直线的一般式方程基础过关练题组一直线的一般式方程1.(多选)(2020江苏镇江中学高二月考)下列说法中正确的是()A.平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示B.当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)表示的直线过原点C.当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与x轴平行D.任何一条直线的一般式方程都能与其他形式互化2.(2020江苏南京燕子矶中学高二月考)在平面直角坐标系中,直线x+y-3=0的倾斜角α是()A.π6B.π4C.5π6D.3π43.直线l:x sin30°-y cos30°+1=0的斜率是()A.√33B.√3 C.-√3 D.-√334.(2020江苏无锡辅仁高级中学高二月考)直线2x-y+1=0在x轴上的截距是()A.1B.-1C.-12D.125.(2020江苏常州洛阳高级中学高二阶段测试)若方程mx+(m2-m)y+1=0表示一条直线,则实数m的取值范围是.6.(2020江苏连云港东海石榴高级中学高二月考)根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式.(1)斜率是√3,且经过点A(5,3);(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;(4)在x轴,y轴上的截距分别为-3,-1.题组二直线方程几种形式的相互转化及其应用7.(2020江苏盐城伍佑中学高二期中)若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0可能是 ()8.(2020重庆杨家坪中学高二期中)已知直线(2a+1)x+ay-2=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a= ()A.-13B.1 C.-13或-1 D.-19.(2020江苏太仓高级中学高二月考)直线kx+y+2=-k,当k变化时,所有的直线都过点.10.直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则直线的方程是.11.(2020江苏扬州邗江中学高二月考)若直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R)不经过第四象限,则k 的取值范围为.12.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=-2m+6,根据下列条件分别确定m的值.(1)直线l在x轴上的截距为-3;(2)直线l的倾斜角为45°.能力提升练题组一 直线的一般式方程及其应用 1.()直线x +(a 2+1)y +1=0的倾斜角的取值范围是( )A.[0,π4] B.[0,π2)∪[3π4,π)C.(π2,π) D.[3π4,π)2.(2020江苏宿迁泗洪中学高二月考,)已知直线Ax +By +C =0不经过第一象限,且A ,B ,C 均不为零,则有 ( )A.C <0B.C >0C.BC >0D.BC <0 3.(2020江苏丹阳高级中学高二期中,)已知m ≠0,直线ax +3my +2a =0在y 轴上的截距为2,则直线的斜率为( )A.1B.-13C.-23D.2 4.()直线l 1:(2m 2-5m +2)x -(m 2-4)y +5=0的斜率与直线l 2:x -y +3=0的斜率相同,则m = .5.(2020江苏宿豫中学高二期中,)过点A (-2,√3)且与直线x -√3y +5=0成60°的直线的一般式方程是 .6.(2020江苏南京师范大学附属中学高一期中,)若直线l :x -(m +1)y +3m -2=0(m ∈R)在x轴,y 轴上的截距相等,则直线l 的方程为 . 7.(2020江苏连云港板浦高级中学高二月考,)已知直线l 的方程为x -√3y +√3=0.若直线l 1与l 在y 轴上的截距相等,且l 1的倾斜角是l 的倾斜角的2倍,求直线l 1的一般式方程.题组二直线的一般式方程的应用8.(多选)(2020广东深圳高二月考,)已知直线l:mx+y+1=0,则下列结论正确的是()A.直线l恒过定点(0,1)B.当m=0时,直线l的斜率不存在C.当m=1时,直线l的倾斜角为3π4D.当m=2时,直线l的斜率为-29.(2020江苏江都中学高一月考,)已知直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y-a=0,则它们的图象可能为()10.(2020江苏阜宁第一高级中学月考,)若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限,则实数m的取值范围是.11.(2020江苏仪征中学高二期中,)点P(x,y)在第一象限内,且点P在直线l:3x+2y=6上移动,则xy的最大值是.12.(2020江苏邳州运河中学高二期中,)已知直线l过点(2,1),且在x轴,y轴上的截距相等.(1)求直线l的一般式方程;(2)若直线l在x轴,y轴上的截距均不为0,点P(a,b)在直线l上,求3a+3b的最小值.13.(2020江苏溧阳中学高二期中,)在平面直角坐标系中,过点P(3,1)作直线l分别与x 轴正半轴、y轴正半轴交于点A,B.(1)若AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线l的一般式方程;(2)求当AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时直线l的方程.答案全解全析 基础过关练1.ABC 易知选项A 正确.对于选项B,当C =0时,方程Ax +By +C =0(A ,B 不全为0),即Ax +By =0,显然有A ×0+B ×0=0,即直线过原点O (0,0),故此说法正确.对于选项C,当A =0,B ≠0,C ≠0时,方程Ax +By +C =0可化为y =-AA ,它表示的直线与x 轴平行,故此说法正确.对于选项D,说法错误.例如,当B =0时,方程Ax +By +C =0不能化为斜截式. 故选ABC.2.D 易知直线的斜率k =-1,所以tan α=-1(0≤α<π),所以直线的倾斜角为3π4.故选D.3.A 由直线l 的方程x sin30°-y cos30°+1=0,得斜率为sin30°cos30°=tan30°=√33.故选A .4.C 令y =0,得x =-12,所以直线2x -y +1=0在x 轴上的截距是-12.故选C. 5.答案 m ≠0解析 要使得mx +(m 2-m )y +1=0表示一条直线,则m ,m 2-m 不全为零, 即{A ≠0,A 2-A ≠0,解得m ≠0.6.解析 (1)由直线的点斜式方程,得y -3=√3(x -5),即√3x -y -5√3+3=0. (2)由直线的斜截式方程,得y =4x -2,即4x -y -2=0. (3)由直线的两点式方程,得A -5-1-5=A -(-1)2-(-1),即2x +y -3=0. (4)由直线的截距式方程,得A -3+A-1=1,即x +3y +3=0. 7.C 由题意知,直线方程可化为y =-A A x -AA , ∵ac <0,bc <0,∴ab >0,∴-A A <0,-A A>0, 故直线的斜率小于0,在y 轴上的截距大于0. 故选C.8.D 易知直线不过原点,且2a +1和a 均不为0. 令x =0,得y =2A ;令y =0,得x =22A +1.因为直线(2a +1)x +ay -2=0在两坐标轴上的截距相等, 所以2A =22A +1,解得a =-1.故选D.9.答案 (-1,-2)解析 kx +y +2=-k 可化为y +2=-k (x +1),根据直线的点斜式方程可知,此直线恒过点(-1,-2). 10.答案 15x -3y -7=0解析 直线Ax +By +C =0化为斜截式方程为y =-A A x -A A ,所以-AA =5,即A =-5B ,① 将①代入A -2B +3C =0,可得C =73B ,② 将①②代入直线方程,得-5Bx +By +73B =0,消去B ,化简可得15x -3y -7=0, 故直线的方程是15x -3y -7=0. 11.答案 [0,+∞)解析 因为kx -y +1+2k =0可化为y -1=k (x +2),所以直线l 过定点(-2,1), 而(-2,1)为第二象限中的点,且直线l 不经过第四象限,故斜率k ≥0. 12.解析 (1)由题意得{A 2-2A -3≠0,-2A +6A 2-2A -3=-3,解得{A ≠3且A ≠-1,A =-13,所以m =-13.故当m =-13时,直线l 在x 轴上的截距为-3. (2)由题意得{2A 2+A -1≠0,-A 2-2A -32A 2+A -1=1,解得{A ≠12且A ≠-1,A =43,所以m =43.故当m =43时,直线l 的倾斜角为45°.能力提升练1.D 设直线的斜率为k ,则k =-1A 2+1,∴-1≤k <0,∴倾斜角的取值范围是[3π4,π).2.C ∵直线Ax +By +C =0不经过第一象限,且A ,B ,C 均不为零, ∴-A A <0,-A A<0,即AB >0,BC >0.故选C.3.A 令x =0,得y =-2A 3A ,因为直线在y 轴上的截距为2,所以-2A3A =2,所以a =-3m ,原直线化为-3mx +3my -6m =0,所以斜率k =1.故选A . 4.答案 3解析 易知m ≠±2.直线l 1的斜率为2A 2-5A +2A 2-4,直线l 2的斜率为1,则2A 2-5A +2A 2-4=1,即2m 2-5m +2=m 2-4,即m 2-5m +6=0,所以m =3. 5.答案 x =-2或x +√3y -1=0解析 由直线方程x -√3y +5=0,可得此直线的斜率为√33,倾斜角为30°, 则与该直线成60°的直线的倾斜角为90°或150°, 又所求直线过点A (-2,√3),所以所求直线方程为x =-2或y -√3=-√33(x +2), 化为一般式可得所求直线方程为x =-2或x +√3y -1=0, 故答案为x =-2或x +√3y -1=0 6.答案 x +y -8=0或3x -5y =0解析 由已知得m +1≠0,即m ≠-1.对于直线l :x -(m +1)y +3m -2=0,当直线l 不经过原点时,令y =0,可得x =-3m +2,令x =0,可得y =3A -2A +1,因为直线在x 轴,y 轴上的截距相等,所以3A -2A +1=-3m +2,解得m =-2(A =23舍去),故直线l 的方程为x +y -8=0.当直线l 经过原点时,3m -2=0,解得m =23,故直线l 的方程为3x -5y =0. 综上,所求直线l 的方程为x +y -8=0或3x -5y =0.7.解析 直线l 的方程为x -√3y +√3=0,令x =0,解得y =1,则直线l 在y 轴上的截距为1,∵直线l 1与l 在y 轴上的截距相等,∴直线l 1在y 轴上的截距为1. 设l 的倾斜角为θ,则tan θ=√33,θ∈[0,π),∴θ=π6.∵l 1的倾斜角是l 的倾斜角的2倍,∴l 1的倾斜角为2θ,∴tan2θ=tan π3=√3, ∴直线l 1的方程为y =√3x +1,即√3x -y +1=0.8.CD 直线l :mx +y +1=0,令x =0,得y =-1,∴直线l 恒过定点(0,-1),故选项A 错误; 当m =0时,直线l :y +1=0,斜率k =0,故选项B 错误; 当m =1时,直线l :x +y +1=0,斜率k =-1,倾斜角为3π4,故选项C 正确;当m =2时,直线l :2x +y +1=0,斜率k =-2,故选项D 正确. 故选CD.9.D 由直线l 1:ax -y +b =0,l 2:bx -y -a =0,可得l 1:y =ax +b ,l 2:y =bx -a.依次分析各选项中l 1和l 2的斜率和在y 轴上的截距.对于A,l 1中a >0,b >0,l 2中b <0,a <0,不符合题意; 对于B,l 1中a >0,b <0,l 2中b >0,a <0,不符合题意; 对于C,l 1中a <0,b >0,l 2中b <0,a <0,不符合题意; 对于D,l 1中a <0,b >0,l 2中b >0,a <0,符合题意.故选D. 10.答案 [12,1]解析 将直线方程化为y =(m 2-1)x +(1-2m ).因为直线不过第一象限,所以{A 2-1≤0,1-2A ≤0,解得12≤m ≤1.11.答案 32解析 ∵点P (x ,y )在第一象限内, ∴x >0,y >0,又∵点P 在直线l :3x +2y =6上移动, ∴6=3x +2y ≥2√6AA ,当且仅当3x =2y =3,即x =1,y =32时等号成立,∴xy ≤32,即xy 的最大值是32.12.解析 (1)①截距为0时,易得直线方程为y =12x ,即x -2y =0;②截距不为0时,设直线方程为A A +AA =1,代入(2,1),得t =3,则直线l 的方程为x +y -3=0. 综上,直线l 的一般式方程为x -2y =0或x +y -3=0.(2)由题意得l 的方程为x +y -3=0,∵点P (a ,b )在直线l 上,∴a +b =3,∴3a+3b≥11 2√3A ·3A =2√3A +A =6√3,当且仅当a =b =32时等号成立,∴3a +3b 的最小值是6√3.13.解析 设A (a ,0),B (0,b ),a >0,b >0.(1)∵AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(3-a ,1)=12(-3,b -1),即{3-A =-32,1=A -12,解得{A =92,A =3,∴直线l 的方程为A 92+A 3=1,即2x +3y -9=0. (2)∵A ,P ,B 三点共线,∴13-A =1-A 3,整理得3A +1A =1,∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-a ,1)·(-3,b -1) =3a +b -10=(3a +b )(3A +1A )-10=3A A +3A A ≥2√3A A ×3A A =6,当且仅当3A A =3A A ,即a =b =4时等号成立. ∴直线l 的方程为A 4+A 4=1,即x +y -4=0.。
