七年级数学下册 9.4 平行线的判定 实际问题中平行线素材 (新版)青岛版

根据平行线的特征解题平行线的特征是学习平行的重点，而利用平行线特征解决有关的问题，是学习平行线的重要体现.在解决有关平行线的问题中，我们可从下面几个方面入手.1．寻找基本图形在一个图形中有两组以上的平行线,先根据每一组平行线探索其中的结论，然后再找出所得结论之间存在的关系.例1 如图，已知AB//CD ，BC//DE ，∠B 与∠D 相等吗？说说理由？分析：观察图形，此题有两组平行线，可分别利用平行线的特征构造过渡角.解:∠B=∠D.理由:D B D C DE BC C B CD AB ∠=∠→⎭⎬⎫∠=∠→∠=∠→////例2 如图,AB//CD,BE//CF,∠1与∠2相等吗?为什么?分析:观察图形,本题是有两个基本图形组成,,由于∠1与∠2不是内错角,所以要探究∠1与∠2是否相等,需要从基本图形中探究相等关系.解:∠1=∠2.理由是: ⎭⎬⎫∠=∠→∠+∠=∠+∠→∠=∠→∠=∠→43//423121//CF BE BCD ABC CD AB 21∠=∠→.2.构造基本图形当已知的图形中没有同位角、内错角或同旁内角时，可以通过适当的辅助线构造基本图形，利用平行线的特征解题.例3 如图,AB//CD,P 为AB 、CD 之间一点，已知∠1=30°，∠2=35°，求∠BPC 的度数.分析:观察已知图形,AB//CD,但图形中没有同位角或内错角或同旁内角，所以直接不能利用∠BPC 与∠1和∠2的关系解题.为了探究∠BPC 与∠1、∠2的关系,需要适当地添加辅助线,构造基本图形.解:过点P 作PM//AB.,2////,//1//∠=∠→→∠=∠→C CD PM CD AB AB PM B AB PM 所以∠BPC=∠1+∠2=∠B+∠C=30°+35°=75°.3. 综合运用平行线的特征与平行的条件平行线的特征与平行的条件的综合运用,是解决与平行线有关的问题的常用方法.先由“形”得到“数”，即应用特征得到角相等（或互补），再利用角之间的关系进行计算，得到新的关系.然后再由“数”到“形”得到一组新的平行.例4 如图,E 在直线DF 上,B 为直线AC 上,若∠AGB=∠EHF,∠C=∠D,试判断∠A 与∠F 的关系,并说明理由.分析:从图中可以猜测∠A=∠F,但题目没有告诉DF//AC,所以需要根据已知条件说明DF//AC.解: ∠A=∠F.理由是:因为∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF,所以∠DGF=∠EHF,所以BD//CE,所以∠C=∠ABD,又∠C=∠D,所以∠D=∠ABD ,所以∠A=∠F.试一试:1．如图，已知BD 平分∠ABC，∠1=∠3，那么∠4和∠C 相等吗？为什么？答案：∠4=∠C.。

平行线的判定方法举例一、等角助阵判平行例1 如图1，∠A ＋∠D ＝180°，∠A ＝∠C ，试说明：AD ∥BC ． 分析：图形中既无内错角也无同位角，故从同旁内角互补的角度考虑转化为判定∠A ＋∠B ＝180°或∠D ＋∠C ＝180°． 解：因为∠A ＋∠D ＝180°，∠A ＝∠C ， 所以∠D ＋∠C ＝180°，所以AD ∥BC ． 二、余角助阵判平行例2 如图2，直线AB 、CD 被EF 所截，H 是CD 与EF 的交点，∠1=60°，∠2=30°，GH ⊥CD 于H 点H ，试说明AB ∥CD ．分析：欲判定AB ∥CD ，只需说明∠1=∠4，即说明∠4=60°，这可通过通过对顶角去转化．解：因为GH ⊥CD ，∴∠2+∠3=90°． 因为∠2=30°，所以∠3=60°． 所以∠4=∠3=60°．又因为∠1=60°，所以∠1=∠4． 所以AB ∥CD ． 三、补角助阵判平行例3 如图3所示，∠EDG =70°，∠FAB =55°，AF 平分∠BAG ，试说明AB ∥CE ．分析：欲判定AB ∥CE ，可通过判定∠EDG =∠BAD 来实现，即需要说明∠BAD =70°，这就需要通过补角去转化．解：因为∠FAB =55°，AF 平分∠BAG ，所以∠BAG =2∠FAB =110°． 因为∠BAG +∠BAD =180°，所以∠BAD =180°－∠BAG =70°． 又∠EDG =70°，所以∠EDG =∠BAD ．所以AB ∥CE ． 四、平角助阵判平行例4 如图4，A 、C 、E 三点在同一条直线上，∠B =45°，∠ACB =55°，∠DCE =80°．试说明AB ∥CD ．分析：欲判定AB ∥CD ，由∠B =45°，只需再求出∠BCD =45°即可ABEG F 图3CDB DA C E 图4G图2AC F BDE 12 3 4H DAB图1FEDCB图5ANM 21由∠B =∠BCD 来判定AB ∥CD ．解：因为∠ACB +∠BCD +∠DCE =180°，所以∠BCD =180°―∠ACB ―∠DCE =180°―55°－80°=45°． 又∠B =45°，所以∠B =∠BCD ，所以AB ∥CD ． 五、对顶角助阵判平行例5 如图5所示，A 、B 、C 三点在同一条直线上，D 、E 、F 三点也在同一条直线上，分别连接AF 、BD 、CE ．假设∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，试说明：DF ∥AC .分析：由∠1＝∠2，通过对顶角相等，可转化为∠1＝∠AMC ，可判定DB ∥EC ，从而∠NBA ＝∠C ，再结合∠C ＝∠D ，可推出∠NBA ＝∠D ，从而可推出DF ∥AC ，问题得解． 解：因为∠1＝∠2，∠2＝∠AMC ，所以∠1＝∠AMC ， 所以DB ∥EC ，所以∠NBA ＝∠C ． 又因为∠C ＝∠D ，所以∠NBA ＝∠D ． 所以DF ∥AC ．六、角平分线助阵判平行例6 如图6，CD 平分∠BCE ，∠O =∠DCE ．试说明OA //CD ． 分析：要判定OA //CD ，先要寻找与OA 、CD 都相交的第三条直线，这里有两条：OB 和CE ．其中与条件中“CD 平分∠BCE ，∠O =∠DCE 〞都有直接联系的直线是OB ．联系平行线判定定理，可知∠BCD 是∠O 的同位角，应是我们关注的对象．由CD 平分∠BCE ，得∠BCD =∠DCE ，再结合∠O =∠DCE 可推出∠BCD =∠O ．解：因为CD 平分∠BCE ，所以∠BCD =∠DCE ． 又∠O =∠DCE ，所以∠BCD =∠O ． 所以OA //CD ．OEACDB图6。

∵∠1与∠2互余
A1 23
l1
∴∠1+∠2=90°
∴∠3=180°-（∠1+∠2）=90°
∴ ∵Al⊥C1⊥ACl2 ∴ l∥2 l1
B C
l2
(第 3 题)
课下作业
必做题：课本43页习题9.4第5题 选做题：课本45页习题综合练习第10题
课堂检测
1. 如图，丁字尺是工程技术人员常用的一种绘图工具.用丁字尺可以画平行线，这种这种画法的依
据是 平面内垂直于同一条直线的两直线平行
2.下列说法正确的是（ C）
A.同位角一定相等 B.垂直于同一条直线的两直线平行 C.平行于同一条直线的两直线平行 D.过一点有且只有一条直线与已知直线 平行
3.如图,已知直线 l，1 被l2直线AB所截,AC⊥ 于l点2C，∠1与∠2互余， 则 l与1 平l2行吗? 请说明理由.
我们学过的平行线的判定方法有哪些？ 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 平行于同一条直线的两直线平行 在同一平面内内，不相交的两直线平行
第9章 平行线
9.4平行线的判定
第二课时
青岛版七年级数学下册
1 掌握平行线的判定方法4，并会用它解决几何问题 2 掌握解决折叠问题与拐点问题的常用方法 3 通过例题探究与习题训练培养学生的逻辑思维能力
开铺平(如图④).
折痕PF与直线CB有怎样的位置关系?为什么?
例题精讲
由第一次折叠可知：
学习小心得:
∠PAC＝∠PAB
折叠问题是数
∵∠PAC ＋ ∠PAB ＝ 180° 学中的重要题
∴2∠PAB ＝180° ∴∠PAB＝90°
型，解决此类 问题的关键是
∴DE ⊥ BC 同理可得DE ⊥ PF

生活中的平行线平行线的应用广泛，生活可以看见很多和平行线有关的实例，现举例说明，供同学们学习时参考．一、家中的水管例1.如图1，是家用水暖器材中一种弯形管道，要求经过两次拐弯后还保持平行的姿态（即AB∥CD）.如果已知∠B＝80°，那么∠BCD 的度数分别为 .图1分析：先把生活中的实物转化为数学中两条平行线被第三条直线所截的情形.利用平行线的性质可得未知的角度.解：图1（1）中是一种“U”形管，因为AB∥C D ，根据两直线平行，同旁内角互补，所以∠B＋∠BCD ＝180°，所以∠BCD ＝180°－80°＝100°；图1（2）和图1（3）是一种“N”形管，根据两直线平行，内错角相等，可得∠BCD ＝∠B＝80°.二、公路的弯道例2.如图所示，是一条公路的弯道，经过两次拐弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角是130°，那么第二次拐弯时在刚才的方向上拐过的∠DCE 度数是多少？ 分析：因为经两次拐弯后方向不变，所以AB 和CD 是平行的，根据平行线的性质，可求得∠BCE 的度数，进而求得∠DCE 度数.解：因为经两次拐弯后方向不变，所以AB∥CD，所以∠BCE＝∠ABC＝130°，所以∠DCE＝180°－130°＝50°.三、车灯的光线例3.如图所示，是一汽车前灯的纵剖面，从位于O 点的灯泡发出的两束光线OB 、OC 经车灯的凹面反射以后以平行光线射出，若∠ABO＝60°， ∠DCO ＝50°,那么∠BOC 的度数是多少？分析：要求∠BOC 的度数,条件中有平行,但平行的条件要和角（1） （2） （3）度产生联系必须有平行线的截线,因此需要构造一条截线,为已知和未知问题之间建立联系.解：过O点做EF∥AB，则EF∥CD，所以∠BOE ＝∠ABO＝60°，∠COE＝∠DCO＝50°,又因为∠BOC＝∠BOE ＋∠COE，所以∠AEC＝60°＋50＝110°.四、开挖水渠例4 如图，甲、乙两个工程队分别从两条平行的水渠的A，B两点开工，开挖一条与两平行河相通的渠道，在A处测量该渠道的方向为与过A的主水渠的所夹锐角为44°，那么乙队在B处沿什么方向施工，才能使该水渠直线对接？分析：将两条平行水渠看作两条平行线，将所开挖水渠看作截线，可Array利用平行线的性质解决问题.解：由两条水渠平行可得∠1=44°，.即乙在B处沿∠1为44°的方向施工才能使该水渠直线对接2。