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2017年河南省郑州市第一中学高一下学期数学期中考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知角的终边经过点，则A. B. C. D.2. 若扇形的圆心角是，弧长为，则该扇形的面积A. B. C. D.3. 总体有编号为，，，，的个个体组成．利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为A. B. C. D.4. 如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第次到第次的考试成绩依次记为，，，如图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是A. B. C. D.5. 把化为二进制数为A. B. C. D.6. 如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，则下列结论错误的是A. 线性回归直线一定过点B. 产品的生产能耗与产量呈正相关C. 的取值必定是D. A产品每多生产吨，则相应的生产能耗约增加吨7. 用秦九韶算法求多项式的值时，A. B. C. D.8. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（）处和执行框中的（）处应填的语句是A. ?，B. ?，C. ?，D. ?，9. 已知函数，下面四个结论中正确的是A. 函数的图象是由的图象向左平移个单位得到B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在区间内是减函数D. 函数的最小正周期为10. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，，则A. B. C. D.11. 已知事件“在矩形的边上随机取一点，使的最大边是”发生的概率为，则A. B. C. D.12. 函数在区间上的最小值为，则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 从编号为，，，，的件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是的样本，若编号为的产品在样本中，则该样品中产品的最大编号为．14. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则．15. 下列说法中正确的有（用序号填空）．①事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大；②数据，，，，，的方差为；③抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大；④函数的定义域为．16. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）17. （1）如图是某一算法的程序：（）指出其功能；（）若输入的，，求输出的值（只写结果，不写解答过程）；INPUT m，nDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND（2）如图是某一算法的程序框图，求输出的值．18. （1）已知，求的值；（2）已知，，求的值．19. 某研究机构对高一学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据该研究机构的研究方案是：先从这六组数据中选取四组求线性回归方程，再用剩下的两组数据进行检验．（相关公式：，）（1）请根据上表提供的数据，根据四组数据用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检验数据的误差不超过，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该机构所得线性回归方程是否理想?20. 某校高一国际班的一次数学周练成绩（满分为分）的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求分数在的人数；（2）根据频率分布直方图估计全班数学成绩的众数、中位数、平均数．21. 某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为人、人、人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取人在前排就坐，其中高二代表队有人．（1）求的值；（2）把在前排就坐的高二代表队人分别记为，，，，，，现随机从中抽取人上台抽奖，求，至少有一人上台抽奖的概率；（3）抽奖活动的规则是：某同学通过操作按键使电脑自动产生两个之间的均匀随机数，，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该同学中奖的概率．22. 已知向量，，函数．（1）求函数的单调增区间；（2）将函数图象向下平移个单位，再向左平移个单位得函数的图象，试写出的解析式并做出它在上的图象．答案第一部分1. D2. B3. C4. C5. A6. C 【解析】，则，即线性回归直线一定过点，故A正确，因为，所以产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，因为，得，故C错误，A产品每多生产吨，则相应的生产能耗约增加吨，故D正确．7. B 8. C 9. C 10. D11. B 12. A第二部分13.14.15. ②④16.第三部分17. （1）（）求，的最大公约数．（）．（2）18. （1）由已知，原式（2）因为，所以，即，因为，所以，，所以，所以，所以，，所以．19. （1）由已知，，，，所以，，故线性回归方程为．（2）当时，，当时，，均符合要求，理想．20. （1）分数在的频率为，由茎叶图知：分数在之间的频数为，所以全班人数为，即的人数为人．（2）全班人数共人，根据各分数段人数计算得各分数段的频率为：分数段频率众数为分．设中位数为，则，得．估计这次测试的平均成绩为：分．21. （1）由题意可得，解得．（2）设“，至少有一人上台抽奖”为事件，则从高二代表队中抽取人上台抽奖的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共种，其中事件包含的基本事件有种，即，，，，，，，，，由古典概型的概率计算公式得．答：，至少有一人上台抽奖的概率为．（3）可以看成平面中的点，实验的全部结果所构成的区域为，这是一个正方形区域，面积．记事件为“该同学中奖”，所构成的区域为，面积．由几何概型概率公式得．答：该同学中奖的概率为．22. （1）由于得：，所以．所以的图象的对称中心坐标为（2），列表：描点、连线得函数在上的图象如图所示：。
河南省郑州市第一中学 2016-2017学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1.若全集U 1,2,3,4,5,6 ,M1,4 ,N 2,3，则集合5,6等于（)A. M NB. MNC.C U MC U ND. C U MC U N【答案】D【解析】试题分析：元素5’6既不是M 的元素，也不罡N 的元素，故选m考点：集合交集、并集和补集.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步 .第二步常常是 解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零 .元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含 关系.在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目 .2.下列函数中，其定义域和值域分别与函数A. y xB. y Ig x【答案】D 【解析】试题分析：函数y 10lgx 的定义域为 xB 选项值域为R ,C 选项定义域为 R ，故D 选项符合. 考点：定义域和值域.C.y2xD.y1肩0和值域为 y 0 .A 选项定义域和值域都是 R ,y 10lgx 的定义域和值域相同的是（xD. 2,0【答案】A【解折】试題分折：当*3时，才⑶ "「所以通数过点G —l ）・考点：对数函数过定点•2x 4a 3 x 3a x 05.已知函数f x（ a 0且a 1 ）在R 上单调递减,log a x 11,x 0值范【解析】x试题分析：f x a 1 l x l除A ,故选B. 考点：函数图象. f 1 a 1，排除c, D 选项；f 11,0，排4.函数 x 3log a x 21的图象一定经过点（A.3, 1 B2, 1C.3,0则a 的取xa3.函数y 十 a 1的图象的大致形状是（x【答案】B围是（）xA. 31 B . 0 1 C. -3D4'4 3'4【答案】C【解析】.0,3试题分析：由于函数在R上单调递增，所以4a 32a 1 ，解得a3a 11 33,4考点：函数的单调性D. 1,【答案】A【解析】2i1试题分析：需满足被开方数大于零，所以0 2x 1 1,x 1,12考点：定义域7.已知实数a,b满足2a 3,3b 2，则函数f x a x x b的零点所在区间是(A. 2, 1 B1,0 C0,1 D1,26.若f x，则f X的定义域为(【答案】B【解析】试题分析=由2°- 33^ - 2 ,得应三1。
郑州一中网校2016—2017 学年（下）期中联考高一化学试题说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）满分100 分，考试时间90 分钟。
2．将第Ⅰ卷的答案代表字母填在答案卷的答题表中。
第Ⅰ卷（选择题，共48 分）一、单项选择题：本题共16 小题，每小题3 分，共48 分。
1. 已知元素的原子序数，可以推知该元素原子的①中子数②质子数③核电荷数④质量数⑤核外电子数A.①②③B.①③⑤C.②③④D. ②③⑤2. 已知R2+核内共有N 个中子，R 的质量数为A，m gR2+中含电子的物质的量为A．m（A-N）/Amol B．m（A-N+2）/AmolC．（A-N+2）/Ammol D．m（A-N-2）/Amol3. 下列物质的电子式书写正确的是A．B． C． D．4. 下列关于化学键的说法中正确的是A．构成单质分子的微粒中一定含有共价键B．由非金属元素组成的化合物不一定是共价化合物C．非极性键只存在于双原子单质分子里D．不同元素组成的多原子分子里的化学键一定是极性键5. 反应A（g）+3B（g）2C（g）+2D（g），在四种不同情况下用不同物质表示的反应速率分别如下，其中反应速率最大的是A. v（C）=0.04mol/（L•s）B. v（B）=0.06mol/（L•min）C. v（A）=0.15mol/（L•min）D. v（D）=0.01mol/（L•s）6．某元素最高正价与最低负价的绝对值之差是4，该元素与另一元素原子形成的化合物在水中电离出电子层结构相同的离子，该化合物是A．KCl B．Na2S C．Na2O D．K2S7. 已知反应X+Y= M+N 为吸热反应，对这个反应的下列说法中正确的是A．X 的能量一定低于M 的，Y 的能量一定低于N 的B．因为该反应为吸热反应，故一定要加热反应才能进行C．破坏反应物中的化学键所吸收的能量小于形成生成物中化学键所放出的能量D．X 和Y 的总能量一定低于M 和N 的总能量8. 可逆反应2NO 22NO + O2 在体积不变的密闭容器中反应，达到平衡状态的标志是①单位时间内生成n mol O2 的同时生成2n mol NO2 ②用NO2、NO、O2 的物质的量浓度变化表示的反应速率比为2:2:1 的状态③混合气体的颜色不再改变的状态④混合气体的密度不再改变的状态A. ①③B. ②③④C. ②③D. ①④9. 如图是可逆反应X 2+3Y22Z 在反应过程中的反应速率（v）与时间（t）的关系曲线，下列叙述正确的是A．t1 时，只有正方向反应B．0～t1，c（Z）在减小C．t2～t3，反应不再进行D．t2～t3，各物质的浓度不再发生变化10. 下列有关元素周期表的说法中，错误的是A. 主族元素分布于短周期和长周期里，而副族元素仅分布于长周期里B. 元素周期表中，位于同一主族的元素的原子最外层电子数相同，且等于族序数C. 元素周期表中，周期的序数就是该周期元素原子具有的电子层数D. 元素周期表有7 个横行，7 个周期；18 个纵列，18 个族11. 元素周期表中短周期的一部分如图，关于X、Y、Z、W、Q 说法正确的是A. 元素Y 与元素Z 的最高正化合价之和的数值等于9B. 原子半径的大小顺序为：W＞Z＞YC. 离子半径的大小顺序为：W2-＞Y2-＞Z3+12.合成氨工业对国民经济和社会发展具有重要的意义。
河南省郑州市第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
三、填空题
17．某种建筑使用的钢筋混凝土预制件模型如下图所示，该模型是由一个正四棱台从正中
间挖去一个圆柱孔而成，已知该正四棱台上底和下底的边长分别为40cm 和100cm ，棱台的
高为40cm ，中间挖去的圆柱孔的底面半径为10cm .计算时π取3.14.
(1)求浇制一个这样的预制件大约需要多少立方厘米混凝土；
(2)为防止该预制件风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液，若每升保护液大约可以涂
27000cm ，请计算涂一个这样的预制件大约需要购买保护液多少升？（结果取整数）
18．在梯形
ABCD 中，//DC AB ，E 是线段AB 上一点，2AD =，5AB =，1AE CD ==，
60DAB Ð=°，把BCE V 沿CE 折起至SCE △，连接,SA SD 使得平面SCD ^平面AECD ．
(1)证明：
//AE 平面SCD ；
(2)求异面直线
AE 与SC 所成的角；
(3)求直线AE 与平面
SDE 所成角的正弦值．
19．如图，设
ABC V 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，。
2016-2017学年河南省郑州一中高二（下）期中数学试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.复数z=a+i（a∈R）的虚部为（）A.1B.iC.-1D.-i【答案】A【解析】解：复数z=a+i（a∈R）的虚部为1．故选：A．直接由复数的概念得答案．本题考查了复数的基本概念，是基础题．2.下列可以用来分析身高和体重之间的关系的是（）A.残差分析B.回归分析C.等高条形图D.独立性检验【答案】B【解析】解：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，显然，身高和体重具有相关关系，故选：B．根据身高和体重具有相关关系，即可得出结论．本题考查回归分析的概念，考查学生分析解决问题的能力，理解身高和体重具有相关关系是关键．3.用反证法证明命题“若a2+b2=0（a，b∈R），则a，b全为0”，其反设正确的是（）A.a，b至少有一个为0B.a，b至少有一个不为0C.a，b全部为0D.a，b中只有一个为0【答案】B【解析】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选B．把要证的结论否定之后，即得所求的反设．本题考查用反证法证明数学命题，得到“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b 至少有一个不为0”，是解题的关键．4.如图是用函数拟合解决实际问题的流程图，则矩形框中依次应填入（）A.整理数据、求函数关系式B.画散点图、进行模型修改C.画散点图、求函数关系式D.整理数据、进行模型修改【答案】C【解析】解：根据用函数拟合解决实际问题的方程，可得矩形框中依次应填入画散点图、求函数关系式，故选C．根据用函数拟合解决实际问题的方程，可得矩形框中依次应填入的内容．本题考查程序框图，考查用函数拟合解决实际问题的方程，比较基础．5.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方r m）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】解：在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大，残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现A、B两变量有更强的线性相关性，故选D．在验证两个变量之间的线性相关关系中，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，残差平方和越小，相关性越强，得到结果．本题考查两个变量的线性相关，本题解题的关键是了解相关系数和残差平方和两个量对于线性相关的刻画．6.极坐标方程（ρ-1）（θ-π）=0（ρ≥0）表示的图形是（）A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线【答案】C【解析】解：方程（ρ-1）（θ-π）=0⇒ρ=1或θ=π，ρ=1是半径为1的圆，θ=π是一条射线．故选C．由题中条件：“（ρ-1）（θ-π）=0”得到两个因式分别等于零，结合极坐标的意义即可得到．本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．7.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【答案】A【解析】解：直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．故大前提错误．故选A本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错误，我们分析：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b⊄平面α，直线a⊂平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”的推理过程，不难得到结论．演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S 中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．8.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A.35B.20C.18D.9【答案】C【解析】解：∵输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=-1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：故选：C根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．9.若点P是正四面体A-BCD的面BCD上一点，且P到另三个面的距离分别为h1，h2，h3，正四面体A-BCD的高为h，则（）A.h＞h1+h2+h3B.h=h1+h2+h3C.h＜h1+h2+h3D.h1，h2，h3与h的关系不定【答案】B【解析】解：V A-BCD=V P-ABC+V P-ACD+V P-ABD，结合正四面体A-BCD的四个面的面积相等可得S•h=S•h1+S•h2+S•h3，即可得h=h1+h2+h3∴h=h1+h2+h3；故选B．由V A-BCD=V P-ABC+V P-ACD+V P-ABD，可得S•h=S•h1+S•h2+S•h3，即可得h=h1+h2+h3，从而得到结论．此题考查了正四面体和棱锥的体积的求解方法．此题难度适中，解题的关键是将体积进行等价转化，属于中档题．10.点P所在轨迹的极坐标方程为ρ=2cosθ，点Q所在轨迹的参数方程为在（t为参数）上，则|PQ|的最小值是（）A.2B.C.1D.【答案】C【解析】解：点P所在轨迹的极坐标方程为ρ=2cosθ，化为直角坐标方程为：（x-1）2+y2=1，圆心坐标（1，0），半径为：1；点Q所在轨迹的参数方程为在（t为参数）上，则|PQ|的最小值是点Q与圆的圆心的距离的最小值减去1，|PQ|=-1=-1≥2-1=1，故选C求出极坐标方程的直角坐标方程，求出圆心坐标以及半径，通过两点的距离公式函数的性质求出|PQ|的最小值．本题是基础题，考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，距离公式的应用，考查转化思想，计算能力．11.观察数表（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为（）A.1479 B.1992 C.2000 D.2072【答案】B【解析】解：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，周期为4，则第100个括号里有4个数，且每4个括号里共有10个数，故到第100个括号共有25×10=250个，且该数列是以3首项的奇数列，∴第250个奇数为3+2（250-1）=501，故第100个括号内为{495，497，499，501}，其和为495+497+499+501=1992，故选：B．由题意可知，该数列的周期为4，即每4个括号为一个周期，且每4个括号里共有10个数，即可求出第100个括号共有25×10=250个，再根据等差数列的定义即可求出第100个括号内为{495，497，499，501}，问题得以解决．本题考查了归纳推理和等差数列的问题，关键是找到规律，属于中档题12.已知a，b，c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵0＜a，b，c＜1满足条件ab+bc+ac=1，∴（a+b+c）2≥3（ab+ac+bc）=3∴a+b+c≥，∵（）（1-a+1-b+1-c）≥（1+1+1）2∴≥≥．当且仅当a=b=c=时，的最小值为．故选D．确定a+b+c≥，利用柯西不等式（）（1-a+1-b+1-c）≥（1+1+1）2，即可求出的最小值．本题考查的最小值，考查柯西不等式的运用，属于中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.复数的共轭复数是______ ．【答案】-i【解析】解：复数===i的共轭复数是-i．故答案为：-i．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．14.若不等式|x+1|+|x-3|≥a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（-∞，4]【解析】解：由于|x+1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到-1、3对应点的距离之和，它的最小值为4，不等式|x+1|+|x-3|≥a对任意的实数x恒成立，故a≤4，故答案为：（-∞，4]．由条件根据绝对值的意义求得|x+2|+|x-3|的最小值为5，从而得到实数a的取值范围．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．15.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归方现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为______ ．【答案】解：设表中有一个模糊看不清数据为m．由表中数据得：，=，由于由最小二乘法求得回归方程．将x=30，y=代入回归直线方程，得m=68．故答案为：68．【解析】根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程．代入样本中心点求出该数据的值，本题考查线性回归方程的应用，解题的关键是正确应用线性回归方程进行预测．16.已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：① a≠2；② b=2；③ c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于______ ．【答案】201【解析】解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足题意；当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=1、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=0、c=1，此时满足题意；综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，故答案为：201．根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.若复数z满足z=i（2-z）．（1）求z；（2）求|z-（2-i）|．【答案】解：（1）由z=i（2-z），得．（2）．【解析】（1）利用复数的运算法则即可得出．（2）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：（Ⅰ）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关？并说明理由．参考公式与临界值表：K2=．【答案】解：（Ⅰ）积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为=；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为．（Ⅱ）k2=≈11.5，∵K2＞6.635，∴有99%的把握说学习积极性与对待班级工作的态度有关系．【解析】（Ⅰ）是一古典概型问题，把基本事件的总数与满足要求的个数找出来，代入古典概率的计算公式即可．（Ⅱ）由题中的数据，计算出k2与临界值比较即可得出结论本题把独立性检验，概率的求法，列联表等知识联系在一起，是道综合性题，难度不大．19.下列是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，求y关于t的回归方程（系数精确到0.01）；（2）预测2018年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：==，=-．【答案】解：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得：，，，由及（1）得=≈0.103，=-≈1.331-0.103×4≈0.92，所以，y关于t的回归方程为：=0.92+0.10t；（2）将2018年对应的t=9代入回归方程得：=0.92+0.10×9=1.82，所以预测2018年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．【解析】（1）求出，的值，代入回归方程即可；（2）将t=9代入回归方程即可．本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．20.已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【答案】解：（Ⅰ）由题意知，曲线C1的极坐标方程是ρ=1，直角坐标方程为x2+y2=1，曲线C2方程为x2+y2=1，参数方程为（θ为参数）．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程x2+y2=1，化简得5t2+t-8=0，即有t1t2=-，可得|MA|•|MB|=|t1t2|=．【解析】（Ⅰ）先求出曲线C2方程，再求出参数方程；（Ⅱ）将直线的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，化简整理，运用韦达定理，即可得到所求|MA|•|MB|的值．本题主要考查参数方程和普通方程的关系，同时考查直线参数方程的运用，考查运算能力，属于中档题．21.设函数f（x）=2|x-1|+|x+2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空集合，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f（x））=，，＜，＞，令-x+4=4或3x=4，得x=0，x=，所以，不等式f（x）≥4的解集是∞，，∞；（Ⅱ）f（x）在（-∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f（x）≥f（1）=3，由于不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，所以，|m-2|＞3，解之，m＜-1或m＞5，即实数m的取值范围是（-∞，-1）∪（5，+∞）．【解析】（Ⅰ）化简f（x）的解析式，结合单调性求出不等式f（x）≥4的解集．（Ⅱ）利用f（x）的单调性求出f（x）≥3，由于不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，得|m-2|＞3，解绝对值不等式求出实数m的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，绝对值得意义，判断f（x）的单调性是解题的关键．22.下面的图形无限向内延续，最外面的正方形的边长是1，从外到内，第n个正方形与其内切圆之间的深色图形面积记为．（1）试写出S n+1与的递推关系式；（2）设，求T n的值．【答案】解：（1）设第n（n∈N*）个正方形的边长为a n，则其内切圆半径为，第n+1个正方形的边长为，其内切圆半径为，所以，，（n∈N*）．（2）由（1），，…，，得T n=S1+S2+…+S n==．【解析】（1）设第n（n∈N*）个正方形的边长为a n，则其内切圆半径为，第n+1个正方形的边长为，其内切圆半径为，然后求解S n+1与的递推关系式．（2）求出前n项和，利用等比数列求和化简求解即可．本题考查数列的应用，数列的递推关系式以及数列求和，考查计算能力．。
2016-2017学年河南省郑州市八校联考高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）集合M={x|x=±45°，k∈Z}，N={x|x=±90°，k∈Z}，则M、N之间的关系为（）A．M=N B．M⊊N C．M⊋N D．M∩N=∅2．（5分）已知α是第三象限角，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第四象限角D．第二或第四象限角3．（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数4．（5分）某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），（104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A．90 B．75 C．60 D．455．（5分）执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98 B．99 C．100 D．1016．（5分）某商店对每天进店人数x与某种商品成交量y（单位：件）进行了统计，得到如下对应数据：由表中数据，得线性回归方程为．如果某天进店人数是75人，预测这一天该商品销售的件数为（）A．47 B．52 C．55 D．387．（5分）下列说法正确的是（）A．任何事件的概率总是在（0，1]之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定8．（5分）已知100件产品中有5件次品，从中任意取出3件产品，设A表示事件“3件产品全不是次品”，B表示事件“3件产品全是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（）A．B与C互斥B．A与C互斥C．任意两个事件均互斥D．任意两个事件均不互斥9．（5分）有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为a，再由乙抛掷一次，朝上数字为b，若|a﹣b|≤1就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率π的值在3.1415926与3.1415927之间，成为世界上第一把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间，至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平．我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及其内切圆随机投掷豆子，在正方形中的80颗豆子中，落在圆内的有64颗，则估算圆周率的值为（）A．3.1 B．3.14 C．3.15 D．3.211．（5分）函数y=tanx+sinx+|tanx﹣sinx|在区间（，）内的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=cos（x）+（a﹣1）sin（x）+a，g（x）=2x ﹣x2，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）（参考公式：cos（2α）=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0]C．[0，﹣1] D．（﹣∞，1﹣]二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）三进制数2022（3）化为六进制数为abc（6），则a+b+c=．14．（5分）用辗转相除法或更相减损术求459与357的最大公约数是．15．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣））=．16．（5分）关于函数f（x）=tan（2x﹣），有以下命题：①函数f（x）的定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}；②函数f（x）是奇函数；③函数f（x）的图象关于点（，0）对称；④函数f（x）的一个单调递增区间为（﹣，）．其中，正确的命题序号是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知=3，（1）求tanx的值；（2）若x是第三象限的角，化简三角式，并求值．18．（12分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；（Ⅲ）估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．19．（12分）已知a∈（0，6），b∈（0，6）．（Ⅰ）求|a﹣b|≤1的概率；（Ⅱ）以a，b作为直角三角形两直角边的边长，则斜边长小于6的概率．20．（12分）“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德，从出生开始，父母就对我们关心无微不至，其中对我们物质帮助是最重要的一个指标，下表是一个统计员在统计《父母为我花了多少》当中使用处理得到下列的数据：参考数据公式：x i y i=1024.6，x i2=730，=9，=线性回归方程：=x +，=，=﹣假设花费累积y与岁数x符合线性相关关系，求：（1）花费累积y与岁数x的线性回归直线方程（系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利总），那么你每月要偿还父母约多少元钱？21．（12分）已知某海滨浴场的海浪高度（单位：米）是时间（单位：小时，0≤t≤24）的函数，记作y=f（t），如表是某日各时的浪高数据：（Ⅰ）在如图的网格中描出所给的点；（Ⅱ）观察图，从y=at+b，y=at2+bt+c，y=Acos（ωx+p）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（Ⅲ）依据规定，当海浪高度高于1.25米时蔡对冲浪爱好者开放，请依据（Ⅱ）的结论判断一天内的8：00到20：00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行活动．22．（12分）函数在它的某一个周期内的单调减区间是．（1）求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为g（x），若对于任意的，不等式|g（x）﹣m|＜1恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年河南省郑州市八校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2017春•郑州期中）集合M={x|x=±45°，k∈Z}，N={x|x=±90°，k∈Z}，则M、N之间的关系为（）A．M=N B．M⊊N C．M⊋N D．M∩N=∅【解答】解：对集合M：x=（2k±1）•45°，k∈Z，即为45＞的奇数倍．对于集合P：x=（k±2））•45°，k∈Z，即为45＞的整数倍．∴M⊊N．故选：B．2．（5分）（2017春•郑州期中）已知α是第三象限角，则是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第四象限角D．第二或第四象限角【解答】解：∵解：∵α是第三象限角，即．当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角．故选：D．3．（5分）（2013•安徽）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数【解答】解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样．五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，方差=×[（86﹣90）2+（94﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2+（90﹣90）2]=8．五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，方差=×[（88﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（88﹣91）2+（93﹣91）2]=6．故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差．故选：C．4．（5分）（2017春•郑州期中）某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），（104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A．90 B．75 C．60 D．45【解答】解：样本中产品净重小于100克的频率为（0.050+0.100）×2=0.3，∵样本中产品净重小于100克的个数是36，∴样本总数n==120．∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品个数为120×0.75=90．故选：A．5．（5分）（2017•晋中一模）执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98 B．99 C．100 D．101【解答】解：模拟程序的运行，可得K=1，S=0S=lg2不满足条件S≥2，执行循环体，K=2，S=lg2+lg=lg3不满足条件S≥2，执行循环体，K=3，S=lg3+lg=lg4…观察规律，可得：不满足条件S≥2，执行循环体，K=99，S=lg99+lg=lg100=2满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99．故选：B．6．（5分）（2015春•邯郸期末）某商店对每天进店人数x与某种商品成交量y（单位：件）进行了统计，得到如下对应数据：由表中数据，得线性回归方程为．如果某天进店人数是75人，预测这一天该商品销售的件数为（）A．47 B．52 C．55 D．38【解答】解：=（10+15+20+25+30+35+40）=25，=（5+6+12+14+20+23+25）=15，∴样本的中心点的坐标为（25，15），∴15=25b﹣3.25，∴b=0.73．∴回归直线方程为y=0.73x﹣3.25，当x=75时，y=52．故选：B．7．（5分）（2017春•郑州期中）下列说法正确的是（）A．任何事件的概率总是在（0，1]之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定【解答】解：在A中，任何事件的概率总是在[0，1]之间，故A错误；在B中，频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故B错误；在C中，由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故C正确；在D中，概率是客观的，在试验前能确定，故D错误．故选：C．8．（5分）（2013春•西城区期末）已知100件产品中有5件次品，从中任意取出3件产品，设A表示事件“3件产品全不是次品”，B表示事件“3件产品全是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是（）A．B与C互斥B．A与C互斥C．任意两个事件均互斥D．任意两个事件均不互斥【解答】解：由题意，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则可能3件产品全是次品，即B与C不互斥；A表示事件“3件产品全不是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，是互斥事件；故选B．9．（5分）（2014•武侯区校级模拟）有一个正方体的玩具，六个面标注了数字1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为a，再由乙抛掷一次，朝上数字为b，若|a﹣b|≤1就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：甲、乙两人抛掷玩具所有可能的事件有36种，其中“甲、乙两人‘默契配合’”所包含的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），共16种．∴甲乙两人“默契配合”的概率为P==．故选：D．10．（5分）（2017•宿州一模）南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率π的值在3.1415926与3.1415927之间，成为世界上第一把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间，至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平．我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及其内切圆随机投掷豆子，在正方形中的80颗豆子中，落在圆内的有64颗，则估算圆周率的值为（）A．3.1 B．3.14 C．3.15 D．3.2【解答】解：设圆的半径为1．则正方形的边长为2，根据几何概型的概率公式可以得到，即π=3.2，故选：D．11．（5分）（2012•汕头一模）函数y=tanx+sinx+|tanx﹣sinx|在区间（，）内的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=tanx+sinx+|tanx﹣sinx|，由正弦函数与正切函数的图象可知，选项A正确；故选A．12．（5分）（2017春•郑州期中）已知函数f（x）=cos（x）+（a﹣1）sin（x）+a，g（x）=2x﹣x2，若f[g（x）]≤0对x∈[0，1]恒成立，则实数a的取值范围是（）（参考公式：cos（2α）=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0]C．[0，﹣1] D．（﹣∞，1﹣]【解答】解：在同一坐标系内画出函数的图象如图：由图可知，在x∈[0，1]上，恒成立，即，当且仅当x=0或x=1时等号成立．∴1≤g（x）＜．设g（x）=t，则1．f[g（x）]≤0等价于f（t）≤0，即cos（t）+（a﹣1）sin（t）+a≤0，∵1，∴∈[），再设sin=m，则，则原不等式可化为，即1﹣2m2+（a﹣1）m+a≤0，∴a．而，∴a．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2017春•郑州期中）三进制数2022（3）化为六进制数为abc（6），则a+b+c=7．【解答】解：“五进制”数为2022转化为“十进制”数为：2×33+0×32+2×31+2=62．（3）将十进制数62转化为6进制数：62÷6=10…2，10÷6=1…4，1÷6=0…1，，∴将十进制62化为6进制数是142（6）则a+b+c=7，故答案为：7．14．（5分）（2016春•和平区期末）用辗转相除法或更相减损术求459与357的最大公约数是51．【解答】解：辗转相除法：∵459=357×1+102，357=102×3+51，102=51×2故459和357的最大公约数是51，故答案为：51．15．（5分）（2017春•郑州期中）已知函数f（x）=，则f（f（﹣））=1．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣）=﹣，∴f（f（﹣））=f（1）=tan=1．故答案为：1．16．（5分）（2017春•郑州期中）关于函数f（x）=tan（2x﹣），有以下命题：①函数f（x）的定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}；②函数f（x）是奇函数；③函数f（x）的图象关于点（，0）对称；④函数f（x）的一个单调递增区间为（﹣，）．其中，正确的命题序号是①③．【解答】解：函数f（x）=tan（2x﹣），对于①：由题意，2x﹣，可得：x≠．k∈Z．∴①对．对于②：f（﹣x）=tan（﹣2x﹣）=﹣tan（2x+），f（﹣x）≠﹣f（x）．∴函数f（x）不是奇函数，②不对．对于③：令2x﹣=kπ，可得：x=，k为整数．当k=0时，可得图象关于点（，0）对称；∴③对．对于④：令kπ+kπ，可得：，∴④不对．故答案为：①③．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2014•内江三模）已知=3，（1）求tanx的值；（2）若x是第三象限的角，化简三角式，并求值．【解答】解：（1）由=3，得cosx≠0，则，解得：tanx=2；（2）∵x是第三象限的角，∴cosx＜0．又tanx=2．∴=====﹣2tanx=﹣4．18．（12分）（2013春•甘州区校级期末）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；（Ⅲ）估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数．【解答】解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，所以M=40．因为频数之和为40，所以10+24+m+2=40，m=4，．因为a是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（III）估计这次学生参加社区服务人数的众数为=17.5∵第一组的频率为0.25，第二组的频率为0.60故估计这次学生参加社区服务人数的中位数为15+≈17.1故估计这次学生参加社区服务人数的平均数为12.5×0.25+17.5×0.6+22.5×0.1+27.5×0.05=17.25﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）（2011秋•石家庄期末）已知a∈（0，6），b∈（0，6）．（Ⅰ）求|a﹣b|≤1的概率；（Ⅱ）以a，b作为直角三角形两直角边的边长，则斜边长小于6的概率．【解答】解：（Ⅰ）若点a∈（0，6），b∈（0，6），则点位于正方形OABC内（不含边界）；…（2分）若|a﹣b|≤1，点（a，b）其中a∈（0，6），b∈（0，6）于直线a﹣b=1和a+b=1之间（含边界）．…（4分）所以满足|a﹣b|≤1的概率为1﹣=1﹣=…（6分）（Ⅱ）由已知得a2+b2＜36，又a∈（0，6），b∈（0，6），则满足题意的点位于阴影部分（不含边界），…（9分）则，以a，b作为直角三角形两直角边的边长，斜边长小于6的概率为…（12分）20．（12分）（2017春•郑州期中）“孝敬父母，感恩社会”是中华民族的传统美德，从出生开始，父母就对我们关心无微不至，其中对我们物质帮助是最重要的一个指标，下表是一个统计员在统计《父母为我花了多少》当中使用处理得到下列的数据：参考数据公式：x i y i =1024.6，x i 2=730，=9，=线性回归方程：=x +，=，=﹣假设花费累积y 与岁数x 符合线性相关关系，求：（1）花费累积y 与岁数x 的线性回归直线方程（系数保留3位小数）；（2）24岁大学毕业之后，我们不再花父母的钱，假设你在30岁成家立业之后，在你50岁之前偿还父母为你的花费（不计利总），那么你每月要偿还父母约多少元钱？【解答】解：（1）由题中表格数据得：=9，≈12.633，x i y i =1024.6，x i 2=730，∴=≈1.404，=﹣=12.633﹣1.404×9≈0.004，故花费累积y 与岁数x 的线性回归直线方程为：=1.404 x +0.004； （2）当x=24时，=1.404×24+0.004=33.7（万元） 337000÷240≈1404（元） 所以每月要偿还1404元．21．（12分）（2017春•郑州期中）已知某海滨浴场的海浪高度（单位：米）是时间（单位：小时，0≤t ≤24）的函数，记作y=f （t ），如表是某日各时的浪高数据：（Ⅰ）在如图的网格中描出所给的点；（Ⅱ）观察图，从y=at+b，y=at2+bt+c，y=Acos（ωx+p）中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（Ⅲ）依据规定，当海浪高度高于1.25米时蔡对冲浪爱好者开放，请依据（Ⅱ）的结论判断一天内的8：00到20：00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行活动．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据描点如图：；（Ⅱ）由图可知，应选择的函数模型为：y=Acos（ωt+φ）+b．不妨设A＞0，ω＞0，则A=，b=，，ω=．∴y=0.5cos（φ）+1，又当x=0时，y=1.5，∴0.5cosφ+1=1.5，得cosφ=1，则φ=2kπ，k∈Z．∴y=0.5cos（2kπ）+1=0.5cos+1，（0≤t≤24）；（Ⅲ）由0.5cos+1＞1.25，得cos，∴，即12k﹣2＜t＜12k+2，k∈Z．又8≤t≤20，∴10＜t＜14．故一天内的8：00到20：00之间有4个小时可供冲浪爱好者进行活动．22．（12分）（2015秋•赤峰校级期末）函数在它的某一个周期内的单调减区间是．（1）求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为g（x），若对于任意的，不等式|g（x）﹣m|＜1恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由条件，，∴，∴ω=2，又，∴，∴f（x）的解析式为．（2）将y=f（x）的图象先向右平移个单位，得，∴再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到，而∵，∴，∴函数g（x）在上的最大值为1，此时，∴；最小值为，此时，∴．∴时，不等式|g（x）﹣m|＜1恒成立，即m﹣1＜g（x）＜m+1恒成立，即，∴，∴．参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；maths；minqi5；zlzhan；w3239003；刘长柏；豫汝王世崇；lcb001；qiss；sxs123；caoqz；左杰；zcq；刘老师（排名不分先后）菁优网2017年6月27日。
2016-2017学年河南省郑州一中高一（下）入学数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R }，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．函数的定义域为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，0）∪（0，2）C．（﹣1，0）D．（0，2）3．直线2x+3y+6=0在x轴上的截距为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣34．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）A．B．C．1 D．5．已知，，，则x，y，z大小关系为（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x6．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是（）A．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n B．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βC．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βD．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n7．若=（）A．B．C．D．8．如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．3πC．D．2π9．函数y=2log4（1﹣x）的图象大致是（）A．B．C．D．10．设f（x）=，则不等式f（x）＜f（﹣1）的解集是（）A．（﹣3，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣3，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）（﹣1，3）11．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B 成30°角的平面的个数为（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个二、填空题13.函数的递减区间为．14．点A、B到平面α距离分别为12，20，若斜线AB与α成30°的角，则AB的长等于．15．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y=e kx（其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），则经过5小时，1个病毒能繁殖为个．16．若直线y=kx+1与圆O：x2+y2=1交于A、B两点，且∠AOB=60°，则实数k=．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知全集U=R，集合A={x|x≤1，或x≥3}，集合B={x|k＜x＜2k+1}，且（∁U A）∩B=∅，求实数k的取值范围．18．（12分）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．（12分）函数，已知f（3）=﹣2．（1）求的定义域，判断并证明函数f（x）的单调性；（2）若不等式对于x∈[3，4]恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？22．（12分）自原点O作圆（x﹣1）2+y2=1的不重合的两弦OA，OB，且|OA|•|OB|=2，若不论A，B两点的位置怎样，直线AB恒切与一个定圆，请求出定圆的方程．2016-2017学年河南省郑州一中高一（下）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R }，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】先求出集合A，B由A⊆C⊆B 可得满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，可求【解答】解：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，∵A⊆C⊆B，∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，故选D．【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用，解题的关键是由A⊆C⊆B 找出符合条件的集合．2．函数的定义域为（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，0）∪（0，2）C．（﹣1，0）D．（0，2）【考点】33：函数的定义域及其求法；4K：对数函数的定义域．【分析】由题意可得，，解不等式可求函数的定义域【解答】解：由题意可得，∴∴﹣1＜x＜0故选：C【点评】本题主要考查了含有根式与对数函数的定义域的求解，属于基础试题．3．直线2x+3y+6=0在x轴上的截距为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】直线方程为2x+3y+6=0令y=0得x=﹣3，得到直线2x+3y+6=0在x轴上的截距即可．【解答】解：因为直线方程为2x+3y+6=0，令y=0得x=﹣3所以直线2x+3y+6=0在x轴上的截距为﹣3，故选D．【点评】本题考查直线的横截距的求法：只需令y=0求出x即可，本题如求直线的纵截距，只需令x=0求出y即可，属于基础题．4．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）A．B．C．1 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图利用三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：由题意，原几何体为三棱锥，如图所示．点P在底面ABC上的射影与ACB组成正方形．∴．故选：D．【点评】本题考查了三视图的有关知识、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知，，，则x，y，z大小关系为（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵log24＞log23.4=log411.56＞＞log43.6，，=，∴y＜z＜x．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性求解．6．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是（）A．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n B．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βC．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥βD．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A．根据面面平行和线面平行的性质定理进行判断．B．根据线面垂直和面面垂直的判定定理进行判断．C．根据面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理进行判断．D根据面面垂直和线面垂直和平行的性质定理进行判断．【解答】解：A．∵α∥β，m⊥α，∴m⊥β，∵n∥β，∴m⊥n成立．B．若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，若n⊂β，则α⊥β不一定成立．C．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，当n⊂α时，满足n⊥β，否则不成立．D．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m，n位置关系不确定，∴D不成立．故选：A．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的性质定理和判定定理．7．若=（）A．B．C．D．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】首先利用对数的运算性质求出x，然后即可得出答案．【解答】解：∵x=log43∴4x=3又∵（2x﹣2﹣x）2=4x﹣2+=3﹣2+=故选：D【点评】本题考查了对数的运算性质，解题的关键是利用对数函数和指数函数的关系得出4x=3，属于基础题．8．如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A．B．3πC．D．2π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的表面积．【解答】解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC=，球的半径为：，所以球的表面积为：=3π．故选B．【点评】本题是基础题，考查四面体的外接球的表面积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力．9．函数y=2log4（1﹣x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】利用函数的定义域以及函数的单调性判断函数的图象即可．【解答】解：由题意可知函数的定义域为：x＜1，函数是减函数．故选：C．【点评】本题考查函数的图象的判断，考查函数图象与性质的应用，是基础题．10．设f（x）=，则不等式f（x）＜f（﹣1）的解集是（）A．（﹣3，﹣1）∪（3，+∞）B．（﹣3，﹣1）∪（2，+∞）C．（﹣3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）（﹣1，3）【考点】5B：分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的范围进行求解即可．【解答】解：由函数的解析式得f（﹣1）=1﹣4+6=3，则不等式等价为f（x）＜3，若x＞0得﹣x+6＜3，得x＞3，若x≤0，则不等式等价为x2+4x+6＜3，即x2+4x+3＜0，得﹣3＜x＜﹣1，综上不等式的解集为（﹣3，﹣1）∪（3，+∞），故选：A．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式分别进行求解是解决本题的关键．11．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则实数a取值范围为（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）【考点】J2：圆的一般方程．【分析】由已知中曲线C的方程x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0，我们易求出圆的标准方程，进而确定圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2，然后根据曲线C：x2+y2+2ax ﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，易构造出关于a的不等式组，解不等式组，即可得到a的取值范围．【解答】解：由已知圆的方程为x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0则圆的标准方程为：（x+a）2+（y﹣2a）2=4故圆的圆心为（﹣a，2a），圆的半径为2若曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，则a＞0，且|﹣a|＞2解得a＞2故a的取值范围为（2，+∞）故选B．【点评】本题考查的知识点是圆的方程的综合应用，其中根据曲线C：x2+y2+2ax﹣4ay+5a2﹣4=0上所有的点均在第二象限内，构造出满足条件的不等式组，是解答本题的关键．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B 成30°角的平面的个数为（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】列举出正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与A1B成30°角的平面，可得答案．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B与平面ABC1D1、平面A1B1CD、平面BB1D1D、平面AA1C1C都成30°角．故与A1B成30°角的平面的个数为4个故选B【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成的角，其中列举出A1B成30°角的平面是解答的关键．二、填空题13.函数的递减区间为（1，+∞）．【考点】3G：复合函数的单调性．【分析】令2x2﹣3x+1=（2x﹣1）（x﹣1）=t，则函数y=，（t＞0），求得函数y的定义域．根据复合函数的单调性规律，本题即求函数t在函数y的定义域内的增区间．利用二次函数的性质可得函数t在函数y的定义域内的增区间．【解答】解：令2x2﹣3x+1=（2x﹣1）（x﹣1）=t，则函数y=，（t＞0）．令t＞0，求得x＜，或x＞1，故函数y的定义域为{x|x＜，或x＞1}．函数的递减区间，根据复合函数的单调性规律，本题即求t=（2x﹣1）（x﹣1）在区间（﹣∞，）∪（1，+∞）上的增区间．利用二次函数的性质可得，函数t在函数y的定义域内的增区间为（1，+∞），故答案为（1，+∞）．【点评】本题主要考查求对数函数的定义域、复合函数的单调性规律，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．14．点A、B到平面α距离分别为12，20，若斜线AB与α成30°的角，则AB的长等于16或64．【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【分析】根据题中条件画出对应的大致图象，再结合已知条件分别求出OA，OB 即可得到AB的长．【解答】解：作AC⊥α与C，BD⊥α于D，当是地一个图时：可得：OA=24，OB=40∴AB=40﹣24=16；当是第二个图时可得：OA=24，OB=40，∴AB=24+40=64．所以：AB的长为16或64．故答案为：16或64．【点评】本题主要考查两点间的距离计算．本题的易错点在于只考虑一种情况，从而得到不完整的答案．15．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y=e kx（其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），则经过5小时，1个病毒能繁殖为1024个．【考点】3T：函数的值．【分析】由题意可得，在函数y=e kt中，当t=1时，y=4，从而可求k，然后利用所求函数解析式可求当t=5时的函数值．【解答】解：∵某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，∴在函数y=e kt中，当t=1时，y=4∴4=e k，即k=ln4，当a=5时，e kt=e5ln4=45=1024，故答案为：1024．【点评】本题主要考查了指数函数在求解函数值中的应用，解题的关键是根据已知求出函数解析式．16．若直线y=kx+1与圆O：x2+y2=1交于A、B两点，且∠AOB=60°，则实数k=．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】直线恒过（0，1）且在圆上，利用∠AOB=60°求出∠OAB=60°，即可求解直线的斜率k的值．【解答】解：直线y=kx+1恒过（0，1），并且（0，1）在圆上，不妨令A为（0，1），因为∠AOB=60°，所以三角形A0B是正三角形，所以∠OAB=60°，所以直线的倾斜角为150°或30°，所以直线的斜率k为：tan120°=，tan30°=，∴k=±．故答案为：．【点评】本题考查直线的向斜率的求法直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力与计算能力．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2016春•霍邱县期中）已知全集U=R，集合A={x|x≤1，或x≥3}，集合B={x|k＜x＜2k+1}，且（∁U A）∩B=∅，求实数k的取值范围．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】由题意知，C U A={x|1＜x＜3}，又由（C U A）∩B=∅，然后分类讨论，即可得到参数k的取值范围【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|x≤1，或x≥3}，∴C U A={x|1＜x＜3}．2分由于集合B={x|k＜x＜2k+1}，（C U A）∩B=∅，（1）若B=∅，则k≥2k+1，解得k≤﹣1；4分（2）若B≠∅，则或，6分解得k≥3或﹣1＜k≤0 10分由（1）（2）可知，实数k的取值范围是（﹣∞，0]∪[3，+∞）．12分【点评】本题属于以不等式为依托，与集合的交集补集运算有关的参数问题的基础题，也是高考常会考的题型；注意若（C U A）∩B=∅，则要分B=∅或B≠∅两种情况进行讨论．18．（12分）（2017春•中原区校级月考）在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，2）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求AC边上的高所在的直线l的方程．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系；IG：直线的一般式方程．【分析】（1）由已知点A应在BC边上的高所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点，联立方程即可得出A坐标．由k AC=﹣k AB=﹣1，所以AC所在直线方程为y=﹣（x+1），BC所在直线的方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），联立解得C坐标．（2）由（1）知，AC所在直线方程x+y+1=0，即可得出l所在的直线方程．【解答】解：（1）由已知点A应在BC边上的高所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点，由得，故A（﹣1，0）．由k AC=﹣k AB=﹣1，所以AC所在直线方程为y=﹣（x+1），BC所在直线的方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），由，得C（5，﹣6）．（2）由（1）知，AC所在直线方程x+y+1=0，所以l所在的直线方程为（x﹣1）﹣（y﹣2）=0，即x﹣y+1=0．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线方程、角平分线性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．（12分）（2015•宜宾模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY ：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD ，则点O 为B 1C 的中点．可得DO 为△AB 1C 中位线，A 1B ∥OD ，结合线面平行的判定定理，得A 1B ∥平面BC 1D ；（2）由AA 1⊥底面ABC ，得AA 1⊥BD ．正三角形ABC 中，中线BD ⊥AC ，结合线面垂直的判定定理，得BD ⊥平面ACC 1A 1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC 1D ⊥平面ACC 1A ；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C ﹣BC 1D 的体积．【解答】（1）证明：连接B 1C 交BC 1于点O ，连接OD ，则点O 为B 1C 的中点． ∵D 为AC 中点，得DO 为△AB 1C 中位线，∴A 1B ∥OD ．∵OD ⊂平面AB 1C ，A 1B ⊄平面BC 1D ，∴直线AB 1∥平面BC 1D ；（2）证明：∵AA 1⊥底面ABC ，∴AA 1⊥BD ，∵底面ABC 正三角形，D 是AC 的中点∴BD ⊥AC∵AA 1∩AC=A ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∵BD ⊂平面BC 1D ，∴平面BC 1D ⊥平面ACC 1A ；（3）解：由（2）知，△ABC 中，BD ⊥AC ，BD=BCsin60°=3，∴S △BCD ==，∴V C ﹣BC1D =V C1﹣BCD =••6=9．【点评】本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题．20．（12分）（2017春•中原区校级月考）函数，已知f（3）=﹣2．（1）求的定义域，判断并证明函数f（x）的单调性；（2）若不等式对于x∈[3，4]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【分析】（1）根据f（3）=﹣2．求解出a的值，即可求解定义域，根据复合函数的单调性：同增异减可得函数f（x）的单调性（2）分离参数法，把m分离出来，转化为一个新函数，利用其单调性求解即可．【解答】解：函数，∵f（3）=﹣2．即4=10﹣3a，可得：a=2．∴函数f（x）=其定义域满足：10﹣2x＞0，得：x＜5，∴函数f（x）的定义域为（﹣∞，5）．令10﹣2x=u，（u＞0）则f（x）=，函数u是一次函数，k=﹣2＜0，在其定义域内是减函数，f（x）=的底数为，在其定义域内也是减函数，根据复合函数的单调性：同增异减，可得函数f（x）是增函数．即函数f（x）在定义域内是增函数．（2）∵不等式对于x∈[3，4]恒成立，∴而函数在区间[3，4]上是增函数．所以，g（x）在区间[3，4]上的最小值是即，实数m的取值范围是．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，复合函数单调性的判断和恒成立问题利用单调性解决，属于中档题．21．（12分）（2010秋•上海校级期末）通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？【考点】5D：函数模型的选择与应用；5B：分段函数的应用．【分析】（1）通过分别求出当0＜x≤10、10＜x≤16、x＞16时各自f（x）的最大值即得结论；（2）通过计算f（5）与f（20）的大小即得结论；（3）通过令f（x）=55，计算出0＜x≤10、x＞16时各自的解并比较两个解的差的绝对值与13的大小关系即可．【解答】解：（1）依题意，①当0＜x≤10时，f（x）=﹣0.1x2+2.6x+43=﹣0.1（x ﹣13）2+59.9，故f（x）在0＜x≤10时递增，最大值为f（10）=﹣0.1（10﹣13）2+59.9=59，②当10＜x≤16时，f（x）≡59，③当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59，因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．（2）∵f（5）=﹣0.1（5﹣13）2+59.9=53.5，f（20）=﹣3×20+107=47＜53.5，∴开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍），当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17，因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17﹣6=11＜13，∴老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．【点评】本题考查函数模型的性质与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．（12分）（2017春•中原区校级月考）自原点O作圆（x﹣1）2+y2=1的不重合的两弦OA，OB，且|OA|•|OB|=2，若不论A，B两点的位置怎样，直线AB恒切与一个定圆，请求出定圆的方程．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设AB边上的高为h，则△AOB的面积S=|AB|•h，再利用S=|OA|•|OB|•sin∠AOB，即可得到结论．【解答】解：由题意，圆（x﹣1）2+y2=1是△AOB的外接圆，半径为1，根据正弦定理：|AB|=2Rsin∠AOB=2sin∠AOB，设AB边上的高为h，则△AOB的面积∵=∴h=1为定值，即O到AB的距离为定值1，∴直线AB与以原点为圆心，1为半径的圆相切，圆的方程为x2+y2=1．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于基础题．。
