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夸克对的玻色—爱因斯坦凝聚BEC（Bose-Einstein condensation）正反粒子对的玻色---爱因斯坦凝聚费米子对的玻色---爱因斯坦凝聚临界温度 有多种费米子反应产生多种不同玻色子时的玻色---爱因斯坦凝聚由费米子对形成的玻色凝聚12 (1)F F B μμμ+= (2)B B m μ=3(,)......................................(4,4)FF F F R m n m F a b ααααβμβ−=考虑反应：F1+F2=B 有准化学反应平衡可得：又有玻色凝聚的条件可知：有玻色统计：有费米统计：总的费米子数守衡：由上面六个方程可以得到：3(,) (3)B B B BR m n m B βμβ−=122 (5)allF F F B n n n n =++12(,,,)F F B a llF C m m m n T T =有K 种玻色子混在一起，其中有一种设为由于，对于玻色子：BEC 定理：所以有多种费米子反应时，有且只有产生的质量最小的玻色子才会出现BEC 。
11{}min kB m m αα==11{}min kB m m ααμ=≤=相图630 1.310MeV ρ=×是一般正常核物质的重子数密度可见Tc 是随着密度的变大而变小的()th μμMq和Tc的关系Tc是Mq的增函数,随着Mq的变大,Tc会变大.当Mq很大时,Tc会趋于一个常值,而从图中可以看到这个常值和Md有关,当2Mq和Md相等时,Tc开始趋于稳定,这由于大质量的夸克对夸克的自由度有限制,所以使得夸克对变为自由玻色子。
相图630 1.310MeV ρ=×是一般正常核物质的重子数密度NO—BEC区域的讨论 在原来的相图上有一个区域的2Mq----Md的Tc等于零的,也就是说在该区域中没有玻色---爱因斯坦凝聚。
在另一副图中可以看到，没有BEC的临界线都在2Mq<Md的区域，下面做理论分析。
玻色-爱因斯坦分布
玻色-爱因斯坦分布（Bose-Einstein distribution）是一种描述玻色子的概率分布，它是由印度物理学家萨提亚·恩德拉·博色和阿尔伯特·爱因斯坦于1924年共同提出的。
该分布可以用来描述在热力学平衡状态下多个玻色子所处的能级分布情况。
根据玻色-爱因斯坦分布的公式，玻色子在不同能级上的分布情况是与温度、化学势和能级之间的关系有关的。
在低温下，玻色子会聚集在能量最低的态上，形成玻色-爱因斯坦凝聚体（Bose-Einstein condensate），这是一种量子现象，在凝聚态物理中具有重要的应用价值。
玻色-爱因斯坦分布对于解释热力学系统中的许多现象有着重要的作用。
例如，对于黑体辐射，玻色-爱因斯坦分布可以用来计算各个频率上的光子数目，从而得到黑体辐射的能谱分布。
此外，它还可以用来描述超流体、超导体等系统的性质，这些都是凝聚态物理中的重要课题。
总之，玻色-爱因斯坦分布是一种用于描述玻色子在热力学平衡状态下能级分布的概率分布。
它对于解释和研究凝聚态物理中的各种现象具有重要的作用。
玻色———爱因斯坦凝聚的研究谢世标(广西民族学院物理与电子工程系,广西 南宁 530006) 摘 要: 综述了玻色—爱因斯坦凝聚的由来、概念及其形成条件,并介绍了当前国内外玻色—爱因斯坦凝聚研究的动态与进展及其前景展望。
关键词: 玻色—爱因斯坦凝聚;临界温度;激光冷却;磁陷阱中图分类号: O469 文献标识码:A 文章编号:1003-7551(2002)03-0047-041 玻色—爱因斯坦凝聚的由来我们知道,自然界中,粒子按统计性质分为玻色(Bose)子和费米(Fermi)子。
自旋为整数的粒子,如光子、π介子和α粒子是玻色子,玻色子服从玻色—爱因斯坦统计;自旋为半整数的粒子,如电子、质子、中子、μ介子是费米子,费米子服从费米—狄拉克统计。
1924年6月24日,30岁的印度物理教师玻色送一份手稿给爱因斯坦,试图不依赖经典电动力学来推导普朗克(黑体辐射)定律的系数8πν2/c3,办法是假定相空间最基本区域的体积为h3。
爱因斯坦亲自把玻色的手稿译成德文,送去发表,并在文末加注说:“我以为玻色对普朗克公式的推导乃是一项重大进步,所用方法也将导致理想气体的量子理论”。
爱因斯坦意识到玻色工作的重要性,立即着手这一问题的研究。
他于1924年和1925年发表两篇论文,将玻色对光子的统计方法推广到某类原子,并预言当这类原子的温度足够低时,所有的原子就会突然聚集在一种尽可能低的能量状态,这就是我们所说的玻色—爱因斯坦凝聚。
但在很长一段时间里,没有任何物理系统认为与玻色—爱因斯坦凝聚现象有关。
直到1938年,伦敦(F.London)指出,超流和超导现象可能是玻色—爱因斯坦凝聚的表现,玻色—爱因斯坦凝聚才真正引起物理学界的重视。
不过这两种现象都发生在强相互作用的体系中。
超流液氦中只有10%的原子凝聚;超导与玻色—爱因斯坦凝聚的关系要经过电子的配对,涉及更复杂的相互作用。
只有近理想或弱相互作用的玻色气体的玻色—爱因斯坦凝聚,才更易于同理论比较,但一直没有实验证实。
玻尔兹曼系统、玻色子系统、费米子系统的区别及统计规律当描述粒子行为时，玻尔兹曼系统、玻色子系统和费米子系统有着不同的特点和统计规律。
下面对它们进行详细说明：玻尔兹曼系统：描述：玻尔兹曼系统适用于经典粒子，如分子和原子等。
这些粒子之间可以相互交换位置和能量，且粒子可以具有任意能量。
玻尔兹曼系统假设粒子之间是无差别可区分的。
统计规律：玻尔兹曼系统中的粒子遵循玻尔兹曼分布。
玻尔兹曼分布描述了粒子在可分辨的能级上的分布情况，其表达式为：P(E) ∝exp(-E/kT)，其中P(E)表示具有能量E的粒子的概率，k是玻尔兹曼常数，T是系统的温度。
玻色子系统：描述：玻色子是具有整数自旋的粒子，如光子和声子等。
玻色子系统中的粒子可以占据相同的量子态，即多个粒子可以处于同一个量子态。
这种行为被称为玻色统计。
统计规律：玻色子系统中的粒子遵循玻色-爱因斯坦统计。
根据玻色-爱因斯坦分布，粒子的分布可以是任意整数，不受限制。
这意味着在低温条件下，大量玻色子可以集中在系统的最低能级，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚。
费米子系统：描述：费米子是具有半整数自旋的粒子，如电子和中子等。
费米子系统中的粒子由于遵循泡利不相容原理，每个量子态只能被一个粒子占据。
这意味着费米子之间无法处于同一个量子态，也无法彼此交换位置。
统计规律：费米子系统中的粒子遵循费米-狄拉克统计。
根据费米-狄拉克分布，每个量子态最多只能被一个粒子占据。
在多粒子费米子系统中，由于每个量子态只能占据一个粒子，系统的能级填充依次递增，满足所谓的泡利不相容原理。
总结：玻尔兹曼系统适用于经典粒子，粒子之间无限制；玻色子系统适用于具有整数自旋的粒子，允许多个粒子占据同一个量子态；费米子系统适用于具有半整数自旋的粒子，每个量子态最多只能有一个粒子占据。
玻尔兹曼系统服从玻尔兹曼分布，玻色子系统服从玻色-爱因斯坦统计，费米子系统服从费米-狄拉克统计。
这些统计规律决定了粒子在不同系统中的分布特征和行为方式。
量子力学中的粒子统计与概率解释量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观世界中粒子的行为。
在量子力学中，粒子统计是一个重要的概念，它与经典物理中的粒子统计有所不同。
本文将介绍量子力学中的粒子统计以及与之相关的概率解释。
在经典物理中，粒子的统计遵循玻尔兹曼分布或费米-狄拉克分布。
然而，在量子力学中，由于波粒二象性的存在，粒子的统计表现出全新的特性。
根据泡利不相容原理，存在两类基本粒子：玻色子和费米子。
玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计，而费米子遵循费米-狄拉克统计。
玻色-爱因斯坦统计描述了玻色子的行为。
根据该统计，玻色子不受泡利不相容原理的限制，可以占据相同的量子态。
这意味着多个玻色子可以处于同一个量子态，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚。
这种凝聚态在低温下可以观察到，例如在超流体和激光中。
费米-狄拉克统计描述了费米子的行为。
根据该统计，费米子受到泡利不相容原理的限制，不可能占据相同的量子态。
这导致了一种现象，即费米子之间的排斥作用，使得它们无法同时处于相同的状态。
这种排斥作用在电子填充原子轨道时起到关键作用，决定了原子的化学性质。
粒子统计的概率解释可以通过量子力学中的波函数来理解。
波函数描述了粒子的状态，它是一个复数函数，包含了粒子在不同位置和动量上的概率振幅。
根据波函数的模的平方，可以得到粒子在不同状态下的概率分布。
在玻色-爱因斯坦统计中，多个玻色子可以处于同一个量子态，因此它们的波函数可以重叠。
当多个玻色子处于同一个量子态时，它们的波函数会相干叠加，形成一个更强的波函数。
这种相干叠加导致了玻色-爱因斯坦凝聚的出现。
而在费米-狄拉克统计中，由于费米子受到泡利不相容原理的限制，它们的波函数无法重叠。
当多个费米子处于不同的量子态时，它们的波函数会互相抵消，导致波函数的强度减弱。
这种互相抵消的效应使得费米子不容易形成凝聚态。
除了玻色-爱因斯坦凝聚和费米-狄拉克排斥外，量子力学中还存在一种特殊的粒子统计，即任意子统计。
量子统计力学玻色爱因斯坦凝聚与费米子动力学量子统计力学是研究微观粒子行为和宏观物体性质之间的关系的学科。
在量子统计力学中，玻色爱因斯坦凝聚和费米子动力学是两个重要的方面。
本文将分别介绍玻色爱因斯坦凝聚和费米子动力学的基本概念、特点以及相关应用。
一、玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚是一种与玻色子相关的量子现象，指在极低温下，大量的玻色子聚集在量子基态中的现象。
这种凝聚态在量子统计力学中具有重要的地位，被广泛应用于凝聚态物理、光学和量子信息领域。
玻色爱因斯坦凝聚的产生依赖于玻色子的统计性质。
根据玻色子的统计分布，它们可以占据相同的量子态。
当温度趋近于绝对零度时，玻色子会趋向于占据能量最低的状态，形成凝聚态。
这种凝聚态具有多个玻色子处于相同的量子态的特点，呈现出宏观量子行为。
玻色爱因斯坦凝聚的研究对于理解超流、超导等凝聚态物理现象具有重要意义。
此外，在光学和量子信息领域，利用玻色爱因斯坦凝聚可以实现光学信号的放大、操控和传输，以及构建量子计算和信息处理的基础平台。
二、费米子动力学费米子动力学是研究费米子行为的一种方法和理论框架。
费米子是一类遵循费米-狄拉克统计的基本粒子，如电子、质子和中子等，它们具有半整数的自旋，并且根据泡利不相容原理，同一量子态上最多只能容纳一个费米子。
费米子动力学的研究对象主要是描述费米子系统的物理量和相互作用的算符。
通过量子力学的方法，可以得到费米子系统的哈密顿量和演化方程，进而研究费米子的运动和性质。
费米子动力学在凝聚态物理和核物理中有广泛应用。
例如，在凝聚态系统中，费米子的行为可以解释导体的电子输运和磁性材料的性质。
而在核物理中，费米子动力学可以用于描述原子核内的中子和质子的相互作用以及核反应的过程。
三、玻色爱因斯坦凝聚与费米子动力学的联系与应用尽管玻色爱因斯坦凝聚和费米子动力学是两个不同的概念和理论框架，但它们之间存在着联系和相互作用。
首先，玻色爱因斯坦凝聚可以通过将费米子对转变为玻色子来实现。
玻色-爱因斯坦凝聚态冻结光线1.引言1.1 概述玻色-爱因斯坦凝聚态是一种量子物质的集体现象，它是一种超流体态，具有独特的性质和行为。
而冻结光线是指通过特殊的实验技术将光子束固定在空间中的一种现象。
本文旨在介绍玻色-爱因斯坦凝聚态和冻结光线的概念、特性以及相互关系。
通过对玻色-爱因斯坦凝聚态的原理和性质进行深入的分析，进一步探讨了冻结光线的形成机制以及它们在实验中的应用。
在2.1节中，我们将介绍玻色-爱因斯坦凝聚态的起源和基本原理。
我们将重点讨论原子在低温下的玻色-爱因斯坦凝聚转变，并解释其与超流性质的关系。
此外，我们还将讨论玻色-爱因斯坦凝聚态在凝聚态物理和量子信息科学等领域的应用。
在2.2节中，我们将详细介绍冻结光线的产生方式及其特点。
我们将着重探讨通过使用光晶格和Bose-Einstein凝聚体来实现对光子束冻结的方法。
同时，我们还将探讨冻结光线在光学传感、量子计算和光量子通信等领域中的潜在应用。
在结论部分，我们将总结玻色-爱因斯坦凝聚态和冻结光线在量子物理学中的重要性和前景。
此外，我们还将对未来的研究方向和可能的应用进行展望。
通过本文的阅读，读者将能够更深入地了解玻色-爱因斯坦凝聚态和冻结光线的概念、性质和应用。
我们希望本文能够为读者们提供全面而深入的信息，并激发对这一领域的进一步兴趣和探索。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：文章结构部分的主要目的是向读者介绍整篇文章的组织和内容安排。
通过清晰地概括文章的结构，读者可以更好地理解文章的主题和思路，并且在阅读过程中可以更加有针对性地获取所需的信息。
在本篇文章中，主要分为引言、正文和结论三个部分。
首先，在引言部分，我们将对本文的主题进行概述。
我们将简要介绍玻色-爱因斯坦凝聚态和冻结光线的概念，并明确本文的目的。
其次，在正文部分，我们将详细探讨玻色-爱因斯坦凝聚态和冻结光线的相关知识。
在玻色-爱因斯坦凝聚态的部分，我们将介绍其基本原理和特点，以及相关实验和应用方面的研究成果。
热辐射的研究可追溯至19世纪初，当时物理学家试图解释物体发出的热能。
其中，玻尔兹曼分布和玻色爱因斯坦模型在描述热辐射的能量分布和粒子行为方面发挥了重要作用。
1. 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布是描述理想气体中粒子速度分布的统计分布。
该分布表明，在平衡状态下，粒子的速度在不同方向上呈现高度的随机性和均匀性，这一主题在统计物理学和热力学中一直备受关注。
2. 玻色爱因斯坦模型玻色爱因斯坦模型则是描述玻色子（一类基本粒子）的行为模型，特别是在低温下的行为。
根据玻色爱因斯坦的统计推导，玻色子在低温下将呈现出玻色-爱因斯坦凝聚，形成所谓的Bose-Einstein凝聚态。
在探究这些概念的过程中，我们必须深入理解热辐射的性质和行为。
热辐射是指由物体散发的热量和光辐射，其性质由物体的温度和材料决定。
在低温下，热辐射的性质更倾向于玻色爱因斯坦模型所描述的玻色子行为，在高温下，将更符合玻尔兹曼分布的特性。
通过深入研究热辐射的性质和粒子行为，我们可以更好地理解热辐射的能量分布、粒子属性和统计规律。
这不仅有助于我们在物理学和热力学领域的研究，还对光子学、能源理论和材料科学等领域具有潜在的应用和发展前景。
在总结本文时，我们可以得出结论：热辐射是一个复杂而丰富的研究领域，涉及到物体的能量释放、粒子行为的统计规律等多个方面。
玻尔兹曼分布和玻色爱因斯坦模型为我们提供了对热辐射行为的重要理论支持，促使我们更深入地理解热辐射的本质和规律。
在个人观点方面，我认为热辐射的研究不仅有助于我们更好地理解自然界的现象，也为技术和应用的发展提供了重要的理论基础。
通过探索玻尔兹曼分布和玻色爱因斯坦模型，我们可以不断拓展对热辐射的认识，并在实践中应用这些理论，推动科学和技术的进步，创造更多的创新和发展机遇。
通过本文的阐述，我们深入探讨了热辐射、玻尔兹曼分布和玻色爱因斯坦模型等相关内容，希望能为您对这些主题的理解提供一定的启发和帮助。
在现代物理学领域，热辐射的研究一直是一个备受关注的话题。
大多数人初次听到玻色-爱因斯坦凝聚这个术语时，都感到既陌生又神秘。
那它到底是什么意思呢？早在1924年，印度物理学家萨蒂延德拉·纳思·玻色（Satyendra Nath Bose，1894-1974）提出了一个分析光子行为的统计力学方法，也就是现在我们所说的“玻色统计”。
玻色提出了一种新的统计理论，它与传统的统计理论仅在一条基本假定上不同。
传统统计理论假定一个系统中所有粒子是可区别的。
基于这一假定的经典统计理论圆满地解释了理想气体定律，取得了非凡的成功。
然而玻色认为，我们实际上根本不可能区分两个光子有何不同。
玻色讨论了如下问题：将N个相同的小球放进M个标号为1，2，……的箱子中，假定箱子的容积足够大，可能有多少种不同的放法？在此问题的基础上，他采用与传统统计相似的方法得到了一套新的统计理论。
玻色的理论无须借助经典物理就可以正确描述光子的行为，但他在发表自己的论文时遇到了一些麻烦，因为人们不相信他的理论，不肯在科学杂志上刊登他的论文。
于是玻色就将论文寄给了爱因斯坦这位当时最著名的物理学家。
爱因斯坦立刻意识到这篇论文的重要性，并通过自己的影响力将它发表在德国的学术刊物上。
也许有人会问，玻色的理论为什么还同时用爱因斯坦的名字命名呢？事实上，爱因斯坦不仅帮助玻色发表论文，而且进一步对他的理论进行深化和推广。
爱因斯坦认为，玻色的理论不但对光子适用，而且可以用来研究所有原子的行为。
他最终建立了遵守玻色-爱因斯坦统计的粒子的完整量子理论模型。
有关结果在1924-1925年的两篇论文中发表。
所谓的“玻色-爱因斯坦统计”就这样诞生了。
爱因斯坦发现，他建立的方程式表明，原子在非常低的温度下的表现与通常状态相比大为不同。
如果原子足够冷，那么就可能会有一些不同寻常的事情发生。
它是那样的奇异，以至爱因斯坦无法确定自己的理论是否正确。
也许有人认为，爱因斯坦是永远不会错的，但事实上他只对了一半。
因为并不是所有的原子都遵守玻色-爱因斯坦统计。
玻色-爱因斯坦统计
玻色-爱因斯坦统计，适用于被称作玻色子的基本粒子的统计类别，它是指光子、介子，以及W和Z粒子。
玻色子拥有整数值的被称为自旋的量子力学特性，并且是“聚集的（gregarious）”，它的意义是能够处于同一状态的玻色子的数量是无限的。
所有传递自然界中的基本力的粒子都是玻色子。
玻色-爱因斯坦统计
在统计力学中，玻色-爱因斯坦统计（更通常的被称为B-E统计）确定了在热平衡下同一的不可分辨的（indistinguishable）玻色子相对于能量状态的统计分布。
费米-狄拉克和玻色-爱因斯坦统计适用于量子效应必须考虑和粒子被看作是“不可分辨的”情况下。
如果粒子的密度N/V n q（n q为量子密度），量子效应就显现出来。
量子密度就是粒子间距等于热德•布罗意波长的时候，即粒子的波函数已经接触但还未重叠时。
量子密度依赖于温度；高温会使大多数系统处于经典的限制中，除非它们有非常高的密度比如白矮星。
费米-狄拉克统计适用于费米子（服从泡利不相容定律的粒子），玻色-爱因斯坦统计适用于玻色子。
在高温或低密度下费米-狄拉克和玻色-爱因斯坦统计都变为麦克斯韦-玻耳兹曼统计。
麦克斯韦-玻耳兹曼统计经常被描述为“可分辨的”经典粒子的统计。
换句话说，处在状态1的粒子A和处在状态2的粒子B的结构相比于粒子B是状态1和粒子A是状态2是不同的。
当沿着这条思路充分展开时，就会导出适当的（玻耳兹曼）对于能量状态的粒子分布，但由于熵也会导出非自然（non-physical）的结果，如吉布斯反论。
当认识到所有的粒子实际上都是不可分辨的，这些问题就消失了。
这些分布在高温和低密度限制下都会趋近于麦克斯韦-玻耳兹曼分布，而不需要任何额外的假设。
麦克斯韦-玻耳兹曼统计对于研究气体非常有用；F-D统计经常用于固体中的电子的研究。
同样的，它们都成为半导体设备和电子学理论的基础。
玻色子，不同于费米子，不受泡利不相容定律的影响：无限数量的粒子可以同时占据相同的状态。
这解释了为什么，在低温下玻色子的表现和费米子非常不同：所有的粒子趋向于聚集在最低的能量状态下，形成所谓的玻色-爱因斯坦凝聚态。
B-E统计由玻色于1920年引入光子中，并由爱因斯坦于1924年推广到原子。
处于一种能量状态i的粒子数的期望值由B-E统计给出：
1
/)(-=-kT i
i i e g n με
其中的με>i ，式中： n i 为粒子在状态i 的数量 g i 状态i 的简并度 εi 为第i 个状态的能量
μ 为化学势（chemical potential ） T 为绝对温度
当能量(με-i )>>kT ，该式就变成M-B 统计。
玻色-爱因斯坦统计的推导
假设我们有许多能级，以i 来标记，每个能级的能量为εi ，包括了全部的n i 个粒子。
假设每个能级包括了g i 个不同的子能级，都有相同的能量，而彼此可分辨。
例如，两个粒子有不同的动量，在这种情况下它们是可分辨的，但是它们仍可能有相同的能量。
和能级i 关联的g i 值称为该能级的“简并度”。
任意数量的玻色子可以占据同一子能级。
令ω(n,g)为n 个粒子在一个能级中的g 个子能级的分布方法数。
对于一个子能级，只有一种分布方法，因此ω(n,1)=1。
容易看出n 个粒子在两个子能级上有n+1种分布方法，我们写成：
!
1!)!
1()2,(n n n +=
ω 稍微思索就可以看出n 个粒子在三个子能级的分布方法数为ω(n,3)= ω(n,2)+ ω(n-1,2)+…+ω(0,2)，所以
∑∑
==+=-+-=-=
n
k n
k n n k n k n k n n 0
!2!)!
2(!1)!()!1()2,()3,(ωω
这里我们用到了下面包含二项式系数的定理：
∑=+++=+n
k a n a n a k a k 0
)!1(!)!1(!!)!( 继续这个过程，我们可以看出ω(n,g)就是一个二项式系数 )!
1(!)!
1(),(--+=g n g n g n ω
可以看出，对于一系列的占据数n i ，方法数为每一个能够填充的单独能级的方法的乘积： ∏∏
∏+≈--+==
i
i
i i
i i i i i i i i i g n g n g n g n g n W )!(!)!
()1(!)!1(),(ω
这里的近似是假设g i >>1。
下面使用和推导麦克斯韦-玻耳兹曼统计同样的方法，我们希望找到在固定粒子数和固定能量的约束下，W 最大化所对应的n i 序列。
W 和ln(W)的最大值都对应一个N i 值，由于数学处理上较为方便，我们将用后者代替前者。
我们用如下形式的拉格朗日乘数法（Lagrange multipliers ）来约束我们的解：
)()()ln()(∑∑-+-
+=i
i i
i n E n N W n f εβα 注1
利用g i >>1的近似，和对阶乘的斯特林近似（x x x x -≈)ln()!ln(），推导出期望的n i 。
设结果为0，解出产生费米-狄拉克填充数的n i ：
1
-=
+i
e
g n i i βεα 注2
可以证明在热力学中kT /1=β，这里k 为玻耳兹曼常数T 为温度。
而kT /μα-=，这里μ为化学势，因此最后变为：
()1
/-=-kT i i i
e g
n με
注意上式有时写为：
1
//-=
z e g n kT i
i i ε
这里的()kT z /ex p μ=为绝对活性（activity ）。
光子的玻色-爱因斯坦统计
对于光子来说，每一个能级εi 对应一个频率νi ，而能级简并度g i 就是光子的模式数（或称光波模式数）。
同时对于光子，μ=0。
由此可以导出，已知某频率的光子模式数g(ν)，和温度T ，在该频率下的光子数为：
1
)
()(/-=kT
h e g n ννν 则分布在每一模式上的平均粒子数为： 1
1)()(/-==
kT h e g n N ννν
上面两式可用于推导普朗克黑体辐射公式。
注1：
对于所有的粒子在所有的能级上的分布方式数 ∏∏
∏+≈--+==
i
i
i
i i i i i i i i i i g n g n g n g n g n W )!(!)!
()1(!)!1(),(ω (1)
两边都取自然对数
()()()()()[]
∑∑∏
--+=+=+=i
i i i i i
i i i i
i
i i i i g n g n g n g n g n g n W !ln !ln !ln !!!ln )!(!)!
(ln (2) 根据斯特林近似 ()()()()()[]∑--++=i
i i i i i i i i
g g n n g n g n
W ln ln ln ln (3)
又有边界条件
⎪⎩
⎪⎨⎧==∑∑i i
i i
i n E n N ε
即
⎪
⎩
⎪⎨⎧=-=-∑∑00i i i i
i n E n N ε (4)
其中N 为系统的总粒子数，E 为系统的总能量，εi 为每个能级的能量。
根据拉格朗日乘数法，可构造出函数 ()⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-
+=∑∑i i i i i i n E n N W n f εβαln )( (5) α、β为代定系数。
注2：
要使()W ln 的值最大（也就是W 的值最大），即要找出()W ln 的极值对应的n i ，可以用
)(i n f 的极值来代替，即
()
0ln )(=--∂∂=∂∂∑∑i
i i i i i n W n n f εβα (6)
按照(3)式，有
()()∑∑⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--+++++=∂∂i i i i i i i i i i i i i i n g n g n g g n n g n n W 1ln 1ln ln ln
代入(6)得 01ln )
(=--⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=∂∂∑∑∑i i i i i i i i n g n n f εβα 即
01ln =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+∑i i i i n g βεα 也就是
01ln =--⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+i i i
n g βεα
解得
1
-=
+i e g n i i βεα。
