初二数学秋季尖子班讲义

第12讲 因式分解（二）⎧⎪⎨⎪⎩十字相乘法因式分解法（二）分组分解法因式分解的综合应用 知识点1 十字相乘法对于像2ax bx c ++这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数a 分解成两个因数12a a ，的积，把常数项c 分解成两个因数12c c ，的积，并使1221a c a c +正好等于一次项的系数b ．那么可以直接写成结果：1122((²ax bx c a x c a x c ++=++））． 【典例】1.因式分解：x 2﹣x ﹣12= ． 【答案】（x ﹣4）（x+3）【解析】解：观察式子，x 2﹣x ﹣12中二次项系数为1，一次项系数-1，常数项为-12，∵14-13即-4×3=-12，1×1=1且-4×1+3×1=-1 ∴x 2﹣x ﹣12=（x ﹣4）（x+3）．【方法总结】用十字相乘法对一个形如2ax bx c ++的二次三项式进行因式分解，关键是找出二次项系数，一次项系数和常数项之间的数量关系，此题中，-12可以分为多个有理数相乘的形式，但是满足其他条件的只能选取-4×3的形式，以后做题时，需要多试一下，找到满足题意的那一组.2.因式分解：4a 2+4a ﹣15= ． 【答案】（2a ﹣3）（2a+5）【解析】解：观察式子，4a 2+4a ﹣15中二次项系数为4，一次项系数4，常数项为-15∵23-25即,2×2=4，5×（-3）=-15且2×5+（-3）×2=4 ∴4a 2+4a ﹣15=（2a ﹣3）（2a+5）．故答案为：（2a﹣3）（2a+5）．【方法总结】这类题和上类题相比，最主要的区别是二次项的系数不是1，而是其他整数，所以在做这类题时，我们不仅要对常数项进行拆分因数，还需要对二次项系数拆分因数（上类题都拆分成1×1），然后在寻找符合条件的因数. 方法与上类题类似，只是需要分析更多的可能性.3.分解因式：3x3﹣12x2﹣15x= ．【答案】3x（x+1）（x﹣5）【解析】解：先观察式子，发现是一个三次三项式，不满足十字相乘对式子的要求，但是式子中每项含有公因式3x，通过上讲的学习，我们知道可以先把公因式提取出来，变形成原式=3x（x2﹣4x+5），括号里的x2﹣4x+5正好可以利用十字相乘因式分解,，然后再进行下面的计算.∴原式=3x（x2﹣4x+5）=3x（x+1）（x﹣5）．故答案为：3x（x+1）（x﹣5）．【方法总结】利用十字相乘进行因式分解，该式子必须满足十字相乘的相关条件，对于这种高次（大于二次）三项式，我们得先降次，对于有公因式的，通常做法是先提取公因式，再利用十字相乘因式分解；除此之外，有的虽然是二次三项式，但每项都含有公因式，我们第一步也得先提取公因式，然后再进行下面的计算.4.因式分解：（x+y）2+5（x+y）﹣6= ．【答案】（x+y﹣1）（x+y+6）【解析】解：设（x+y）=m，则原式（x+y）2+5（x+y）﹣6=m2+5m﹣6∵m2+5m﹣6可因式分解为m2+5m﹣6=（m-1）（m+6）∴原式=（x+y﹣1）（x+y+6）．故答案为：（x+y﹣1）（x+y+6）【方法总结】如果式子2++可以利用十字相乘因式分解，那么式子中的x既可以是一个字母，也ax bx c可以是一个式子. 该题中x就是一个式子，我们可以先把这个式子用一个字母代替，，然后进行因式分解，当分解到最后时，再把式子的值带回最后的结果中即可.【随堂练习】1．（2019春•汨罗市期中）已知二次三项式2x px q ++的常数项与(1)(9)x x --的常数项相同，而它的一次项与(2)(4)x x --的一次项相同，试将此多项式因式分解． 【解答】解：2(1)(9)109x x x x --=-+，由于二次三项式2x px q ++的常数项与(1)(9)x x --的常数项相同， 9q ∴=，2(2)(4)68x x x x --=-+，由于二次三项式2x px q ++的一次项与(2)(4)x x --的一次项相同， 6p ∴=-．∴原二次三项式是269x x -+．2269(3)x x x ∴-+=-．知识点2 分组分解法分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.【典例】1.多项式ab ﹣bc+a 2﹣c 2分解因式的结果是（ ） 【答案】（a ﹣c ）（a+b+c ）【解析】解：ab ﹣bc+a 2﹣c 2是一个四项式，有a 2和c 2平方差，所以可以利用平方差公式；ab 和bc 有公因式b ，所以可以提取公因式，综上，式子可以分成两组，即 原式=（ab ﹣bc ）+a 2﹣c 2 =b （a ﹣c ）+（a+c ）（a ﹣c ） =（a ﹣c ）（a+b+c ）【方法总结】对于多项式（大于三项）分组时，尽量：有公因式的分在一组，可以利用公式法的分在一组（有平方和的一般用完全平方公式，有平方差的一般用平方差公式），然后根据实际情况选取其他的因式分解的方法进行计算.2.把多项式x 2+y 2﹣2xy ﹣1因式分解的结果是（ ）【答案】（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）【解析】解：观察式子发现，前三项x2+y2﹣2xy可以利用完全平方公式因式分解，可以分在一组，则原式= （x2+y2﹣2xy）﹣1=（x﹣y）2﹣1=（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）【方法总结】对式子进行分组时，有平方和的一般利用完全平方公式，这时需要再找到两个底数乘积的2倍（负2倍也行）即可. 利用完全平方公式因式分解之后，再根据题意继续因式分解.3.分解因：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2= ．【答案】（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）【解析】解：观察式子，发现有两个平方和，x2和4y2（可以变成（2y）2），而且式子中含有x2和（2y）2）底数的负2倍项﹣4xy，所以三者可以分到一组，因此原式=（x2﹣4xy+4y2）﹣（x﹣2y）=（x﹣2y）2﹣（x﹣2y）=（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．故答案为：（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．【方法总结】在进行分组时，有平方和的，如果还能找到两个平方底数的（负）2倍的项，那么这三项就可以分到一组，利用完全平方公式进行因式分解.4.分解因式：a2+4a﹣b2﹣2b+3= ．【答案】（a+b+3）（a﹣b+1）【解析】解：观察式子，有平方差a2﹣b2，但它俩分在一组后，剩下的4a﹣2b+3无法进行因式分解，所以a2﹣b2不应该分到一组. 式子中含有a2+4a，如果补充4，即a2+4a+4就可以利用完全平方公式因式分解，同理﹣b2﹣2b补充-1，即﹣b2﹣2b-1也可以利用完全平方公式因式分解，而补充的4和-1，正好等于3，因此a2+4a﹣b2﹣2b+3可变形为原式=a2+4a+4﹣（b2+2b+1）=（a+2）2﹣（b+1）2=（a+b+3）（a﹣b+1）．故答案为：（a+b+3）（a﹣b+1）．【方法总结】在利用分组法因式分解时，有时需要对式子中的一些数或者式子进行简单的拆分，拼凑出可以因式分解的式子（如果式子中含有平方项且无法直接使用公式法因式分解的，一般都需要进行拆分其他的式子或数字进行拼凑）.【随堂练习】1．（2019•黔东南州一模）分解因式2221x xy y -+-= (1)(1)x y x y -+-- ． 【解答】解：2221x xy y -+-，22(2)1x xy y =-+-， 2()1x y =--， (1)(1)x y x y =-+--．2．（2018春•郯城县期中）分解因式：2224a ab b ++-= (2)(2)a b a b +++- ． 【解答】解：原式22()2a b =+- (2)(2)a b a b =+++-，故答案为：(2)(2)a b a b +++-． 二．解答题（共1小题）3．（2018秋•闵行区期末）因式分解：3223x x y xy y +--．【解答】解：原式3223222()()()()()()x x y xy y x x y y x y x y x y =+-+=+-+=+-．知识点3 因式分解的综合应用 【典例】1.已知a ，b ，c 是三角形的三边，那么代数式（a ﹣b ）2﹣c 2的值______ 【答案】小于零【解析】解：∵（a ﹣b ）2﹣c 2=（a ﹣b+c ）（a ﹣b ﹣c ），a ，b ，c 是三角形的三边， 根据三角形的三边关系，可得 ∴a+c ﹣b ＞0，a ﹣b ﹣c ＜0， ∴（a ﹣b ）2﹣c 2的值是负数．【方法总结】这类题主要考察因式分解和三角形的三边关系，首先先要对式子因式分解，分解完之后，再根据三角形三边关系来判断式子中各项的正负. 有时也会考察判断三角形的形状，同样，先因式分解题干中的式子，在利用三角形的边关系来判断.2阅读材料：方程x2﹣x﹣2=0中，只含有一个未知数且未知数的次数为2．像这样的方程叫做一元二次方程．把方程的左边分解因式得到（x﹣2）（x+1）=0．我们知道两个因式乘积为0，其中有一个因式为0即可，因此方程可以转化为：x﹣2=0或x+1=0．解这两个一次方程得：x=2或x=﹣1．所以原方程的解为：x=2或x=﹣1．上述将方程x2﹣x﹣2=0转化为x﹣2=0或x+1=0的过程，是将二次降为一次的“降次”过程，从而使得问题得到解决．仿照上面降次的方法，解决下列问题：（1）解方程x2﹣3x=0；（2）2a2﹣a﹣3=0；【解析】解：（1）方程变形得：x（x﹣3）=0，可得x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3；（2）方程变形得：（2a﹣3）（a+1）=0，可得2a﹣3=0或a+1=0，解得：a=1.5或a=﹣1；【方法总结】此类题属于“新定义题型”，首先要读懂题意，明白题干中告知的对于新题型的解题思路是什么，然后根据已经学习过的知识，进行分析解答，此类题认真审题读懂题意是关键.3.阅读理解以下文字：我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．例如：方程2x2+3x=0就可以这样来解：解：原方程可化为x（2x+3）=0，所以x=0或者2x+3=0． 解方程2x+3=0，得x=﹣． 所以解为x 1=0，x 2=﹣．根据你的理解，结合所学知识，方程x 2﹣5x=6的解是________ 【答案】﹣1或6【解析】解：由原方程x 2﹣5x=6，得 （x+1）（x ﹣6）=0， ∴x+1=0，或x ﹣6=0， 解得，x 1=﹣1，x 2=6． 【随堂练习】1．（2018秋•高阳县期末）对于算式220182018-，下列说法不正确的是( ) A ．能被2017整除 B ．能被2018整除 C ．能被2019整除D ．不能被2016整除【解答】解：2201820182018(20181)20182017-=-=⨯，所以原式能被2017整除，也能被2018整除，不能被2016和2019整除 故选：C ．二．解答题（共4小题）2．（2019春•乐亭县期末）观察下列各式．①24121(12)⨯⨯+=+；②24231(23)⨯⨯+=+；③24341(34)⨯⨯+=+⋯（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4201620171⨯⨯+可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n 个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将22114()(1)122x x x x ++++因式分解．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到224201620171(20162017)4033⨯⨯+=+=；（2）猜想第n 个等式为24(1)1(21)n n n ++=+，理由如下：左边24(1)1441n n n n =++=++，右边22(21)441n n n =+=++，∴左边=右边，24(1)1(21)n n n ∴++=+；（3）利用前面的规律，可知2222222411114()(1)1(1)(21)(1)2222x x x x x x x x x x x ++++=++++=++=+． 3．（2018秋•渝中区校级期末）一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被7整除，则原多位数一定能被7整除．（1）判断864192 能 （能/不能）被7整除，证明任意一个三位以上的自然数都满足上述规律；（2）一个自然数t 可以表示为22t p q =-的形式，（其中p q >且为正整数），这样的数叫做“平方差数”，在t 的所有表示结果中，当||p q -最小时，称22p q -是t 的“平方差分解”，并规定2()p q F t p q +=-，例如，2222326297=-=-，|97||62|-<-，则92723(32)972F +⨯==-．已知一个五位自然数，末三位数5001052m y =++，末三位以前的数为10(1)n x y =++（其中18x ，19y 且为整数），n 为“平方差数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被7整除，求()F n 的最大值．【解答】解：（1）864192的末三位数为192，末三位以前的数为864 192864672∴-=- 672796-÷=- 864192∴能被7整除故答案为：能证明：设这个多位数的末三位数为a ，末三位以前的数为b 则这个多位数可表示为1000b a + 根据题意得，7(a b n n -=为整数） 7a n b ∴=+则10001000710017b a b n b b n +=++=+ 10017b n +可以被7整除 1000b a ∴+可以被7整除。

第12讲 因式分解（二）知识点1 十字相乘法对于像2ax bx c ++这样的二次三项式来说， 如果可以把二次项系数a 分解成两个因数12a a ，的积，把常数项c 分解成两个因数12c c ，的积，并使1221a c a c +正好等于一次项的系数b ．那么可以直接写成结果：1122((²ax bx c a x c a x c ++=++））．【典例】1.因式分解：x 2﹣x ﹣12= ． 【答案】（x ﹣4）（x+3）【解析】解：观察式子，x 2﹣x ﹣12中二次项系数为1，一次项系数-1，常数项为-12，∵14-13即-4×3=-12，1×1=1且-4×1+3×1=-1 ∴x 2﹣x ﹣12=（x ﹣4）（x+3）．【方法总结】用十字相乘法对一个形如2ax bx c ++的二次三项式进行因式分解，关键是找出二次项系数，一次项系数和常数项之间的数量关系，此题中，-12可以分为多个有理数相乘的形式，但是满足其他条件的只能选取-4×3的形式，以后做题时，需要多试一下，找到满足题意的那一组.2.因式分解：4a2+4a﹣15= ．【答案】（2a﹣3）（2a+5）【解析】解：观察式子，4a2+4a﹣15中二次项系数为4，一次项系数4，常数项为-1523∵25即,2×2=4，5×（-3）=-15且2×5+（-3）×2=4∴4a2+4a﹣15=（2a﹣3）（2a+5）．故答案为：（2a﹣3）（2a+5）．【方法总结】这类题和上类题相比，最主要的区别是二次项的系数不是1，而是其他整数，所以在做这类题时，我们不仅要对常数项进行拆分因数，还需要对二次项系数拆分因数（上类题都拆分成1×1），然后在寻找符合条件的因数. 方法与上类题类似，只是需要分析更多的可能性.3.分解因式：3x3﹣12x2﹣15x= ．【答案】3x（x+1）（x﹣5）【解析】解：先观察式子，发现是一个三次三项式，不满足十字相乘对式子的要求，但是式子中每项含有公因式3x，通过上讲的学习，我们知道可以先把公因式提取出来，变形成原式=3x（x2﹣4x+5），括号里的x2﹣4x+5正好可以利用十字相乘因式分解,，然后再进行下面的计算.∴原式=3x（x2﹣4x+5）=3x（x+1）（x﹣5）．故答案为：3x（x+1）（x﹣5）．【方法总结】利用十字相乘进行因式分解，该式子必须满足十字相乘的相关条件，对于这种高次（大于二次）三项式，我们得先降次，对于有公因式的，通常做法是先提取公因式，再利用十字相乘因式分解；除此之外，有的虽然是二次三项式，但每项都含有公因式，我们第一步也得先提取公因式，然后再进行下面的计算.4.因式分解：（x+y）2+5（x+y）﹣6= ．【答案】（x+y﹣1）（x+y+6）【解析】解：设（x+y）=m，则原式（x+y）2+5（x+y）﹣6=m2+5m﹣6∵m2+5m﹣6可因式分解为m2+5m﹣6=（m-1）（m+6）∴原式=（x+y﹣1）（x+y+6）．故答案为：（x+y﹣1）（x+y+6）【方法总结】如果式子2ax bx c++可以利用十字相乘因式分解，那么式子中的x既可以是一个字母，也可以是一个式子. 该题中x就是一个式子，我们可以先把这个式子用一个字母代替，，然后进行因式分解，当分解到最后时，再把式子的值带回最后的结果中即可.【随堂练习】1．（2018春•安丘市期末）阅读下面的材料，解答提出的问题：已知：二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为（x+n），由题意，得：x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴．解得：m=﹣21，n=﹣7∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．提出问题：（1）已知：二次三项式x2+5x﹣p有一个因式是（x﹣1），求p的值．（2）已知：二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（x﹣5），求另一个因式及k的值．【解答】解：（1）设另一个因式为（x+n），由题意，得：x2+5x﹣p=（x﹣1）（x+n）则x2+5x﹣p=x2+（n﹣1）x﹣n∴．解得：，∴另一个因式为（x﹣6），p的值为6；（2）设另一个因式为（2x+m），由题意，得：2x2+3x﹣k=（x﹣5）（2x+m）则2x2+3x﹣k=2x2+（m﹣10）x﹣5m∴．解得：，∴另一个因式为（2x+13），k的值为65．2．（2018春•邗江区期中）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，所以x2+3x+2=x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2=（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+7x+12=____；（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是_____．【解答】解：（1）x2+7x+12=（x+3）（x+4），故答案为：（x+3）（x+4）；（2）原式=（x2﹣3﹣1）（x2﹣3+2）=（x2﹣4）（x2﹣1）=（x+2）（x﹣2）（x+1）（x﹣1）；（3）若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是﹣8+1=﹣7；﹣1+8=7；﹣2+4=2；﹣4+2=﹣2，故答案为：±7，±2．3．（2017春•吴兴区校级期中）题目：“分解因式：x2﹣120x+3456．”分析：由于常数项数值较大，则常采用将x2﹣120x变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．解：x2﹣120x+3456=x2﹣2×60x+602﹣602+3456=（x﹣60）2﹣144=（x﹣60）2﹣122=（x﹣60+12）（x﹣60﹣12）=（x﹣48）（x﹣72）通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式：（1）x2﹣140x+4875（2）4x2﹣4x﹣575．【解答】解：（1）x2﹣140x+4875=x2﹣2×70x+702﹣702+4875=（x﹣70）2﹣25=（x﹣70）2﹣52=（x﹣70+5）（x﹣70﹣5）=（x﹣65）（x﹣75）；（2）4x2﹣4x﹣575=（2x）2﹣2×2x×1+12﹣12﹣575=（2x﹣1）2﹣576=（2x﹣1）2﹣242=（2x﹣1+24）（2x﹣1﹣24）=（2x+23）（2x﹣25）．4．（2017秋•射洪县校级期中）因式分解：（1）x2﹣6x﹣27（2）4a3﹣16a2b+16ab2．【解答】解：（1）x2﹣6x﹣27=（x﹣9）（x+3）；（2）4a3﹣16a2b+16ab2=4a（a2﹣4ab+4b2）=4a（a﹣2b）2．知识点2 分组分解法分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.【典例】1.多项式ab﹣bc+a2﹣c2分解因式的结果是（）【答案】（a﹣c）（a+b+c）【解析】解：ab﹣bc+a2﹣c2是一个四项式，有a2和c2平方差，所以可以利用平方差公式；ab和bc有公因式b，所以可以提取公因式，综上，式子可以分成两组，即原式=（ab﹣bc）+a2﹣c2=b（a﹣c）+（a+c）（a﹣c）=（a﹣c）（a+b+c）【方法总结】对于多项式（大于三项）分组时，尽量：有公因式的分在一组，可以利用公式法的分在一组（有平方和的一般用完全平方公式，有平方差的一般用平方差公式），然后根据实际情况选取其他的因式分解的方法进行计算.2.把多项式x2+y2﹣2xy﹣1因式分解的结果是（）【答案】（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）【解析】解：观察式子发现，前三项x2+y2﹣2xy可以利用完全平方公式因式分解，可以分在一组，则原式= （x2+y2﹣2xy）﹣1=（x﹣y）2﹣1=（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）【方法总结】对式子进行分组时，有平方和的一般利用完全平方公式，这时需要再找到两个底数乘积的2倍（负2倍也行）即可. 利用完全平方公式因式分解之后，再根据题意继续因式分解.3.分解因：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2= ．【答案】（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）【解析】解：观察式子，发现有两个平方和，x2和4y2（可以变成（2y）2），而且式子中含有x2和（2y）2）底数的负2倍项﹣4xy，所以三者可以分到一组，因此原式=（x2﹣4xy+4y2）﹣（x﹣2y）=（x﹣2y）2﹣（x﹣2y）=（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．故答案为：（x﹣2y）（x﹣2y﹣1）．【方法总结】在进行分组时，有平方和的，如果还能找到两个平方底数的（负）2倍的项，那么这三项就可以分到一组，利用完全平方公式进行因式分解.。

北师大初二数学8年级上册秋季版（学生版）最新讲义第9讲 一次函数的应用一次函数的解析式一次函数的图形变换一次函数的应用简单的实际应用方案、决策问题⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩知识点1 一次函数的解析式用待定系数法求一次函数解析式的步骤如下：①设一次函数解析y=kx+b(k≠0)；②代入两个已知点的坐标，得到关于k 、b 的方程组；③解方程组得到k 、b 的值；④写出一次函数的解析式.若一次函数为正比例函数，则b=0，只需代入一个点的坐标，求出系数k 即可.【典例】1.已知一次函数y=kx+b 经过点（1，1），（2，﹣4），则一次函数的解析式为__________.2.下列表格列出了一项实验的统计数据，它表示皮球从一定高度落下时，下落高度y 与弹跳高度x 的关系，求y 与x 之间的函数解析式.3.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，求该直线l 的解析式.【方法总结】典例1直接将两点坐标代入解析式，联立组成方程组，解方程组即可；典例2需要先设出解析式，再代入两点坐标；典例3中的l 过原点，为正比例函数，先由图形的面积关系求出直线l 上一点的坐标，再代入即可求出解析式.待定系数法是求一次函数解析式的主要方法，解题关键是找到或求出直线上的两点（正比例函数为一个点）的坐标.【随堂练习】1．（2018秋•奉化区期末）如图，一次函数223y x =-+的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为边在第一象限内作等腰Rt ABC ∆，90BAC ∠=︒．（1）求点A 、B 的坐标；（2）求过B 、C 两点的直线的解析式．2．（2018秋•淮安区期末）已知y 是x 的一次函数，表中给出了部分对应值．（1）求该一次函数的表达式；（2）求m 、n 的值．3．（2019春•滦州市期末）直线AB 与x 轴交于点(1,0)A ，与y 轴交于点(0,2)B -．（1）求直线AB 的表达式．（2）若直线AB 上有一动点C ，且2BOC S ∆=，求点C 的坐标．4．（2019春•莆田期末）已知3y -与x 成正比例，且2x =时，7y =．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当12x =-时，求y 的值； （3）将所得函数图象平移，使它过点(2,1)-．求平移后直线的解析式．5．（2019春•凉州区期末）如图，点A 的坐标为3(2-，0)，点B 的坐标为(0,3)． （1）求过A ，B 两点直线的函数表达式；（2）过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使2OP OA =，求ABP ∆的面积．6．（2019春•新蔡县期末）如图，直线a 经过点(1,6)A ，和点(3,2)B --．（1）求直线a 的解析式；（2）求直线与坐标轴的交点坐标；（3）求AOB S ∆．7．（2019春•莘县期末）已知1y -与23x +成正比例．（1）y 是关于x 的一次函数吗？请说明理由；（2）如果当53x =-时，0y =，求y 关于x 的函数表达式．8．（2019春•寿县期末）如图，一次函数y kx b =+的图象经过(2,4)、(0,2)两点，与x 轴相交于点C ．求：（1）此一次函数的解析式；（2）AOC ∆的面积．知识点2 一次函数的图形变换图形变换的三种方式：平移、对称、旋转.一次函数平移的方法：左加右减，上加下减.一次函数图象的常见对称变换：对于直线y=kx+b（k≠0，且k，b为常数），①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b（关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）；②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）；③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b（关于原点对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）．【典例】1.将一次函数y=﹣2x﹣2的图象先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的表达式为________________.2.在平面直角坐标系中，将直线y=5x+6先关于x轴作轴对称变换，再将所得直线关于y轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是_______________.3.把一次函数y=x+1的图象绕点（1，0）旋转180°，求所得直线的函数解析式.【方法总结】求平移和特殊对称后一次函数的解析式比较简单，按照法则将解析式做变换即可.求关于某点旋转后的一次函数的解析式，一般需要找到原来函数图像上的两点，求出这两点关于某点。

39初二秋季·第4讲·尖子班·学生版等等…腰漫画释义满分晋级阶梯4全等三角形的 经典模型（二）三角形11级特殊三角形之直角三角形 三角形10级 勾股定理与逆定理 三角形9级全等三角形的经典模型（二）40 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版OFEC B A A F COBEDHABCDO EOGFE CBA“手拉手”数学模型：⑴ ⑵ ⑶【引例】 如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ，连接BF 、CE ，求证：BF =CE 并求出 EOB 的度数. 知识互联网思路导航例题精讲题型一：“手拉手”模型41初二秋季·第4讲·尖子班·学生版【解析】 ∵△ABE 、△AFC 是等边三角形∴AE =AB ，AC =AF ，60∠=∠=︒EAB FAC ∴∠+∠=∠+∠EAB BAC FAC BAC 即∠=∠EAC BAF ∴AEC ABF △≌△∴BF =EC ∠=∠AEC ABF 又∵AGE BGO ∠=∠ ∴60∠=∠=︒BOE EAB ∴60∠=︒EOB【例1】 如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD =CF 并求出∠DOH 的度数.典题精练OHGDFECBA42 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版NMCBABNC【例2】 如图，已知点C 为线段AB 上一点，ACM △、BCN △是等边三角形．⑴ 求证：AN BM =.⑵ 将ACM △绕点C 按逆时针方向旋转180°，使点A 落在CB 上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN BM =”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑷ 在⑵所得的图形中，设MA 的延长线交BN 于D ，试判断ABD △的形状，并证明你的结论．【例3】 在ABC △中，90∠=BAC °，⊥AD BC 于D ，BF 平分∠ABC 交AD 于E ，交AC 于F .求证：AE=AF .54321A BCDE F【例4】 如图，已知ABC △中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D ，ABC ∠的角平分线BE 交CD 于G ，交AC 于E ，GF AB ∥交AC 于F ． 典题精练题型二：双垂+角平分线模型43初二秋季·第4讲·尖子班·学生版NMDCBA求证：AF CG =．【例5】 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交线段CB DC 、于点M N 、.求证BM DN MN +=.典题精练题型三：半角模型54321G FEDC BA44 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版【例6】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒=B D AB AD ，，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的点，且BE +FD =EF . 求证：12∠=∠EAF BAD .ABCDEF【例7】 在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为三角形ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC . 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系．AM N BCDCBN M A图1 图2⑴如图1，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； ⑵如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想⑴问的结论还成立吗？写 出你的猜想并加以证明.45初二秋季·第4讲·尖子班·学生版PNMH GFEDCBAFE D CBA题型一 手拉手模型 巩固练习【练习1】 如图，正五边形ABDEF 与正五边形ACMHG 共点于A ，连接BG 、CF ，则线段BG 、CF 具有什么样的数量关系并求出∠GNC 的度数．题型二 双垂+角平分线模型 巩固练习【练习2】 已知AD 平分∠BAC ，⊥DE AB ，垂足为E ，⊥DF AC , 垂足为F ，且DB =DC ，则EB 与FC 的关系（ ）A. 相等B. EB <FCC. EB >FCD.以上都不对【练习3】 已知等腰直角三角形ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AE 平分∠CAB 交CD 于E ，在DB 上取点F ，使DF =DE .求证：CF 平分∠DCB ．题型三 半角模型 巩固练习 复习巩固F EDCBAFEDC BA46 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版【练习4】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒B ADC ， AB AD =，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且12EAF BAD =∠∠，求证：EF BE FD =-【练习5】 在正方形ABCD 中，3BE =，5EF =，4DF =，求BAE DCF ∠+∠为多少度.FEDCBA训练1. C 为线段AE 上一动点（点C 不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和思维拓展训练(选讲)47初二秋季·第4讲·尖子班·学生版正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ以下九个结论：①AD =BE ②PQ //AE ③AP =BQ ④DE =DP ⑤60∠=︒AOB ⑥PCQ △为等边三角形 ⑦OC 平分AOE ∠⑧OA OB OC =+⑨OE OC OD =+ 恒成立的有 (把你认为正确的序号都填上)训练2. 正方形ABCD 中，45∠=︒EAF ，连接对角线BD 交AE 于M ，交AF 于N ，求证：以DN 、BM 、MN 为三边的三角形为直角三角形.NMAB C D EF训练3. 条件：正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，45MAN ∠=︒．结论：⑴ MN DN BM =-；⑵ AH AB =.O Q P ED C BA48 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版B C D A EE A D C B A B C D EDEC B A A BMCHND训练4. 如图，等腰三角形ABC 与等腰三角形DEC 共点于C ，且BCA ECD ∠=∠．连接BE 、AD ．若 BC AC =，EC DC =．求证：BE AD =．若将等腰DEC △绕点C 旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE 与AD 还相等吗？为什么？⑴ ⑵ ⑶ ⑷49 初二秋季·第4讲·尖子班·学生版第十五种品格：创新学会变通，变则通一天早上，一位贫困的牧师，为了转移哭闹不止的儿子的注意力，将一幅色彩缤纷的世界地图，撕成许多细小的碎片，丢在地上，许诺说：“小约翰，你如果能拼起这些碎片，我就给你二角五分钱。