第十一章 区间估计

常见形式
间估计的区间上、下界通常形式为：“点估计±误差” “总体均值”的区间估计
总体均值：μ 总体方差：σ 样本均值：x =(1/n）×Σ（Xi) 样本方差：s =(1/(n-1））×Σ（Xi-x)^2 符号假设置信水平：1-α 显著水平：α
已知n个样本数据Xi (i=1,2,...,n），如何估计总体的均值? 首先，引入记号： 区间估计σ'=σ/sqrt(n) s'=s/sqrt(n) 然后，分情况讨论： 情况1 小样本（n<30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况2 小样本（n<30），σ未知，此时区间位于 x ± t（α/2）×s' 区间估计情况3 大样本（n≥30），σ已知，此时区间位于 x ± z（α/2）×σ' 情况4 大样本（n≥30），σ未知，此时区间位于 x ± z（α/2）×s' 其中， z（α/2）表示：正态分布的水平α的分位数 t（α/2）表示：T分布的水平α的分位数
置信区间
区间估计有时，对所考虑的置信区间（或上、下限）加上某种一般性限制，在这个前提下寻找最优者。无偏 性是经常用的限制之一，如果一个置信区间（上、下限）包含真值θ的概率，总不小于包含任何假值θ┡的概率， 则称该置信区间（上、下限）是无偏的。同变性（见统计决策理论）也是一个常用的限制。
求置信区间的方法 最常用的求置信区间及置信上、下限的方法有以下几种。
即
费希尔把这个等式解释为：在抽样以前，对于θ落在区间内的可能性本来一无所知，通过抽样，获得了上述 数值，它表达了统计工作者对这个区间的"信任程度",若取b)=-α=uα/2，则得到区间，其信任程度为 1-α。即 当用上述区间作为θ的区间估计时，对于“它能包含被估计的θ”这一点可给予信任的程度为1-α。

14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1 （1）试求该天产品的平均直径EX的点估计； （2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信
区间：=0.05；=0.01。
解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为
E ¶ X x 1 1 4 .6 1 5 .1 1 4 .9 1 4 .8 1 5 .2 1 5 .1 1 4 .9 5
由抽取的9个样本，可得 S 0 .1 8x 2 1 .4n 9
由 10.95得 0.05 查表得 t0.025(8)2.306
t2(8)Sn2.3060.1 980.13836
全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54）
11
P127例5与P126例3的比较：
解 由题设可知：平均消费额X~N（，2）
1（ X1，X2，…，Xn ）， 2（ X1，X2，…，Xn ）， 使得P{1 << 2}=1- ，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为 参数的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。
1——置信下限 2——置信上限
4
几点说明
1、参数的置信水平为1-的置信区间（ 1， 2） 表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参 数的真值。
1
区间估计的思想
点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
x 1 1 4 5 5 1 5 0 2 1 3 7 0 1 6 1 0 1 4 3 0 1 4 7 3 .4

(1) P值是：1) 一种概率，一种在原假设为真的前提下出现观察样本以及更极端情况的概率。

2) 拒绝原假设的最小显著性水平。

3) 观察到的(实例的) 显著性水平。

4) 表示对原假设的支持程度，是用于确定是否应该拒绝原假设的另一种方法。

(2) P 值的计算：一般地，用X 表示检验的统计量，当H0 为真时，可由样本数据计算出该统计量的值C ，根据检验统计量X 的具体分布，可求出P 值。

具体地说:左侧检验的P 值为检验统计量X 小于样本统计值C 的概率，即:P = P{ X < C}右侧检验的P 值为检验统计量X 大于样本统计值C 的概率:P = P{ X > C}双侧检验的P 值为检验统计量X 落在样本统计值C 为端点的尾部区域内的概率的2 倍: P = 2P{ X > C} (当C位于分布曲线的右端时) 或P = 2P{ X< C} (当C 位于分布曲线的左端时) 。

若X 服从正态分布和t分布，其分布曲线是关于纵轴对称的，故其P 值可表示为P = P{| X| > C} 。

计算出P 值后，将给定的显著性水平α与P 值比较，就可作出检验的结论:如果α > P 值，则在显著性水平α下拒绝原假设。

如果α ≤ P 值，则在显著性水平α下接受原假设。

在实践中，当α = P 值时，也即统计量的值C 刚好等于临界值，为慎重起见，可增加样本容量，重新进行抽样检验。

整理自：区间估计区间估计（Interval Estimation）[编辑]什么是区间估计区间估计就是以一定的概率保证估计包含总体参数的一个值域，即根据样本指标和抽样平均误差推断总体指标的可能范围。

它包括两部分内容：一是这一可能范围的大小；二是总体指标落在这个可能范围内的概率。

区间估计既说清估计结果的准确程度，又同时表明这个估计结果的可靠程度，所以区间估计是比较科学的。

用样本指标来估计总体指标，要达到100%的准确而没有任何误差，几乎是不可能的，所以在估计总体指标时就必须同时考虑估计误差的大小。

x
）
x
） ）
x x
（
有时在实际中常用的还有单侧置信区间:
ˆ ˆ ( X ,..., X ) 是统计量, 若对给定的 定义3: 设 L L 1 n
α(0< α <1)，对任意的θΘ,有
ˆ } 1- P{ L
ˆ 是θ的置信水平为 1- α的(单侧)置信下限. 则称 L
ˆ ˆ ( X ,..., X )是统计量, 若对给定的 定义4: 设 U U 1 n
(3) 当 未知时, 方差 2 的置信区间
2 (n 1) S 2 (n 1) S 2 , 2 1 (n 1) (n 1) 2 2 注：两边开方即得到 的置信区间
(3)
(4) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间（这种情况在实际中很少）
解: 已知 =2000，E=400, 1-=95%， u1-/2=1.96 应抽取的样本量为
n
( u1 2 )2 2
E2 96.04 97
(1.96)2 2000 2 4002
即应抽取97人作为样本。
四、大样本置信区间
若总体 X 的分布未知, 但样本容量很大, 由中心极限 定理, 可近似地视为 2 x ~ N (, )
例如: 设 X1,…, Xn 是取自 N ( , 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信度为 1 的置信区间.
1、明确问题,是求哪个参数的置信区间? 置信水平是多少？
解： 选
的点估计为 X ,
2、寻找未知 参数的一个良 好估计.
3、寻找一个待估参数和样本的函数，要求其 分布为已知.
解：已知Ｘ ~ N(，2)，n=16, 1- = 95%，t1-/2=2.131 根据样本数据计算得： x 1490