石油大学工程数学试题A卷2010-2011

2011—2012学年第二学期《概率论与随机过程》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年6月 15日注意事项：1．封面及试卷背面为草稿纸，附加页为答题纸，背面答题一律无效；2．答案必须写在该题下方空白处，不得写在草稿纸上，否则该题答案无效；3．本试卷正文共5页，共九道大题，满分100分；4. 必须保持试卷本完整，拆页的作废。

一.填空题（每题3分，共15分）1.设A B 、为随机事件，()0.6P A =，()0.3P A B -=，()_________P AB =则.2.设随机变量~(2)X N ，1，~(3)Y N ，1，且,X Y 相互独立，32Z X Y =-，则~___________Z .3.已知随机变量~(2)X P （泊松分布），则31Z X =-的期望________EZ =.4.设随机变量X 的数学期望EX μ=，方差2DX σ=， 则由切比雪夫不等式， 有{||2}________P X μσ-≥<.5. 设随机过程()cos sin X t A t B t =+，(,)t T ∈=-∞+∞,其中A,B 是相互独立且都服从标准正态分布的随机变量，则该随机过程的自相关函数为__________.二.选择题(每题3分，共15分)：1.设事件,A B 满足，()0(|)1P B P B A >=，, 则必有________. (A ) ()()P A P A B < (B ) ()()P B P A B < (C ) ()()P A P A B = (D ) ()()P B P A B =2.设随机变量X ,Y 均服从正态分布2~(,4)X N μ,2~(,5)Y N μ，记12{4},{5}p P X p P Y μμ=>+=≤-，则_________.(A ) 对任意实数μ都有12p p = (B ) 对任意实数μ都有12p p < (C ) 仅对μ的个别值都有12p p = (D ) 对任意实数μ都有12p p >3.设由来自总体2~(,0.9)X N μ的长度为9的样本得样本均值5X =，在水平0.05α=下，则_________.(A ) 0=3H μ 接受假设：(B ) 0=4H μ 接受假设： (C ) 0=5H μ 接受假设：(D ) 0=6H μ 接受假设：4.设总体~(,)X f x θ，θ为未知参数，1X ，… ，n X 为来自X 的一个样本，1121(,,)(,,)n n X X X X θθ 、为两个统计量，若12(,)θθ为θ的置信度为1α-的置信区间，则应有__________.(A ) 12{}P θθθα<<= (B ) 2{}1P θθα<=- (C ) 12{}1P θθθα<<=- (D ) 1{}P θθα<=5. 设一齐次马氏链的状态空间为{1,2}I =，其一步转移矩阵为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8/38/54/14/3P , 则其平稳分布为________.(A ) (3/4,1/4) (B ) (5/8,3/8) (C ) (2/7,5/7) (D ) (5/7,2/7)三.（10分）某工厂三个车间生产同一规格的产品，其产量依次占全厂总产量的25%、35%、40%，如果各车间生产产品的次品率依次为5%、4%、2%.现从待出厂的产品中随机地取一件，求:(1)取到的是次品的概率；(2)若已知取到的是次品，它是第一车间生产的概率.四.(10分）假设测量的随机误差2~(0,10)X N，求:(1)测量误差的绝对值大于19.6的概率p；(2)如果接连测量三次，各次测量是相互独立的，求至少有一次误差的绝对值大于19.6的概率 .五.(15分）设(,)X Y 的分布密度为(2),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧ >>=⎨ ⎩其他求:(1)常数A ；(2)关于X ,Y 的边缘分布密度，并判断X ,Y 是否独立； (3)2Z X Y =+的概率分布.六.(10分）一口袋中装有四只球，分别标有数字1，2，2,3.现从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X和Y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字.求:(1)X和Y的联合概率分布；(2)X和Y的相关系数.七.(10分）设X,Y相互独立，且概率分布分别为2211/2,02 ()(),()0,x xyf x x yϕ-+-≤≤⎧= -∞<<+∞ =⎨⎩其他求:(1)()E X Y+； (2)(2)D X Y+； (3) 2(23)E X Y-.八.(8分）设总体X 的分布密度为22,0()0,xxe x f x λλ-⎧⎪>=⎨⎪⎩其他，)0(>λ， 且1X ，… ，n X 是来自总体的简单随机样本，求:(1)参数λ的极大似然估计量； (2)参数λ的矩估计量.九.(7分）设马氏链{,0}n X n ≥的状态空间为{1,2,3}I =，初始分布为123111(0),(0),(0),424p p p ===其一步转移概率矩阵为1/43/401/31/31/301/43/4P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求：(1) 012{1,2,2};P X X X === (2) 22(2){2}.p P X ==。

A卷2010—2011学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年1月4日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1．已知,1)(0-='x f 则=---→)()2(lim000x x f x x f xx 1 .2．定积分=-++⎰-1122]13cos 3tan sin [dx x x x x 2π .3．函数xy xe -=的图形的拐点是 )2,2(2-e .4. 设,arcsin )(C x dx x xf +=⎰则=⎰dx x f )(1 C x +--232)1(31.5．曲线)0()1ln(>+=x x e x y 的渐近线方程为e x y 1+= .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=( D ) .A. 在0=x 处左极限不存在;B. 在0=x 处右极限不存在;C. 有跳跃间断点0=x ;D. 有可去间断点0=x .2．设,)(,sin )(43sin 02x x x g dt t x f x+==⎰当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( B ).A. 等价无穷小;B. 同阶但非等价无穷小;C. 高阶无穷小;D. 低阶无穷小. 3. 下列广义积分发散的是( A ).A.⎰+∞+021dx x x; B.⎰--11211dxx;C.⎰-b adx x b 32)(1; D.⎰∞+edx x x 2ln 1.4.方程x x y y cos =+''的待定特解的形式可设为=*y ( B ). A.x b ax cos )(+; B. x d cx x x b ax x sin )(cos )(+++;C. x b ax x cos )(+;D. x d cx x b ax sin )(cos )(+++.三．计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）1． 求极限)2(1lim22n n n n n +++∞→ .解：若将区间[0,1]等分，则每个小区间长n x 1=∆，再将n n n 1112⋅=中的一个因子n 1分配到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。

中国石油大学（北京）2010 --2011 学年第 一 学期研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)课程名称：工程数学课程编号：063001 一、 填空题(每小题4分，共20分)1、4510-⨯ 2、1a < 3、21n - 4、3 5、1000.5102.501⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭二、（15分）解： 1 0 0 2 -1 7Q=0 -0.6 -0.8,0 -5 -100 -0.8 0.60 0 -5R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 或 1 0 0 2 -1 7Q=0 0.6 0.8,0 5 100 0.8 -0.60 0 5R ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦解Qy b =, 得 (10,5,5)Ty =--解Rx y =， 得 (1,1,1)Ty =-三、（15分）解：(1) Jac 迭代格式为:(1)()()123(1)()()213(1)()()3121223522k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=-+⎪=--⎨⎪=--⎩ 迭代3步的结果为：(1)(2)(3)(1,3,5),(5,3,3),(1,1,1)T T T x x x ==--=G-S 迭代格式为:(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121223522k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=-+⎪=--⎨⎪=--⎩迭代3步的结果为：(1)(2)(3)(1,2,1),(5,9,3),(23,29,7)T T T x x x =-=--=--（2）Jac 迭代矩阵为：1022()101220J B D L U --⎛⎫ ⎪=+=-- ⎪ ⎪--⎝⎭3J I B λλ-=故()01J B ρ=< 所以Jac 迭代收敛； G —S 迭代矩阵为：1022()023002G B D L U --⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2(2)G I B λλλ-=-故()21G B ρ=> 所以G-S 迭代不收敛。

1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。

A. 全部击中.B. 至少有一发击中.C. 必然击中D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。

A. X 和Y 独立。

B. X 和Y 不独立。

C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)D. D(XY)=D(X)D(Y)3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。

A ． 其它1||0|)|1(2)(≤⎩⎨⎧-=x x x f 。

B. 其它2||05.0)(≤⎩⎨⎧=x x fC. 0021)(222)(<≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--x x e x f x σμπσ D. 其它00)(>⎩⎨⎧=-x e x f x ，4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）A. 对于任意的μ, P 1=P 2B. 对于任意的μ, P 1 < P 2C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2D. 对于任意的μ, P 1 > P 25．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。

7．设A= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--10000002~011101110x ，则x = 。

8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统正常工作的概率为 。

9．设随机变量X 的概率密度函数为其它Ax x x f <<⎩⎨⎧=002)(，则概率=≥)21(X P 。

2010-2011年--中国石油大学(北京)--石油地质基础--期末试卷A含详细答案中国石油大学（北京）2010—2011学年第二学期《渗流力学》期末考试试卷A（闭卷考试）班级：姓名：学号：分数：题号一二三四总分得分(试题和试卷一同交回)一、名词解释（每题2分，共20分）1、矿物2、胶结物3、交代作用4、沃尔索相律5、标准化石二、填空题（每空0.5分，共计20分）1、碎屑岩胶结类型有、、、。

2、与地质时代单位代、纪、世对应的地层单位是、、。

3、生储盖组合类型、、、。

4、中生代形成的地层有。

（1.5分）5、在矿物的摩氏硬度计中，硬度等级为3，5，7的矿物名称分别是、和。

6、下列沉积特征代表何种相标志？大型槽状交错层理；煤层；低角度交错层理；海绿石；黄铁矿。

7、岩石变形阶段有、、。

8、促使油气运移的动力、、、、。

9、大陆边缘包括、、。

10、根据碎屑颗粒大小可将碎屑岩分为、、三大类。

根据岩石的层理厚度可将粘土岩分为、两大类。

根据岩石的矿物组成成分，可将碳酸盐岩分为、两大类。

三、选择题（带“*”者有2至3个正确答案，其余各题只有一个正确答案。

每小题1分，共计18分）1、大陆架是指水体深度的海域。

A．小于200m B．200~1500m C．1500~3500m D．大于3500m2、下列说法中，正确的是A．莫霍界面是岩石圈和地幔的界线；B．软流圈的物质是流体状态；C．古登堡界面的深度是984km；D．地球软流层之上的固体部分为岩石圈。

3、欲在某地区钻一口深度4500m井，若该地区地温梯度是3℃，年平均气温为20℃，预计井底温度为。

A．135℃；B．155℃；C．115℃；D．60℃。

4、成岩作用是指使松散的沉积物固结形成沉积岩的作用，主要有三种形式。

A．沉积作用、压实作用、胶结作用B．压实作用、胶结作用、变质作用C．沉积作用、压实作用、重结晶作用D．压实作用、胶结作用、重结晶作用5、根据岩浆岩矿物结晶系列，若某岩石中主要暗色矿物是角闪石，则主要浅色矿物是。

A卷2009—2010学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2010年1月11日注意事项1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰ .3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=;（C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数. 4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分230x x e dx-.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()xx x e x →-=21e .2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x +-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;(B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-232dxe x x .解：⎰⎰⎰----===202020322121,2tt x tde dt te dx ex t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=e e e t --------22．计算不定积分dx x x x ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------3 3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)c o s 1(s i n π=-=t ta ta 1= -------2切线方程为)12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设 ⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .解：)1l n (1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(1010-=+-+⎰dx x x x x ------------2故 nn x ∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3 过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或 322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.解： 法一：21V V V -=[][]⎰⎰⎰---=-----=102212122)1(12)2()11(2dyy ydyy dy y πππ -------6)314(201)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy --------3 法二：V =⎰---12)2)(2(2dxx x x x π⎰⎰----=101022)2(22)2(2dxx x dx x x x ππ ------------------ 5[]⎰--+--=102234222)22(ππdx x x x x x ππππππππ322134213234141201)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=x x ------------- 43. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.解:.ln ln ln 1)(0ln )(a aa t a a a t f t -==-='得由 --------------- 30)(l n 1ln ln )(2e e a a a a a t ==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2故.11ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理，根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。

A卷2010—2011学年第二学期《高等数学（2-2）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年6月28日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共5页。

一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz=++=设则dydx+32．设xyyxyxf sin),(+-=,则dxxxfdyy⎰⎰11),(=)1cos1(21-3．设函数21cos,0()1,0xxf x xx xπππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x为的()f x的傅里叶级数的和函数，则(3)sπ-=212+π.4．设曲线C为圆周222Ryx=+,则曲线积分dsxyxC⎰+）—（322=3R2π二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1.设直线L为32021030,x y zx y z++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z-+-=,则（ C ） .(A) L平行于平面π (B) L在平面π上(C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z RΩ++≤，则Ω等于（ B ）.(A)432Rπ(B) 4Rπ (C)434Rπ(D) 42Rπ3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A) ∑∞=+-1)1()1(nnnnn(B)∑∞=+-+11)1(nnnn(C)nnen-∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(nn nn4. 设∑∞=1nna是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A）若∑∞=1nna收敛，则∑∞=12nna也收敛（B）若∑∞=1nna收敛，则11+∞=∑nnnaa也收敛（C）若∑∞=1nna收敛，则部分和nS有界（D）若∑∞=1nna收敛，则1lim1<=+∞→ρnnn aa三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求y x u∂∂∂2.解：212f xyf x u+=∂∂ -------------------3)()(22222121211212f f x f f x xy xf y x u++++=∂∂∂ -------------------4221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= -------------------12．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y x x L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=，)2,1(510=T52c o s ,51c o s ==βα ---------------------313|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy y z y x z -----------3函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T---------------------------23．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdyxy dxdy y x dxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()(-------(3)2320+=⎰⎰dr r d πθ ---------------(3)= π8 --------------(2 )4. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量.解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 20400r ： -----------1 质量M=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(ρ --------1=kdrr r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 20400⎰⎰⎰---------4=67kπ ---------2法2：⎩⎨⎧--+≤≤+≥≤+Ω222222110,1:D y x z y x y y x ----------1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(M ρ ------1rdzz dr d k r r⎰⎰⎰-+=211100πθ -----4=67kπ -------2法3：67))1(1(||M 21212k dz z z dz z z dxdydz z k πππ=--+==⎰⎰⎰⎰⎰Ω5．计算曲线积分⎰+++-=C y x dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dyx y dx y x I 1)()( ----------3d x d y yPx Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(----------3π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x -------26. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．解：dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydzx ⎰⎰⎰Ω+2d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222πϕϕθππ154sin 31104020==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数。

中国石油大学高等数学(2-1)2006-2010期末试题Ａ卷2006—2007学年第一学期《本科高等数学(上)》试卷专业班级姓名学号开课系室考试日期页号一二三四五六总分得分阅卷人说明：1.本试卷正文共6页。

2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得写在草稿纸中，否则答案无效。

一、填空题 (本题共10小题，每小题2分，共20分.) 1. 设⎩⎨⎧>≤=1,01,1)(x x x f , 则{}=)]([x f f f .2. 设函数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<+=>-=⎰0,sin 0,80,)cos 1()(02x xdte x b x x x x a xf x t连续，则=a ，=b .3．极限 =+→xx x sin 2)31(lim .4．设 2)(lim=→xx f x ,且)(x f 在0=x 连续,则)0(f '= .5．设方程0=--ye y x 确定函数)(x y y =, 则dxdy = .6．设xy x3cos 2-=, 则dy = .7．抛物线822++=x x y 在其顶点处的曲率为 .8．设)(x f 可导，{})]([x f f f y =，则='y .9．[]⎰-=-+-+aa dx x a x x f x f 22sin )()( .10．微分方程02=--'x xyy 的通解是 .二、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）1. “数列极限存在”是“数列有界”的（ ） (A) 充分必要条件； (B) 充分但非必要条件；(C) 必要但非充分条件； (D)既非充分条件，也非必要条件. 2．极限=++∞→nn n n 32lim（ ）(A) 2; (B) 3; (C) 1; (D) 5; 3．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 4．设()xx eex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的( ).(A) 连续点; (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 5．设函数)(x f 二阶可导，且)(0)(>''>'x f x f ，，令)()(x f x x f y -∆+=∆，当0<∆x 时，则( ).(A) ;0>>∆dy y (B) ;0<<∆dy y (C) ;0>∆>y dy (D) .0<∆<y dy 6．若)()()(+∞<<-∞-=-x x f x f ，在)0,(-∞内0)(>'x f ，0)(<''x f ，则)(x f 在),0(∞+内( ). (A) 0)(,0)(<''>'x f x f (B) 0)(,0)(>''>'x f x f (C) 0)(,0)(<''<'x f x f (D) 0)(,0)(>''<'x f x f7．设)(x f 在0x x =处二阶可导, 且1)(lim-=-'→x x x f x x ,则( ).(A) 0x 是)(x f 的极大值点; (B) 0x 是)(x f 的极小值点;(C) ))(,(0x f x 是曲线)(x f y =的拐点; (D) 以上都不是.8．下列等式中正确的结果是 ( ).(A) ⎰=');()(x f dx x f (B) ⎰=);()(x f dx x df (C) ⎰=);(])([x f dx x f d (D) ⎰=');())((x f dx x f9．下列广义积分收敛的是( ).(A) ⎰∞+edx xxln (B) ⎰∞+edx xx ln 1(C) ⎰∞+edxx x 2)(ln 1(D) ⎰∞+edx xx ln 110．设)(x f 在a x =的某个领域内有定义，则)(x f 在ax =处可导的一个充分条件是 ( ).(A) 存在)]()1([lim a f ha f h h -++∞→(B)存在h h a f h a f h )()2(lim+-+→(C) 存在hh a f h a f h 2)()(lim--+→(D)存在hh a f a f h )()(lim--→三、计算题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。

《工程数学》试题 第1页（共6页） 《工程数学》试题 第2页（共6页）成 都 大 学2011级《工程数学》结业试卷一、选择题（每小题1分，共20分）下列各小题的四个选项中有1个选项是正的，请你将正确选项前的字母选出来，多选和漏选均不得分1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则( C )A.P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 00lim (,)x x f x y →及 00lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,)lim(,)x y x y f x y →存在2．若x y z ln =，则dz 等于（ D ）．ln ln ln ln .xxyy yy A xy+ln ln .xyy B xln ln ln .ln xxyy C yydx dy x+ln ln ln ln .xxyy yxD dx dy xy+3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则(),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f C ）．21200cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dzπθθθθ⎰⎰⎰212cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz πθθθθ⎰⎰⎰2122cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dzπθπθθθ-⎰⎰⎰21cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰⎰． 4．若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ A ）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定5．曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ B ）.A. （-1，3，4）B.（3，-1，4）C. （-1，0，3）D. （3，0，-1）D .()()f x dx f x '=⎰.6．函数()21xf x x=+（ C ）. A ．在(),-∞+∞内单调增加； B ．在(),-∞+∞内单调减少；C ．在()11,-内单调增加；D ．在()11,-内单调减少.7．若()f u 可导，且()x y f e =，则（ B ）. A ．()x dy f e dx '=； B ．()x x dy f e e dx '=；C ．()x x dy f e e dx =；D ．()x x dy f e e dx '⎡⎤=⎣⎦.8．2|1|x dx -=⎰（ C ）.A ．0 ；B ．2 ；C ．1 ；D ．1-.9．方程sin y x '''=的通解是( A ).A .21231cos 2y x C x C x C =+++； B .21231sin 2y x C x C x C =+++；C .1cos y x C =+；D .2sin 2y x =.10.曲线xe y =与该曲线过原点的切线及y 轴围成的图形的面积为（ A ）． A ．1()x e ex dx -⎰ ； B ．1(ln ln )ey y y dy -⎰；《工程数学》试题 第3页（共6页） 《工程数学》试题 第4页（共6页）C ．1()e x xe xe dx-⎰； D ．1(ln ln )y y y dy-⎰．二、填空题（每空2分，共20分）1.设()lim 1tt x f x t →+∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0x ≠，则=)3(ln f 3 .2.设x e x sin +是()f x 的一个原函数，则()f 'x = sin xe x - ．3.曲线16623-+=x x y 的拐点坐标是()2,0- . .4.若02121A dx x-∞=+⎰，则A = 1π ．5．21lim (2)cos2x x x →-=- 0 .6．交 换ln 1(,)ex I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序后， I =1(,)yeedy f x y dx ⎰⎰7．22z xy u -=，则u 在点)1,1,2(-M 处的梯度为→→→-+-k j i 2428．函数332233z x y x y =+--的极小值点是 1(1)!n n n xn +∞=-∑.9．已知0!nxn xe n ∞==∑，则xxe-= (2,2)10．220x y xyz +-=，则'(1,1)x z =-1一二题每题6分，三题8分。

2006—2007学年第二学期 《本科高等数学(下)》期中试卷一、填空题(每小题5分, 共40分) 1．设向量,2,23k j i b k j i a +-=-+=则）（）（b a b a322-⋅⨯= _______________.2．已知向量}2,3,4{-=a ，向量u 与三个坐标轴正向构成相等的锐角，则 a 在u轴上的投影等于__________________.3．已知空间三角形三顶点),2,0,0(),0,1,2(),1,1,1(C B A -则ABC Δ的面积等于______________;过三点的平面方程是:__________________________.4．直线⎩⎨⎧=+--=-+072,0532:z y x z y L .在平面083:=++-z y x π内的投影直线方程是： ____________________________________.5. 由曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周所得旋转曲面在点)2,3,0(处指向外侧的单位法向量是____________________________.6．设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+，则y zx z ∂∂+∂∂=__________________________.7. 设函数)(u f 可微,且21)0(='f , 则)4(22y x f z -=在点(1,2)处的全微分 )2,1(d z =_________________________________________.8. 曲面 22yx z += 平行于平面 042=-+z y x 的切平面方程.是：___________________.二、(7分) 设平面区域D 由1,==xy x y 和2=x 所围成，若二重积分 1d d 22=⎰⎰D y x yAx ，则常数=A ____________________________. 解题过程是：三、(8分) 设),(y x f 是连续函数，在直角坐标系下将二次积分⎰⎰-223210d ),(d y y xy x f y 交换积分次序，应是______________________________________.解题过程是：四、(7分) 设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，若单位向量}1,1,1{31=n ，则方向导数)3,2,1(nu ∂∂等于_____________________；该函数在点(1,2,3)的梯度是____________________；该函数在点(1,2,3)处方向导数的最大值等于________________.解题过程是：五、(8分)设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u '''+=；（II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.解题过程是：六、(7分) 设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1D xyx y x y +++⎰⎰解题过程是：七、(8分) 设空间区域Ω，是由曲线⎪⎩⎪⎨⎧==0,2x z y 绕oz 轴旋转一周而成的曲面与平面4,1==z z 所围成的区域，计算三重积分⎰⎰⎰+Ωz y x y x d d d )(22.解题过程是：八、(8分) 做一个长方体的箱子，其容积为 29m 3, 箱子的盖及侧面的造价为8元/m 2, 箱子的底造价为1元/m 2, 试求造价最低的箱子的长宽高（取米为长度单位）. 解题过程是：九、(7分) 设函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim22220=+-→→y x xy y x f y x ，试问点(0,0)是不是),(y x f 的极值点？证明你的结论. 解题过程是：A 卷2006—2007学年第二学期《本科高等数学(下)》期末考试试卷一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1．设三向量c b a ,,满足关系式c a b a ⋅=⋅，则（ ）.（A ）必有c b ,0 ==或者a ; （B ）必有0===c b a ;（C ）当0≠a 时，必有c b =; （D ）必有)(c b a -⊥.2. 已知2,2==b a，且2=⋅b a ，则=⨯b a （ ）.（A ）2 ; （B ）22; （C ）22; （D ）1 .3. 设曲面)0,0(:2222>≥=++a z S a z y x ，S 1是S 在第一卦限中的部分，则有（ ）. （A ）⎰⎰⎰⎰=S S S x S x 1d 4d ; （B ）⎰⎰⎰⎰=S SSx S y 1d 4d ;（C ）⎰⎰⎰⎰=S SS x S z 1d 4d ; （D ）⎰⎰⎰⎰=S S Sxyz S xyz 1d 4d . 4. 曲面632222=++z y x 在点)1,1,1(--处的切平面方程是：（ ）.（A ）632=+-z y x ; （B ）632=-+z y x ; （C ）632=++z y x ; （D ）632=--z y x . 5. 判别级数∑⋅∞=1!3n nn n n 的敛散性，正确结果是：（ ）. （A ）条件收敛; （B ）发散；（C ）绝对收敛; （D ）可能收敛，也可能发散.6. 平面0633=--y x 的位置是（ ）.（A ）平行于XOY 平面; （B ）平行于Z 轴，但不通过Z 轴; （C ）垂直于Z 轴 ; （D ）通过Z 轴 . 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）. 1. 已知e x yz =，则____________________d =z.2. 函数zx yz xy u ++=在点)3,2,1(=P 处沿向量OP 的方向导数是____________，函数u 在点P 处的方向导数取最大值的方向是_____________，该点处方向导数的最大值是____________.3. 已知曲线1:22=+y x L ，则⎰+=Ls y x ________________d )(2.4. 设函数展开傅立叶级数为：∑∞=≤≤-=02)(,cos n n x nx a xππ，则___________2=a .三、解答下列各题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）.1. 求幂级数∑∞=+01n n n x 收敛域及其和函数.解题过程是：2. 计算二重积分⎰⎰≤++42222d d y x yx yx e.解题过程是：3. 已知函数),(y x f z =的全微分y y x x z d 2d 2d -=，并且2)1,1(=f . 求),(y x f z =在椭圆域}14|),{(22≤+=yx y x D 上的最大值和最小值.解题过程是：4. 设Ω是由y x z 22+=，4=z 所围成的有界闭区域，计算三重积分⎰⎰⎰++Ωzy x z y x d d d )(22.解题过程是：5. 设L AB 为从点)0,1(-A 沿曲线x y 21-=到点)0,1(B 一段曲线，计算⎰++L AByx yy x x 22d d .解题过程是：6. 设∑是上半球面y x z 221--=的下侧，计算曲面积分⎰⎰++-+∑yx z y xy x z z y x z y z x d d )2(d d )(d d 2322.解题过程是：7. 将函数 61)(2--=x x x f 展开成关于1-x 的幂级数 .解题过程是：四、证明题（7分）. 证明不等式: ⎰⎰≤+≤Dx y 2d )sin (cos 122σ，其中D 是正方形区域：10,10≤≤≤≤y x .2007—2008学年第二学期 《本科高等数学(下)》期中试卷一 填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1 向量32a i j k →→→→=++在向量245b i j k →→→→=++上的投影Pr bj a = .2 函数u =在点)2,2,1(-M 处的梯度=M gradu __________.3 曲面1222=+-zx yz xy 上点(1,1,1)M 处的切平面方程为 .4 函数sinu yxy x =在点(,)11的全微分(1,1)du =.5 函数2(,)z xf x y =有连续的二阶偏导数，则y x z ∂∂∂2＝ . 二、选择题(本题共4小题，每小题4分，满分16分).1．直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的位置关系是（ ） （A ）平行,但直线不在平面上； （B ） 直线在平面上；（C ） 垂直相交； （D ） 相交但不垂直. 2．函数00(,)(,)f x y x y 在点处偏导数存在是(,)f x y 在该点可微的( ) (A) 充分非必要条件； (B) 必要非充分条件 ； (C) 充要条件； (D) 非充分非必要条件.3.设有两平面区域2221:D x y R +≤，2222:,0,0;D x y R x y +≤≥≥ 则以下结论正确的是( )（A ）124D D xdxdy xdxdy=⎰⎰⎰⎰； （B ）12224D D x dxdy x dxdy=⎰⎰⎰⎰；（C ）124D D ydxdy ydxdy=⎰⎰⎰⎰； （D ）124D D xydxdy xydxdy=⎰⎰⎰⎰．4. 若函数00(,)(,)f x y x y 在点处不可微，则函数00(,)(,)f x y x y 在点处是( )(A) 沿任何方向的方向导数不存在； (B)两个偏导数都不存在； (C) 不能取得极值； (D) 有可能取得极值. 三、画图题（本题共2小题，每小题3分，满分6分）1．写出函数(,)f x y =的定义域，并画出定义域的图形.2．画出由平面1,0,2y z z y ===及曲面2y x =所围空间立体的图形.四、解答题（本题共7小题，每小题7分，满分49分）1.设(),z z x y =是由方程()2223x z f y z -=-所确定的隐函数，其中f 可微，求23z zyx x y ∂∂+∂∂ .解：2 .考察函数221sin (,)(0,0)(,)0(,)(0,0)xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点 (0,0)的连续性和可微性. 解：3．在曲面z xy =上求一点，使在该点处的法线与平面3290x y z +++=垂直，并写出该法线方程. 解：4．抛物面22z x y =+被平面4x y z ++=截成一个椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.解：5.计算1130dy x dx⎰.解：6.计算二重积分21D y x dxdy+-⎰⎰，其中D 是由直线1,1,0,1x x y y =-===围成的平面区域. 解：7．计算由球面2221x y z ++=，柱面220x y x +-=所围立体的体积. 解：五、证明题(9分)试证明：11201()(1)()2x ydx dy f z dz z f z dz=-⎰⎰⎰⎰Ａ卷2007—2008学年第二学期《本科高等数学(下)》试卷（理工类）一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面0:1=-∏z y 与平面0:2=+∏y x 的夹角为 .2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为 .3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dVΩ⎰⎰⎰在柱面坐标系下化为三次积分为 .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰______________________________________.6.将函数)0(1)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数为__________________________________.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

2013—2014学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A 卷（工科类）参考答案及评分标准一．（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1．若)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim . ------- （ 2分 ）2．若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ） 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ （ 2分 ） 3．若0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y （ ⨯ ）-------------- （ 1分 ）例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在. ---------------------------- （ 2分 ）4．若0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.（ ⨯ ）------------------- （ 1分 ）例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值. ---------（ 2分 ） 5．若)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.（ ⨯ ）------------- （ 1分 ）例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. （ 2分）二．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的间断点，并判断其类型. 解 函数x x x f cot )(⋅=的间断点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当 ,0=k 即 0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x 0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去间断点; ----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷间断点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解 ⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------（3分） xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------（1分）3．设方程)0,0(>>=y x x y yx 确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1 对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解 ⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------（2分） （令t x =sin ） =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212 ------------------（2分） C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------（3分）2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 )⎰⎰='∴)()(x df x dx x f x⎰-=dx x f x f x )()(.ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------（2分）dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------（2分）（令t x =2）dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------（1分）.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------（1分） 四．（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1．已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y += ----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dt dww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------（1）-------------------------------- ( 2分 ) 已知,2=dt dl ,3=dtdw,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入（1）式，得 对角线的增加率：3=dtdy（cm/s ）.-------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时克服阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．（本题10分）已知x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ),1)arctan 51(lim )(lim1=-==∞+→∞+→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 11π-=-=-=∞+→∞+→x x a x f b x x,1)arctan 51(lim )(lim2=-==∞-→∞-→xxx x f a x x ,25)arctan 5(lim ])([lim 22π=-=-=∞-→∞-→x x a x f b x x 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------（4分） []x x xe x ex -+∞→∞+-+-=+-=)1(lim )1(0πππππππ=-=+-=+∞→01limx x ex ----------------------------------------------（3分）2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 ) 代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 )故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C e C y x x-------------------------------- ( 1分 )七．（本题7分）叙述罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π内至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π内可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π内至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 13 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 20 %； 第 四 章 不定积分 14 %； 第 五 章 定积分及其应用 30 % . 第 六 章 常微分方程 7 % .2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 16 %； 第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %； 第 三 章 微分中值定理与导数的应用 14 %； 第 四 章 不定积分 15 %； 第 五 章 定积分及其应用 26 % . 第 六 章 常微分方程 13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分） 证 设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在.---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.（ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分）例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （ ⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f ..---------------------------------------------------------（2分） 二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(lim xdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t x x t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（3分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------（3分）3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim------------------------------------------------------------------（3分）⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------（3分）三．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点.---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=-----------------（3分 ）当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx ex x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t=⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' ,--------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）四．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1．求不定积分⎰+dx e xxln 2.解 ⎰+dx e xx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------（3分）)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------（3分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------（1分）⎰⎰+=xdx x dx x 2cos 2121 ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分）⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------（2分）C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（1分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（1分） dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（2分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------（1分）.12-=e--------------------（3分） （2）⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分） ⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ122132)22(3)1(y ye ee y e y e+----=ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------（2分）xx⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------（2分）分离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC e C -=，>-kv mg ）---------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρdxx x R g W R)((320-=⎰πρ故由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=， 故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分）而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分） 令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x轴及y轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分） 所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）2015—2016学年第一学期 《高等数学（2-1）》期末考试卷答案及评分标准( 工 科 类 )专业班级 姓 名A 卷学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2016年1月 11 日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。

2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为3π.2. 函数22y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为321+.3. 设(,)f x y 是有界闭区域222:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时，=⎰⎰→Da dxdy y x f a ),(1lim20π)0,0(f .4. 区域Ω由圆锥面222x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分f dv ⎰⎰⎰Ω在柱面坐标系下化为三次积分为211()πθ⎰⎰⎰rd dr f r rdz .5. 设Γ为由曲线32,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pdx Qdy Rdz Γ++=⎰6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为)0()5cos 513cos 31(cos 412122πππ≤≤+++-+=+x x x x x .二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。

下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.7. 若(,)z f x y =有连续的二阶偏导数，且(,)xyf x y K ''= (常数)，则(,)y f x y '=（ D ） (A) 22K ； (B) Ky ； (C) ()ϕ+Ky x ； (D) ()ϕ+Kx y .8. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤-≤≤，则下列结论正确的是（ A ）. (A)()()0Df yg x dxdy =⎰⎰； (B) ()()0Df xg y dxdy =⎰⎰；(C)[()()]0Df xg y dxdy +=⎰⎰； (D) [()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰.9. 已知空间三角形三顶点)5,0,0(),1,1,1(),3,2,1(C B A -，则ABC ∆的面积为（ A ）(A)92； (B) 73； (C) 29； (D)37. 10. 曲面积分2z dxdy ⎰⎰∑在数值上等于( C ).(A) 流速场i z v 2=穿过曲面Σ指定侧的流量；(B) 密度为2z =ρ的曲面片Σ的质量；(C) 向量场k z F 2=穿过曲面Σ指定侧的通量；(D) 向量场k z F 2=沿Σ边界所做的功.11．若级数1(2)nn n c x ∞=+∑在 4x =- 处是收敛的，则此级数在 1x = 处 ( D )(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)收敛性不能确定.12.级数121(1)n pn n -∞=-∑的敛散性为 ( A ) (A) 当12p >时，绝对收敛； （B ）当12p >时，条件收敛；(C) 当102p <≤时，绝对收敛； （D ）当102p <≤时，发散.三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13. （本题满分6分）设()x y z x y z e-++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz .解：两边同取微分 ()(1)()x y z dx dy dz edx dy dz -++++=⋅-⋅++ ， 整理得 dz dx dy =--.14. （本题满分8分）求曲线2223023540x y z x x y z ⎧++-=⎨-+-=⎩ 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.解：两边同时关于x 求导22232350dy dz x y z dx dx dy dz dx dx ⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得(1,1,1)(1,1,1)9474dy dx dz dx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以切向量为：91{1,,}1616T =-， 切线方程为： 1111691x y z ---==-； 法平面方程为：16(1)9(1)(1)0x y z -+---=，即169240x y z +--=.15.（本题满分8分）求幂级数(21)nn n x∞=+∑的和函数.解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)-，0(21)nn n x∞=+∑02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x ，10122∞∞-===∑∑nn n n nxx nx，设11()∞-==∑n n A x nx，则10011(),(11);1∞∞-=====-<<-∑∑⎰⎰xxn nn n x A x dx nx dx x x x 21(),1(1)'⎛⎫∴== ⎪--⎝⎭x A x x x 即 2222()(1)∞===-∑nn x nx xA x x ， 0(21)∞=∴+∑n n n x 02∞==+∑nn nx 0∞=∑n n x 22211,(11)(1)1(1)+=+=-<<---x x x x x x .16.（本题满分6分）计算()∑=++⎰⎰I x y z dS ，其中∑为曲面5+=y z 被柱面2225+=xy 所截下的有限部分. 解：()∑=++⎰⎰I x y z dS (5)∑=+⎰⎰x dS∑=⎰⎰xdS （∑关于yoz 平面对称，被积函数x 是x 的奇函数）5∑+⎰⎰dS 05∑=+⎰⎰dS 2225+≤=⎰⎰x ydxdy 25π==.17.（本题满分8分）计算积分222(24)(2)=++-⎰LI x xy dx x y dy ，其中L 为曲线22355()()222-+-=x y 上从点(1,1)A 到(2,4)B 沿逆时针方向的一段有向弧.解：4∂∂==∂∂Q Px x y，∴积分与路径无关，选折线AC +CB 为积分路径， 其中(2,1)C ，,12:,1,0=≤≤⎧⎨==⎩x x x AC y dy 2,0:.,14==⎧⎨=≤≤⎩x dx CB y y y222(24)(2)∴=++-⎰LI x xy dx x y dy222(24)(2)=++-⎰AC x xy dx x y dy 222(24)(2)+++-⎰CBx xy dx x y dy24221141(24)(8).3=++-=⎰⎰x x dx y dy 18.（本题满分8分）计算22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy ，∑是由曲面224-=+y x z与平面0=y 围成的有界闭区域Ω的表面外侧. 解：2222,(),,,∂∂∂==+=++=+∂∂∂P Q R P yz Q y x z R xy x z x y z由高斯公式， 22()∑=+++⎰⎰I yzdydz y x z dzdx xydxdy 22()Ω=+⎰⎰⎰x z dxdydz（利用柱面坐标变换cos sin ,θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩z x y y 则2:02,02,04.θπΩ≤≤≤≤≤≤-r y r ）22242032.3ππθ-==⎰⎰⎰r d rdr r dy 19.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面1222222=++cz b y a x 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法向量为000222222{,,}x y z a b c， 切平面方程为0)()()(020020020=-+-+-z z c z y y b y x x a x ，即 1202020=++cz z b y y a x x ， 则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为 22200016a b c V x y z =⋅，令 )1(ln ln ln ),,,(220220220000000-+++++=czb y a x z y x z y x L λλ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+1021021021220220222002020c z b y a x c z z b y y a x x λλλ，得30a x =，30b y =，30c z =，故切点坐标为)3,3,3(c b a . 20. (本题满分6分)设(),()f x g x 均在[,]a b 上连续，试证明柯西不等式：22[()][()]b b aaf x dxg x dx ⎰⎰2[()()].baf xg x dx ≥⎰证：设:,.D a x b a y b ≤≤≤≤则 22[()][()]b baaf x dxg x dx ⎰⎰22()()Df xg y dxdy =⎰⎰（D 关于y x =对称）22()()Df yg x dxdy =⎰⎰221[()()2D f x g y dxdy =+⎰⎰22()()]Df yg x dxdy ⎰⎰22221[()()()()]2Df xg y f y g x dxdy =+⎰⎰ 1[2()()()()]2Df xg x f y g y dxdy ≥⋅⎰⎰[()()()()]Df xg x f y g y dxdy =⋅⎰⎰ ()()()()b b aaf xg x dx f y g y dy =⎰⎰2[()()]baf xg x dx =⎰.2008—2009学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1. 设三向量,,a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯，则（ D ）. （A ）必有0a =; （B ）必有0b c -=;（C ）当0a ≠时，必有b c =; （D ）必有()a b c λ=- （λ为常数）. 2. 直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的关系是（ A ）. （A ）平行，但直线不在平面上; （B ）直线在平面上；（C ）垂直相交; （D ）相交但不垂直.3. 二元函数225,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点（0，0）处（ A ）(A) 不连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在4. 已知2()()x ay dx ydyx y +++为某二元函数的全微分，则=a （ D ）. （A ）1-; （B ）0; （C ）1; （D ）2.5. 设()f u 是连续函数，平面区域:11,0D x y -≤≤≤≤，则22()Df x y dxdy +=⎰⎰（ C ）.（A）122()dx f x y dy +⎰⎰; （B）1220()dy f x y dx +⎰⎰;（C ）12()d f r rdr ⎰⎰πθ; （D ）120()d f r dr ⎰⎰πθ.6. 设a 为常数，则级数1(1)(1cos )nn a n ∞=--∑（ B ）. （A ）发散 ; （B ）绝对收敛; （C ）条件收敛; （D ）收敛性与a 的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.1. 设函数222(,,)161218x y z u x y z =+++，向量{1,1,1}n =，点0(1,2,3)P ， 则03.3P u n ∂=∂2. 若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数5.a =-3. L 为圆221x y +=的一周，则22()0.Lx y ds -=⎰4. 设1lim 2n n na a +→∞=，级数211n n n a x∞-=∑的收敛半径为.25. 设221()x y f x e dy -=⎰，则1101()(1).4xf x dx e -=-⎰ 6. 设()f x 是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]-上的定义为32,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于3.2三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）. 1.（本小题6分）设()f u 是可微函数，z f =，求2z z x y x y∂∂+∂∂. 解题过程是：令u =，则()z f u x ∂'=∂，()z f u y ∂'=∂，20.z zx y x y∂∂∴+=∂∂ 2. （本小题6分）计算二重积分2211Dxy dxdy x y +++⎰⎰，其中22{,)1,0}D x y x y x =+≤≥. 解题过程是：D 关于x 轴对称，被积函数221xy x y ++关于y 是奇函数，2201Dxy dxdy x y ∴=++⎰⎰， 故2211D xy dxdy x y +++⎰⎰221D xy dxdy x y =++⎰⎰221D dxdy x y +++⎰⎰122020ln 2.12rdr d r -=+=+⎰⎰πππθ 3. （本小题6分） 设曲面(,)z z x y =是由方程31x y xz +=所确定，求该曲面在点0(1,2,1)M -处的切平面方程及全微分(1,2)dz.解题过程是：令3(,,)1F x y z x y xz =+-，23x F x y z '=+，3y F x '=，z F x '=，则所求切平面的法向量为：0{,,}{5,1,1}x y z M n F F F '''==，切平面方程为：560.x y z ++-=23x z F z x y z x F x '∂+=-=-'∂，2y z F zx y F '∂=-=-'∂，00(1,2)5.M M z zdzdx dy dx dy x y∂∂∴=+=--∂∂4. （本小题6分） 计算三重积分Ω，其中Ω是由柱面y =及0,0y z ==，4x y z ++=所围成的空间区域.解题过程是：利用柱面坐标变换，Ω14(cos sin )2r d r dr dz -+=⎰⎰⎰πθθθ12300[4(cos sin )]d r r dr =-+⎰⎰πθθθ04141[(cos sin )].3432d =-+=-⎰ππθθθ 5. （本小题6分）求(2)x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为曲面22(01)z x y z =+≤≤，方向取下侧.解题过程是：补2211,(,){1}.z x y D x y ∑=∈=+≤上：∑与1∑上所围立体为20201, 1.r r z Ω≤≤≤≤≤≤：，θπ 由高斯公式，得1(2)(201)x z dydz zdxdy dxdydz Ω∑+∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰上下2211332rd rdr dz ππθ==⎰⎰⎰， (2)x z dydz zdxdy ∑∴++=⎰⎰13(2)2x z dydz zdxdy π∑-++⎰⎰上3012Ddxdy π=--⎰⎰3.22πππ=-= 6. （本小题7分） 求幂级数211nn n x n∞=+∑的收敛域及和函数. 解题过程是：因为1lim n n n a R a →∞+=2211lim 1(1)1n n n n n →∞++==++，故收敛区间为(1,1)-； 1±=x 时，极限21lim 0n n n→∞+≠，级数均是发散的；于是收敛域为(1,1)-， 211()n n n S x x n ∞=+=∑1nn nx ∞==∑1n n x n ∞=+∑10011n x x n n n x x nx dx dx n ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰0111x x x dx x x '⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭⎰2ln(1),(1,1).(1)x x x x =--∈-- 7. （本小题7分）例1 计算22()I xy dS ∑=+⎰⎰，∑1z ≤≤的边界.解题过程是：设12∑=∑+∑，其中1∑为锥面1z z =≤≤，2∑为221,1z x y =+≤部分，12,∑∑在xoy 面的投影为:D 221x y +≤.1dS ==，2dS dxdy =，22()I x y dS ∑∴=+⎰⎰122()x y dS ∑=++⎰⎰222()x y dS ∑+⎰⎰22(D x y =+⎰⎰22()Dx y dxdy ++⎰⎰221)()Dx y dxdy =+⎰⎰21301)1).2d r dr ππθ==⎰⎰四．证明题（8分）.设函数(,)f x y 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，记2221()[()1]Ly f xy x y f xy I dx dy y y +-=+⎰， （1）证明曲线积分I 与路径L 无关; （2）当cd ab =时，求I 的值.证明: (1)记21()(,)y f xy P x y y +=，22[()1](,)x y f xy Q x y y-=， ;1)()()](]1)([);(1)()](1[])()(2[22322222y xy f xy xy f y xy f y x xy f y x Q xy f xy y xy f y xy f y y x xy f y xy yf y P -'+='⋅+-=∂∂'+-=+-⋅'+=∂∂ P Qy x∂∂∴=∂∂成立，积分I 与路径L 无关. （2）由于积分与路径无关，选取折线路径，由点(,)a b 起至点(,)c b ，再至终点(,)c d ，则(,)(,)(,)(,)(,)(,)c b c d a b c b I P x y dx Q x y dy =+⎰⎰21[()][()]c d a c cbf bx dx cf cy dy b y=++-⎰⎰()()cb cd ab cb c a c c f t dt f t dt b d b -=+++-⎰⎰()().cd ab c a c af t dt ab cd d b d b=-+==-⎰2009—2010学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题（6530⨯=分分）1. 若向量,,a b c 两两互相垂直，且5,12,13a b c ===，则13.a b c ++=2．设函数22sin y z xy x =，求2.z zxy z x y∂∂+=∂∂3. 设函数(,)f x y 为连续函数,改变下列二次积分的积分顺序：21101(,)(,)(,).y dy f x y dx dx f x y dy f x y dy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰4. 计算(1,2)2(0,0)7()(2).2y y I e x dx xe y dy e =++-=-⎰5. 幂级数213nn n n x ∞=∑的收敛域为：(.6. 设函数2()()f x x x x πππ=+-<< 的傅里叶级数为：01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑， 则其系数32.3b π= 二、选择题（4520⨯=分分）1．直线11321x y z --==-与平面342x y z +-=的位置关系是( A ) (A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直. 2.设函数22(,)4()f x y x y x y =---, 则(,)f x y （ C ） (A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值； (C) 在(2,2)-点有极大值； (D) 无极值.3. 设L 是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L 的方向为逆时针方向，则22Lxdy ydxx y -=+⎰（ C ） (A) 0； (B)π； (C) 2π； (D) 2π-.4. 设a为常数，则级数21sin n na n ∞=⎛ ⎝∑ （ B ）(A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与a 值有关.三、计算题 (7+7+7+7+6+8=42分)1. 设224,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xy x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩讨论(,)f x y 在原点(0,0)处是否连续，并求出两个偏导数(0,0)x f '和(0,0)y f '. (7分)解：令42244200,lim (,)lim 1y y ky kx ky f ky y k y y k →→===++，随k 的取值不同，其极限值不同，00lim (,)x y f x y →→∴不存在，故(,)f x y 在原点不连续；00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--'===∆∆，00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f yy ∆→∆→+∆--'===∆∆.2.计算I Ω=其中Ω是由上半球面z =和锥面z =所围成的立体 . (7分)解：作球面坐标变换：sin cos ,sin sin ,cos .x y z ρϕθρϕθρϕ=== 则2sin dxdydz d d d ρϕθϕρ=，:02,0,0.4πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤I Ω=2340sin (2).d d d ππθϕϕρπ==⎰⎰⎰3.求锥面z 被柱面222x y x +=所割下部分的曲面面积 .（7分）解：锥面∑：,)xy z x y D =∈=22{2}.x y x +≤x z '=，y z '=.xyxyD D S dS dxdy ∑∴====⎰⎰⎰⎰ 4. 计算曲面积分222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰，其中∑是由22z x y =+，221x y +=，0,0,0x y z ===围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分）解：设Ω为∑所围立体，222,,,P z x Q x y R y z ===222,P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂由Gauss 公式， 222I y zdxdy z xdydz x ydzdx ∑=++⎰⎰222()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰作柱面坐标变换：cos ,sin ,.x r y r z z θθ=== 则dxdydz rd drdz θ=， 2:0,01,0.2r z r πθΩ≤≤≤≤≤≤2122205().48r I d rdr r z dz πθπ∴=+=⎰⎰⎰ 5.讨论级数312ln n n n∞=∑的敛散性. （6分）解：543124ln ln lim lim0,n n n n n nn→∞→∞⋅==312ln n n n∞=∴∑收敛 .6. 把级数121211(1)(21)!2n n n n x n -∞--=--∑的和函数展成1x -的幂级数.（8分） 解：设级数的和函数为()S x ，则121211(1)()(21)!2n n n n S x x n -∞--=-=-∑2111(1)sin (21)!22n n n x x n --∞=-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑，(,).x ∈-∞+∞ 即111111()sin sin sin cos cos sin 2222222x x x x S x ---⎛⎫⎛⎫==+=⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 201(1)1sin 2(2)!2n n n x n ∞=--⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑2101(1)1cos 2(21)!2n n n x n +∞=--⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭∑ 2201(1)sin (1)2(2)!2n n n n x n ∞=-=⋅-⋅∑212101(1)cos (1),(,).2(21)!2n n n n x x n ∞++=-+⋅-∈-∞+∞+⋅∑ 四、设曲线L 是逆时针方向圆周22()()1,()x a y a x ϕ-+-=是连续的正函数， 证明：()2()Lxdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰. （8分）证明：设22:()()1,D x a y a -+-≤由Green 公式，()()()L D xdy Q P y x dx dxdy y x y ϕϕ∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰1(())()Dx dxdy y ϕϕ=+⎰⎰（而D 关于y x =对称） 1(())()D x dxdy x ϕϕ=+⎰⎰1[2()]22.()D D x dxdy dxdy x ϕπϕ≥⋅==⎰⎰⎰⎰即 ()2()L xdyy x dx y ϕπϕ-≥⎰.2010-1011学年第二学期高等数学（2-2）期末考试A 卷参考答案 一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1．22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++=设则dy dx +3 .2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则dx x x f dy y ⎰⎰110 ),(=)1cos 1(21- .3．设函数21cos ,0()1,0xx f x x x x πππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x 为的()f x 的傅里叶级数的和函数，则(3)s π-= 212π+ .4．设曲线C 为圆周222R y x=+,则曲线积分ds x y x C⎰+）—（322=32R π . 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1. 设直线L 为32021030,x y z x y z ++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z -+-=,则 （ C ） .(A) L 平行于平面π (B) L 在平面π上(C) L 垂直于平面π (D) L 与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z R Ω++≤，则Ω等于 （ B ）.(A)432R π (B) 4R π (C) 434R π (D) 42R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A)∑∞=+-1)1()1(n nnn n (B) ∑∞=+-+11)1(n nn n(C)nn en -∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(n nnn4. 设∑∞=1n na是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ） （A ） 若∑∞=1n na收敛，则∑∞=12n na也收敛 （B ）若∑∞=1n na收敛，则11+∞=∑n n naa 也收敛（C ）若∑∞=1n n a 收敛，则部分和n S 有界 （D ）若∑∞=1n n a 收敛，则1lim1<=+∞→ρnn n a a三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求yx u∂∂∂2.解：212f xyf xu+=∂∂)()(22222121211212f f x f f x xy xf yx u++++=∂∂∂ 221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= 2．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y xx L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=T ，)2,1(510=T52cos ,51cos ==βα 13|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy yz y x z 函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511)2,1(=⨯+=∂T3．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdy xy dxdy y xdxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()( 22300d r dr πθ=+⎰⎰ = π84. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量. 解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 204020r ： 质量M =⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z k dxdydz z y x ||),,(ρk=dr r r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 204020⎰⎰⎰76kπ=. 法2：22:1,:1D x y z ⎧+≤⎪Ω≤≤+(,,)||M x y z dxdydz k z dxdydz ρΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰211076rkk d dr ππθ==⎰⎰⎰. 法3：122217||(1(1)).6kM k z dxdydz z z dz z z dz πππΩ==+--=⎰⎰⎰⎰⎰ 5．计算曲线积分⎰+++-=Cy x dy x y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dy x y dx y x I 1)()( dxdy y Px Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x . 6. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zxxydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．解：利用高斯公式，dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydz x ⎰⎰⎰Ω+2dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222 .154sin 31104020πϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数 .解:幂级数的收敛半径1=R ，收敛域为)1,1[-0≠x 时，1111)(+∞=∑+=n n x n x xS =01x nn x dx ∞=∑⎰01x n n x dx ∞==∑⎰0ln(1)1xxdx x x x ==----⎰0=x 时，0)0(=S ， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋃-∈---=∴00)1,0()0,1[)1ln(1)(x x xx x S四．证明题（本题4分）证明下列不等式成立：π≥⎰⎰D x ydxdy ee ，其中}1|),{(D 22≤+=y xy x .证明：因为积分区域关于直线x y =对称， ⎰⎰⎰⎰=D D y xx y dxdy ee dxdy e e⎰⎰=∴D x y dxdy e e 21）（⎰⎰⎰⎰+D D y xxy dxdy ee dxdy e e =π=≥+⎰⎰⎰⎰dxdy dxdy e e e e D y x x y 221(21） 五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为},75:),{(22≤-+=xy y x y x D 小山的高度函数为.75),(22xy y x y x h +--=（1）设),(00y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式。

中国石油大学2006至2007学年第二学期高等数学期末考试试题 A
A卷
中国石油大学2006—2007学年第二学期《本科高等数学(下)》试卷
专业班级
姓名
学号
开课系室数学学院基础数学系
考试日期 2007年7月 2 日
页号一二三四五总分
得分
阅卷人
说明：1.本试卷正文共5页。

2.封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3.答案必须写在该题后的横线上，解题过程写在下方空白处，不得
写在草稿纸中，
否则答案无效。

一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项
中，只有一项符合
题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.
1．设三向量满足关系式，则（）.
（A）必有; （B）必有;。

2011—2012学年第一学期《高等数学》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年1月3日页号一二三四五六总分本页满分30 18 12 18 15 7本页得分阅卷人1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；4．试卷本请勿撕开，否则作废；5．本试卷正文共6页。

一、 填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1．函数23422+--=x x x y 的可去间断点是_________. 2．曲线21xy e -=-的下凸区间是_________________________.3．设(ln )ln f x x x '=，则()f x =____________C +. 4.211d 1xx +∞+⎰=____________.5.221cos y y x x x '-=的通解是_________________________．二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f ，则()f x 在点0x =处（ ）． A ．极限不存在；B ．极限存在但不连续；C.连续但不可导；D ．可导. 2. 已知0x →时，30()3sin cos d xf x x t t=-⎰与kcx 是等价无穷小，则（ ）．A ．1,4k c ==；B ．1,4k c ==-； C. 3,4k c ==； D ．3,4k c ==-.3．设)(x f '连续，(0)0,(0)2f f '==，则20(1)lim x x f e x x →--=（ ）．A ．2；B ．∞； C. 1； D ．12.4．函数()y f x =在1x =处有连续导数，21)('lim 1=-→x x f x ，则1x =处取得（ ）. A. 拐点； B. 极大值； C. 极小值； D. 都不是.5．微分方程x xy y e e -''-=+的特解形式为（ ）．A ．()x x a e e -+；B ．()x x ax e e -+；C ．2()x xx ae be -+； D ．()x x x ae be -+.三、计算题（共5小题，每小题6分，共30分）1. 求极限41cos 0ln d lim1xx x t t te →-⎰.2．方程⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=⎰t t y du u t u t x t arctan )(102确定y 为x 的函数，求dy dx 及22d y dx .3．求极限40[sin sin(sin )]sin limx x x xx →-.4．求定积分10x ⎰.5．设0sin ()x t f x dt t π=-⎰, 求0()f x dx π⎰.四、应用题（共3小题，共24分）1．（本题6分）求曲线1()ln(1)x f x e x =++的渐近线.2．（本题12分）设由曲线xy e =与过点(1,)e 的切线及y 轴所围平面图形为D .（1）．求D 的面积A ； （2）．求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积V .3．（本题6分）有半径为 R 的半球形容器如图， 设容器中已注满水 , 求将其全部抽出所做的功 最少应为多少 ?五、证明题（16分）1．（本题9分）设0>x ，证明：xx x x<+<+)1ln(1. 2．（本题7分）设函数()f x 在[0,5]上连续，在(0,5)内存在二阶导数，且2()d 2(3)(4)(5)f x x f f f ==+⎰，证明：（1）存在[0,3)η∈，使()(3);f f η= （2）存在(0,5)ξ∈，使()0f ξ''=.答案一、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）1． x =2 ； 2．(； 3． ()f x =x x xe e -C +；4． 4π 5． 21(sin )2y x x C =+二、填空题共（5小题，每小题3分，共计15分） 1．（ D ）；2．（ C ）； 3．（ C ）；4．（ C ）；5．（ D ）.三、计算题（本题共5小题，每小题6分，共30分）1．求极限41cos 0ln d lim1xx x t t te →-⎰解：原式1cos 40ln d lim x x t t t x →=⎰30cos ln(cos )(sin )lim 4x x x x x →--=20ln(cos )lim 4x x x →=0sin 1cos lim88x xx x →-==- 2．方程20d 1()arctan t t u x u t u y t t -⎧=⎪+-⎨⎪=-⎩⎰确定y 为x 的函数，求dy dx 及22d y dx 。

中国石油大学（北京）2010—-2011学年第1学期 《 Engineering Mechanics 》期末考试试卷/BClass: Name ： Registration No .： Score ：I. (25points) Give the answer for the following questions. 1. (3 points) For two slender columns with same length, same support condition and made of same material but different cross sections as shown in Fig.1.1, please compare their critical stresses.2. (3 points) The stress state of a point in a body is shown asFig.1.2., the equivalent stress 。

3. (3 point) The square thin plate with loads is shown as Fig. 1.3.If the maximum static friction coefficient between the plate andground is 0.5, the maximum value of force P is which =3r σFig.1.3P Fig.1.2Fig.1.1 50MPa30MPakeeps the plate in rest.A ．W 2；B ．32W ；C ．42W ；D ．22W4. (3 Points) The columns with their impact loads are shown as Fig. 1.4. The columnsare made of same steel. The upper black part of column C is made of rubber. has the maximum dynamic stress.5. (3 Points) A cantilever beam with loads is shown in Fig.1.5. Its deflection expressionin is right.Fig.1.4Fig.1.5 C6.(2 points) Mechanics of Materials deals with the abilities of solid bodies whichincluding 、Rigidity、.7.(3 points) In general, the condition of equilibrium has independentequations for a non-coplanar force system and independent equations for a coplanar force system. The condition of equilibrium has independent equations for a non-coplanar parallel force system.8.(2 points) The endurance limit of specimen which has stress concentration isthan the polished specimen that has no stress concentration. The endurance limit of polished small specimen is than the large polished specimen.9.(3 point) During reduction of a coplanar force system, the vector sum of the forces istaken as its and the vector sum of moments of forces about new action point of forces is known as its . The value of is related to the new action point.Ⅱ. (15 points)Find the deflection and the rotation angle at the free end B of the cantilever with loads as shown in Fig. 2. (Energy Method recommended)Fig.2 BC A EIⅢ. (15 points) As shown in Fig.3, the stresseson planes AB and AC of a regular trianglestress element of a point are all only shear .Let the thickness of all planes is t. (1)Determine the normal stress and shear stresson plane BC. (2) Draw the Mohr’s circle forthe point. (3) Find the principal stresses forthe point.Ⅳ. (10 points) For the beam shown as following, draw its bending moment and shear force diagrams. Indicated the . and max max V MⅤ. (10 points) A concentrated force F and a uniformly distributed load of constantintensity q are acted on a prismatic bar which is fixed on two ends. The cross section area A, the length a and elastic modulus E of the bar are known. Find the reactions atends and plot axial force diagram.Fig.5Fig.3 Fig.4VI. (10 points) For the structure show in Fig.6.,AB =BC =1 m, EK =KD , P =1732 kN, Q =1000 kN.Determine the reactions at A and E , and the force in barDC, neglecting the weights of the bars.Ⅶ (15 points) The thin-walled cylindrical pressure vessel with internal pressure p is shown in Fig.5. The two strain gauges are pasted on the surface at A in x and y directions respectively. From the test we know that strains εx = 200⨯10-6 and εy = 100⨯10-6. Let the mean vessel diameter d=200mm, thickness t=5mm, elastic modulus E=200GPa, Poisson's ratio ν = 0.3 and allowable stress σallow = 70 MPa. (1) Draw the stress element of the pointA. (2）Find the normal stresses x σandy σ, and the internal pressure p. (3) Exam thestrength with 3th strength theory.Fig.7A ●Fig.6中国石油大学（北京）2010—-2011学年第1学期 《 Engineering Mechanics 》期末考试试卷B(留学生)Class: Name ： Registration No .： Score ：2011 I. (40 Points) Give the correct answer for the following questions1. (5 Points) Mechanics of Materials deals with the abilities of solid bodies which including 、Rigidity 、 .2. (5 Points) The following figure 1.2 is a typical low-carbon steel σ-ε diagram in tension. Points a, b, c, d, e, f and g represent different aspects of mechanical behavior for the material. Please connect the label with its meaning.a ultimate stressb yield stressc elastic limite proportional limit pg percent elongation3. (5 point) During reduction of a coplanar force system, the vector sum of the forces is taken as its and the vector sum of moments of forces about new action point of forces is known as its . The value of is related to the new action point.4. (5 point) A stress cycle is shown in Fig. 1.4, the character of cycle r = , the mean stressm σ = , the amplitude of stress a σ = . Fig.1.25. (10 Points) Weight of the body is W, and pushing force is P . W=100N,P=500N. The static and kinetic sliding friction coefficients between theweight and the wall are μS =0.3, and μk =0.25 respectively. Then thefriction between the weight and the wall is____.A. 150N;B. 125N;C. 100N;D. 500N.6. (10 points) For two slender columns with same length, same support condition and made of same material but different cross sections as shown in Fig.1.6, please compare their critical stresses.Ⅱ (20 points) Find the deflection and the rotation angle at the free end B of the cantilever with loads as shown in Fig. 2. (Energy Method recommended)Fig.1.6 Fig.1.5Ⅲ (20 points) A circular shaft (d=85 mm ) with tensile load P =280 kN and torque T =10 kN-m is shown in the figure 3 . Let [ ] = 160 MPa. (a) Draw the stress element at A and label the stress values on it ；（b ）Exam the shaft with 4th strength theory.A TⅣ (20 points) For the beam shown as following, draw its bending moment and shear force diagrams. Indicated the . and max max V MFig. 2 CFig.4 Fig.3。

《工程数学》大作业运用MATLAB处理化学反应平衡问题学院：化工学院专业：学号：姓名：运用MATLAB处理化学反应平衡问题问题背景：伴随着计算机技术的快速发展，化工实验的手段发生了巨大的变化，人们逐渐把计算机技术引入到化工领域，这样做有许多优点：节省开发费用，加快问题解决步伐，缩短开发时间，方便控制与管理，在这些优点的影响下，计算机技术开始与化工领域相辅相成，一起进步。

众所周知，化工过程领域的计算十分复杂，包含了非线性方程，偏微分方程，非线性规划等麻烦的计算形式，如果用人手工的方式进行计算，就会导致又费时又得不到准确结果，这是令人非常头疼的，但是计算机技术很好地解决了这个问题，通过计算机编程我们可以比较轻松地计算出结果。

但是问题又出现了，编程对于非计算机专业的人来说十分困难，就在这时，MATLAB出现了，MATLAB的程序设计语言强大易学，它的计算能力很强，它的绘图功能方便实用，这对于化学工程计算的简便化是十分有益的。

接下来介绍MATLAB的一些在化工方面的优势。

化工过程计算中可能会遇到一些用解析法难以求解但图解法十分容易的情况，MATLAB提供的一系列简单易行的绘图及图形控制函数就能解决这种问题。

MATLAB拥有丰富的库函数，节省了技术人员的复杂的子程序编写任务，使工作效率显著提升。

该软件具有强大的数值和符号计算功能、方便的图像读取和显示功能、高效的图像变换功能。

化学平衡是指在宏观条件一定的可逆反应中，化学反应正逆反应速率相等，反应物和生成物各组分浓度不再改变的状态。

问题中所给的化学反应有三个方向，分别生成三种不同的产物，每个反应的平衡常数不同，也就是每个反应的反应程度不同，按照题目所给的条件能列出一个由三个方程形成的非线性方程组，解这个方程组我们就能知道题中所给反应条件生成的反应产物能否满足后续化工处理的要求，这对于后续的化工加工处理是十分重要的，只有满足要求，后续加工处理才能正常进行，所以恰当的反应条件是必须的。

中国石油大学2007至2008学年第二学期经管类高等数学期末考试试题 AＡ卷中国石油大学2007—2008学年第二学期《本科高等数学(下)》试卷（经管类）专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2008年6月23日页码一二三四五六总分得分阅卷人说明：1本试卷正文共6页。

2 封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。

3 答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。

一、选择题(每小题3分,共18分)：请将所选项前的字母填在题后的括号内.1.设则（）.(A) (B)(C) (D)2. 设二元函数，则下面正确的是（） .(A) 若函数连续，则其偏导数一定存在。

（B）若函数的偏导数存在，则函数一定连续。

(C) 若函数可微，则其偏导数一定连续。

(D)若函数的偏导数连续，则函数一定可微。

.3. 平面过轴，则（）.（A）（B）（C）（D）4. 若区域为D:，则二重积分化成极坐标系下的累次积分为（）.（A）（B）（C）（D）5. 级数是（）.（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）不能确定6. 设区域由直线和围成，是位于第一象限的部分，则（）.（A）（B）（C）（D）二、填空题（每小题4分，共20分）：请将答案写在指定位置上。

1. 设函数, 则grad=________.2. =________.3. 设, 将其交换积分次序后________.4. 过点且垂直于平面=5的直线方程为_________.5. 设, 则________.三、计算题（每题6分，共48分）1. 求的偏导数.2.3. 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.4. 求过点且与直线垂直的平面方程.5. 求，其中D是圆环形闭区域.6. 求的麦克劳林级数.7．设是由方程所确定的隐函数，其中可微，求 .8．求幂级数的和函数.四．解答题（每题7分，共14分）1.求函数在区域上的最大值与最小值.2.设，求.一、选择题(每小题3分,共18分)2.设则（ B ）(A) (B) (C) (D)2. 设二元函数，则下面正确的是（ D ）(A) 若函数连续，则其偏导数一定存在。