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2010年全国大学生数学建模竞赛试题分析——关于输油管的
设计方案
毛建生
【期刊名称】《泸州职业技术学院学报》
【年(卷),期】2011(000)001
【摘要】这是2010年全国大学生数学建模竞赛c题,我院是第二次参加全国大学生数学建模竞赛,共有四个队参加比赛,有二个队获奖:一个队获得全国二等奖、一个队获得四川省二等奖(全国奖的获奖率约为8%)。
下面结合学生的论文,对该赛题进行研究,并且给出两种解决赛题的模型方案:解析法和几何法。
【总页数】5页(P61-64,76)
【作者】毛建生
【作者单位】泸州职业技术学院
【正文语种】中文
【中图分类】O141.4
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1.全国大学生数学建模竞赛试题分析——2009B“眼科病床的合理安排” [J], 黄正阳;
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题为例 [J], 王兵兵
4.我院代表队在全国大学生数学建模竞赛中获得全国二等奖 [J], 刘琳;曹文龙;
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承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：1328303所属学校（请填写完整的全名）：武汉职业技术学院参赛队员（打印并签名）：1. XXX2. XXX3. X X指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：数模指导组日期：2010年9月12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：输油管的布置摘要本文对输油管线的布置主要从建设费用最省的角度进行研究。
首先，对问题一，我们按照共用管线与非共用管线铺设费用相同或不相同，进行分类讨论。
为了更好的说明，我们根据共用管线与非共用管线铺设费用相同或不同及两炼油厂连线与铁路线垂直或不垂直分成四类讨论。
其次，对问题二，由于需要考虑在城区中铺设管线，涉及到拆迁补偿费等。
通过对三个公司的估算费用加权，求得期望值021.5P （万元）。
并利用建立的规划模型②求得管道建设的最省费用为282.70万元。
其中共用管线长度为1.85千米，炼油厂B在城区铺设的管道线对城郊分界线的射影为0.63千米。
最后，对问题三，由于炼油厂A和B的输油管线铺设费用不同，所以最短管道长度和未必能保证铺设总费用最省，因而我们又建立了规划模型③，通过LINGO软件求得管道建设的最省费用为251.97万元，三种管道的结合点O到炼油厂A与铁路垂线的距离为6.13千米，结合点O到铁路的距离为0.14千米，炼油厂B在城区铺设的管道线对城郊分界线的射影为0.72千米。
输油管布置方案的优化设计摘要本文在合理充分的假设前提下，针对单位费用的各种不同情形，运用一元函数与二元函数的极值理论，给出了输油管布置方案的最优设计及相应费用。
问题一中，我们就两种单铺管道单位费用与共用管道单位铺设费用相同、两种单铺管道单位费用相同而与共用管道单位铺设费用不同、三种单位费用互不相同三种情形，给出了相应的模型及最优布置方案：第一种情形我们建立非线性一元函数约束优化模型，当满足0632>-+>l b a a 时，最优方案为共用与非共用管道连接节点距铁路线l b a 632-+（公里），与车站到炼油厂A 的水平距离均为2)(3a b l --（公里）；类似地，第二种情形当满足04222>--+>l kk b a a （其中k 是单位费用比）时，连接节点距铁路线l kk b a 2422--+（公里），与车站到炼油厂A 的水平距离均为2)(42a b k kl ---（公里） ；第三种情形我们建立了非线性二元函数约束优化模型，当 0tan tan tan tan tan )(>++->βααβαc b a l 且a c b a y <+-+=<βαβαtan tan tan tan 0时，最优方案为连接节点距铁路线βαβαtan tan tan tan +-+l b a （公里），与车站到炼油厂A 的水平距离均为βααβαtan tan tan tan tan )(++-l b a ，其中βαtan ,tan 是关于单位费用的常数。
问题二与问题三我们均采用多阶段优化决策方法并运用问题一的模型，均得到了最优方案。
问题二的最优方案：车站与A 厂水平距离为5.4553公里，连接节点距铁路线1.8504公里且与A 厂水平距离为5.4553公里，郊区与城区管道连接节点距铁路线7.3610公里。
问题二的最优方案：车站与A 厂水平距离为6.7227公里，连接节点距铁路线0.1983公里且与A 厂水平距离为6.7227公里，郊区与城区管道连接节点距铁路线7.2970公里。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.页脚内容1指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：页脚内容2全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：页脚内容3输油管的布置摘要“输油管的布置”数学建模的目的是建立起数学模型寻求使铺设管道费用最低的设计方案。
但是不同于普遍的最短路径问题，他受各种实际情况影响，例如，城区和郊区费用的不同，采用共用管线和非公用管线价格的不同等都会对设计产生影响。
我们基于最短路径模型，对于题目实际情况进行研究和分析，对三个问题都设计了合适的数学模型做出了相应的解答和处理。
问题一：此问只需考虑两个炼油厂和铁路之间的位置关系，根据位置的不同设计相应的模型，我们根据光的传播原理和两大间线段最短的原则设计了最短路径模型，在不考虑共用管线价格差异时，只需考虑如何设计最短路线即可得到最页脚内容4低费用的设计方案；在考虑共用管线差价的情况下，只需建立两个未知变量，当代入已知常量，就可以解出变量的值。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学的罐地平线 图1 储油罐正面示意图 油位探针2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B 题 2010年上海世博会影响力的定量评估 20101851年伦互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C 题 输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
2010年C题输油管的布置摘要本文讨论了输油管线最佳布置方案及最少费用问题，即最优化问题。
通过分类讨论、图形求解，以及构建非线性规划的目标函数和约束条件，编写程序，然后借助lingo软件，分别给出了三个问题的解决方案。
建立了三个模型，求出了三种情况下的最优管线铺设方案和最少费用。
针对问题一的情形，我们采用分类讨论的方法，细分了三种情况：没有共用管线、有共用管线且共用管线费用与非共用管线费用相同、有共用管线但共用管线费用与非共用管线费用不同。
没有共用管线时，我们根据初等几何中“求直线上一点，到直线一侧的两定点距离之和最短”的知识，利用图形求解，得到了使得铺设管线费用最少的车站建设点。
对于后两种情况，参考了文献[1]中对“费尔马点”问题的推广，即“求一点，使得它到定直线和直线一侧两定点距离之和最短”问题的讨论，结合具体问题进行改进，得到了使得费用最少的管线铺设方案，并求出了最少费用，具体结果见正文。
问题二的情形更复杂，城区管线增加了附加费用。
我们按车站建设在城区或郊区，分成两种情况讨论，然后再比较这两种情况下各自的最优方案，优中选优。
这样，使得解决问题的思路变得清晰。
首先对于三家公司的估计数据，我们根据其资质等级设立权重，得到较合理的一个数据。
然后，以铺设管线的总费用作为目标函数，结合几何知识进行推理分析，得到约束条件，转化为非线性规划问题。
最后，编写程序，利用lingo软件得到关键点的坐标，进而得到最优的管线铺设方案和最少花费。
我们发现，最优方案中，车站应建在郊区，而在城、郊界限处应有一个管线的转折点，具体结果见正文。
问题三与问题二相比，只是A厂和B厂所用管线的费用不同了，所以我们类似问题二的分析，稍作修改就得到了最优方案。
我们发现，此时车站也应建在郊区，而在城、郊界限处也应有一个管线的转折点，具体结果见正文。
本文给出了大量图形，条分缕析，虽直观易懂，但推理严谨，深入浅出，结果准确。
模型可操作性强，推广应用起来也很方便。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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问题一，通过合理假设，排除了外界因素对输油管布置的影响，并结合图形分析建立了共用管道和非共用管道价格相同和不同情形的最优化模型，且具有一般性。
当遇到具体情况时直接将具体数值代入模型中，可采用LINGO编程得到最优解。
问题二，针对存在城郊之分这一复杂情况，对区域是否存在交叉进行分类讨论，并综合车站建立在郊区或城区的不同情况进行分析，结合甲、乙两级资质评定的各种标准，运用赋权求平均值的方法得到了拆迁和工程补偿等附加费的单价，再运用数形结合法，建立了三个一般化的非线性规划模型。
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
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如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：重庆教育学院参赛队员(打印并签名) ：1. 涂强2. 黄黎3. 聂凤云指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：杨鑫波日期： 2010 年 9 月13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘要本文从某油田计划在铁路线一侧建造炼油厂和在铁路线上增建一个车站开始，从节省建设费用和距离最短两个主要方面出发，分别通过对这两个方面的深入研究，进而制定出输油管布置的设计方案，最后再综合考虑这两个主要因素，进一步深入并细化，从而找出最佳方案，求得最优解。
在解决此类问题时，可以将实际问题具体化，首先将总区域建立成一个平面坐标，接着将炼油厂简化成坐标，如此，便可将复杂的生活问题化成数学建模问题。
在问题Ⅰ中，我们将焦点锁定在从两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形的角度，制定不同的设计方案。
我们从选取的数据和相关资料出发，利用物理光学性质，费尔马点建模，判别式法等相关性质与知识，并以两厂与车站的距离长短和两厂之间的距离长短以及是否共用管线，来分别制定六种不同的设计方案。
在问题Ⅱ中，我们从建立管线建设费用最省的条件出发，采用线性最优化思想，对成本在约束函数的条件下，求得最小值，由于本文还涉及到工程咨询公司的资质，于是便利用加权重的方法来综合考虑甲乙资质公司得到最优的附加费用值，这样就使得本文解题思路的合理性增强。
求解过程使用LINGO软件，从而算出共用管道与非共用管道的费用。
○1共用管道费用:Z y=+从而得出7.2Z=281.689。
○2非共用管道费用为：Z=Z=283.5239。
由此可见，共用管道相对省费用，总共费用为：281.6893。
在问题Ⅲ中，为进一步节省费用，且根据炼油厂生产能力的大小，来选用相适应的油管，于是我们在问题二的基础上，将问题二中的最佳方案合理利用在问题三中，以此得出了管线的最佳布置方案及相应的费用。
最佳布置方案需要共用管线，并且此时，管线费用为：250.9581。
最后，我们从本论文研究方向考虑，为在铁路旁建立车站和在铁路一侧建立炼油厂提出了其它设想，如：假设铁路是弯的。
【关键字】线性规划加权重物理光学性质费尔马点建模 lingo求解判别式法某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。
1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你的设计方案。
在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形。
2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。
两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。
图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a= 5，b = 8，c = 15，l = 20。
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。
铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。
估算结果如下表所示：3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。
这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B 厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。
请给出管线最佳布置方案及相应的费用。
二．问题分析问题1分析：针对炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，考虑到两炼油厂在铁路的同一侧，两炼油厂之间的距离的不同，我们所为炼油厂铺设的管道可能出现共用和不共用两种情况，共用管道和不共用管道的铺设费用相同或不同等诸多因素，我们设计了六种不同的方案。
问题2分析：题目增加了一些复杂情况，需要考虑在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用与在郊区铺设所需费用不同，且附加费用比郊区铺设管道高很多，应此我们应尽量减少管道在城区铺设的长度。
并且聘请三家工程咨询公司进行了估算，我们考虑运用权重的思想，对于在城区铺设管道的附加费用进行了合理的判断。
假设两炼油厂可能会共用管道的交点为D，运用lingo找出点D使之与A,B以及铁路三者的合路径最短。
问题3的分析：在实际问题之中，为了进一步节省费用，根据炼油厂的生产能力，选定铺设油管，由于共用管线费比不共用管线要高一些，因此我们就考虑到应该尽可能较少地使用共同管道的情况。
运用lingo得出最佳布置方案以及费用。
1).假设路面平整,无任何阻碍物，即铺设的管道尽可能的直。
2).假设把铁路看成一条直线，并以它为横坐标轴。
3).假设两个炼油厂和车站都是理性化的质点。
4).假设油田日产油量，可以满足A,B 两炼油厂的日需求量。
5).假设油田的地址，形状对于向两炼油厂输送石油没有影响。
6).假设不考虑其他外在因素会对输油管的铺设费用有大影响。
7).假设在铁路附近建设炼油厂，对炼油厂无影响。
四．符号说明问题1：()1,1y x A 炼油厂的坐标()22,y x B 炼油厂的坐标()33,y x 取离铁路最近的点C 的坐标A ' A 关于铁路对称的投影w 共用与不共用管道的铺设费用相同 1w 共用管道的费用 2w 不共用管道的费用 Z 铺设管道需要花费的费用 S 铺设管道的长度 问题2：D 增建车站的位置H 两炼油厂共用管道的的交点 E 城区与郊区的分界点五．模型的建立与求解问题1：经已知条件分析，得出了以下六种不同的设计方案：○1考虑到两炼油厂距离铁路较近时，不需要共用管道，运用物理光学知识，就把A 炼油厂的投影点A '与B 连接起来(两点之间直线最短)，交铁路于点C （点C 即为车站所在位置），此时就可以确定管道的长度最短。
如图1所示：图1 则A '的坐标为（x 1,-y 1）。
此时，铺设管道需花费的费用为： ()()2212212Z y y x x w ++-=在铁路增建的车站C,两炼油厂到车站的距离最短，即()()221221S y y x x ++-=○2两炼油厂的地址可能位于同一直线上，且这条直线垂直于铁路并交车站于点C ，A,B 不需要共用管道，B,C 之间根据共用管道与不共用管道的价格差异分为可能共用管道，或者不共用管道两种情况。
如图2所示：图2此时，1.在铺设管道中，共用管道线路与不共用管道线路费用不同时：□1当共用管道的价格比不共用管道价格的两倍还要高时，B,C 之间采用 同时铺设两根不共用管道，则铺设管道的费用： 111222)(Z y w y y w ⨯+-=□2当共用管道的价格比不共用管道价格的两倍还要低时，B,C 之间采用 同时铺设共用管道，则铺设管道的费用：()11122Z y w y y w ⨯+-=2.在铺设管道中，共用管道线路与不共用管道线路费用相同时：wy⨯=2Z○3.联想经典的数学问题，运用费尔马点建模，以A,B,C'作为三角形的三个顶点，找到费尔马点R，过点R做垂直铁路的直线，交于点C，即为∠ PRA＝∠QRB=30%，如图3所示:x图3设PA为x,BQ为y,PQ为L，则PB=3x，QR=3y，由此可得：3x+3y=L所以，1.在铺设管道中，共用管道线路与非共用管道线路费用不同时：□1当共用管道的价格比不共用管道价格的两倍还要高时，B,C之间采用同时铺设两根不共用管道，则铺设管道的费用：)(2)]([)3()]([)3( Z1221221222112112xywxyyxxwxyyxxw-+--+-+--+-=□2当共用管道的价格比不共用管道价格的两倍还要低时，B,C之间采用同时铺设共用管道，则铺设管道的费用：) ()]([)3()]([)3( Z1121221222112112xywxyyxxwxyyxxw-+--+-+--+-=2.在铺设管道中，共用管道线路与非共用管道线路费用相同时：) ()]([)3()]([)3( Z1212212211211xy wxyyxxwxyyxxw-+--+-+--+-=○4过点R作f∥x轴，则问题转化为在f上找点R，使RA+RB为最小。
作B关于f的对称点B′，如图4：x图4则： S （R ）=|AR|+|BR|+y ≧|AB ′|+y ，取这样的R ，使S （R ）=|AB ′|+y ，则:S(R)=22221)()(1y y y x x +-+++y设A （0，c ），B （a ，b ），求出R （x ，y ）B （a ，2y-b ） 由距离S=|AB ′|+y ≥|AR|+|RB|+y解得：R （632,632a cb ac b ++-+）根据R 点容易求出管道线路的距离。
1.在铺设管道中，共用管道线路与非共用管道线路费用不同时：□1当共用管道的价格比不共用管道价格的两倍还要高时，B,C 之间采用Z=y w y y y x x w⨯++-++2222212)()(12□2当共用管道的价格比不共用管道价格的两倍还要低时，B,C 之间采用 同时铺设共用管道，则铺设管道的费用：Z=yw y y y x x w⨯++-++122221)()(122.在铺设管道中，共用管道线路与非共用管道线路费用相同时：Z=y w y y y x x w ⨯++-++22221)()(1○5两炼油厂距离铁路一侧很近，距离几乎可以忽略不计；如图5所示 （1）两炼油厂间的距离也很近，距离也可忽略不计， （2）当两炼油厂处于同一直线上，且就建在铁路一侧图5此时，几乎不需考虑铺设输油管道线的费用问题。
○6两炼油厂与铁路有一定的距离，但两炼油厂之间的距离很近，甚至可忽略不计，即可看作一个重合的质点，如图6所示：图61.在铺设管道中，共用管道线路与非共用管道线路费用不同时：□1当共用管道的价格比不共用管道价格的两倍还要高时，B,C 之间采用 同时铺设两根不共用管道，则铺设管道的费用：12x 2w Z =□2当共用管道的价格比不共用管道价格的两倍还要低时，B,C 之间采用 同时铺设共用管道，则铺设管道的费用：11x w Z =2.在铺设管道中，共用管道线路与非共用管道线路费用相同时：1x w Z =问题2：题目已经给出了炼油厂具体的位置，我们只需考虑铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，现在聘请三家咨询公司进行了费用估算。
