滤波反投影法

反投影重建算法
反投影重建算法（FBP）是一种计算机断层扫描成像（CT）重建图像
的方法。

该算法基于通过旋转体与X射线束的物理原理，将多个方向
的X射线透射数据进行积分，并使用反投影算法将数据重构成一张图像。

FBP算法分为两个基本部分：投影操作和反投影操作。

投影操作是一
种从图像中提取片段的技术，而反投影操作则是将这些片段重构成图像。

FBP重建算法的本质是一种频域过滤操作，其通过滤波技术提取
图像中的高频信息，并使用反投影技术将其还原为一张二维图像。

反投影重建算法的主要优点是其速度和适应性。

这种算法能够轻松地
生成高质量的图像，并且对于许多不同的应用程序都可以使用不同的
滤波模式。

目前，FBP算法被广泛应用于医学成像、工业检测和材料
科学等领域。

需要注意的是，FBP算法并不是完美的。

由于其基于体积的积分，因
此它可能受到一个“锐角偏差”问题的影响。

锐角偏差问题是指，当
图像中存在锐利的边缘或角落时，算法可能会出现伪影或失真的问题。

为了应对这个问题，一些改进算法被提出，例如金刚簇算法（来自中
国科技大学），基于块的迭代顺序最小化算法和模糊模式匹配算法等。

总之，反投影重建算法是一种实用的成像算法，对于许多不同的领域都具有广泛的适用性。

虽然这种算法具有其局限性，但是通过改进算法可以进一步提高它的可靠性和精度。

滤波反投影法：
滤波反投影法根据附件三所给接收信息，采用先修正、后投影重建图像的做法，可得到原始图像的吸收率信息。

其原理为：在得到某一角度下的投影函数（一维函数）后，对此函数做滤波处理，得一修正后的滤波函数，再对修正后的滤波函数做反投影运算，得待检测介质吸收率在正方形托盘中的每一点的分布密度函数。

图1给出了滤波反投影法重建原始图像的流程图。

图1滤波反投影法流程图
反投影法重建原始图像的步骤：
（1）在对应于投影函数的角度下对投影函数做一维Fourier变换；
（2）对（1）得到的变换结果乘以权重因子；
（3）对（2）加权后得到的结果做一维傅立叶；
（4）对（3）所得函数做直接反投影；
（5）改变投影角度，得到180个不同的投影角度，对每一角度，重复上述步骤（1）~（4）。

R-L（Ram-Lak）滤波函数：
此函数的基本条件是二维图像函数的频率是有界的，显然，此题所得附件五的所有数据满足此条件。

故频域中的滤波函数可表示为：
其函数图像如图1.
图1R-L滤波函数图像
连续的R-L卷积函数所得结果为：
离散的R-L卷积函数所得结果为：
根据上述滤波原理，在本题中，对附件五中数据的具体滤波过程可用Matlab内置的Ram-Lak命令实现。

Image & Multimedia Technology •图像与多媒体技术Electronic Technology & Software Engineering 电子技术与软件工程• 91【关键词】CT 重构 randon 变换 滤波反投影1 CT图像重建原理的知识背景CT 系统基本过程是：平行入射的X 射线垂直于探测器平面发射，形成一个发射-接收CT 系统，每个探测器单元都看做是一个接收点，且间隔距离相等。

计算机断层成像图像重建的过程是按照一定的算法将已经检测到的投影数据进行数学运算，最终得到断层图像。

Radon 变换及其逆变换：物体断层被射线扫描后需要用重建算法计算才能得到CT 图像，图像重建的基础是Radon 变换及其逆变换。

假设每条射线相互平行，对于一个二维平面进行射线检测可得到一条投影数据，该投影数据称为二维平面的一个Radon 变换；如果检测中该平面旋转180度，同时将对应的投影数据进行组合，则得到类似正弦分布形式的图像，从正弦图获取二维平面图像的变换称为Radon 反演。

用公式可分别描述为：，由于matlab 中封装有radon 函数，使用时直接调用函数：R=radon （I ，theta ）。

2 滤波反投影算法radon 函数使用的算法是滤波反投影法，反投影算法因为引入“星”状伪影而导致重建的图像失真，为了消除这个伪影，在进行反投影重建之前将数据修正，最后对修正后的投影数据进行反投影，这样就获得没有伪影的重建图像。

该方法是在空间域中把投影的数据直接反向投射到需要重建的图像中，然后将逐个的反投影图像累加起来。

滤波反投影法基本实现步骤：对数据作一维傅里叶变换→滤波函数：R-L 函数→对滤波后的数据作傅里叶逆变换→反投影求图像函数。

本文简要介绍推导傅里叶变换的过程：令为f 的二维傅里叶变换.单变量函G φ(ω)F(ω cosφ,ω sin φ )为通过φ角的F 切片，并记g φ (p)基于2017数学建模的滤波反投影算法应用文/李春梅为由合成方程 确定的函数，则 (Ff φV )(ω)=F(ω cos φ,ω sin φ)，其中F 是单变量傅里叶变换算子，它建立了Radon 变换和傅里叶变换的联系.然后采用极坐标u=ω cos φ,v=ω sin φ表示傅里叶合成公式得将这个积分分解成两个积分式，通过变换、合并，最后使用投影切片定律重写这个积分形式为：f(x,y)= d ω d φ由此得到合成方程。

第26 卷第11 期2006 年11 月光学学报ACTA OP TICA SIN ICAVo l. 26 ,No. 11November , 2006文章编号: 025322239 (2006) 112165729偏折层析的滤波反投影算法及误差分析宋张斌贺安之(南京理工大学信息物理与工程系, 南京210094)摘要: 对偏折层析投影转换为相位层析投影的转换关系迚行了分析,给出明晰的数学关系,幵针对偏折层析的滤波反投影算法重建的结果迚行误差分析。

分析结果表明投影噪声对重建场的作用体现在与由偏折层析滤波反投影算法的滤波器有关的倾斜函数上。

因此提出了改迚的偏折层析滤波反投影算法,数值模拟表明,改迚算法在有效抑制倾斜现象的同时,对重建结果不会造成明显的失真。

在此基础上改迚的算法被用于真实火箭燃气射流密度场的三维重建中。

关键词: 信息光学; 偏折层析; 重建算法; 误差分析中图分类号: O438 文献标识码: AFil t e red B ac k2P r oject i o n Al gori t h m of Def lect i on To m og r ap h ya n d Er r or A n al ys isSong Y a ng Zhang Bin He Anzhi( Dep a r t me n t of I nf or m a t i on Physics & Engi neeri ng Na n ji ng U n iversit y of Scie nce & Tech nology , Na n ji ng 210094)Abs t r act : The conversion f rom deflection tomography p rojection to phase tomograp hy p rojection is analyzed , and an explicit exp ression correspondin g to the conversion is p r esented. An er ror analysis is made to the reconst r ucted fields by f iltered back2p rojection ( DFB P ) algorithm of deflection tomography. Results show that the effect of p rojection noise on the reconst ructed fields is rep resented by a slope f unction related to the filter used in deflection tomograp hic f iltered back2p rojection algorithm. So the deflection tomographic f ilter ed back2p rojection algorithm is modified. Numerical simulation shows that the modified algorithm dep resses the slope ph enomena efficiently , while no obvious distortion is int roduced to the reconst r uction. Based on the modified algor ithm , the three2dimensional reconst ruction for den sity field of the real rocket exhausted plumes is carried out .Key w or ds : information optics ; deflection tomograp hy ; reconst ruction algorithm ; error analysis1 引言光学层析技术( Optical Comp uterized Tomograp hy ,O CT)是以光波为载体, 由加载了被测场信息的多方向投影数据重建待测场物理量分布的技术。

滤波反投影法是一种用于图像重建的算法，其迭代方程通常由以下步骤组成：
1. 对当前投影图像进行滤波操作，以去除噪声和伪影。

2. 将滤波后的投影图像进行反投影，得到重建图像的更新值。

3. 将更新值与前一次迭代的重建图像进行叠加，得到新的重建图像。

4. 重复步骤1-3，直到达到预设的迭代次数或满足收敛条件。

具体来说，滤波反投影法的迭代方程可以表示为：
\(I^{k+1} = I^k + \lambda \left( \text{滤波后的投影图像} - \text{反投影图像} \right)\)
其中，\(I^{k+1}\)表示第\(k+1\)次迭代的重建图像，\(I^k\)表示第\(k\)次迭代的重建图像，\(\lambda\)是控制迭代的步长，\(\text{滤波后的投影图像}\)是滤波后的投影图像，\(\text{反投影图像}\)是反投影得到的图像。

需要注意的是，具体的迭代方程可能会因不同的滤波器和反投影方法而有所不同。

平行束滤波反投影1100500121 赵伟伦 准备知识:一维Fourier 变换：dt et f f f F t i ⎰+∞∞--⋅==πωω2)()(~)( 一维逆Fourier 变换： ωωπωd e f f F x f t i ⎰+∞∞--⋅==21)(~)~()( 且有：)~(~),(11f F F f f F F f --⋅=⋅=重要的性质：（卷积特性）)(~)(~)*(ωωgf g f F ⋅=； )(~)(~)(ωωgf g f F *=⋅ 二维Fourier 变换： dX e x x f f f F x x i R ),(),(22121221212),(),(~)(⋅-⎰==ωωπωω； 逆二维Fourier 变换： Ω==⋅-⎰d e f f F x x f x x i R ),(),(221122121212),(~)~(),(ωωπωω； 中心切片定理：),)(ˆ()(2ϕωωfF f F r =Φ, 其中),(ˆϕr f 是),(21x x f 的Radon 变换： 解释：一个二元函数的Radon 变换关于r 的一维Fourier 变换与这个二元函数的二维Fourier 变换形式相等。

滤波反投影：思路：)(),(121f F F x x f ⋅=-()()[][]ϕϕωωϕωϕωϕωωϕωϕωϕωωωϕωωϕωϕωωϕωϕωωωϕωωωππωωππωωππωωππωωπd r f F r d fF F d d e fF x x r d d e fF d d e f F d d e f d d e f F X r x x r r r r i r x x i r x x i rx x i x x i R Φ⋅=-Φ⋅=-∞+∞-⋅∞+∞-⋅∞+⋅∞+⋅*⇔=⋅⇔⇔Φ⋅=Φ=⇔⇔⇔⇔⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)(H ),(ˆfourier fourier ),()(H ),)(ˆ(]),)(ˆ([),),(),(),(),)(ˆ(),)(ˆ()(~)(1),(1202121),(),(20),(),(2200),(),(2200221),(),(222121212121212121212变化变化等于函数点乘后的个函数的卷积的并根据卷积的性质：两设旋转角为为坐标映射到探测器上，设为用极坐标方式表示出来（把，可知），（由于中心切片定理)(),(~),(r H r f r G *=ϕϕ)(r H 是滤波器总结：ϕϕϕωωϕωππωπd r H r fd def F X f X r X r r i r Φ⋅=Φ⋅=+∞∞-⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=)(*),(ˆ),)(ˆ()(020 解释为：投影数据),(ˆϕr f 先进行滤波)(*),(ˆr H r f ϕ 在对滤波数据进行投影ϕϕπd r H r f X r Φ⋅=⎰)(*),(ˆ0简单例子：（大圆与小圆）通过已得到的正投影‘round.dat’经过滤波后，反投影后的图像。

基于滤波反投影算法的CT系统成像研究摘要：CT系统的安装会使得旋转中心发生偏离，从而影响成像质量，因此需要借助于已知结构的样品来标定CT系统的参数，并且利用标定的参数对未知结构的样品进行图像重建。

首先根据直接反投影算法和滤波反投影算法对收集到的数据中的接收信息分别进行图像重建，通过成像图像可知，滤波反投影算法更优；旋转中心可能发生偏移以及CT系统具有初始角度，依次进行旋转、平移、裁剪和残影去除操作，来校正投影图像，从而得到较高质量的图像。

关键词：CT成像原理（影像医学与核医学）；滤波反投影法；图像重建；吸收率引言CT(Computed Tomography)是用X线束从多个方向对人体检查部位具有一定厚度的层面进行扫描，由探测器而不用胶片接收透过该层面的X线，转变为可见光后，由光电转换器转变为电信号，再经模拟/数字转换器转为数字，输人计算机处理。

数字矩阵中的每个数字经数字/模拟转换器转为由黑到白不等灰度的小方块，称之为像素，并按原有矩阵顺序排列，即构成CT图像。

所以，CT图像是由一定数目像素组成的灰阶图像，是数字图像，是重建的断层图像。

首先根据直接反投影算法和滤波反投影算法对收集到的数据中的接收信息分别进行图像重建，将图像重建[4-6]的两种结果进行对比，得出效果较好的模型；然后，旋转中心可能发生偏移以及CT系统具有初始角度，通过旋转、平移、裁剪和残影去除等操作来校正投影图像，最后对图像进行标准化调整，从而提高了成像质量。

1 模型的准备与建立1.1 CT成像的数学基础Rand变换如图1所示，直线g是xOy平面内任意一条直线，t是原点到直线g的距离，φ为原点到直线g的垂线与x轴的夹角。

对于xOy平面内任意一条直线可以由(t,φ)唯一确定。

二维平面中函数f(x,y)沿着直线的积分等于其Rand变换。

中心切片定理中心切片定理是CT图像重建算法的基础，在非衍射源情况下，含义是图像在某个视角下平行投影的一维Fourier变换等同于该图像二维Fourier变换的一个中心切片。

滤波反投影法重建CT 图像实验指导书一、 实验目的1． 了解傅立叶变换法、直接反投影法重建CT 图像的原理；2． 掌握滤波反投影法重建CT 图像的原理和基本方法。

二、 实验器材装有MATLAB 程序的PC 机，滤波反投影法图像重建演示软件，投影数据。

三、 实验原理CT 图像重建问题实际上就是如何从投影数据中解算出成像平面上各像素点的衰减系数。

图像重建的算法有多种，如反投影法、傅立叶变换法、迭代法、滤波反投影法等。

在介绍算法前，有必要先介绍从投影重建图像的重要依据，即中心切片定理。

1． 中心切片定理密度函数(,)f x y 在某一方向上的投影函数()g R θ的一维傅立叶变换函数()g θρ是原密度函数(,)f x y 的二维傅立叶变换函数(,)F ρθ在(,)ρθ平面上沿同一方向且过原点的直线上的值。

图1 中心切片定理2．傅立叶变换法如果在不同角度下取得足够多的投影函数数据，并作傅立叶变换，根据中心切片定理，变换后的数据将充满整个(,)u v 平面。

一旦频域函数(,)F u v 或(,)F ρβ的全部值都得到后，将其做傅立叶反变换，就能得到原始的密度函数(,)f x y ，即所要重建的图像。

上述图像重建算法称为傅立叶变换法，图2给出了傅立叶变换重建方法的流程图。

图中指出，对于每次测得的投影数据先作一维傅立叶变换。

根据中心切片定理，可将此变换结果看成二维频率域中同样角度下过原点的直线上的值。

在不同投影角下所得的一维变换函数可在频域中构成完整的二维傅立叶变换函数，将此二维变换函数做一次逆变换，就得到了所要求的空间域中的密度函数。

为了在二维逆变换中采用快速傅立叶变换算法，通常在逆变换前要将极坐标形式的频域函数变换成直角坐标形式的数据。

图2 傅立叶变换重建图像的过程采用傅立叶变换法重建图像时，投影函数的一维傅立叶变换在频域中为极坐标形式，把极坐标形式的数据通过插补运算转换为直角坐标形式的数据时，计算工作量较大。

ct成像fbp算法公式
CT成像中的FBP（Filtered Back Projection）算法公式如下：
\[f(x, y) = \int \left[\int \hat{F}(u, v) e^{i2\pi(ux+vy)} \, du\right]
e^{i2\pi(w(x,y)-1)x} \, dv\]
其中，\(f(x, y)\)是图像的原始值。

\(u, v\)是频域坐标，\(x, y\)
是图像空间坐标。

\(\hat{F}(u, v)\)是滤波后的投影数据。

FBP算法的主要步骤如下：
1. 对原始投影数据进行滤波：在频域中乘以一个合适的滤波函数\(H(u, v)\)，滤波后的投影数据为\(\hat{F}(u, v)\)。

2. 对滤波后的投影数据进行反投影：对每个图像空间中的像素点\((x, y)\)，通过在频域中的相位偏移因子进行反投影。

3. 对反投影结果进行重建：将反投影结果进行加权叠加或者整合，得到最终的重建图像\(f(x, y)\)。

需要注意的是，在实际应用中，为了提高计算效率和减少伪影，通常会对FBP算法进行优化，如使用快速傅里叶变换（FFT）算法来加速频域计算，以及采用多级金字塔等方法来降低计算量。