高等工程数学试题解答 The document was prepared on January 2, 2021
《高等工程数学》试题解答
（工程硕士及进修生用 ）
考生注意：1、可不抄题,答案必须写在统一配发的专用答题纸上；
2、本试题可能用到的常数：5752961 64199509750950 . ,. ,....===u u u .
一、填空题 (每空3分,共30分)。
(1) ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=010100001H ；
(2) 1)(Cond 2=U ；
(3) 7 3 ,
； (4) ) 1 1 (~)()(2
21221,F X X X X -+； (5) X 2ˆ=θ
； (6) 664≥n ；
(7) e A SS SS SS +=.
二、(10分)
[解] 记)(21A A diag A ,=，则21A A ,的特征多项式为
2)1()()(21
-==λλλA A f f ，
∵ O I A ≠21 -，O I A ≠22 -， ∴ 2)1()()(21
-==λλλA A m m ， 取)( )(21
λλA A m m ,的最小公倍式，得 2)1()(-=λλA m ，
故A 的Jordan 标准形为
⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡ 111111 , diag . 三、(10分)
[解一] 记⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=πππ021 A ,其特征值为πλ-=1 (二重根),记 则令 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=-⇒⎩⎨⎧'='=t t a t t t a t t a t a a g f g f 1 0 1 101 1 1 1 cos sin cos cos sin )()()()(πππππππλλλλ
∴ . ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==t t t t t A f g A g g A g At sin 00cos sin 000sin )()()()()(sin 2 11πππππππ [解二] ∵ J A 2 2001200022
ππ∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=
∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==t t t t t t t t t t J t At
sin 00cos 2sin 000sin )2(2sin 00)2(2cos 2)2(2sin 00022sin )2sin(sin πππππππππππ 四、(10分)
[解] 对A 进行行初等变换
故
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==--21 12 121 1 211 121)(11 R L L , 从而A 有Doolittle 分解：
五、(10分)
[证] 将ω扩充为n V 的一个标准正交基
B } {n ααω,,,
2 = 则
∴ T B =-==} {} {n n T T T ααααωω,,,,,,
22 B P 其中} 1 1 1 {,,, -=diag
P 为对称和正交矩阵，故T 是对称变换和正交变换。 [证法二] 按定义直接验证：
∴ >=<><ααααT T ,,
，故T 是对称变换；又 故T 是正交变换。
六、(10分)
[解] 似然函数为
令 02ln 2=+-=∂∂θθθX n n L ，求得θ的极大似然估计为： . X 21ˆ=θ ∴ θˆ是θ的无偏估计。又Fisher 信息量为
∴ )(12)(41)(41)ˆ(2θθθnI n X D n X D D ====
故θˆ是θ的最小方差无偏估计。
七、(10分)
[解] 依题意，要求检验假设 采用-u 检验，求得0H 的拒绝域为
ασ 1 8-+≥u n
X ， 具体计算：96.1 0250 5 2 5.8=====0.975 ,. , , ,u n X ασ ∵ X u n
=>=+-5.875398 1 .ασ ∴ 不拒绝0H ，即不能认为甲地发送的讯号幅值显着地大于8伏特。
该检验的功效函数是
八、(10分)
[解] 令 0012
01021221 4321 3 2 1 43
21, , , , ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥
⎥⎦
⎤⎢
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=εεεεεββββX Y Y Y Y Y 则原线性模型可写为
又
故β的最小二乘估计是
∵ , ,2) (~ˆ1 -L N σββ且1 -L 为分块对角矩阵 ∴ 1 ˆβ与)ˆˆ(3 2 ββ,不相关，从而1 ˆβ与)ˆˆ(3 2 ββ,独立。
