03=空间力系
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03第三章 空间力系
m (F) = m (F ) z O xy = m (F ) +m (F ) O x O y
即
m (F) = xY − yX z
同理可得其余两式，即有：
m (F) = yZ − zY x my (F) = zX − xZ m (F) = xY − yX z
力对轴的矩的解析式
三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 ⒈ 定理 力对点的矩矢在通过该点的 任意轴上的投影等于这力对于该 轴的矩。 轴的矩。这就是力对点之矩与对 通过该点轴之矩的关系。 通过该点轴之矩的关系。 ⒉ 证明
第3章 章 空 间 力 系
本章重点、 本章重点、难点
⒈重点
力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 空间力系平衡方程的应用。 空间力系平衡方程的应用。 常见的空间约束及约束反力。 常见的空间约束及约束反力。
⒉难点
空间矢量的运算， 空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体 图。
四、空间力偶系的合成与平衡 ⒈ 合成 由于空间力偶系各力偶是自由矢量，只要不改变各分力偶 矩矢方向，将它们都滑移至某汇交点，它们的合成符合矢量合 成法则。 即：合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和。
n i= 1
即： m = m +m +m +L m = ∑m + n 1 2 3 i
2 2 大小： m = mx ห้องสมุดไป่ตู้m2 +mz ; y
四、力对点的矩的解析求法 又由于
m (F) = r ×F O =[m (F)]xi +[m (F)]y j +[m (F)]z k O O O
=mx (F)i +my (F) j+mz (F)k
3 空间力系
例题3 例题3-6
及各尺寸， 均质长板 重为P及各尺寸，A处作用水平力 已知： 已知： F=2P。 F=2P。求：各杆内力 解：研究对象为长方板 受力如图
P a M 6 6 ∑ AB(F) =0 −F ⋅a−2⋅P=0 F = 2 M ∑ AE(F) =0 F =0 5 M F =0 ∑ AC(F) =0 4
Fz
α=7 ° 1 64 '
z
F
β =7 ° ' 17
γ =2 ° 3
空间汇交力系平衡的充分必要条件(平衡方程)： 空间汇交力系平衡的充分必要条件(平衡方程)
例3-2 如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂 3 节点O，其上作用有铅直载荷F。钢丝OA和 所构成的平面垂直于 节点 ， 其上作用有铅直载荷 。 钢丝 和 OB所构成的平面垂直于 铅直平面Oyz，并与该平面相交于OD，而钢丝 则沿水平轴 。已知 ，并与该平面相交于 ，而钢丝OC则沿水平轴 则沿水平轴y。 铅直平面 OD与轴 间的夹角为 ，又∠AOD = ∠BOD = α，试求各钢丝中的拉 与轴z间的夹角为 ， 与轴 间的夹角为β， 力。
在三轮货车上放着一重W=1 000 kN的货物，重力 的货物， 例3-4 在三轮货车上放着一重 的货物 重力W 的 作 用 线 通 过 矩 形 底 板 上 的 点 M 。 已 知 O1O2=1 m ， O3D=1.6 m，O1E=0.4 m，EM=0.6 m，点D是线段 1O2的中 点 是线段 是线段O 试求A，B，C，各处地面的铅直反力。 各处地面的铅直反力。 点，EM⊥ O1O2。试求 试求 各处地面的铅直反力
合力偶） ⊕ 主矩 Mo (合力偶） 合力偶
3）空间任意力系的平衡方程 ）
F F F ∑ =0, ∑ =0, ∑ =0
力学第三章空间力系
第三章空间力系二、基本内容1. 基本概念1) 力在空间直角坐标轴的投影(a) 直接投影法：巳知力F 和直角坐标轴夹角a 、丫,则力F 在三个轴上的投 影分别为X = F cos aZ = Feos/(b) 间接投影法(即二次投影法)：巳知力F 和夹角八°,则力F 在三个轴上的 投影分别为X = F sin/cos^9Y = F sin/sin 。
Z = F cos/2) 力矩的计算(a) 力对点之矩—、目的和要求能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。
熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。
对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。
了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。
能正确地画出各种常见空间的约束反力。
会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。
对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体 的重心。
1、2、3、4、5、6^ 7、在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为i j kM0(F) = rx F = x y z = (yZ - zY)i + (zX - xZ)j + (xY - yX)kX Y Zr = xi + yj + zk F = Xi+ Yj + Zk其中尸为力尸作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即M Z(F) = ±F u,h = +2AOAB在直角坐标条下有Mx (乃=yZ-zY M y (F)=zX-xZ M z (F) =xY-yX(c)力矩关系定理力对己知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。
在直角坐标系下有Mo(F)^M x(F)i+My(F)j+M2(F)k(d)合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo g)二 W, (F)空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即M z(F R)=ZM z(F)=Z(xY-yX)3)空间力偶及其等效条件(a)力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢肱表示。
[理学]第三章空间力系
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a B
NAy
A
a
D
a C
S8 2 2
NAx
P1
35
平面静力学在工程中的应用举例
解法2:（截面法） 1、取整体为研究对象，受力分析如图。 列平衡方程：
F E a a D a C a
P2 NB
B
F 0 : N Ax P2 0
x
NAy
A
F 0:
y
A
N B N Ay P 1 0
y
M 0 ZdAi hr hr ZdA
i 0 A n 1
zc
G
c
Gi
yc
Z
Sy A
O
z
ZC
ZC
ZdA 令： S y zdA A
A
A
同理：YC
YdA 令： S z ydA A
A
YC
A
Sz A
21
第四节 物体的重心
一、物体的重心计算公式
均质平面薄板其形 心坐标即为重心坐标 y
NAx
P1
m F 0 : P 1 a P 2 a N B 3a 0
联立求解 NB=2 KN
NAx=-2kN NAy=2 KN
36
平面静力学在工程中的应用举例
2、取左部分为分离体，受力分析如图。 列平衡方程：
NAy
A a D F
S4
S5
a
Fx 0 :
Fy 0 :
Fz
Fy
Fx
Fxy
4
2、二次投影法
2）将力在平面Oxy上的投影Fxy再次向X轴、Y轴 投影，结合F向Z轴的投影得到F沿X、Y、Z轴 的投影分力：
NAy
A
a
D
a C
S8 2 2
NAx
P1
35
平面静力学在工程中的应用举例
解法2:（截面法） 1、取整体为研究对象，受力分析如图。 列平衡方程：
F E a a D a C a
P2 NB
B
F 0 : N Ax P2 0
x
NAy
A
F 0:
y
A
N B N Ay P 1 0
y
M 0 ZdAi hr hr ZdA
i 0 A n 1
zc
G
c
Gi
yc
Z
Sy A
O
z
ZC
ZC
ZdA 令： S y zdA A
A
A
同理：YC
YdA 令： S z ydA A
A
YC
A
Sz A
21
第四节 物体的重心
一、物体的重心计算公式
均质平面薄板其形 心坐标即为重心坐标 y
NAx
P1
m F 0 : P 1 a P 2 a N B 3a 0
联立求解 NB=2 KN
NAx=-2kN NAy=2 KN
36
平面静力学在工程中的应用举例
2、取左部分为分离体，受力分析如图。 列平衡方程：
NAy
A a D F
S4
S5
a
Fx 0 :
Fy 0 :
Fz
Fy
Fx
Fxy
4
2、二次投影法
2）将力在平面Oxy上的投影Fxy再次向X轴、Y轴 投影，结合F向Z轴的投影得到F沿X、Y、Z轴 的投影分力：
第3章 空间力系
４７第3章 空间力系本章要点● 理解力在空间直角坐标轴上的投影● 理解力对轴之矩● 掌握空间力系的平衡方程及其应用● 掌握重心及其计算前面我们讨论了平面力系，平面力系中各力的作用线分布在同一平面内，这是物体受力的特殊情况，现在将讨论物体受力的最一般的情况——空间力系。
当力系中各力的作用线不在同一平面，而呈空间分布时，称为空间力系。
本章主要介绍空间力系的简化与平衡问题。
在工程实际中，有许多问题都属于这种情况。
如图3-1所示车床主轴，受有切削力F x 、F y 、F z 和齿轮上的圆周力F t 、径向力F n 以及轴承A 、B 处的约束反力，这些力构成一组空间力系。
与平面力系一样，空间力系可分为空间汇交力系、空间平行力系及空间一般力系。
图3-1 车床主轴3.1 力在空间直角坐标轴上的投影在平面力系中，常将作用于物体上某点的力向坐标轴x 、y 上投影。
同理，在空间力系中，也可将作用于空间某一点的力向坐标轴x 、y 、z 上投影。
具体作法如下：1.直接投影法若一力F 的作用线与x 、y 、z 轴对应的夹角已经给定，如图3-2a 所示，则可直接将力F 向三个坐标轴投影，得⎪⎭⎪⎬⎫=== cos cos cos γβαF F F F F F z y x （3-1）４８其中，α、β、γ分别为力F 与x 、y 、z 三坐标轴间的夹角。
2.二次投影法当力F 与x 、y 坐标轴间的夹角不易确定时，可先将力F 投影到坐标平面xoy 上，得一力F xy ，进一步再将F xy 向x 、y 轴上投影。
如图3-2b 所示。
若γ为力F 与z 轴间的夹角，φ为F xy 与x 轴间的夹角，则力F 在三个坐标轴上的投影为⎪⎭⎪⎬⎫===== cos sin sin sin cos sin cos γϕγϕϕγϕF F F F F F F F z xy y xy x （3-2）图3-2 二次投影法具体计算时，可根据问题的实际情况选择一种适当的投影方法。
空间力系(工程力学课件)
空间力系平衡方程的应用
二、空间力系平衡方程 空间汇交力系和空间平行力系是空间任意力系的特殊情况，由式（5-10） 可推出空间汇交力系的平衡方程为
空间力系平衡方程的应用
例1 如图5.8（a）所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳子CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于 x轴。已知：CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30°(参见 图5.8（b）)，物重P=l0kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳
Fxy在与z轴垂直的xy面内
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 为代数量
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面
上的投影对轴与平面交点之矩。
x
特殊情况：
Oh Bh A
1、力与轴平行，矩为零。
y
2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，矩为零。
力对轴之矩及合力矩定理
1. 力对轴之矩
解：
2.由合力矩定理求F轴之矩FzFx Fra bibliotekxyFy
2F M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 2 6 10606.6N m
M y (F ) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) 0 0
2F 5 8838.8N m 2
例2 图5.4（a）所示为一圆柱斜齿轮，，, 其上受啮合力F作用。已知斜齿轮 的螺旋角β和压力角α。试求啮合力F在坐标轴x、y、z的投影。
解 先将啮合力F向坐标轴z和 坐标平面Oxy投影，如图5.4（b） 所示，得
Fz F sin Fxy F cos
第三章 空间力系
Ft tan Fa Ft tan Fr cos
第三章 空间力系
【课堂练习】图示力F作用在A点，此力在x轴、y轴、z轴 上的投影分别是多少？
第三章 空间力系
三、交于一点且互相垂直的三力的合成
力直角平行六面体法则
F＝
Fx2 Fy2 Fz2
Fx cosα＝ F
Fy cosβ＝ F
第三章 空间力系
（2）力F对各坐标轴之矩为： Mz(F )= Mz(Fx)+Mz(Fy)= -Fx· y+Fy· x= -10.98 N· m Mx(F )=Mx(Fy)+Mx(Fz)= -Fy· z-Fz· y= -105 N· m My(F)=My(Fx)+My(Fz)=Fx· z+Fz· x=53.3 N· m。
解：
（1）确定车刀刀尖为研究对象，以工件主轴为水平轴空间 直角坐标系。
第三章 空间力系
（ 2）刀尖受力分析
刀尖受到径向力Fx（沿x轴方向）、轴向力Fy（沿y轴方 向）、圆周力Fz（沿z轴方向）的作用。 （3）用力直角平行六面体法则求合力F 以三力Fx、Fy、Fz为棱边作一直角平行六面体，则此六面 体的对角线即为三力的合力F＝19.6 kN
第三章 空间力系 三、空间力系的平衡条件和平衡方程
力矢的主矢和力系对空间任意一点的主矩都等于零。
FR' 0
，
Mo 0
Fy =0 Fy=0 Fz=0 Fz =0 Mx(F )=0 Mz(F )=0
• 空间汇交力系力系 Fx =0 • 空间平行力系力系 Fy=0 • 空间任意力系力系 Fx=0 • 空间力偶系力系
第三章 空间力系 四、空间力系平衡的平面解法
1．确定研究对象，画出受力图。
空间力系分解课件
定性。
科学研究
在物理、化学、生物等领域中，需 要进行空间力系的解析分解，以研 究受力对物质运动和变化的影响。
日常生活
在日常生活中，许多设备和工具都 需要考虑力的作用和影响，如车辆 、家具、玩具等，因此也需要进行 空间力系的解析分解。
04
CATALOGUE
空间力系分解的实例分析来自实例一：斜拉桥的受力分析
平衡法
根据力的平衡条件，将空 间力系分解为若干个平衡 的子力系，然后分别进行 分析。
02
CATALOGUE
空间力系的几何分解
空间力系的几何表示
空间力系
在三维空间中，力系是由多个力矢量组成的系统。这些力矢量具有大小、方向 和作用点，并且遵循牛顿第三定律。
几何表示
空间力系可以用矢量图来表示，其中每个力矢量由一个箭头表示，箭头的长度 代表力的大小，箭头的指向代表力的方向，箭头的起点代表力的作用点。
在空间力系分解时，需要明确力的方向， 以确保分力是唯一的。
力系分解的发展趋势与展望
智能化与自动化
随着人工智能和机器学习技术的发展，未来空间力系分解将更加智能 化和自动化，能够自动识别和选择最佳的分解方法。
多学科交叉融合
空间力系分解将进一步与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，推 动相关领域的发展。
空间力系
在三维空间中，力系由三个互相垂直 的主矢和三个互相垂直的主矩组成， 主矢描述力的大小和方向，主矩描述 力矩的大小和方向。
力系分解的意义
01
02
03
简化问题
通过将复杂的力系分解为 简单、易于处理的子力系 ，可以简化问题的分析和 计算。
便于分析
分解后的力系可以更好地 揭示力的作用效果和相互 关系，便于对问题进行深 入分析。
科学研究
在物理、化学、生物等领域中，需 要进行空间力系的解析分解，以研 究受力对物质运动和变化的影响。
日常生活
在日常生活中，许多设备和工具都 需要考虑力的作用和影响，如车辆 、家具、玩具等，因此也需要进行 空间力系的解析分解。
04
CATALOGUE
空间力系分解的实例分析来自实例一：斜拉桥的受力分析
平衡法
根据力的平衡条件，将空 间力系分解为若干个平衡 的子力系，然后分别进行 分析。
02
CATALOGUE
空间力系的几何分解
空间力系的几何表示
空间力系
在三维空间中，力系是由多个力矢量组成的系统。这些力矢量具有大小、方向 和作用点，并且遵循牛顿第三定律。
几何表示
空间力系可以用矢量图来表示，其中每个力矢量由一个箭头表示，箭头的长度 代表力的大小，箭头的指向代表力的方向，箭头的起点代表力的作用点。
在空间力系分解时，需要明确力的方向， 以确保分力是唯一的。
力系分解的发展趋势与展望
智能化与自动化
随着人工智能和机器学习技术的发展，未来空间力系分解将更加智能 化和自动化，能够自动识别和选择最佳的分解方法。
多学科交叉融合
空间力系分解将进一步与数学、物理、工程等多个学科交叉融合，推 动相关领域的发展。
空间力系
在三维空间中，力系由三个互相垂直 的主矢和三个互相垂直的主矩组成， 主矢描述力的大小和方向，主矩描述 力矩的大小和方向。
力系分解的意义
01
02
03
简化问题
通过将复杂的力系分解为 简单、易于处理的子力系 ，可以简化问题的分析和 计算。
便于分析
分解后的力系可以更好地 揭示力的作用效果和相互 关系，便于对问题进行深 入分析。
第三章空间力系概论
cos Fx Fx2 Fy2 Fz2 cos Fy Fx2 Fy2 Fz2 cos Fz Fx2 Fy2 Fz2
§3-1 空间汇交力系
例3-1:支柱AB顶端B上作用两个力,大小均为2kN，方向如图所示。
试分别写出两个力在三个坐标轴上的投影。
§3-1 空间汇交力系
例3-1:支柱AB顶端B上作用两个力,大小均为2kN，方向如图所示。
M rBA F
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改
变而改变。 （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内
任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小
与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变. (4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面
2.力对轴的矩
M z (F) MO (Fxy) Fxy d
d
Fxy
O
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) Fy x Fx y
F,l, a,
求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos M y F Fl cos
M z F F l a sin
§3–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
§3-1 空间汇交力系
例3-1:支柱AB顶端B上作用两个力,大小均为2kN，方向如图所示。
试分别写出两个力在三个坐标轴上的投影。
§3-1 空间汇交力系
例3-1:支柱AB顶端B上作用两个力,大小均为2kN，方向如图所示。
M rBA F
2、力偶的性质 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改
变而改变。 （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内
任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小
与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变. (4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面
2.力对轴的矩
M z (F) MO (Fxy) Fxy d
d
Fxy
O
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) Fy x Fx y
F,l, a,
求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F 分解如图
M x F F l a cos M y F Fl cos
M z F F l a sin
§3–3 空间力偶
1、力偶矩以矢量表示－－力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
最新03=空间力系
如图，现有一力 F 作用在可以绕 z 轴转动的圆盘上。
将力 F 分解为 Fxy 和 Fz ，由于Fz与转轴 Z平行，不能使圆盘 绕 Z 轴转动，故它对 z 轴的矩为零。只有垂直 Z 轴的分力 Fxy 对Z z 轴有矩，且等于分力 Fxy 对z 轴与 xy 平面的交点O的矩。
这样，就将空间力对轴的矩，转化成了平面问题中力对点的矩。
15
第三章 空间力系
2）力对轴的矩计算式：
用MZ(F)表示空间力F 对 z 轴的矩，由图得
z
M z(F ) M O (F x)y F xh y 2 A O A B (3 1)1
表明：力对轴的矩MZ(F) ，等于力F在垂直于该轴平面上的投影 Fxy对于这个平面与该轴的交点O的矩。 3）力对轴的矩MZ(F) 是一个代数量，其正负号可按右手螺旋法则确定，或逆向观察 法－与平面力对点的矩的符号规定相同，逆时针为正，顺为负，如图所示。 4)空间力对轴的合力矩定理
1）力矩矢MO(F)
如图，以 r 表示力F作用点的矢径，则力F对点 O的矩可以写为
M O(F)rF(38)
即：力对点的矩MO(F)于矩心到该力作用点的矢径与该 力的矢量积， MO(F)的指向按照右手螺旋法则确定。
q 2）力矩矢MO(F)的大小 M O (F )r FrF si nF h2Δ A OAB
表明：MO(F)的模恰好是力对点O矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右
手螺旋法则来确定，如图所示。也等于三角形OAB面积的两倍。
13
第三章 空间力系 2）力矩的解析表达式
在 (38)： M O (F)rF 中， r,F 在 设 x,y,z轴上的投 x,y 影 ,z;F x 分 ,F y,F 别 z 为
14
第三章 空间力系
将力 F 分解为 Fxy 和 Fz ，由于Fz与转轴 Z平行，不能使圆盘 绕 Z 轴转动，故它对 z 轴的矩为零。只有垂直 Z 轴的分力 Fxy 对Z z 轴有矩，且等于分力 Fxy 对z 轴与 xy 平面的交点O的矩。
这样，就将空间力对轴的矩，转化成了平面问题中力对点的矩。
15
第三章 空间力系
2）力对轴的矩计算式：
用MZ(F)表示空间力F 对 z 轴的矩，由图得
z
M z(F ) M O (F x)y F xh y 2 A O A B (3 1)1
表明：力对轴的矩MZ(F) ，等于力F在垂直于该轴平面上的投影 Fxy对于这个平面与该轴的交点O的矩。 3）力对轴的矩MZ(F) 是一个代数量，其正负号可按右手螺旋法则确定，或逆向观察 法－与平面力对点的矩的符号规定相同，逆时针为正，顺为负，如图所示。 4)空间力对轴的合力矩定理
1）力矩矢MO(F)
如图，以 r 表示力F作用点的矢径，则力F对点 O的矩可以写为
M O(F)rF(38)
即：力对点的矩MO(F)于矩心到该力作用点的矢径与该 力的矢量积， MO(F)的指向按照右手螺旋法则确定。
q 2）力矩矢MO(F)的大小 M O (F )r FrF si nF h2Δ A OAB
表明：MO(F)的模恰好是力对点O矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右
手螺旋法则来确定，如图所示。也等于三角形OAB面积的两倍。
13
第三章 空间力系 2）力矩的解析表达式
在 (38)： M O (F)rF 中， r,F 在 设 x,y,z轴上的投 x,y 影 ,z;F x 分 ,F y,F 别 z 为
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第三章 空间力系
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3)F的图形：如图所示，力F是以Fx=3kN; Fy=3kN; FZ=3kN为楞的长方体的对角线。
9
第三章 空间力系
例3-3：简易起重机为空间铰接结构形成正角锥，各棱边与底面都成倾角θ。B，C处是 活动球铰链支座，D处是固定球铰链支座。顶点A的球铰链承受载荷F，不计各杆自重， 试求各支座的约束力和各杆的内力。
1)力 F 的大小为 F Fx2Fy2Fz252kN
2)力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cosF,i 3 0.42;4F,i θ64.9 52
cosF,j 4 0.56;6 F,j β55.55 52
cosF,k 5 0.707 F;,k γ18045135 52
第三章 空间力系
3）空间汇交力系的合力
将平面汇交力系的合成扩展到空间，可知：空间汇交力系的 合力FR等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点，如 图所示。即
FRF1F2 FnFi (33)
或FRFxiFyjFzk (34)
式中： F x F R ,xF y F R ,tF z F R z 分别为合力FR
F 19.6
A
Fx
x
y Fy
βq γ
Fz
zF
8
第三章 空间力系
例 3-2:已知力沿直角坐标轴的解析式为 F(3i4j5k ) kN, 试求这个力的大小和 方向，并作图表示。 解：由已知条件，和力的解析式
由 F F x i F yj F zk 得 F x ： 3 F y k 4 NF , z k 5 N,kN
q q F x0:F Ac Cocso 3s 0 F Ac Docso 3s 0 0 q q q F y0:F Ac Cossi3n 0 F Ac Dossi3n 0 F Ac Bo s 0 q F z0: F A C F A D F AB sin F 0
解得 FABFACFAD3sFinq,负号表示：受压力
解：由题知：
F x 4 .5 k;N F y 6 .3 k;N F z 1k 8N
\力F 的大小 F Fx2Fy2Fz21.96kN
力F 的方向余弦，及与坐标轴的夹角为
cosq Fx 4.5 0.220，q 76.7
F 19.6
cos Fy 6.3 0.322, 71.1
F 19.6
cos Fz 18 0.919, 23
18
第三章 空间力系
3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系
比较力对点的矩的解析式(3-10)，和力对轴的矩的解析式(3-12)得
M O ( F ) x y z z y ; F M O F ( F ) y z x x Z F ; M O ( F ) z x y y x ( 3 F 1 F ) 0
解得F： BF3; FBCFBD
3Fcoqt
9
由结构和荷载的对称性，可得取球铰C ，D研究的计算结果：
F FCFD3;FCD
3Fcoqt
9
11
第三章 空间力系
12
第三章 空间力系
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示—力矩矢 对于平面力系，由于各力与矩心均位于同一平面内，用代数量表示力对点的矩。 但对于空间力系而言，由于各力与矩心所构成的平面（力矩作用面）的方位不同， 要用矢量来表示。为此引入空间力对点的矩：力矩矢MO(F)的概念。
注：可利用对称性，直接写出FAD＝FAC，以简化计算。
10
第三章 空间力系
3.取球铰B 研究,作受力图，列平衡方程：
F x0,F BC F BD F y0,F BC co3s0 F BD co3s0 F Bc A oq s0
F z0,F BA siqn F B0
由前计算FB得 AF：AB
F
3sinq
Mx(F)yFz zFy My(F)zFx xFz (312) Mz(F)xFy yFx
力F 作用点坐标，沿坐标轴投影分别为：
xl;yla;z0
FxFsiqn ;Fy0;F zFcoqs
由式(3-12)得
q q M x ( F ) y z z F y F ( l a ) F ( c) o 0 0 s F ( l a ) co q q q M y ( F ) z x F x z 0 F F s i ( l n ) ( F c) o F c so l
14
第三章 空间力系
3）空间力对点的矩的作用效应，完全可以用力矩矢MO（F）来表示。 式 (38):M O (F)rF
4）由式(3-8)可知：力矩矢MO（F）与矩心O有关，所 以矢端必须位于矩心O，不可移动，是定位矢量。
2. 力对轴的矩
工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为度量力使刚体绕定轴转动的效应， 有必要了解力对轴的矩的概念。 1)力对轴的矩的概念
在x、y、z轴的投影。
4）合力矢FR的大小，方向余弦
合F 力 R F R 2 大 F x R 2 F y R 2 z 小 ( F x ) 2 i ( ： F y ) 2 i ( F z) 2 i ( 3 5 )
方 c F 向 R o , i ) F R s x F 余 ( x ; c F R o , j ) 弦 F R s y F ( y ; c ： F R o , k ) F R s z F ( z( 3 5 )
F RF R
F RF R
F RF R
6
第三章 空间力系
3. 空间汇交力系的平衡方程
由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合力FR，因此， 空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力FR等于零，即
F R F 1 F 2 F n F i 0 ( 3 6 )
由式（3-5）知，使FR＝0，须满足： 合力 F R 大 ( F x)2 i小 ( F y) i ： 2 ( F z) i2(3 5 )
表明：MO(F)的模恰好是力对点O矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右
手螺旋法则来确定，如图所示。也等于三角形OAB面积的两倍。
13
第三章 空间力系 2）力矩的解析表达式
在 (38)： M O (F)rF 中， r,F 在 设 x,y,z轴上的投 x,y 影 ,z;F x 分 ,F y,F 别 z 为
2)举例
20
第三章 空间力系
教材P85，例3-4: 手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图所示，它在垂 直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为q。如果CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平行 于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。
a ll
解1 解析法：根据式(3-12)求解
15
第三章 空间力系
2）力对轴的矩计算式：
用MZ(F)表示空间力F 对 z 轴的矩，由图得
z
M z(F ) M O (F x)y F xh y 2 A O A B (3 1)1
表明：力对轴的矩MZ(F) ，等于力F在垂直于该轴平面上的投影 Fxy对于这个平面与该轴的交点O的矩。 3）力对轴的矩MZ(F) 是一个代数量，其正负号可按右手螺旋法则确定，或逆向观察 法－与平面力对点的矩的符号规定相同，逆时针为正，顺为负，如图所示。 4)空间力对轴的合力矩定理
M O (F [M )x (F )]2 [M y(F )]2 [M z(F )]2
co M O s ,i) (M x (F ) , M c O ,jo )s M x ((F ),
|M O (F )|
|M O (F )|
cM o O ,k )s ( M x (F ) (3 1)4 |M O (F )|
表明：即力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影(如：[Mo(F)]x)，等于这力对 于该轴的矩(如：Mx(F)) 。
式(3-13)建立了力对点的矩与力对于该轴的矩的关系。
19
第三章 空间力系
1)力对点的矩的大小，方向
如果已知力对通过点O直角坐标轴x,y,z的矩：Mx,My,Mz，则可求得过点O的
力矩MO的大小，方向。
如图，现有一力 F 作用在可以绕 z 轴转动的圆盘上。
将力 F 分解为 Fxy 和 Fz ，由于Fz与转轴 Z平行，不能使圆盘 绕 Z 轴转动，故它对 z 轴的矩为零。只有垂直 Z 轴的分力 Fxy 对Z z 轴有矩，且等于分力 Fxy 对z 轴与 xy 平面的交点O的矩。
这样，就将空间力对轴的矩，转化成了平面问题中力对点的矩。
n
对于空间： 汇 FR ＝ 交 Fi， 力则 M 系 Z(F ： R ， ) 若 M Z(Fi) i1
表明：若空间汇交力系有合力FR，则合力对某轴的矩＝各 分力对该轴的力矩的代数和。称为：空间汇交力系对轴的 合力矩定理。
5) 力对轴的矩等于零的情形： ①若力F与转轴Z相交；②若力F与转轴Z平行，即共面时。
解： 1.取球铰链A研究，作受力图。建坐标系Bxyz。 由于ABCD是正交锥，所以q =∠ CBD=∠ BDC= ∠DCB =＝60o。且y轴平分∠CBD，EC，DE分别平分 ∠DCB 和∠ BDC。
2.列平衡方程：为求各力在轴x，y上的投影，采用间 接投影法，注意：力F 在坐标面Oxy上投影为零。
1）力矩矢MO(F)
如图，以 r 表示力F作用点的矢径，则力F对点 O的矩可以写为
M O(F)rF(38)
即：力对点的矩MO(F)于矩心到该力作用点的矢径与该 力的矢量积， MO(F)的指向按照右手螺旋法则确定。
q 2）力矩矢MO(F)的大小 M O (F )r FrF si nF h2Δ A OAB
于是 F x 0得 F ,y 0F ： ,Z 0(3 7 )
结论：空间汇交力系平衡的必要充分条件是，力系中所有的力在三轴上的投影的代 数和分别等于零。 式（3－7）称为：空间汇交力系的平衡方程。
式(3-7)有三个独立方程，可求解也只能求解三个求知数。
9
第三章 空间力系
例3-3：简易起重机为空间铰接结构形成正角锥，各棱边与底面都成倾角θ。B，C处是 活动球铰链支座，D处是固定球铰链支座。顶点A的球铰链承受载荷F，不计各杆自重， 试求各支座的约束力和各杆的内力。
1)力 F 的大小为 F Fx2Fy2Fz252kN
2)力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cosF,i 3 0.42;4F,i θ64.9 52
cosF,j 4 0.56;6 F,j β55.55 52
cosF,k 5 0.707 F;,k γ18045135 52
第三章 空间力系
3）空间汇交力系的合力
将平面汇交力系的合成扩展到空间，可知：空间汇交力系的 合力FR等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点，如 图所示。即
FRF1F2 FnFi (33)
或FRFxiFyjFzk (34)
式中： F x F R ,xF y F R ,tF z F R z 分别为合力FR
F 19.6
A
Fx
x
y Fy
βq γ
Fz
zF
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第三章 空间力系
例 3-2:已知力沿直角坐标轴的解析式为 F(3i4j5k ) kN, 试求这个力的大小和 方向，并作图表示。 解：由已知条件，和力的解析式
由 F F x i F yj F zk 得 F x ： 3 F y k 4 NF , z k 5 N,kN
q q F x0:F Ac Cocso 3s 0 F Ac Docso 3s 0 0 q q q F y0:F Ac Cossi3n 0 F Ac Dossi3n 0 F Ac Bo s 0 q F z0: F A C F A D F AB sin F 0
解得 FABFACFAD3sFinq,负号表示：受压力
解：由题知：
F x 4 .5 k;N F y 6 .3 k;N F z 1k 8N
\力F 的大小 F Fx2Fy2Fz21.96kN
力F 的方向余弦，及与坐标轴的夹角为
cosq Fx 4.5 0.220，q 76.7
F 19.6
cos Fy 6.3 0.322, 71.1
F 19.6
cos Fz 18 0.919, 23
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3. 力对点的矩与力对轴的矩的关系
比较力对点的矩的解析式(3-10)，和力对轴的矩的解析式(3-12)得
M O ( F ) x y z z y ; F M O F ( F ) y z x x Z F ; M O ( F ) z x y y x ( 3 F 1 F ) 0
解得F： BF3; FBCFBD
3Fcoqt
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由结构和荷载的对称性，可得取球铰C ，D研究的计算结果：
F FCFD3;FCD
3Fcoqt
9
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第三章 空间力系
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第三章 空间力系
§3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示—力矩矢 对于平面力系，由于各力与矩心均位于同一平面内，用代数量表示力对点的矩。 但对于空间力系而言，由于各力与矩心所构成的平面（力矩作用面）的方位不同， 要用矢量来表示。为此引入空间力对点的矩：力矩矢MO(F)的概念。
注：可利用对称性，直接写出FAD＝FAC，以简化计算。
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第三章 空间力系
3.取球铰B 研究,作受力图，列平衡方程：
F x0,F BC F BD F y0,F BC co3s0 F BD co3s0 F Bc A oq s0
F z0,F BA siqn F B0
由前计算FB得 AF：AB
F
3sinq
Mx(F)yFz zFy My(F)zFx xFz (312) Mz(F)xFy yFx
力F 作用点坐标，沿坐标轴投影分别为：
xl;yla;z0
FxFsiqn ;Fy0;F zFcoqs
由式(3-12)得
q q M x ( F ) y z z F y F ( l a ) F ( c) o 0 0 s F ( l a ) co q q q M y ( F ) z x F x z 0 F F s i ( l n ) ( F c) o F c so l
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第三章 空间力系
3）空间力对点的矩的作用效应，完全可以用力矩矢MO（F）来表示。 式 (38):M O (F)rF
4）由式(3-8)可知：力矩矢MO（F）与矩心O有关，所 以矢端必须位于矩心O，不可移动，是定位矢量。
2. 力对轴的矩
工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为度量力使刚体绕定轴转动的效应， 有必要了解力对轴的矩的概念。 1)力对轴的矩的概念
在x、y、z轴的投影。
4）合力矢FR的大小，方向余弦
合F 力 R F R 2 大 F x R 2 F y R 2 z 小 ( F x ) 2 i ( ： F y ) 2 i ( F z) 2 i ( 3 5 )
方 c F 向 R o , i ) F R s x F 余 ( x ; c F R o , j ) 弦 F R s y F ( y ; c ： F R o , k ) F R s z F ( z( 3 5 )
F RF R
F RF R
F RF R
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第三章 空间力系
3. 空间汇交力系的平衡方程
由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合力FR，因此， 空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力FR等于零，即
F R F 1 F 2 F n F i 0 ( 3 6 )
由式（3-5）知，使FR＝0，须满足： 合力 F R 大 ( F x)2 i小 ( F y) i ： 2 ( F z) i2(3 5 )
表明：MO(F)的模恰好是力对点O矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右
手螺旋法则来确定，如图所示。也等于三角形OAB面积的两倍。
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第三章 空间力系 2）力矩的解析表达式
在 (38)： M O (F)rF 中， r,F 在 设 x,y,z轴上的投 x,y 影 ,z;F x 分 ,F y,F 别 z 为
2)举例
20
第三章 空间力系
教材P85，例3-4: 手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，如图所示，它在垂 直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为q。如果CD=a，杆BC平行于x轴，杆CE平行 于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。
a ll
解1 解析法：根据式(3-12)求解
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第三章 空间力系
2）力对轴的矩计算式：
用MZ(F)表示空间力F 对 z 轴的矩，由图得
z
M z(F ) M O (F x)y F xh y 2 A O A B (3 1)1
表明：力对轴的矩MZ(F) ，等于力F在垂直于该轴平面上的投影 Fxy对于这个平面与该轴的交点O的矩。 3）力对轴的矩MZ(F) 是一个代数量，其正负号可按右手螺旋法则确定，或逆向观察 法－与平面力对点的矩的符号规定相同，逆时针为正，顺为负，如图所示。 4)空间力对轴的合力矩定理
M O (F [M )x (F )]2 [M y(F )]2 [M z(F )]2
co M O s ,i) (M x (F ) , M c O ,jo )s M x ((F ),
|M O (F )|
|M O (F )|
cM o O ,k )s ( M x (F ) (3 1)4 |M O (F )|
表明：即力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影(如：[Mo(F)]x)，等于这力对 于该轴的矩(如：Mx(F)) 。
式(3-13)建立了力对点的矩与力对于该轴的矩的关系。
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第三章 空间力系
1)力对点的矩的大小，方向
如果已知力对通过点O直角坐标轴x,y,z的矩：Mx,My,Mz，则可求得过点O的
力矩MO的大小，方向。
如图，现有一力 F 作用在可以绕 z 轴转动的圆盘上。
将力 F 分解为 Fxy 和 Fz ，由于Fz与转轴 Z平行，不能使圆盘 绕 Z 轴转动，故它对 z 轴的矩为零。只有垂直 Z 轴的分力 Fxy 对Z z 轴有矩，且等于分力 Fxy 对z 轴与 xy 平面的交点O的矩。
这样，就将空间力对轴的矩，转化成了平面问题中力对点的矩。
n
对于空间： 汇 FR ＝ 交 Fi， 力则 M 系 Z(F ： R ， ) 若 M Z(Fi) i1
表明：若空间汇交力系有合力FR，则合力对某轴的矩＝各 分力对该轴的力矩的代数和。称为：空间汇交力系对轴的 合力矩定理。
5) 力对轴的矩等于零的情形： ①若力F与转轴Z相交；②若力F与转轴Z平行，即共面时。
解： 1.取球铰链A研究，作受力图。建坐标系Bxyz。 由于ABCD是正交锥，所以q =∠ CBD=∠ BDC= ∠DCB =＝60o。且y轴平分∠CBD，EC，DE分别平分 ∠DCB 和∠ BDC。
2.列平衡方程：为求各力在轴x，y上的投影，采用间 接投影法，注意：力F 在坐标面Oxy上投影为零。
1）力矩矢MO(F)
如图，以 r 表示力F作用点的矢径，则力F对点 O的矩可以写为
M O(F)rF(38)
即：力对点的矩MO(F)于矩心到该力作用点的矢径与该 力的矢量积， MO(F)的指向按照右手螺旋法则确定。
q 2）力矩矢MO(F)的大小 M O (F )r FrF si nF h2Δ A OAB
于是 F x 0得 F ,y 0F ： ,Z 0(3 7 )
结论：空间汇交力系平衡的必要充分条件是，力系中所有的力在三轴上的投影的代 数和分别等于零。 式（3－7）称为：空间汇交力系的平衡方程。
式(3-7)有三个独立方程，可求解也只能求解三个求知数。