锥的母线长为４cm ，其侧面展开图的面积212cm π，则圆锥底面半径为 cm ．11.如图11，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，若AD ＝4cm ，则OE 的长为 cm ．12. 若a b c t b c c a a b===+++，则一次函数2y tx t =+的图象必定经过的象限是（ ） （A ）第一、二象限 （B ）第一、二、三象限 （C ）第二、三、四象限 （D ）第三、四象限三、解答题（共60分）13．（6分）先化简，再求值：22122 121x x x x xx x x ---⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x 满足x 2-x-1=0.（第4题图） 正方体 长方体 圆柱 圆锥 A .B .C .D . -112aD 图11ECBA O14．（6分）为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计， 发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成如下两幅不完整的统计图：（1）求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；（2）某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率。

2012年温州中学自主招生数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1.使x z z y y x ---,,都有意义的实数组(),,x y z （ ）A ．存在且有无限多组B ．存在有限组C ．一定不存在D ．无法确定是否存在 2. 如图所示，直线1l ，2l ，3l 表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 A ．1处 B ．2处 C ．3处 D ．4处3. 下列函数中和函数1y =的图像关于y 轴对称的（ ） A.11y x =+ C.11y x =- D.11y x =-4. 小明、小联、小豪人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏。

每一局三人同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势。

则小明只赢一人的概率为（ ） A.29 C. 227 D. 4275. 若030α<<，则sin ,cos ,tan ,ααα的大小关系是（ ）A.sin cos tan ααα<<B.sin tan cos ααα<<C. tan sin cos ααα<<D.tan cos sin ααα<< 6. 三角形三条高线之比为20:15:12，则这三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．形状不能确定7. 对于满足2x ≤的所有实数x ，使不等式212p px p x ++>+恒成立，则p 的取值范围为（ ）A ．1p ≠B ．1p >或1p <-C ．3p >或1p <-D ．3p >或1p < 8. 定义函数[[]]y x x =⋅，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[][]1.51, 1.32=-=-。

2012年浙江省宁波市余姚中学自主招生数学模拟试卷（三）一、选择题：1．（3分）求和：＝（）A．B．C．D．2．（3分）在直角坐标平面中，已知点P（a，b）（|a|≠|b|），设点P关于直线y＝x的对称点为Q，点P关于原点的对称点为R，则△PQR的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3．（3分）设△ABC中，边BC上一点D满足BC：CD＝4，边CA上一点E满足CA：AE ＝5，边AB上一点F满足AB：BF＝6，那么△DEF的面积：△ABC的面积＝（）A．37：60B．61：120C．59：120D．23：604．（3分）若实数a、b、c满足a+b+c＝0，abc＝2，c＞0，则下列正确的是（）A．ab＜0B．|a|+|b|≥2C．|a|+|b|＞4D．0＜|a|+|b|≤1 5．（3分）如图，正方形OPQR内接于△ABC．已知△AOR、△BOP和△CRQ的面积分别是S1＝1，S2＝3和S3＝1，那么，正方形OPQR的边长是（）A．B．C．2D．36．（3分）某同学用牙膏纸盒制作一个如图所示的笔筒，笔筒的筒底为长4.5厘米，宽3.4厘米的矩形．则该笔筒最多能放半径为0.4厘米的圆柱形铅笔（）A．20支B．21支C．22支D．25支7．（3分）如图，在正方形纸片ABCD中，E为BC的中点．折叠正方形，使点A与点E重合，压平后得折痕MN．设梯形ADMN的面积为S1，梯形BCMN的面积为S2，则的值为（）A．B．C．D．8．（3分）任意选择一对有序整数（b，c），其中每一个整数的绝对值小于或等于5，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的．方程x2+bx+c＝0没有相异正实根的概率是（）A．B．C．D．9．（3分）已知a，b，c是正整数，且抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A，B，若A，B到原点的距离都小于1，则a+b+c的最小值为（）A．8B．9C．10D．1110．（3分）如图Rt△ABC中有两种作内接正方形的方法．图（1）作的内接正方形面积为441，（2）中作的内接正方形的面积为440，则AC+BC的值为（）A．456B．458C．460D．462二．填空题11．（3分）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE＝10，则CE的长为．12．（3分）如图，相离的两个圆⊙O1和⊙O2在直线l的同侧．一条光线跟⊙O1相切射向l 后反射，反射线又跟⊙O2相切，则满足条件的光线共有条．13．（3分）设实数a、b、c满足＝|++|，则函数y＝ax2+bx+c的图象一定经过一个定点，那么这个定点的坐标是．14．（3分）设函数f（x）＝x3+（2+2a﹣a2）x﹣2a（a+1），a为实数．如果关于x的方程f （x）＝0有三个整数根，则实数a的所有值为．三、证明和计算题15．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE的延长线与大圆交于点B，点D 在大圆上，BD与小圆相切于点F，AF的延长线与大圆相交于点C，且CE⊥BD．找出图中相等的线段并证明．16．min{s1，s2，…，s n}，max{s1，s2，…，s n}分别表示实数s1，s2，…，s n中的最小者和最大者．（1）作出函数f（x）＝|x+3|+2|x﹣1|（x∈R）的图象；（2）在求函数f（x）＝|x+3|+2|x﹣1|（x∈R）的最小值时，有如下结论：f（x）min＝min{f （﹣3），f（1）}＝4．请说明此结论成立的理由；（3）仿照（2）中的结论，讨论当a1，a2，…，a n为实数时，函数f（x）＝a1|x﹣x1|+a2|x ﹣x2|+…+a n|x﹣x n|（x∈R，x1＜x2＜…＜x n∈R）的最值．17．菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q．求证：MQ∥NP．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣x﹣10与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C 两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当0＜t＜时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．。