2019—2020学年第二学期高三5月调研试题数 学 Ⅱ注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换求椭圆1416:22=+y x C 在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210041A 对应的变换作用下所得曲线C '的方程．B ．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C 经过点)4,2(πP ，圆心为直线23)3sin(=+πθρ与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．C ．选修4—5：不等式选讲已知正数c b a ,,满足1=abc ，求)2)(2)(2(+++c b a 的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，0160,2,4=∠==BAD AB AA ，N M E ,,分别是D A BB BC 11,,的中点．（1）求异面直线M A 1与E C 1所成角的余弦值； （2）求二面角N MA A --1的平面角的正弦值．23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足n nnn n n n n C C C C m a 222233322211+++++++++=Λ．*∈N n ,其中m 为常数，42=a ．（1）求m ，1a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.)2,(-∞ 2.-4i 3.314 4.25 5.107 6.8- 7.3 8.12π 9.x y 2±= 10.33 11.21 12.372 13.)271,271(+--- 14.]1,0()0,1[Y - 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）在ABC △中，由正弦定理a b sinA sinB =，及)32sin(sin B a A b -=π， 得)32sin(sin sin sin B A A B -=π，………………………………2分 由),0(π∈A 时，0sin >A ，可得)32sin(sin B B -=π， 展开得B B B sin 32cos cos 32sin sin ππ-=，即B B cos 3sin =…………………4分 又由()0πB ∈，，得0sin >B ,从而0cos ≠B ，从而有3tan =B ,可得B=π3．………………………………6分 （2）在ABC △中，由余弦定理及π2,3,3a c B ===，得22227b a c accosB =+-=，故7b =7分由Bb A a sin sin =，得237sin 2=A ，解得sinA =．因为a c <，故cosA =． ………………………………9分因此22sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=． ……………………11分 32232ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛--=-A A A C A ，所以32sin2cos 32cos 2sin )322sin()sin(πππA A A C A -=-=- 14352371)21(734-=⨯--⨯=．……………………14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为侧面11BCC B 是矩形 所以 1BC CC ⊥………………2分 又 1111ACC A BCC B ⊥面面，11111ACC A BCC B CC =I 面面，11BC BCC B ⊂面 所以11BC ACC A ⊥面 ……………… 4分 又 11AM ACC A ⊂面所以 BC AM ⊥ ………………6分 （2） 法一：取1AB 中点H ，联结,NH HM 因为 N 是AB 的中点所以在1ABB ∆中 1//NH BB 112NH BB = 又因为 在三棱柱111ABC A B C -中 所以 11//BB CC ，且11BB CC = 又M 棱1CC 上的一点. 所以//CM NH 所以,CM NH 共面 ………………10分又CN ∥平面1AB M CN ⊂面CNHM 1CNHM AMB MH =I 面面 所以//CN MH所以四边形CNHM 为平行四边形 ………………12分 所以 //CM NH CM NH =所以 111122CM BB CC == 所以 M 是棱1CC 中点. ………………14分 法二：因为 在三棱柱111ABC A B C -中 所以 11//BB CC ，且11BB CC =因为1//CM BB 11CM ABB A ⊄面 111BB ABB A ⊂面 所以11//CM ABB A 面………………8分所以过MCN 可作平面α交直线1AB 于点H 则CM α⊂面 11ABB A NH α=I 面 所以//CM NH ………………10分又CN ∥平面1AB M CN ⊂面α 1AMB MH α=I 面 所以//CN MH所以四边形CNHM 为平行四边形 ………………12分 所以 1////NH AC BB又1ABB ∆中 N 是AB 的中点 所以H 是1AB 的中点 所以112NH BB CM == 所以M 是棱1CC 中点. ………………14分17．(本小题满分14分) 解：（1）扇形EOC 的面积为2125002500()502362ππθθ⨯-⨯=-． …………2分 四边形OCBF 的面积为1303050302tan θ⨯-⨯⨯． …………4分 故阴影部分的面积为25009()150050(25)6tan S πθθθ=+-+．…………6分 因为,53tan ],3,[00=∈θπθθ所以]3,53[tan ∈θ． …………8分 （2）设θθθ25tan 9)(+=h ，则25sin 925sin cos 9sin 9)(2222+-=+--='θθθθθh ． 令0)(='θh 得]3,53[43tan ∈=θ，…………10分记其解为1θ，并且)(θh 在),[10θθ上单调递减，在]3,(1πθ单调递增，所以()h θ的最小值为1()h θ，阴影部分的面积最大值为250015006π+-150()h θ，此时13tan 4θ=.． …………13分 答：监控区域面积S 最大时，角θ的正切值为43． …………14分 18．(本小题满分16分)解：（1）因为椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为22,所以c a 2=,设椭圆右焦点为2F ,在21PF F ∆中,1122,4PF PF F π=∠=,由余弦定理得：()()4cos 2222222222π⨯⨯⨯-+=-c c a ,解得2=c ,则2,2==b a ,所以,椭圆方程为12422=+y x ………4分（2）法一：设直线AM 斜率为k ,则直线AM 方程为:()2+=x k y ,联立()⎪⎩⎪⎨⎧=++=124222y x x k y 整理得()0488122222=-+++k x k x k ,()()42264421840k k k ∆=-+->设()124-2,12482-,,22122111+=+-=k k x k k x y x M 即则,从而12421+=k k y ,………8分 由AM BNk k 2=,可得直线BN 方程为()22-=x k y ,联立()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1242222y x x k y ,整理得()0432********=-+-+k x k x k,()()2422324813240k k k ∆=-+->,设()18216,184322,,22222222+-=+-=k k x k k x y x N 即则,从而18822+-=k k y ,………12分 由对称性,不妨设0>k ,则四边形AMBN 的面积()()()kkk k k k kk k k kk k k k k k k k k k k k k k ky y S 4124124241412410116412412184124181242418812424212222232221+++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=+++⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=+++⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-⨯⨯=, 令⎪⎭⎫⎝⎛==⨯≥+=时取等当且仅当则214412,41k k k t k k t ,则31621424224=+≤+=t t S 故S 的最大值为316. ………16分法二：设()11,y x M ,则()2121421x y -=.()()0,2,0,2B A -,则214202021211111-=-=--⋅+-=⋅x y x y x y k k MBMA ,………6分 由MA BN k k 2=,故1-=⋅BM BN k k .………7分设直线MN 方程为t my x +=,联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=12422y x tmy x ,整理得,()0422222=-+++t mty y m ,,即4222+<m t .设()22,y x N ,则24,222221221+-=+-=+m t y y m mt y y ,………9分 由1-=⋅BM BN k k ,得()042212121=++-+x x x x y y ,将24,222221221+-=+-=+m t y y m mt y y 代入整理得()()()()022221222=+-+-++m t t m t m ,即32=t ,满足4222+<m t .………12分 则四边形AMBN 的面积()()2222222212212121693824422242421++=+-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+=-⨯=m m m t m mt y y y y y y S 令22+=m u ,则2,29382≥-=u uu S ,解得S 的最大值为316.………16分19．(本小题满分16分)解：（1）因为,1,1-===c b a 所以xe x x x h 1)(2-+=，xe x x x h 2)(2++-=' 令e h 2)1(='， 又e h 1)1(=. 所以)1(21-=-x ee y ，即012=--ey x . ………………………………2分（2）因为,1=a 所以xe c bx x x m )()(2++=，xe c b x b x x m ])2([)(2++++='， 因为1=x 是函数)(x m 的一个极值点，所以0)1(='m ，解得32--=b c ，则xxe b x x e b x b x x m )]3()[1(]3)2([)(2++-=--++='令0)(='x m ，解得3,121--==b x x ， ……………………………………4分 因为1=x 是一个极值点，所以13≠--b ，即4-≠b . 当13>--b ，即4-<b 时，由0)(>'x m 解得)1,(-∞∈x 或),3(+∞--∈b x ， 由()0m x '<解得)3,1(--∈b x ， 当13<--b ，即4->b 时，由()0m x '>解得)3,(---∞∈b x 或),1(+∞∈x ， 由()0m x '<解得)1,3(--∈b x ，……………………………………7分综上，当4-<b 时，)(x m 的单调递增区间为)1,(-∞和),3(+∞--b ，单调递减区间为)3,1(--b当4->b 时，)(x m 的单调递增区间为)3,(---∞b 和),1(+∞，单调递减区间为)1,3(--b …………………………8分(3)因为，，所以对任意恒成立，即对任意恒成立.令，，由得…………………………9分①当时，对任意，，所以函数在上单调递减故，得符合题意. …………………………10分②当时，令则当时，所以对任意，，得函数在上单调递减所以当，即时，对任意，得函数在上单调递减所以，对任意恒成立得符合题意 (13)分当，即时，由，得，又函数的图象在上的图象连续不间断，且单调递减，由零点存在定理可得，存在唯一使得所以，当时，，所以函数在上单调递增，故当时，与题意不符.综上可得，实数的取值范围为.…………………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）数列}{n a 是非零数列，所以0≠n a 。
