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数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1u x ∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v v x y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*000lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i ze zθ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z z z z ∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()332222220,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩，332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
南京大学地学院22数学物理方法期终试卷标准答案本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March南京大学2012—2013学年第一学期《数学物理方法》期终考试标准答案院系地学院等年级三学号姓名23一.（20分）计算⎰∞∞-+dx xx x3sin 。
解：⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-+=+++=+dx xx x i dx x x x i dx x x x dx x x e ix3333sin sin cos 因为xx +31在上半大圆一致收敛，根据约当引理，x x e ix +3在上半大圆的积分为０，可将广义积分化为围绕上半复平面的回路积分。
xx e ix+3有三个单奇点，其中原点在实轴上， i 在上半平面。
1|13)0(Re 02=+===x ixx e x sex e i x s i x ix 21|13)(Re 2-=+===)11())0(Re 21)((Re 23ei x s i x s i dx x x e ix -==+==+⎰∞∞-ππ 因此π)11(sin 3edx x x x -=+⎰∞∞-二.（20分）已知函数)(t f 的傅立叶变换为11)(4+=ωωF ,计算)2('t f 的傅立叶变换。
解：⎰⎰∞∞-∞∞-+==ωωωωωωd e d e F t f ti ti 11)()(44⎰⎰∞∞-∞∞-+=+=ωωωωωωωd e i d e dt d t f ti t i 1111)('44 ⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-+=+=+=ωωωωωωωωωωωωd e i d e i d e i t f t i t i t i 164221)2(111)2('4424因此)2('t f 的傅立叶变换为1644+ωωi 。
三.（20分）相同高度相距L 的两点之间绷紧一根均质弦。
姓名班级学号………密……….…………封…………………线…………………内……..………………不…………………….准…………………答….…………题…2022年大学地理科学专业《大学物理（一）》期末考试试卷含答案考试须知：1、考试时间：120分钟，本卷满分为100分。
2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。
3、请仔细阅读各种题目的回答要求，在密封线内答题，否则不予评分。
一、填空题（共10小题，每题2分，共20分）1、静电场中有一质子(带电荷) 沿图示路径从a点经c点移动到b点时，电场力作功J．则当质子从b点沿另一路径回到a点过程中，电场力作功A＝___________；若设a点电势为零，则b点电势＝_________。
2、一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转动，如图射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一条直线上的子弹，子弹射入圆盘并留在盘内，则子弹射入后的瞬间，圆盘的角速度_____。
3、一长为的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动。
抬起另一端使棒向上与水平面呈60°，然后无初转速地将棒释放，已知棒对轴的转动惯量为，则(1) 放手时棒的角加速度为____；(2) 棒转到水平位置时的角加速度为____。
（）4、一质量为0.2kg的弹簧振子, 周期为2s,此振动系统的劲度系数k为_______ N/m。
5、二质点的质量分别为、. 当它们之间的距离由a缩短到b时，万有引力所做的功为____________。
6、一根长为l，质量为m的均匀细棒在地上竖立着。
如果让竖立着的棒以下端与地面接触处为轴倒下，则上端到达地面时细棒的角加速度应为_____。
7、两个相同的刚性容器，一个盛有氧气，一个盛氦气（均视为刚性分子理想气体）。
开始他们的压强和温度都相同，现将3J的热量传给氦气，使之升高一定的温度。
若使氧气也升高同样的温度，则应向氧气传递的热量为_________J。
姓名班级学号………密……….…………封…………………线…………………内……..………………不…………………….准…………………答….…………题…2022年大学地球物理学专业《大学物理（一）》期末考试试题D卷附解析考试须知：1、考试时间：120分钟，本卷满分为100分。
2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。
3、请仔细阅读各种题目的回答要求，在密封线内答题，否则不予评分。
一、填空题（共10小题，每题2分，共20分）1、一根长为l，质量为m的均匀细棒在地上竖立着。
如果让竖立着的棒以下端与地面接触处为轴倒下，则上端到达地面时细棒的角加速度应为_____。
2、已知质点的运动方程为，式中r的单位为m，t的单位为s。
则质点的运动轨迹方程，由t=0到t=2s内质点的位移矢量______m。
3、长为的匀质细杆，可绕过其端点的水平轴在竖直平面内自由转动。
如果将细杆置与水平位置，然后让其由静止开始自由下摆，则开始转动的瞬间，细杆的角加速度为_____，细杆转动到竖直位置时角加速度为_____。
4、一质量为0.2kg的弹簧振子, 周期为2s,此振动系统的劲度系数k为_______ N/m。
5、如图所示，一静止的均匀细棒，长为、质量为，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴在水平面内转动，转动惯量为。
一质量为、速率为的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的角速度应为______。
6、一条无限长直导线载有10A的电流．在离它 0.5m远的地方它产生的磁感强度B为____________。
一条长直载流导线，在离它1cm处产生的磁感强度是T，它所载的电流为____________。
7、花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为，角速度为；然后将两手臂合拢，使其转动惯量变为，则转动角速度变为_______。
8、一质点沿半径R=0.4m作圆周运动，其角位置，在t=2s时，它的法向加速度=______，切向加速度=______。
2022年江苏省南京师大附中高考物理最后一卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.橡皮筋也像弹簧一样，在弹性限度内，伸长量x与弹力F成正比，即F=kx，k的值与橡皮筋未受到拉力时的长度L，横截面积S有关，理论与实践都表明k=Y S其中Y是一个由材料决L定的常数，材料学上称之为杨氏模量.在国际单位制中，杨氏模量Y的单位应该是( )A. NB. mC. N/mD. Pa2.自然界中的碳主要是 612C，也有少量的 614C， 614C具有放射性，能够自发地进行β衰变，半衰期约为5730年，关于放射性元素的衰变，下列说法正确的是( )A. β衰变的实质在于核内的中子转化成了质子和电子B. 升高温度可以加快 614C的衰变C. 增大压强可以减慢 614C的衰变D. 2个 614C经过两个半衰期刚好完全衰变3.如图所示，一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T型支架在竖直方向振动，T型支架下面系着一个弹簧和小球组成的振动系统，小球浸没在水中当小球振动稳定时( )A. 小球振动的频率与圆盘转速无关B. 小球振动的振幅与圆盘转速无关C. 圆盘的转速越大，小球振动的频率越大D. 圆盘的转速越大，小球振动的振幅越大4.如图所示，将悬挂在O点的铜球从方形匀强磁场区域左侧一定高度处由静止释放，磁场区域的左右边界处于竖直方向，不考虑空气阻力，则( )A. 铜球在左右两侧摆起的最大高度相同B. 铜球最终将静止在O点正下方C. 铜球运动到最低点时受到的安培力最大D. 铜球向右进入磁场的过程中，受到的安培力方向水平向左5.某同学在测玻璃折射率时，把玻璃砖一边与aa′对齐，但另一条边bb′画得明显过宽，其它操作符合要求，则( )A. 折射角比实际值偏大，折射率比真实值小B. 折射角比实际值偏小，折射率比真实值大C. 折射角比实际值偏小，折射率比真实值小D. 折射角等于实际值，对折射率的测量没有影响6.如图所示，A、B为某阳台竖直墙壁上凸出的两颗固定钉子，小王通过一段细线跨过A、B悬挂一吊篮(吊篮不与墙壁接触)。
南京大学地学院22数学物理方法期终试卷标
准答案
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
2
南京大学2012—2013学年第一学期《数学物理方法》期终考试标准答案
院系 地学院等 年级 三 学号 姓名
一.（20分）计算⎰∞∞
-+dx x
x x
3
sin 。
解：
⎰⎰⎰⎰
∞∞-∞∞-∞∞-∞
∞
-+=+++=+dx x x x i dx x x x i dx x x x dx x
x e ix
3333sin sin cos
因为x
x +31
在上半大圆一致收敛，根据约当引理，x x e ix +3在上半大
圆的积分为０，可将广义积分化为围绕上半复平面的回路积分。
x
x e ix
+3有三个单奇点，其中原点在实轴上， i 在上半平面。
1|13)0(Re 02=+===x ix
x e x s
e
x e i x s i x ix 21
|13)(Re 2-=+===
)11())0(Re 21)((Re 23
e
i x s i x s i dx x x e ix -==+==+⎰
∞
∞
-ππ 因此π)1
1(sin 3
e
dx x x x -=+⎰
∞∞
-
3
二.（20分）已知函数)(t f 的傅立叶变换为1
1
)(4
+=ωωF ,计算)2('t f 的傅立叶变换。
解：
⎰⎰∞
∞
-∞
∞
-+=
=
ωωωωωωd e d e F t f t
i t
i 11)()(4 ⎰⎰∞
∞
-∞
∞-+=+=ωωωωωωωd e i d e dt d t f t i t
i 1111)('44 ⎰⎰⎰∞
∞-∞
∞-∞
∞-+=+=+=ωωω
ωωωωωωωωωd e i d e i d e i t f t i t i t i 164221)2
(111)2('4424
因此)2('t f 的傅立叶变换为16
44+ωω
i 。
三.（20分）相同高度相距L 的两点之间绷紧一根均质弦。
由于弦自身重力原因，平衡时弦的中点高度比端点矮d 。
1、求弦上横波的传播速度。
2、将弦恢复到水平位置保持静止然后松开，求弦的振动情况。
解：
根据题意，本题为波动问题，两端满足刚性边界条件，弦的横振动方程为
4
⎪⎩⎪
⎨⎧====-=-====0
|,0|0|,0|00
02t t t L x x xx tt u u u u g u v u 1、 在平衡状态下，弦的位置不随时间变化，
0|,0|,02=====L x x xx u u g u v ，可以解出)(22
x L x v g
u --
=。
在弦中点处，d v
gL L L L v g u -=-=--=22
28)2(22,因此L d
g
v 8=。
２、令w x L x v
g
u +--
=)(22，则ｗ满足 ⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
-=====-====)(2|,0|0|,0|020002x L x v g w w w w w v w t t t L x x xx tt 根据齐次边界条件可以得出本征值和本征基函数,一般解为：
∑∞
=+=1)cos sin (sin
n n n L
vt
n B L vt n A L x n w πππ 代入初始条件：
∑∞
==-1
2sin )(2n n B L x n x L x v g π ∑∞
==1
sin
0n n L
v
n A L x n ππ 因此，0=n A ,))1(1(2sin
)(222332
02n L
n v n gL dx L x n x L x v g L B --=-=⎰ππ 最终得到：
5
∑∞
=++++--=0
3
3
2)12(cos )12(sin )
12(1
32)(4n L
vt
n L x n n d x L x L d u πππ
四.（20分）将ϕθϕθ22sin sin ),(=f 按照球谐函数进行展开。
解：
)2cos 1(21
sin 2ϕϕ-= ϕϕθθϕθ2cos )1(2
1
)1(212cos sin 21sin 21),(2222x x f ---=-=
))()((31
)1(21202x P x P x -=- )(6
1
)1(21222x P x =- 因此，ϕϕθ2cos )(6
1
))()((31),(2220x P x P x P f --=
五.（20分）一个长度为L ，半径为R 的半圆柱型工件，初始温度为T 。
将其投入零度的水中进行淬火，求解工件内各点温度随时间变化的函数。
解：
根据题意，本题为输运问题，工件初始温度为Ｔ，表面温度为０：
⎪⎩
⎪
⎨⎧===-=ΩT
u u u a u t xx t 02|0
|0
6
因为工件为半圆柱，且在半圆柱的侧面温度为０，我们可以对其进行奇函数延拓)()(ϕϕu u -=-，延拓后的工件为圆柱形，数学物理方程可以表示为：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=====-====)(|0|||0002ϕρf u u u u u a u t L z z R xx t 其中⎩
⎨⎧<<--<<=0,0,)(ϕππϕϕT T f 。
圆柱体输运方程的通解可以表示为：
t
a s k m m e sz sz m m k N k J u 222)(sin cos sin cos )()(+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕϕρρ 根据圆柱体的齐次边界条件求解本征方程，可得：
t a s k j i m ijm
j i e m m z s k J u 222)(sin cos )sin()(+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ϕϕρ，其中L j s j π=，R x k m i i )(=,)
(m i x 是ｍ阶贝塞尔函数的第ｉ个零点。
∑∑∑∞
=∞
=∞
=+-+=111)(2
22)sin()()sin cos (i j m t
a s k j i m ijm ijm j i e
z s k J m B m A u ρϕϕ
代入初始条件：
∑∑∑∞
=∞
=∞
=+=111)sin()()sin cos ()(i j m j i m ijm ijm z s k J m B m A f ρϕϕϕ
根据贝塞尔函数和三角函数的正交性：
0=ijm A
7
m
T j L L d k J
d k J
B m j R
i m
R
i m
ijm )
)1(1(21))1(1(2)()(0
20----=
⎰⎰ππρ
ρρρρρ
最终得
∑∑∑
⎰⎰∞=∞=∞
=+-+++++=
+100
)(12120
2
02
)
12)(12()sin()())12sin(()()(162
2122i j m t
a s k j i m R i m R
i m
j m e
z s k J m d k J d k J
T
u j i ρϕρ
ρρρ
ρρπ
附必要公式：
1)(0=x P θcos )(1==x x P
)12cos 3(25.0)13(5.0)(22+=-=θx x P θsin )1()(2/1211=-=x x P θ2sin 5.1)3()1()(2/1212=-=x x x P θ2222sin 3)1(3)(=-=x x P。
