2018届河北省衡水市安平中学高三上学期第三次月考 数学(文)
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2018届河北省衡水市安平中学高三上学期第三次月考 数学（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1. 已知}11|{<<-=x x P ，}20{<<=x Q ，则=Q PA ．)2,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(-D ．)2,1(2. 已知()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-13. 在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．64. 设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5. 若把函数()(3sin 2)3f x x π=+的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后所得图象关于坐标原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ．12πC ． 3πD ． 4π 6.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，425S S =，则3825a a a ⋅的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．22-或 D ．127. 已知点D 是ABC ∆所在平面内的一点，且2BD DC =-，设AD AB AC λμ=+，则λμ-= ( )A ．-6B ．6C ． -3D ．38. 在等比数列{}n a 中，13282,81n n a a a a -+=⋅=，且前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．10. 在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足++=PA PB PC AB ，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．3411. 若α∈[0,2π)，则满足1＋sin2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是A ．⎣⎡⎦⎤0，π2B ．[]0，πC ．⎣⎡⎦⎤0，3π4 D ．⎣⎡⎦⎤0，3π4∪⎣⎡⎭⎫7π4，2π 12. 若函数32()236=-+f x x mx x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．⎝⎛⎭⎫－∞，52D ．⎝⎛⎦⎤－∞，52 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13. 已知角θ的终边经过点()2,x P ，且31cos =θ，则=x ．14. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，,,P A B 三点共线，且32016OP a OA a OB =+，则2018S = ．15. 若1356sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin πα ． 16. 在△ABC 中，||||AB AC AB AC +=-，AB =2，AC =1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE AF ⋅=________．三、解答题(本大题共6小题，解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤).17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,,2sin 3sin .a b c b c B A ==，且（1）求cos B 的值；（2）若2a ABC =∆，求的面积．18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足n n S n +=2，*∈N n （1）求{}n a 的通项公式;（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n )1(1的前n 项和.19.（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是,,,c b a 且2cos cos cos a B c B b C =+．（1）求角B 的大小；（2）设向量(cos ,cos2),(12,5)m A A n ==-，边长4a =，求当m n ⋅取最大值时，ABC ∆的面积的值．20.（本小题满分12分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝π2，AC ＝3， BC ＝2， P 是△ABC 内的一点．（1）若P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，求PA 的长；（2）若∠BPC ＝2π3，设∠PCB ＝θ，求△PBC 的面积S (θ)的解析式，并求S (θ)的最大值．21.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值.22.（本小题满分12分） 已知函数x x x f ln 21)(2+=. （1）求)(x f y =在[]e ,1上的最大值和最小值；（2）求证：当),1(+∞∈x 时，函数)(x f y =的图像在函数332)(x x g =图像下方。
高三文科数学答案1. A2. B3. B4. A5. A6. C7. C8. B9. C 10. C 11. D 12. D13. 22 14. 1009 15. 1312-16. 10917. 解：⑴因为2sin 3sin B A =，所以23b a =． 所以23b a =．所以2222222()33cos 22323b b b a c b B b ac b +-+-===⨯⋅ ⑵因为2a =，所以3b c ==．又因为3cos 3B =，所以6sin 3B =．所以2363221sin 21=⨯⨯⨯==∆B ac S ABC 18. （1）根据题意可得：n a n 2=（2）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a n )1(1的前n 项和为n T 由（1）得：)111(21)1(121)1(1+-⨯=+⨯=+n n n n a n n )1(2)111(21)1113121211(21+=+-=+-+⋯+-+-=n n n n n T n 19. （1）由题意，2sin cos sin cos sin cos ，A B C B B C =+所以.4B π=（2）因为234312cos 5cos 210(cos )55m n A A A ⋅=-=--+， 所以当3c o s =5A 时， m n ⋅取最大值，此时，4sin =.5A 由正弦定理得，sin 5272,sin sin(),sin 210B b aC A B A ===+=所以，1sin 7.2ABC S ab C == 20. 解 (1)解法一：∵P 是等腰直角三角形PBC 的直角顶点，且BC ＝2，∴∠PCB ＝π4，PC ＝2，又∵∠ACB ＝π2，∴∠ACP ＝π4， 在△PAC 中，由余弦定理得PA 2＝AC 2＋PC 2－2AC ·PC cos π4＝5，∴PA ＝ 5.解法二：依题意建立如图直角坐标系，则有C (0,0)，B (2,0)，A (0,3)，∵△PBC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝π2，∴∠ACP ＝π4，∠PBC ＝π4， ∴直线PC 的方程为y ＝x ，直线PB 的方程为y ＝－x ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x y ＝－x ＋2得P (1,1)，∴PA ＝1－02＋1－32＝5，(2)在△PBC 中，∠BPC ＝2π3，∠PCB ＝θ， ∴∠PBC ＝π3－θ，由正弦定理得2sin 2π3＝PB sin θ＝PC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，∴PB ＝433sin θ，PC ＝433sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，∴△PBC 的面积S (θ)＝12PB ·PC sin 2π3 ＝433sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θsin θ＝2sin θcos θ－233sin 2θ＝sin2θ＋33cos2θ－33 ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6－33，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3， ∴当θ＝π6时，△PBC 面积的最大值为33. 21. 【解析】（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->， 即12(1)n n a a n -=>.从而21312,4a a a a ==.又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+.所以11142(21)a a a +=+，解得12a =.所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.故2n n a =. （2）由（1）得112n n a =. 所以2311[1()]1111122112222212n n n n T -=++++==--. 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n >. 因为9102512100010242=<<=，所以10n ≥.于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10.22. .(1)x x x f ln 21)(2+=∴],1[e x ∈上，)(x f y =单调递增.∴1=x 时21)1(min =f ,121)(2m ax +==e e f e x 时方法一： 证：),1(,32ln 2132+∞∈<+x x x x 令x x x x F ln 2132)(23--= 0)12)(1(1212)('2232>++-=--=--=xx x x x x x x x x x F),1(,32ln 2132+∞∈<+∴x x x x 得证. 方法二： 证：),1(,32ln 2132+∞∈<+x x x x 令x x x x F ln 2132)(23--= xx x x x x x F 1212)('232--=--= 令12)(23--=x x x h026)('2>-=x x x h()0)1(1)(=∞+=∴h x h y 上单调递增，，在∴0)(>x h),1(,32ln 2132+∞∈<+∴x x x x 得证.。
