高考数学一轮总复习第7章7.4直线平面平行的判定及性质模拟演练理52

第七章§4：直线、平面平行的判定及其性质(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在空间中，下列命题正确的是A．若两直线垂直于同一条直线，则两直线平行B．若两直线平行于同一个平面，则两直线平行C．若两平面垂直于同一个平面，则两平面平行D．若两平面平行于同一个平面，则两平面平行2．若a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是A．α内的所有直线与a异面B．α内与a平行的直线不存在C．α内存在唯一的直线与a平行D．α内的直线与a都相交3．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．其中真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．44．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在α，β内运动时，那么所有的动点CA．不共面B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动都共面5．已知平面α∥平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，点A ∈m ，点B ∈n ，记点A ，B 之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则A ．b ≤c ≤aB ．a ≤c ≤bC ．c ≤a ≤bD ．c ≤b ≤a二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．如图所示，在三棱锥C －ABD 中，E ，F 分别是AC 和BD 的中点，若CD ＝2AB ＝4，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角是______．7．四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝BD ＝1，要使A ，B ，C ，D四点不共面，则AC 的取值范围是________．8．如图所示，ABCD －A1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a 3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外的一点，则在四棱锥 P －ABCD 中，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH.求证：AP ∥GH.10．（本小题满分18分）如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，侧面PBC 内有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝63a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD.参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：对于A项，因为垂直于同一条直线的两条直线可能平行，还可能是异面直线，还可能相交，所以A项错；对于B项，平行于同一平面的两条直线也不一定平行，所以B 项错；对于C项，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行还可能相交，所以C项错；而D项显然成立．故选D项．答案：D2．解析：由题设知，a和α相交，设a∩α＝P，如图，在α内过点P的直线与a共面，A项错；在α内不过点P的直线与a异面，D项错；(反证)假设α内直线b∥a，则∵a⊄α，∴a∥α，与已知矛盾，C项错．故选B项．答案：B3．解析：命题①是线面平行性质定理，命题②是线面垂直的判定定理，命题④是面面垂直判定定理，故①②④为真命题，而如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线平行、相交或异面．答案：C4．解析：根据平行平面的性质，不论A，B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上．答案：D5．解析：如图：α∥β，考虑m，n异面时，m和n的距离等于α，β间的距离，点A到n 的距离可以如下作出：过A作AO⊥面β于O，过O作OC⊥n于C，则AC为A点到直线n的距离，显然，此时c<b<a.当m，n共面时有c＝b＝a.综合上述，则有c≤b≤a.故选D项．答案：D二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：取CB的中点G，连结EG，FG，∴EG∥AB，FG∥CD，∴EF与CD所成的角为∠EFG.又∵EF⊥AB，∴EF⊥EG.在Rt △EFG 中，EG ＝12AB ＝1，FG ＝12CD ＝2，∴sin ∠EFG ＝12， ∴∠EFG ＝30°，∴EF 与CD 所成的角为30°.答案：30°7．解析：如图(1)所示，△ABD 与△BCD 均为边长为1的正三角形，当△ABD 与△CBD 重合时，AC ＝0；将△ABD 以BD 为轴转动，到A ，B ，C ，D 四点再共面时，AC ＝3，如图(2)，故AC 的取值范围是0<AC< 3.答案：(0，3)8．解析：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ.∵M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，AP ＝a 3， ∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223a. 答案：223a 三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）证明：连结AC ，交BD 于O ，连结MO.因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 是AC 的中点，又因为M 是PC 的中点，所以MO ∥PA.又因为MO ⊂平面BDM ，PA ⊄平面BDM.所以PA ∥平面BDM.又因为经过PA 与点G 的平面交平面BDM 于GH ，所以AP ∥GH.10.（本小题满分18分）解：在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ，连结AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ，则F 即为所求作的点．EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ，∴四边形FEGA 为平行四边形，∴FE ∥AG.又AG ⊂平面PAD ，FE ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD.又在△BCE 中，CE ＝BC 2－BE 2＝a 2－23a 2＝33a. 在Rt △PBC 中，BC 2＝CE·CP∴CP ＝a 233a ＝3a.又EG CD ＝PE PC ，∴EG ＝AF ＝23a. ∴点F 为AB 上靠近B 的一个三等分点．。

第四节直线、平面平行的判定及其性质【最新考纲】 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．1．直线与平面平行的判定与性质2.面面平行的判定与性质3.与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”．)(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．( )(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( )(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( )(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( ) 答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．下列命题中正确的是( )A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面βB．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行C．平行于同一条直线的两个平面平行D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α解析：选项A中，a∥β或a⊂β，A不正确．选项B中，a与α内的直线平行或异面，B错．C中的两个平面平行或相交，C不正确．由线面平行的性质与判定，选项D正确．答案：D3．(2015·卷)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由m⊂α，m∥β⇒α∥β.但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．答案：B4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．解析：如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，∴EF∥BD1，又EF⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：平行5．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.其中能推出α∥β的条件是____(填上所有正确的序号)．解析：在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交．由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足．在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，从而α∥β，④满足．答案：②④一种关系——三种平行间的转化关系其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．三个防X——证明平行问题应注意的三个问题1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．2．在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．A级基础巩固一、选择题1．(经典再现)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析：选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误．故选B.答案：B2．正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是( )A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F解析：由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.答案：D3．(2016·某某九校联考)已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β解析：对于选项A，m∥α，n∥α，则m与n可以平行，可以相交，可以异面，故A错误；对于选项B，由线面垂直的性质定理知，m∥n，故B正确；对于选项C，n可以平行β，也可以在β内，故C错；对于选项D，α与β可以相交，D错．4．(2014·某某卷)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α解析：若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，D错．答案：B5．在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：因为截面PQMN是正方形，所以MN∥QP，则MN∥平面ABC，由线面平行的性质知MN∥AC，则AC∥截面PQMN，同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD，故A、B正确．又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．二、填空题6．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是________． 解析：当b 与α相交或b ⊂α或b∥α时，均有满足直线a⊥b，且直线a∥平面α的情形．答案：b∥α或b ⊂α或b 与α相交 7．如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：由于在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面A DC∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.答案： 28．(2016·某某模拟)如图所示，在正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 只需满足条件________时，就有MN∥平面B 1BDD 1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)解析：连结HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.答案：点M在线段FH上(或点M与点H重合)三、解答题9．如图所示，四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD A1B1D1的体积．(1)证明：由题设知，BB1DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1B1C1BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又BD∩A 1B ＝B ，∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)解：∵A 1O ⊥平面ABCD ， ∴A 1O 是三棱柱ABDA 1B 1D 1的高．又AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又S △ABD ＝12×2×2＝1，∴V 三棱柱ABDA 1B 1D 1＝S △ABD ·A 1O ＝1.10．(2015·某某卷)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AC⊥BC，BC ＝CC 1，设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E.求证：(1)DE∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.证明：(1)由题意知，E 为B 1C 的中点， 又D 为AB 1的中点，因此DE∥AC. 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ， 所以DE∥平面AA 1C 1C. (2)因为棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC.因为AC ⊂平面ABC ，所以AC⊥CC 1.因为AC⊥BC，CC 1⊂平面BCC 1B 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， BC ∩CC 1＝C ， 所以AC⊥平面BCC 1B 1.又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1，所以BC 1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.B级能力提升1．(2016·某某联考)设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A是α∥β的一个必要条件；同理，B也是α∥β的一个必要条件；易知C不是α∥β的一个充分条件，而是一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D是α∥β的一个充分条件．答案：D2．如图所示，棱柱ABC A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为________．解析：设BC1∩B1C＝O，连接OD，∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，∴A1B∥OD，∵四边形BCC1B1是菱形，∴O为BC1的中点，∴D为A1C1的中点，则A1D∶DC1＝1.答案：13．(2014·某某卷)如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF.(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．(1)证明：∵BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH所以GH∥BC同理，可证EF∥BC因此GH∥EF.(2)解：连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK ，因为PA ＝PC ，点O 是AC 的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD，又BD∩AC＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO⊥底面ABCD ，又因为平面GEFH⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH.所以PO∥平面GEFH ，因为平面PBD ⊂平面GEFH ＝GK ，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD ，从而GK⊥EF，所以GK 是梯形GEFH 的高，由AB ＝8，EB ＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4从而KB ＝14DB ＝12OB ，则点K 为OB 的中点． 再由PO∥GK，得GK ＝12PO ∴点G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4. 由已知，得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6. ∴GK ＝3，故S 四边形GEFH ＝（GH ＋EF ）2·GK ＝（4＋8）×32＝18.。

2021年高考数学一轮复习第七章第四节直线、平面平行的判定及其性质演练知能检测文[全盘巩固]1．平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面解析：选D 充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．2．(x x·嘉兴模拟)设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是( )A．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件解析：选A A错误，应为既不充分也不必要条件，B，C，D易知均正确，故选A.3．在空间中，下列命题正确的是( )A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则α∥βC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β解析：选D 若a∥α，b∥a，则b∥α或b⊂α，故选项A错误；B中当a∥b时，α、β可能相交，故选项B错误；若α∥β，b∥α，则b∥β或b⊂β，故选项C错误；选项D为两平面平行的性质，故选D.4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：选C 当异面直线l、m满足l⊂α，m⊂β时，α、β也可以相交，故①错；若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l、m平行或异面，故②错；如图所示，设几何体三个侧面分别为α、β、γ.交线为l、m、n，若l∥γ，则l∥m，l∥n，则m∥n，故③正确．5.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条解析：选D 平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行，故选D.6．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A．①③ B．①④ C．②③ D．②④解析：选B ①如图1，由平面ABC∥平面MNP，可得AB∥平面MNP.图1 图2④如图2，由AB∥CD，CD∥NP，得AB∥NP，又AB⊄平面MNP，NP⊂平面MNP，所以AB∥平面MNP.7．在四面体A­BCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．解析：如图所示，取CD的中点E.则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB.又MN⊄平面ABD，MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABD，AB⊂平面ABC，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.答案：平面ABD与平面ABC8．(xx·台州模拟)考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m⊂αl∥m⇒l∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l∥mm∥α⇒l∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫l⊥βα⊥β⇒l∥α.解析：线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为：l ⊄α.答案：l ⊄α9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题： ①若l ⊂α，m ⊂α，l ∥β，m ∥β，则α∥β； ②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ； ③若α∥β，l ∥α，则l ∥β；④若l ⊥α，m ∥l ，α∥β，则m ⊥β.其中真命题的是________(写出所有真命题的序号)．解析：当l ∥m 时，平面α与平面β不一定平行，①错误；由直线与平面平行的性质定理，知②正确；若α∥β，l ∥α，则l ⊂β或l ∥β，③错误；∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，又α∥β，∴m ⊥β，④正确，故填②④.答案：②④10.在多面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，三角形CDE 是等边三角形，棱EF ∥BC 且EF ＝12BC .求证：FO ∥平面CDE .证明：如图所示，取CD 中点M ，连接OM ，EM ，在矩形ABCD 中，OM ∥BC 且OM ＝12BC ，又EF ∥BC 且EF ＝12BC ，则EF ∥OM 且EF ＝OM .所以四边形EFOM 为平行四边形， 所以FO ∥EM .又因为FO ⊄平面CDE ，EM ⊂平面CDE ， 所以FO ∥平面CDE .11.如图所示，直棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.(1)证明：AC ⊥平面BB 1C 1C ；(2)在A 1B 1上是否存在一点P ，使得DP 与平面ACB 1平行？证明你的结论． 解：(1)证明：在直棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ，∴BB 1⊥AC . 又∵∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2， ∴AC ＝2，∠CAB ＝45°， 在△ABC 中，由余弦定理可得BC ＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos∠CAB ＝ 2.∴BC 2＋AC 2＝AB 2， ∴BC ⊥AC .又BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AC ⊥平面BB 1C 1C .(2)存在点P ，P 为A 1B 1的中点可满足要求．由P 为A 1B 1的中点，有PB 1∥AB ，且PB 1＝12AB ，又∵CD ∥AB 且CD ＝12AB ，∴CD ∥PB 1且CD ＝PB 1， ∴CDPB 1为平行四边形，∴DP ∥CB 1.又CB 1⊂平面ACB 1，DP ⊄平面ACB 1， ∴DP ∥平面ACB 1.12.如图所示，在正四棱锥P ­ABCD 中，底面是边长为2的正方形，侧棱PA ＝6，E 为BC 的中点，F 为侧棱PD 上的一动点．(1)求证：AC ⊥BF ；(2)当直线PE ∥平面ACF 时，求三棱锥F ­ACD 的体积．解：(1)证明：连接BD ，设AC ∩BD ＝O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD .∴AC ⊥PO .∵四边形ABCD 为正方形， ∴AC ⊥BD .又BD ∩PO ＝O ，BD ，PO ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥平面PBD . 又BF ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥BF .(2)连接DE ，交AC 于点G ，连接FG . ∵PE ∥平面ACF ， ∴PE ∥FG ， ∴DG DE ＝DF DP.又CE ＝12BC ＝12AD ，BC ∥AD ，∴CE AD ＝GE DG ＝12， ∴DG DE ＝23，∴DF DP ＝23. 过F 作FH ⊥DB ，垂足为H ，则FH ∥OP ， ∴FH OP ＝DF DP ＝23， ∴FH ＝23OP ，∵正方形ABCD 的边长为2， ∴AO ＝ 2.∴OP ＝PA 2－AO 2＝2.∴FH ＝43.∴三棱锥F ­ACD 的体积V F ­ACD ＝13S △ACD ·FH ＝13×12×22×43＝89.[冲击名校]如图所示，在棱长均为4的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，D ，D 1分别是BC 和B 1C 1的中点． (1)求证：A 1D 1∥平面AB 1D ；(2)若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∠B 1BC ＝60°，求三棱锥B 1­ABC 的体积．解：(1)证明：如图所示，连接DD 1， 在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，因为D ，D 1分别是BC 与B 1C 1的中点，所以B 1D 1∥BD 且B 1D 1＝BD .所以四边形B 1BDD 1为平行四边形， 所以BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1. 又因为AA 1∥BB 1，且AA 1＝BB 1， 所以AA 1∥DD 1，且AA 1＝DD 1，所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形， 所以A 1D 1∥AD .又A 1D 1⊄平面AB 1D ，AD ⊂平面AB 1D ， 所以A 1D 1∥平面AB 1D .(2)在△ABC 中，因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点， 所以AD ⊥BC .因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且交线为BC ，AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1，即AD 是三棱锥A ­B 1BC 的高． 在△ABC 中，由AB ＝AC ＝BC ＝4，得AD ＝2 3. 在△B 1BC 中，B 1B ＝BC ＝4，∠B 1BC ＝60°，所以S △B 1BC ＝34×42＝43，所以三棱锥B 1­ABC 的体积，即三棱锥A ­B 1BC 的体积 V ＝13S △B 1BC ×AD ＝13×43×23＝8. [高频滚动]1．α、β、γ是三个平面，a 、b 是两条直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题， 则可以在横线处填入的条件是________(填上你认为正确的所有序号)． 解析：①a ∥γ，a ⊂β，b ⊂β，β∩γ＝b ⇒a ∥b (线面平行的性质)．②如图所示，在正方体中，α∩β＝a ，b ⊂γ，a ∥γ，b ∥β，而a 、b 异面，故②错． ③b ∥β，b ⊂γ，a ⊂γ，a ⊂β，β∩γ＝a ⇒a ∥b (线面平行的性质)． 答案：①③2．过三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．解析：过三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC 、BC 、A 1C 1、B 1C 1的中点分别为E 、F 、E 1、F 1，则直线EF 、E 1F 1、EE 1、FF 1、E 1F 、EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共有6条．答案：6"#A23062 5A16 娖20105 4E89 争32354 7E62 繢35479 8A97 誗21807 552F 唯Vfs20552 5048 偈G<25294 62CE 拎。