一元二次方程的根与系数的关系(1)

23.1．一元二次方程根与系数的关系一（设计人:刘颖----2013.6）【课程目标】【教学过程】时间过程目标教师活动及方法学生活动及方法形成性评价板书5ˊ5ˊ15ˊ创设情境【目标1】掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．【目标2】根与系数的关系及其推导．一．情境导入新课一、引入：观察上面的表格，你能得到什么结论？（1）关于x的方程）为常数，04022,(≥-=++qpqpxx qp的两根x1，x2与系数p，q之间有什么关系？（2）关于x的方程)0(02≠=++acbxax的两根x1，x2与系数a，b，c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：2、应用范例例1：不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：13)1(2=--xx532)2(2=-+xx2231)3(=-xx362)4(2=+xx方程x1x2xx+21xx⋅2122=-xx432=-+xx652=+-xx例3：已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）例4：已知方程922=-+kxx的一个根是3-，求另一根及k的值.变式一：已知方程能力知识思维框架探究灵活运用1.掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应学科养成：1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系；2.灵活运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题；3.渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物10ˊ【目标3】正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．利用上面的结论。

即对于方程)0(02≠=++acbxax∵0≠a∴02=++acxabx∴abxx-=+21，acxx=⋅21（可以利用求根公式给出证明）1)5(2=-x12)6(2=+-xx例2：不解方程，检验下列方程的解是否正确？122)1(2=+-xx)12,12(21-=+=xx832)2(2=--xx)4735,473721(-=+=xx922=--kxx的两根互为相反数，求k；变式二：已知方程522=+-kxx的两根互为倒数，求k；5ˊ.本课小结：1.根与系数的关系：2.根与系数关系使用的前提是：（1）是一元二次方程；（2）判别式大于等于零.教学反思：。

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4.若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-3和-1，则抛物 线y=ax2+bx+c的顶点横坐标为 ( A ) A.-2 B.2 C.3 D.-1
5.在⊙O中弦AB和弦CD相交于点P，若PA=3,PB=4, CD=9，则以PC、PD长为根的一元二次方程为( B ) A.x2+9x+12=0 B.x2-9x+12=0 C.x2+7x+9=0 D.x2-7x+9=0 6.已知：实数a、b满足条件a2-7a+2=0，b2-7b+2=0， 且a≠b，则 b a 22 1
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1.(2004年· 黄冈)下列说法中不正确的是 A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2 B.方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5 C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18 D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/5 (A )
2.(2004 年 · 河北省 ) 若 x1,x2 是一元二次方程 2x2-3x+1=0 的两个根，则x12+x22 的值是 ( A ) A.5/4 B.9/4 C.11/4 D.7 3.(2004 年 · 沈阳市 )请写出一个二次项系数为 1，两实根 之和为3的一元二次方程： x2-3x-4=0 。
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4.(2004年· 桂林)已知方程x2+3x-1=0的两根为α、β， -11 那么 。

5.(2004年· 沈阳市)阅读下列解题过程： 2 已知：方程x +3x+1=0的两个根为α、β，求 的值。 解：∵△＝32-4×1×1＝5>0……（1）∴α≠β 由一元二次方程的根与系数的关系，得 α +β ＝-3， α β ＝1 ……（2） ∴ 3 3 ……（3）

一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
推 论 1
特别地：
2
若方程x px q 0的两根为x1 , x2， 则：x1 x2 p, x1 x2 q
解:∵ α、 β是方程x2+2x-5=0 的实数根 ∴ α+ β =-2 ∴ α2+ α β+2 α= α（ α+ β ）+2 α=0
4、已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k22=0的两根的平方和比两根之积的3倍 少10，求k的值.
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
3 基 一个根是___，m =____。 -3 （还有其他解法吗？） 2 础 练 2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则 习
一元二次方程根与系数的关系
方程ax bx c 0(a 0)的求根公式是
2
b b 4ac (b 2 4ac 0) x 2a
2
设方程ax bx c 0(a 0)的两根
2
为x1 , x2 , 试求出x1 x2 , x1 x2的值. 你能看出x1 x2 , x1 x2的值与方程 的系数有何关系？
说明：判别根的符号，需要把“根 的判别式”和“根与系数的关系” 结合起来进行确定，另外由于本 题中x1x2＜0，所以可判定方程的 根为一正一负；倘若 x1x2 ＞0， 仍需考虑 x1+x2的正负，方可 判别方程是两个正根还是两个 负根。
已知 α、 β是x2+2x-5=0方程 的两个实数根,求α2+ α β+2 α的值

一、介绍1.1 一元二次方程一元二次方程指的是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c分别为一元二次方程的系数，x为未知数。

1.2 二次方程的根解一元二次方程时，我们通常会求出方程的两个根，分别记作x1和x2。

根的求解可以通过求根公式或者配方法等方式进行。

1.3 二次系数为1时的情况在解一元二次方程时，当二次项系数a为1时，方程的解法相对较为简单，同时也可以更清晰地观察系数与根的关系。

二、解析2.1 一元二次方程的一般形式一般情况下，一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0。

其中a、b、c分别为一元二次方程的系数，具体值可以是任意实数。

2.2 二次系数为1时的方程形式当二次项系数a为1时，一元二次方程的形式为x^2+bx+c=0。

这种情况下方程的解法较为简单，也更容易观察系数与根之间的关系。

2.3 二次系数与根的关系当一元二次方程的二次项系数a为1时，我们可以观察到以下关系：a）二次项系数a与根的乘积设方程的两个根分别为x1和x2，则有x1*x2=1*c=c可见，二次项系数a与根的乘积等于常数项c。

b）二次项系数a与根的和设方程的两个根分别为x1和x2，则有x1+x2=-b可见，二次项系数a与根的和等于一次项系数的相反数-b。

三、举例说明3.1 举例一假设有一元二次方程x^2+3x+2=0，其中二次项系数a=1，一次项系数b=3，常数项c=2。

则根的乘积为x1*x2=1*2=2，根的和为x1+x2=-3。

3.2 举例二再假设有一元二次方程x^2-5x+6=0，其中二次项系数a=1，一次项系数b=-5，常数项c=6。

则根的乘积为x1*x2=1*6=6，根的和为x1+x2=5。

3.3 举例分析通过以上两个具体的例子，我们可以清晰地看到二次项系数a与根的乘积等于常数项c，二次项系数a与根的和等于一次项系数的相反数。

四、结论通过以上分析和举例，我们可以得出结论：当一元二次方程的二次项系数a为1时，二次项系数与根之间存在着特定的数学关系。