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滤波反投影法的实施步骤1. 简介滤波反投影法（Filtered Back Projection, FBP）是一种重建计算机体层成像（Computed Tomography, CT）图像的方法。
它通过对一系列飞行时间或射线投影数据进行滤波和反投影操作，来恢复被测物体的内部结构信息。
本文将详细介绍滤波反投影法的实施步骤。
2. 数据获取首先，我们需要获取一系列的投影数据。
投影数据是通过将被测物体从不同角度进行透射扫描而得到的，通常使用X射线或者其他形式的射线。
3. 数据预处理在进行滤波反投影之前，我们需要对投影数据进行一些预处理操作。
这些操作包括：去除背景噪声、校准投影数据以及执行各种纠正操作，以确保数据的准确性和一致性。
4. 滤波操作滤波操作是滤波反投影法中的关键步骤，它通过对投影数据进行频域滤波来增强图像的对比度和细节信息。
常用的滤波方法包括：Ram-Lak、Shepp-Logan、Hann窗等。
5. 反投影操作在经过滤波操作后，我们需要进行反投影操作来恢复原始图像。
反投影是将滤波后的投影数据逆向投影回图像空间的过程。
反投影操作涉及到几何重建算法和数学运算，可以使用快速反投影算法（FFT-based Back Projection）等高效算法来加快图像重建速度。
6. 重建图像优化得到初步的重建图像后，我们可以对其进行一些优化处理，以提高图像质量和视觉效果。
常见的优化方法包括：去除伪影、降噪、增加对比度、增强图像细节等。
7. 结果评估最后，我们需要对重建图像进行结果评估。
这包括比较重建图像和原始物体的差异，评估图像质量和准确性，并根据需要进行后续的调整和改进。
8. 总结滤波反投影法是一种常用的重建CT图像的方法，它通过对投影数据进行滤波和反投影操作，实现了对被测物体的内部结构信息的恢复。
本文介绍了滤波反投影法的实施步骤，包括数据获取、数据预处理、滤波操作、反投影操作、重建图像优化和结果评估等。
通过遵循这些步骤，可以有效地进行CT图像的重建工作，并获得高质量的图像结果。
滤波反投影法：
滤波反投影法根据附件三所给接收信息，采用先修正、后投影重建图像的做法，可得到原始图像的吸收率信息。
其原理为：在得到某一角度下的投影函数（一维函数）后，对此函数做滤波处理，得一修正后的滤波函数，再对修正后的滤波函数做反投影运算，得待检测介质吸收率在正方形托盘中的每一点的分布密度函数。
图1给出了滤波反投影法重建原始图像的流程图。
图1滤波反投影法流程图
反投影法重建原始图像的步骤：
（1）在对应于投影函数的角度下对投影函数做一维Fourier变换；
（2）对（1）得到的变换结果乘以权重因子；
（3）对（2）加权后得到的结果做一维傅立叶；
（4）对（3）所得函数做直接反投影；
（5）改变投影角度，得到180个不同的投影角度，对每一角度，重复上述步骤（1）~（4）。
R-L（Ram-Lak）滤波函数：
此函数的基本条件是二维图像函数的频率是有界的，显然，此题所得附件五的所有数据满足此条件。
故频域中的滤波函数可表示为：
其函数图像如图1.
图1R-L滤波函数图像
连续的R-L卷积函数所得结果为：
离散的R-L卷积函数所得结果为：
根据上述滤波原理，在本题中，对附件五中数据的具体滤波过程可用Matlab内置的Ram-Lak命令实现。
Image & Multimedia Technology •图像与多媒体技术Electronic Technology & Software Engineering 电子技术与软件工程• 91【关键词】CT 重构 randon 变换 滤波反投影1 CT图像重建原理的知识背景CT 系统基本过程是：平行入射的X 射线垂直于探测器平面发射，形成一个发射-接收CT 系统，每个探测器单元都看做是一个接收点，且间隔距离相等。
计算机断层成像图像重建的过程是按照一定的算法将已经检测到的投影数据进行数学运算，最终得到断层图像。
Radon 变换及其逆变换：物体断层被射线扫描后需要用重建算法计算才能得到CT 图像，图像重建的基础是Radon 变换及其逆变换。
假设每条射线相互平行，对于一个二维平面进行射线检测可得到一条投影数据，该投影数据称为二维平面的一个Radon 变换；如果检测中该平面旋转180度，同时将对应的投影数据进行组合，则得到类似正弦分布形式的图像，从正弦图获取二维平面图像的变换称为Radon 反演。
用公式可分别描述为：，由于matlab 中封装有radon 函数，使用时直接调用函数：R=radon （I ，theta ）。
2 滤波反投影算法radon 函数使用的算法是滤波反投影法，反投影算法因为引入“星”状伪影而导致重建的图像失真，为了消除这个伪影，在进行反投影重建之前将数据修正，最后对修正后的投影数据进行反投影，这样就获得没有伪影的重建图像。
该方法是在空间域中把投影的数据直接反向投射到需要重建的图像中，然后将逐个的反投影图像累加起来。
滤波反投影法基本实现步骤：对数据作一维傅里叶变换→滤波函数：R-L 函数→对滤波后的数据作傅里叶逆变换→反投影求图像函数。
本文简要介绍推导傅里叶变换的过程：令为f 的二维傅里叶变换.单变量函G φ(ω)F(ω cosφ,ω sin φ )为通过φ角的F 切片，并记g φ (p)基于2017数学建模的滤波反投影算法应用文/李春梅为由合成方程 确定的函数，则 (Ff φV )(ω)=F(ω cos φ,ω sin φ)，其中F 是单变量傅里叶变换算子，它建立了Radon 变换和傅里叶变换的联系.然后采用极坐标u=ω cos φ,v=ω sin φ表示傅里叶合成公式得将这个积分分解成两个积分式，通过变换、合并，最后使用投影切片定律重写这个积分形式为：f(x,y)= d ω d φ由此得到合成方程。
第26 卷第11 期2006 年11 月光学学报ACTA OP TICA SIN ICAVo l. 26 ,No. 11November , 2006文章编号: 025322239 (2006) 112165729偏折层析的滤波反投影算法及误差分析宋张斌贺安之(南京理工大学信息物理与工程系, 南京210094)摘要: 对偏折层析投影转换为相位层析投影的转换关系迚行了分析,给出明晰的数学关系,幵针对偏折层析的滤波反投影算法重建的结果迚行误差分析。
分析结果表明投影噪声对重建场的作用体现在与由偏折层析滤波反投影算法的滤波器有关的倾斜函数上。
因此提出了改迚的偏折层析滤波反投影算法,数值模拟表明,改迚算法在有效抑制倾斜现象的同时,对重建结果不会造成明显的失真。
在此基础上改迚的算法被用于真实火箭燃气射流密度场的三维重建中。
关键词: 信息光学; 偏折层析; 重建算法; 误差分析中图分类号: O438 文献标识码: AFil t e red B ac k2P r oject i o n Al gori t h m of Def lect i on To m og r ap h ya n d Er r or A n al ys isSong Y a ng Zhang Bin He Anzhi( Dep a r t me n t of I nf or m a t i on Physics & Engi neeri ng Na n ji ng U n iversit y of Scie nce & Tech nology , Na n ji ng 210094)Abs t r act : The conversion f rom deflection tomography p rojection to phase tomograp hy p rojection is analyzed , and an explicit exp ression correspondin g to the conversion is p r esented. An er ror analysis is made to the reconst r ucted fields by f iltered back2p rojection ( DFB P ) algorithm of deflection tomography. Results show that the effect of p rojection noise on the reconst ructed fields is rep resented by a slope f unction related to the filter used in deflection tomograp hic f iltered back2p rojection algorithm. So the deflection tomographic f ilter ed back2p rojection algorithm is modified. Numerical simulation shows that the modified algorithm dep resses the slope ph enomena efficiently , while no obvious distortion is int roduced to the reconst r uction. Based on the modified algor ithm , the three2dimensional reconst ruction for den sity field of the real rocket exhausted plumes is carried out .Key w or ds : information optics ; deflection tomograp hy ; reconst ruction algorithm ; error analysis1 引言光学层析技术( Optical Comp uterized Tomograp hy ,O CT)是以光波为载体, 由加载了被测场信息的多方向投影数据重建待测场物理量分布的技术。
滤波反投影法是一种用于图像重建的算法，其迭代方程通常由以下步骤组成：
1. 对当前投影图像进行滤波操作，以去除噪声和伪影。
2. 将滤波后的投影图像进行反投影，得到重建图像的更新值。
3. 将更新值与前一次迭代的重建图像进行叠加，得到新的重建图像。
4. 重复步骤1-3，直到达到预设的迭代次数或满足收敛条件。
具体来说，滤波反投影法的迭代方程可以表示为：
\(I^{k+1} = I^k + \lambda \left( \text{滤波后的投影图像} - \text{反投影图像} \right)\)
其中，\(I^{k+1}\)表示第\(k+1\)次迭代的重建图像，\(I^k\)表示第\(k\)次迭代的重建图像，\(\lambda\)是控制迭代的步长，\(\text{滤波后的投影图像}\)是滤波后的投影图像，\(\text{反投影图像}\)是反投影得到的图像。
需要注意的是，具体的迭代方程可能会因不同的滤波器和反投影方法而有所不同。
平行束滤波反投影1100500121 赵伟伦 准备知识:一维Fourier 变换：dt et f f f F t i ⎰+∞∞--⋅==πωω2)()(~)( 一维逆Fourier 变换： ωωπωd e f f F x f t i ⎰+∞∞--⋅==21)(~)~()( 且有：)~(~),(11f F F f f F F f --⋅=⋅=重要的性质：（卷积特性）)(~)(~)*(ωωgf g f F ⋅=； )(~)(~)(ωωgf g f F *=⋅ 二维Fourier 变换： dX e x x f f f F x x i R ),(),(22121221212),(),(~)(⋅-⎰==ωωπωω； 逆二维Fourier 变换： Ω==⋅-⎰d e f f F x x f x x i R ),(),(221122121212),(~)~(),(ωωπωω； 中心切片定理：),)(ˆ()(2ϕωωfF f F r =Φ, 其中),(ˆϕr f 是),(21x x f 的Radon 变换： 解释：一个二元函数的Radon 变换关于r 的一维Fourier 变换与这个二元函数的二维Fourier 变换形式相等。
滤波反投影：思路：)(),(121f F F x x f ⋅=-()()[][]ϕϕωωϕωϕωϕωωϕωϕωϕωωωϕωωϕωϕωωϕωϕωωωϕωωωππωωππωωππωωππωωπd r f F r d fF F d d e fF x x r d d e fF d d e f F d d e f d d e f F X r x x r r r r i r x x i r x x i rx x i x x i R Φ⋅=-Φ⋅=-∞+∞-⋅∞+∞-⋅∞+⋅∞+⋅*⇔=⋅⇔⇔Φ⋅=Φ=⇔⇔⇔⇔⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)(H ),(ˆfourier fourier ),()(H ),)(ˆ(]),)(ˆ([),),(),(),(),)(ˆ(),)(ˆ()(~)(1),(1202121),(),(20),(),(2200),(),(2200221),(),(222121212121212121212变化变化等于函数点乘后的个函数的卷积的并根据卷积的性质：两设旋转角为为坐标映射到探测器上，设为用极坐标方式表示出来（把，可知），（由于中心切片定理)(),(~),(r H r f r G *=ϕϕ)(r H 是滤波器总结：ϕϕϕωωϕωππωπd r H r fd def F X f X r X r r i r Φ⋅=Φ⋅=+∞∞-⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=)(*),(ˆ),)(ˆ()(020 解释为：投影数据),(ˆϕr f 先进行滤波)(*),(ˆr H r f ϕ 在对滤波数据进行投影ϕϕπd r H r f X r Φ⋅=⎰)(*),(ˆ0简单例子：（大圆与小圆）通过已得到的正投影‘round.dat’经过滤波后，反投影后的图像。
基于滤波反投影算法的CT系统成像研究摘要：CT系统的安装会使得旋转中心发生偏离，从而影响成像质量，因此需要借助于已知结构的样品来标定CT系统的参数，并且利用标定的参数对未知结构的样品进行图像重建。
首先根据直接反投影算法和滤波反投影算法对收集到的数据中的接收信息分别进行图像重建，通过成像图像可知，滤波反投影算法更优；旋转中心可能发生偏移以及CT系统具有初始角度，依次进行旋转、平移、裁剪和残影去除操作，来校正投影图像，从而得到较高质量的图像。
关键词：CT成像原理（影像医学与核医学）；滤波反投影法；图像重建；吸收率引言CT(Computed Tomography)是用X线束从多个方向对人体检查部位具有一定厚度的层面进行扫描，由探测器而不用胶片接收透过该层面的X线，转变为可见光后，由光电转换器转变为电信号，再经模拟/数字转换器转为数字，输人计算机处理。
数字矩阵中的每个数字经数字/模拟转换器转为由黑到白不等灰度的小方块，称之为像素，并按原有矩阵顺序排列，即构成CT图像。
所以，CT图像是由一定数目像素组成的灰阶图像，是数字图像，是重建的断层图像。
首先根据直接反投影算法和滤波反投影算法对收集到的数据中的接收信息分别进行图像重建，将图像重建[4-6]的两种结果进行对比，得出效果较好的模型；然后，旋转中心可能发生偏移以及CT系统具有初始角度，通过旋转、平移、裁剪和残影去除等操作来校正投影图像，最后对图像进行标准化调整，从而提高了成像质量。
1 模型的准备与建立1.1 CT成像的数学基础Rand变换如图1所示，直线g是xOy平面内任意一条直线，t是原点到直线g的距离，φ为原点到直线g的垂线与x轴的夹角。
对于xOy平面内任意一条直线可以由(t,φ)唯一确定。
二维平面中函数f(x,y)沿着直线的积分等于其Rand变换。
中心切片定理中心切片定理是CT图像重建算法的基础，在非衍射源情况下，含义是图像在某个视角下平行投影的一维Fourier变换等同于该图像二维Fourier变换的一个中心切片。
基于2017数学建模的滤波反投影算法应用作者：李春梅来源：《电子技术与软件工程》2018年第07期摘要 2017高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题是关于CT系统参数标定及成像模型。
CT技术的核心是图像重建，在图像重建的过程中，建立基于radon变换的图像矩阵重建模型。
图像重建的核心是重建算法，在迭代法和解析法中，解析法具有更严谨的数学知识基础，处理速度快。
解析重建算法中，滤波反投影算法运算效率更高，图像重建的质量比较好，成本低。
【关键词】CT 重构 randon 变换滤波反投影1 CT图像重建原理的知识背景CT系统基本过程是：平行入射的X射线垂直于探测器平面发射，形成一个发射.接收CT 系统，每个探测器单元都看做是一个接收点，且间隔距离相等。
计算机断层成像图像重建的过程是按照一定的算法将已经检测到的投影数据进行数学运算，最终得到断层图像。
Radon变换及其逆变换：物体断层被射线扫描后需要用重建算法计算才能得到CT图像，图像重建的基础是Radon 变换及其逆变换。
假设每条射线相互平行，对于一个二维平面进行射线检测可得到一条投影数据，该投影数据称为二维平面的一个Radon变换;如果检测中该平面旋转180度，同时将对应的投影数据进行组合，则得到类似正弦分布形式的图像，从正弦图获取二维平面图像的变换称为Radon反演。
用公式可分别描述为：Rf（θ，f）=（t cosθ +s sinθ，tsinθ-s sinθ）ds，由于matlab中封装有radon函数，使用时直接调用函数：R=radon（I，theta）。
2 滤波反投影算法3 滤波反投影算法的应用为了标定radon反演重建结果在正方形托盘中的位置，我们需要确定x-射线开始照射时刻的角度，如图1所示。
3.1 反演图像矩阵在正方形托盘中的位置为了转换后矩阵与托盘位置对应，建立相对距离比例模型，寻找对应在正方形托盘位置各数值在装换后矩阵Mimg中的位置。
正方形托盘的边长分别为100mm，垂直托盘照射时需要的探测器单元个数为：将附件3数据进行iradon反演，通过矩阵非0点开始和结束位置的判断并得出的256*256大小的介质吸收率的数据。
医学影像分析与图像处理技术考试（答案见尾页）一、选择题1. 什么是医学影像分析中的滤波反投影法？A. 通过平滑图像减少噪声B. 提高图像对比度C. 有方向性地增强图像边缘D. 对图像进行傅里叶变换2. 在医学影像处理中，关于直方图均衡化的作用是什么？A. 修正图像的亮度分布，增加图像对比度B. 自动调整图像的对比度和亮度，使图像更易于识别C. 保留图像的像素信息，减少失真D. 提高图像中特定组织或病变的对比度3. 在MRI图像处理中，哪种技术可以用来区分正常和异常组织？A. 图像分割B. 匹配滤波C. 阈值分割D. 图像融合4. 在CT图像重建中，哪种方法可以减少图像噪声？A. 迭代重建算法B. 脂肪抑制技术C. 卷积核的选择D. 数据预处理5. 在医学影像分析中，哪种技术可以用来测量生物结构的位置和大小？A. 图像分割B. 形态学操作C. 均值滤波D. 直方图分析6. 在超声成像中，哪种技术可以提高图像的分辨率？A. 帧频转换B. 成像深度C. 反射回声D. 多普勒效应7. 在医学影像处理中，哪种技术可以用来自动识别和定位病变？A. 计算机辅助检测（CAD）B. 机器学习算法C. 深度学习技术D. 图像融合8. 在MRI图像处理中，哪种技术可以提高图像的质量和清晰度？A. 匹配滤波B. 非线性变换C. 噪声抑制D. 图像重建算法9. 在CT图像处理中，哪种技术可以用来评估组织的密度和硬度？A. 图像分割B. 计算机辅助诊断（CAD）C. 分割和测量技术D. 图像纹理分析10. 在医学影像分析中，哪种技术可以用来测量和计算生理参数？A. 图像分割B. 形态学操作C. 心理物理学方法D. 时间序列分析11. 什么是医学影像分析中的滤波反投影法？A. 通过平滑图像减少噪声B. 提高图像的空间分辨率C. 对图像进行傅里叶变换D. 将图像从频率域转换到空间域12. 在医学影像处理中，哪一种技术可以用来分割器官和组织？A. 图像增强B. 图像分割C. 图像融合D. 图像重建13. 在MRI图像处理中，哪种技术可以用来量化组织的体积？A. 主编干涉法B. 匹配追踪法C. 相关性分析D. 聚类分析14. 在医学影像分析中，哪一种技术可以用来检测图像中的异常？A. 图像平滑B. 图像锐化C. 图像分割D. 图像特征提取15. 在医学影像处理中，哪种技术可以用来提高图像的质量？A. 图像缩放B. 图像旋转C. 图像增强D. 图像编码16. 在医学影像分析中，哪种技术可以用来测量生物结构之间的距离？A. 图像分割B. 图像配准C. 图像融合D. 图像金字塔技术17. 在医学影像处理中，哪种技术可以用来识别图像中的特征点？A. 图像边缘检测B. 图像角点检测C. 图像纹理分析D. 图像主成分分析18. 在医学影像分析中，哪种技术可以用来评估图像的对比度？A. 图像标准化B. 图像均衡化C. 图像增强D. 图像梯度计算19. 在医学影像处理中，哪种技术可以用来预测疾病的进展？A. 图像分类B. 图像回归C. 图像聚类D. 计算机辅助诊断(CAD)20. 在医学影像分析中，哪种技术可以用来自动检测和定位病变？A. 图像分割B. 图像配准C. 图像融合D. 计算机辅助检测(CAD)21. 什么是医学影像分析中的滤波器技术？A. 滤波器技术可以增强图像边缘和细节B. 滤波器技术可以用于锐化图像C. 滤波器技术可以用于降低噪声D. 滤波器技术可以用于分割图像22. 在医学影像分析中，哪种变换可以用来提高图像对比度？A.傅里叶变换B. 线性变换C. 对数变换D. 直方图均衡化23. 医学影像分析中，关于图像重建的技术有哪些？A. 迭代方法B. 反投影法C. 脉冲序列重建D. 平滑算法24. 在医学影像分析中，灰度共生矩阵常用于哪些技术？A. 图像分割B. 特征提取C. 分类与识别D. 图像编码25. 什么是MRI成像中的化学位移现象？A. MCR图像可以提供更详细的解剖结构信息B. MCR图像可以提供更准确的生物化学信息C. MCR图像可以提供更真实的生物组织信息D. MCR图像可以提供更快速的信息传输26. 在医学影像分析中，关于图像融合技术的说法，正确的是？A. 图像融合技术可以来自不同类型的成像设备B. 图像融合技术主要用于提高图像质量C. 图像融合技术主要用于减少图像噪声D. 图像融合技术主要用于增强图像的视觉效果27. 什么是计算机辅助检测（CAD）？它在医学影像分析中的作用是什么？A. CAD可以帮助医生更准确地诊断疾病B. CAD可以辅助医生更有效地选择治疗方案C. CAD可以辅助医生更快速地完成影像检查D. CAD可以辅助医生更全面地了解疾病进展28. 在医学影像分析中，关于深度学习的说法，正确的是？A. 深度学习可以用于图像分类B. 深度学习可以用于图像检测C. 深度学习可以用于图像分割D. 深度学习可以用于图像重建29. 什么是图像配准？在医学影像分析中它的作用是什么？A. 图像配准可以增加图像之间的相似性B. 图像配准可以用于更好的可视化C. 图像配准可以用于减少图像变形D. 图像配准可以用于提高图像质量30. 在医学影像分析中，关于图像增强技术的说法，正确的是？A. 图像增强技术可以增强图像的对比度B. 图像增强技术可以增强图像的细节C. 图像增强技术可以增强图像的噪声D. 图像增强技术可以增强图像的真实性31. 什么是医学影像分析中的滤波器技术？A. 滤波器技术可以增强图像边缘和细节B. 滤波器技术可以用于去除噪声和伪影C. 滤波器技术可以分割图像并测量其特性D. 滤波器技术主要用于图像重建32. 在医学影像分析中，哪种变换可以提高图像的空间分辨率？A.傅里叶变换B. 线性变换C. 对数变换D. 小波变换33. 什么是图像配准？它在医学影像分析中的目的是什么？A. 图像配准是将不同时间点或不同模态的图像进行对齐的过程B. 图像配准的目的是比较图像之间的相似性和差异性C. 图像配准可以帮助定位病变D. 图像配准可以用于图像融合和三维重建34. 在医学影像分析中，什么是直方图均衡化？A. 直方图均衡化是一种图像增强技术，用于提高图像对比度B. 直方图均衡化可以增强图像中的细节和边缘C. 直方图均衡化可以使图像中的颜色更加鲜艳D. 直方图均衡化主要用于图像去噪35. 什么是图像分割？在医学影像分析中有哪些常用方法？A. 图像分割是将图像划分为多个区域的过程B. 区域生长和分裂合并是两种常用的图像分割方法C. 图像分割可以分为阈值分割、区域生长、边缘检测等D. 图像分割的目的是提取图像中的感兴趣区域并进行进一步分析36. 在医学影像分析中，什么是特征提取？A. 特征提取是从图像中提取有意义的信息的过程B. 特征提取包括形状、纹理、颜色等多种特征C. 特征提取的目的是为了对图像进行分类和识别D. 特征提取可以使用各种图像处理技术，如滤波、变换等37. 在医学影像分析中，什么是机器学习算法？A. 机器学习算法是一类模拟人类学习过程的计算模型，用于解决各种实际问题B. 机器学习算法可以从大量数据中自动学习规律并进行预测C. 机器学习算法在医学影像分析中有广泛应用，如分类、回归、聚类等D. 机器学习算法可以用于图像重建、图像分割等任务38. 在医学影像分析中，什么是深度学习？A. 深度学习是一种机器学习算法，它模拟人脑神经网络的结构和工作原理B. 深度学习可以处理大量的图像数据，并从中提取有用的特征C. 深度学习在医学影像分析中的应用包括图像分类、分割、检测等D. 深度学习可以用于生成新的医学影像，如合成孔径雷达图像等39. 在医学影像分析中，什么是后处理技术？A. 后处理技术是对医学影像数据进行加工和处理的过程B. 后处理技术可以提高图像的质量和诊断准确性C. 后处理技术包括滤波、变换、增强等多种技术D. 后处理技术主要用于改善图像的视觉效果40. 在医学影像分析中，什么是多模态成像？A. 多模态成像是指同时获取多种不同模态的医学影像数据B. 多模态成像可以提供更丰富的信息，有助于提高诊断准确性C. 多模态成像包括联合成像、序列成像等D. 多模态成像主要用于图像融合和三维重建二、问答题1. 什么是医学影像分析？它的主要步骤有哪些？2. 如何选择合适的图像处理技术来提高医学影像分析的准确性？3. 什么是深度学习在医学影像分析中的应用？请举例说明。
滤波反投影重建算法原理
滤波反投影（Filtered Inverse Projection, FBP）重建算法是一种由计算机系统控制的以迭代方式进行的三维成像算法。
与传统的CT扫描方法相比，FBP具有以下优势：
（1）采用迭代的方式进行重建，避免了多次投影，从而减少了扫描时间。
（2）能够有效地抑制噪声。
（3）重建出的图像质量好，对噪声不敏感。
FBP重建算法是目前应用最广泛的一种三维成像方法，但由于采用迭代的方式进行重建，所需时间长，而且随着扫描次数的增加，其重建图像质量会下降。
为了解决这一问题，人们提出了多种算法来改进FBP算法。
目前最常用的算法是滤波反投影（Filtered Inverse Projection, FBP）算法和最小均方误差（Minimum Mean Square Error, MMSE）算法。
这两种算法均是从FBP算法演变而来。
FBP重建图像时通过多次扫描得到一系列二维数据，这些数据可以看作是原始数据的一部分，称为投影矩阵。
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《滤波反投影程序设计报告》课程名称：生物医学图像处理2院系：生物医学工程姓名：学号：完成日期： 2017年4月23日一、设计目的用Matlab实现平行束滤波反投影算法，比较不同滤波函数的效果。
二、实验原理（一）图像重建模型——shepp Logan头模型是图像重建标准体模，由10个位置、大小、方向、密度各异的椭圆组成，代表一个脑部断层。
（二）重建理论推导中心切片定理是从投影图像重建图像的理论基础，表述为：某断层图像f(x,y)在视角为θ时得到的平行投影的一维傅里叶变换等于f(x,y)二维傅里叶变换F（w1,w2）过原点的一个垂直切片，且切片与轴w1相交成θ角。
如下图所示。
公式表述为：F（wcos,wsin）=P(w,) ①将在-坐标系中表达的F（w1,w2）引入新的极坐标系中，新坐标系与原坐标系原点重合，有w1=wcos,w2=wsin.面元换算为dw1dw2=wdwd.有 f(x,y)=== +②注意到在其傅里叶变换存在如下关系：P(w,将上式代入②式，有f(x,y)=③令③式内积分等于g(xcos+ysin),则有g(xcos+ysin)=t=xcosθ+ysinθdw实际上，g(xcos+ysin)就是投射角度为时的滤波投影，在t-s坐标系中表达时，转化为g（t,）=h(t)*p(t,),h(t)是传递函数H（w）=|w|的傅里叶逆变换，p(t,)是P（w,）的傅里叶逆变换。
所以③式可写成f(x,y)=θ④在图中注意到Xr=rcos()=xcos是从原点出发的通过点（r,）的射线方程，④式可写为：f(x,y)=④⑤两式表明：f(x,y)在（x,y）处的重建，等于通过该点的所有角度下滤波投影的累加所得到的像素值，而Xr=rcos()=xcos的变化代表了所有平行投影射线。
（三）Radon变换一个无限薄的切片内相对线性衰减系数的分布是由它的所有线积分的集合唯一决定，揭示了函数和投影之间的关系，若函数为f(x,y),则不同角度下的投影可写为P(t,)=⑥（四）滤波函数由于直接反投影法把取自有限空间的投影均匀回抹到了射线所及的无限空间的各个像素上，使得原来像素值为0的点不为0，从而产生星状伪迹，滤波反投影算法用人为设计的一维滤波函数对所得投影数据进行卷积，而后进行反投影和累加时，由于正负抵消，可一定程度上消除星状伪迹。
平行束滤波反投影1100500121 赵伟伦 准备知识:一维Fourier 变换：dt et f f f F t i ⎰+∞∞--⋅==πωω2)()(~)( 一维逆Fourier 变换： ωωπωd e f f F x f t i ⎰+∞∞--⋅==21)(~)~()( 且有：)~(~),(11f F F f f F F f --⋅=⋅=重要的性质：（卷积特性） )(~)(~)*(ωωgf g f F ⋅=； )(~)(~)(ωωgf g f F *=⋅ 二维Fourier 变换： dX e x x f f f F x x i R ),(),(22121221212),(),(~)(⋅-⎰==ωωπωω；逆二维Fourier 变换： Ω==⋅-⎰d e f f F x x f x x i R ),(),(221122121212),(~)~(),(ωωπωω；中心切片定理：),)(ˆ()(2ϕωωfF f F r =Φ, 其中),(ˆϕr f 是),(21x x f 的Radon 变换： 解释：一个二元函数的Radon 变换关于r 的一维Fourier 变换与这个二元函数的二维Fourier 变换形式相等。
滤波反投影：思路：)(),(121f F F x x f ⋅=-()()[][]ϕϕωωϕωϕωϕωωϕωϕωϕωωωϕωωϕωϕωωϕωϕωωωϕωωωππωωππωωππωωππωωπd r f F r d fF F d d e fF x x r d d e fF d d e f F d d e f d d e f F X r x x r r r r i r x x i r x x i r x x i x x i R Φ⋅=-Φ⋅=-∞+∞-⋅∞+∞-⋅∞+⋅∞+⋅*⇔=⋅⇔⇔Φ⋅=Φ=⇔⇔⇔⇔⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)(H ),(ˆfourier fourier ),()(H ),)(ˆ(]),)(ˆ([),),(),(),(),)(ˆ(),)(ˆ()(~)(1),(1202121),(),(20),(),(2200),(),(2200221),(),(222121212121212121212变化变化等于函数点乘后的个函数的卷积的并根据卷积的性质：两设旋转角为为坐标映射到探测器上，设为用极坐标方式表示出来（把，可知），（由于中心切片定理)(),(~),(r H r f r G *=ϕϕ)(r H 是滤波器总结：ϕϕϕωωϕωππωπd r H r fd def F X f X r X r r i r Φ⋅=Φ⋅=+∞∞-⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=)(*),(ˆ),)(ˆ()(020 解释为：投影数据),(ˆϕr f 先进行滤波)(*),(ˆr H r f ϕ 在对滤波数据进行投影ϕϕπd r H r f X r Φ⋅=⎰)(*),(ˆ0简单例子：（大圆与小圆）通过已得到的正投影‘round.dat’经过滤波后，反投影后的图像。
基于滤波反投影算法的CT系统参数标定及成像研究摘要本文主要针对CT系统的参数标定以及成像进行研究，在大致介绍CT设备及其成像原理的基础上，对题目所给问题进行分析计算解答，并采用基于滤波反投影重建算法的逆Radon 变换等算法对数据进行处理分析，得出结果，经过误差分析后，与CT系统自身特点相结合，结果比较理想。
问题一:根据X射线与标定模板的特殊位置如图（4）和图（8），两位之间角度90o，分析特殊位置图形，然后用MATLAB软件可画出CT系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次的图，找到与特殊位置图形描述相近的图形，发现两特殊位置旋转次数差为90次，由此确定X射线的180个方向，探测器单元之间的距离=椭圆的长轴长/长轴长投影在探测器上单元的数量，由于旋转中心的位置和椭圆中心的位置相对不变，所以根据x和y的偏移量来确CT系统旋转中心在正方形托盘的位置。
问题二：建立CT系统滤波反投影重建算法，用iradon函数对附件2接收信息数据逆变换，即可得到出未知介质的吸收率，未知介质的几何形状，位置等信息。
问题三：由题意可知，该题同问题二相似，只是要求求另一种未知介质的相关信息，所以此题所用数学方法和问题二相同。
问题四：题目所给标定模型存在一定的规律性，并且容易受外界环境的影响，因此计算得到的CT系统参数存在误差。
所以我们自行设计了新的模板来改进标定精度和稳定性。
关键词：特殊位置、滤波反投影重建算法、逆Radon变换一、问题重述CT可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。
一种典型的二维CT系统是平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。
X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。
对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。
探讨滤波反投影法和迭代算法对肺部CT图像质量的影响【摘要】目的探讨滤波反投影法（FBP）和迭代算法（IR）对肺部CT图像质量的影响。
方法选取100例健康患者，要求图像质量优良，能完全符合诊断要求，采用Philips Brilliance 256层螺旋CT（iCT）对肺部图像分别行FBP和IR重建，使用FBP方法重建图像为A组，使用IR方法重建图像为B组。
使用配对样本t检验对2组图像CT值、噪声（SD）、信噪比（SNR）、对比信噪比（CNR）进行统计学分析，p＜0.05为差异有统计学意义。
结果 A组与B组CT值差异（p≥0.05）没有统计学意义，SD、SNR、CNR差异（p＜0.05）均有统计学意义。
结论使用迭代重建方法能有效的减少图像的噪声，改善图像质量。
【关键词】体层摄影术；X线计算机；滤波反投影；迭代算法1972年第一台CT机问世以来，CT技术给医学诊断带来革命性的影响。
计算机断层扫描成像（Computerized Tomography简称CT）是利用一定能量的射线穿过人体时，不同厚度和原子序数的物质对射线衰减不同这一特性成像的。
也就是说，当射线穿过人体时，可以测量投射出后的投影，通过对不同方向得到的多个投影进行图像重建，来获取人体截面的图像。
CT图像重建常用的算法主要有解析法和迭代算法，解析算法中以滤波反投影算法（FBP）最具代表性，PHILIPS 256层螺旋CT iDose4技术为第四代迭代重建（IR）技术，去除各种低光子伪影，从而最有效地抑制低剂量伪影，去除噪音。
作者主要研究iDose4重建算法与FBP重建算法比较，对肺部图像质量的影响。
1.资料与方法1.1 一般资料选取我院2013年5月--2014年5月100例行肺部CT检查的患者，要求肺部纹理清晰，边缘锐利，没有明显的呼吸运动伪影及金属伪影，能完全满足诊断要求。
其中男43例，女57例，年龄范围40–85岁，平均68.5岁。
对同一患者分别用FBP和iDose4方法重建，使用FBP方法重建图像为A组，使用iDose4方法重建图像为B组。
滤波反投影法：
滤波反投影法根据附件三所给接收信息，采用先修正、后投影重建图像的做法，可得到原始图像的吸收率信息。
其原理为：在得到某一角度下的投影函数（一维函数）后，对此函数做滤波处理，得一修正后的滤波函数，再对修正后的滤波函数做反投影运算，得待检测介质吸收率在正方形托盘中的每一点的分布密度函数f(x,y)。
图1给出了滤波反投影法重建原始图像的流程图。
图1 滤波反投影法流程图
反投影法重建原始图像的步骤：
（1）在对应于投影函数的角度下对投影函数做一维Fourier变换；
（2）对（1）得到的变换结果乘以权重因子|ρ|；
（3）对（2）加权后得到的结果做一维傅立叶；
（4）对（3）所得函数做直接反投影；
（5）改变投影角度，得到180个不同的投影角度，对每一角度，重复上述步骤（1）~（4）。
R-L（Ram-Lak）滤波函数：
此函数的基本条件是二维图像函数的频率是有界的，显然，此题所得附件五的所有数据满足此条件。
故频域中的滤波函数可表示为：
Gρ=ρ，ρ≤ρ0 0，其它
其函数图像如图1.
图1 R-L滤波函数图像
连续的R-L卷积函数所得结果为：
g R=ρ02[2sin c2ρ0R−sin c2ρ0R]离散的R-L卷积函数所得结果为：
g nT=
1
4T2，n=0 0 ，n为偶数−
1
，n为奇数
根据上述滤波原理，在本题中，对附件五中数据的具体滤波过程可用Matlab内置的Ram-Lak命令实现。
