含绝对值的一元一次方程的解法

1.4与绝对值有关的十种常见题型与解法（新教材，重难点分层培优提升）类型一、绝对值的有关概念1．（23-24·吉林延边·阶段练习）在下列数中，绝对值最大的数是（）A．0B．1-C．2-D．1【答案】C【分析】本题考查的是绝对值与有理数的大小比较，熟练掌握上述知识点是解题的关键．先计算出各选项的绝对值，再进行大小比较即可．=-=-==，【详解】解：∵|0|0,|1|1,|2|2,|1|1而210>>，∴->-=>，|2||1||1|0故选：C．-，那么a=．2．（23-24七年级上·甘肃定西·阶段练习）如果a的相反数是0.74【答案】0.74【分析】本题主要考查了绝对值和相反数的知识，根据“只有符号不相同的两个数互为相反数；互为相反数3．（23-24七年级上·全国·课后作业）化简下列各数：(1)34--；(2)()0.5-+-⎡⎤⎣⎦；(3)6217⎡⎤⎛⎫-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(4)()2-+．4．（2024·辽宁抚顺·三模）下列各数在数轴上表示的点距离原点最远的是（）A ．2-B ．1-C ．3D ．05．（23-24七年级上·四川宜宾·期中）若有理数m 在数轴上的位置如图所示，则化简3m m ++结果是．6．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）已知|2||1|6a a ++-=，则=a ；7．（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知3535x x -=-，则x 的取值范围是．8．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果0a b c ++=且c b a >>．则下列说法中可能成立的是（）A ．a 、b 为正数，c 为负数B ．a 、c 为正数，b 为负数C ．b 、c 为正数，a 为负数D ．a 、b 、c 为正数9．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）已知a 为有理数，则24a -+的最小值为．10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）比较大小：76-65--．11．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小：①1-与0.01-；②2--与0；③0.3-与13-；12．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）已知下列各数，按要求完成各题：4.5+，142--，0， 2.5-，6，5-，()3+-．(1)负数集合：{．．．．．．}；(2)用“<”把它们连接起来是；(3)画出数轴，并把已知各数表示在数轴上．大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小进行求解即可；13．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如果21(2)0a b ++-=，则a b +的值为（）A ．1B ．3C ．1-D ．3-14．（23-24·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知|3||5|0x y -++=，求||x y +的值．15．（21-22七年级上·陕西·期中）已知（a ＋2）2＋|b ﹣3|＝0，c 是最大的负整数，求a 3＋a 2bc ﹣12a 的值．二、填空题16．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若12x <<，求代数式2121x x xx x x---+=．17．（23-24·上海杨浦·期末）12345x x x x x -+-+-+-+-的最小值为．18．（2024七年级下·北京·专题练习）已知112x -<<，化简|||2|3x x ---=．三、解答题19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）在数轴上，a ，b ，c 对应的数如图所示，b c =．(1)确定符号：a ______0，b ______0，c _____0，b c +_____0，a c -______0；(2)化简：a c b +-；(3)化简：a a c --．20．（23-24·北京海淀·期中）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示．(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：a b +______0，c a -______0，2b +______0．(2)化简：22a b c a b ++--+．【答案】(1)>，<，>(2)322a c --21．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论的思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了．比如，求解方程：32x -=．解：当30x -≥时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =，所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法，求解方程：3270x --=，得到的解为．22．（23-24七年级下·甘肃天水·期中）阅读下列材料：我们知道x 表示的是在数轴上数x 对应的点与原点的距离，即0x x =-，也就是说，x 对表示在数轴上数x 与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为12x x -表示在数轴上数1x ，2x 对应点之间的距离．例1：解方程6x =．解：∵06x x =-=，∴在数轴上与原点距离为6的点对应的数为6±，即该方程的解为6x =±．例2：解不等式12x ->．解：如图，首先在数轴上找出12x -=的解，即到1的距离为2的点对应的数为1-，3，则12x ->的解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为1x <-或3x >．参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程53x -=的解为______；(2)解不等式2219x ++<；(3)若123x x -++=，则x 的取值范围是_______；故答案为：8x =或2x =．（2）2219x ++<（3）123x x -++=，表示到1的点与到2-的点距离和为3，故答案为：21x -£<．23．（24-25七年级上·全国·假期作业）数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离||AB a b =-．利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示x 和3-的两点之间的距离表示为．(2)若34x +=，则x =．(3)32x x --+最大值为，最小值为．24．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）我们知道，a 可以理解为0a -，它表示：数轴上表示数a 的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A ，B ，分别用数a ，b 表示，那么A ，B 两点之间的距离为AB a b =-，反过来，式子a b -的几何意义是：数轴上表示数a 的点和表示数b 的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示数8的点和表示数3的点之间的距离是_________，数轴上表示数1-的点和表示数3-的点之间的距离是_________．(2)数轴上点A 用数a 表示，则①若35a -=，那么a 的值是_________．②36a a -++有最小值，最小值是_________；③求123202*********a a a a a a ++++++++++++ 的最小值．25．（23-24·黑龙江哈尔滨·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：8+，6-，3+，4-，8+，4-，5+，3-．(1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地多少千米？(2)若出租车的收费标准为：起步价10元（不超过5千米），超过5千米，超过部分每千米2元，不超过5千米则收取起步价，求李师傅在这期间一共收入多少元？26．（23-24·黑龙江哈尔滨·阶段练习）刚刚闭幕的第33届“哈洽会”，于2024年5月16日至21日在哈尔滨市举办，中外宾客齐聚冰城．为确保全市道路交通安全有序，哈尔滨市公安交通管理局在开幕式当日对会展中心周边区域，以及部分道路进行交通管制和诱导分流．萧萧作为哈市青年当日也贡献了自己的一份力量．如图是某一条东西方向直线上的公交线路的部分路段，西起A 站，东至L 站，途中共设12个上下车站点，“哈洽会”开幕式当日，萧萧参加该线路上的志愿者服务活动，从C站出发，最后在某站结束服务活动，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：5,3,4,5,8,2,1,3,4,1+-+-+-+--+．(1)请通过计算说明结束服务的“某站”是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离约为2.5千米，求这次萧萧志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程约是多少千米？(3)已知油箱中要保持不低于10%的油量才能保证汽车安全行驶，若萧萧开始志愿服务活动时该汽车油量占油箱总量的1170，每行驶1千米耗油0.2升，活动结束时油量恰好能保证汽车安全行驶，则该汽车油箱能存储油多少升？一、单选题1．（22-23七年级上·云南保山·期末）有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，在下列结论中：①0a b ->；②0ab <；③a b a b +=--；④()0b a c ->，正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．0ab >B ．4b a ->C ．2a b a b +=D ．()()230a b +-<3．（23-24七年级上·山东德州·期末）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则b a b c a c --+--的化简结果为（）A ．2c-B ．2a C ．2b D ．22b c+4．（18-19七年级上·北京海淀·期末）如图，数轴上点A ，M ，B 分别表示数a a bb +，，，若AM BM >，则下列运算结果一定是正数的是（）A ．a b +B ．a b -C ．abD ．a b -5．（23-24七年级上·江西抚州·期末）适合|5||3|8a a ++-=的整数a 的值有（）A ．5个B ．7个C ．8个D ．9个二、填空题6．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知a 、b 为整数，202320a b +--=，且b a <，则a 的最小值为．7．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若0a b c ++=，且a b c >>，以下结论：①0a >，0c >；8．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）已知x a b ，，为互不相等的三个有理数，且a b >，若式子||||x a x b -+-的最小值为2，则2023a b +-的值为．三、解答题9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）出租车司机小王某天下午营运全是东西走向的玄武大道进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午的行驶记录如下：(单位：千米)15+，3-，13+，11-，10+，12-，4+，15-，16+，19-(1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距下午出车地点的距离是多少千米？(2)若汽车耗油量为a 升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？(3)出租车油箱内原有5升油，请问：当0.05a =时，小王途中是否需要加油？若需要加油，至少需要加多少升油？若不需要加油，说明理由．10．（23-24七年级下·四川资阳·期末）（1）【阅读理解】“a ”的几何意义是：数a 在数轴上对应的点到原点的距离，所以“2a ≥”可理解为：数a 在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：“2a <”可理解为：；我们定义：形如“x m ≤，≥x m ，x m <，x m >”（m 为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．例如：315x x -≤+我们将x 作为一个整体，整理得：315x x -≤+3x ≤再根据绝对值的几何意义：表示数x 在数轴上的对应点到原点的距离不大于3，可得：解集为33x -≤≤仿照上述方法，解下列绝对值不等式：①254x x -<-②1312313x x -+<-．11．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离等于||m n -．例如数轴上表示数2和5的两点距离为|25|3-=；数轴上表示数3和1-的两点距离为|3(1)|4--=；由此可知|63|+的意义可理解为数轴上表示数6和3-这两点的距离；|4|x +的意义可理解为数轴上表示数x 和4-这两点的距离；(1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A 和B ，要在流水线上设一个材料供应点P 往两个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小？(2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A B C ，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往三个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小？(3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A B C D ，，，，要在流水线上设一个材料供应点P 往四个加工点输送材料，材料供应点P 应设在_________时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小？(4)①|3||4|x x ++-的最小值是_________，此时x 的范围是_________；②|6||3||2|x x x ++++-的最小值是_________，此时x 的值为_________；③|7||4||2||5|x x x x ++++-+-的最小值是_________，此时x 的范围是_________．（3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案．【详解】（1）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PA PA AB PA AB +=++=+，当点P 在A 、B 之间时，PA PB AB +=，当点P 点点B 的右边时，2PA PB AB PB PB AB PB +=++=+，∴当点P 在A 、B 之间时，才能使P 到A 的距离与P 到B 的距离之和最小；（2）解：当点P 在点A 左边时，2PA PB PC PA PA AC PB PA PB AC ++=+++=++，当点P 在A 、B 之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在B 点时，PA PB PC AC ++=，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PB AC ++=+，当点P 在点C 的右边时，2PA PB PC PC PB AC ++=++，∴当点P 在B 点时，才能使P 到A B C ，，三点的距离之和最小（3）解：当点P 在点A 左边时，42PA PB PC PD PA AB CB AD +++=+++，当点P 在A 、B 之间时，2PA PB PC PD PB CB AD +++=++，当点P 在B C 、之间时，PA PB PC PD BC AD +++=+，当点P 在C D 、之间时，2PA PB PC PD BC AD PC +++=++，当点P 在点D 的右边时，24PA PB PC PD BC AD DC PD +++=+++，∴当点P 在B C 、之间时，才能使P 到A B C D ，，，四点的距离之和最小；（4）解：①由（1）可得：当34x -≤≤时，有最小值，最小值为()437--=，∴|3||4|x x ++-的最小值7，此时x 的范围是34x -≤≤；②由（2）可得：这是在求点x 到6-，3-，2三点的最小距离，∴当3x =-时，有最小值，最小值为|6||3||2||36||33||32|8x x x ++++-=-++-++--=；③由（3）可得：这是在求点x 到7-，4-，2，5四点的最小距离，∴当42x -≤≤时，由最小值，最小值为|7||4||2||5|742518x x x x x x x x ++++-+-=++++-+-=．12．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）有数a b c 、、在数轴上的大致位置如图所示：(1)a c +__________0，b c -__________0，a b -__________0（用“＞”、“<”、“=”）；(2)化简||||||a c b c a b ++---．13．（23-24七年级上·江西上饶·期中）如图所示，数轴上从左到右的三个点A ，B ，C 所对应的数分别为a ，b ，c ．其中点A 、点B 两点间的距离AB 的长是2021，点B 、点C 两点间的距离BC 的长是1000．(1)若以点C 为原点，直接写出点A ，B 所对应的数；(2)若原点O 在A ，B 两点之间，求a b b c ++-的值；(3)若O 是原点，且18OB =，求a b c +-的值．【答案】(1)点A 所对应的数a 为3021-，点B 所对应的数b 为1000-(2)3021(3)a b c +-的值为3003-或3039-【分析】本题考查了数轴与绝对值的意义，理解绝对值的意义是解答本题的关键．（1）根据题意先求解AC 的长，结合数轴的定义可求解点A ，B 所对应的数；（2）根据数轴上点的特征可得a<0，0b >，0c >，0b c -<，结合绝对值的性质化简可求解；，14．（22-23七年级上·北京·期中）已知a ，b 在数轴上的位置如图所示：(1)用“>”、“<”或“=”填空：____0a ，____0a b +，____0b a -；(2)化简：||||2||a b a a b +--+；(3)若21a b =-=，，x 为数轴上任意一点所对应的数，则代数式||||x a x b -+-的最小值是______；此时x 的取值范围是______．。

含有绝对值符号的一元一次方程
绝对值符号是数学中常见的符号，它可以表达一个数的大小，也就是一个数的绝对值。

绝对值符号有着重要的应用，特别是在解决一元一次方程的时候。

一元一次方程是最基本的数学方程，它以一个未知数x来表示，如果一个数学公式中含有一个x，而且它们的系数以及常数项都只有一个，那么它就是一个一元一次方程。

一元一次方程的求解可以分为两类，一类是没有绝对值符号的一元一次方程，另一类是含有绝对值符号的一元一次方程。

其中，含有绝对值符号的一元一次方程比较特殊，它的解法与普通的一元一次方程有一定的不同。

首先，我们来看看如何求解含有绝对值符号的一元一次方程。

比如，有这样一个一元一次方程 |x-2|=4，首先，我们将绝对值符号去掉，得到 x-2=4 x-2=-4 。

然后，我们可以得到 x=6 x=-2两个解。

也就是说，绝对值符号在一元一次方程中的作用就是将一个方程变成两个相互独立的方程，解这两个方程，就可以得到这个一元一次方程的解。

绝对值符号也可以用在其他类型的方程中，比如说一元二次方程。

一元二次方程的求解与一元一次方程的求解有很大的不同，但是它们的原理都是相同的，即将绝对值符号所在的方程变成若干相互独立的方程，分别对每一个方程做求解，最后汇总求得的答案，便可以得到原问题的解。

绝对值符号在数学中的应用十分广泛，它可以用来表示一个数的
绝对值，还可以用在一些比较复杂的方程中，比如一元一次方程和一元二次方程等，以及一些特殊的函数中，比如双曲线等。

绝对值并不是某一种特定的算法，而是一种概念，它使得数学问题变得更加清晰容易理解，为数学中各种不同类型的问题提供了方便。

一元一次方程知识点及经典例题一、知识要点梳理知识点一：方程和方程的解1.方程：含有未知数的等式叫方程。

注意：a.必须是等式b.必须含有未知数。

易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。

考法：判断是不是方程：例：下列式子：(1).8-7=1+0(2).1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。

要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：1）只含有一个未知数；2）未知数的次数是1次；3）整式方程。

2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等。

知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果a=b，那么a+c=b+c；(c为一个数或一个式子)。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（且c≠0），那么a/c=b/c。

要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：（其中m≠0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如方程：－=1.6，将其化为：－=1.6.方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：解一元一次方程的一般步骤：1.变形步骤具体方法变形根据注意事项1．不能漏乘不含分母的项；去分母公倍数2．掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号2．合并同类项1．分配律应满足分配到每一项去先去小括号，再乘法分配律、去括号2．注意符号，特别是去掉括号3．移项要变号；一般把含有未知数的项移动到方程左边，其余项移到右边4．合并同类项时，把同类项的同系数相加，字母与字母的指数不变5．未知数的系数a，成“ax=b”的形式6．方程两边同除以未知数的系数a，分子、分母不能颠倒。

三、解答题1、（2008•乐山）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|=|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：例1：解方程|x|=2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x=±2；例2：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|=2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；例3：解方程|x﹣1|+|x+2|=5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x=2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x=﹣3．故原方程的解是x=2或x=﹣3．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|=4的解为1或﹣7；（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．考点：含绝对值符号的一元一次方程；解一元一次不等式。

专题：阅读型。

分析：仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．解答：解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|=4表示求在数轴上与﹣3的距离为4的点对应的x的值为1或﹣7．（3分）（2）∵3和﹣4的距离为7，因此，满足不等式的解对应的点3与﹣4的两侧．当x在3的右边时，如图，易知x≥4．（5分）当x在﹣4的左边时，如图，易知x≤﹣5．（7分）∴原不等式的解为x≥4或x≤﹣5（8分）（3）原问题转化为：a大于或等于|x﹣3|﹣|x+4|最大值．（9分）当x≥﹣1时，|x﹣3|﹣|x+4|应该恒等于7，当﹣4＜x＜﹣1，|x﹣3|﹣|x+4|=﹣2x﹣1随x的增大而减小，当x≤﹣4时，|x﹣3|﹣|x+4|=7，即|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为7．（11分）故a≥7．（12分）点评：本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．2、解方程：．考点：含绝对值符号的一元一次方程。

含绝对值的一元一次方程解法引言一元一次方程是数学中常见的方程类型。

然而，当方程中含有绝对值时，解题变得更加复杂。

本文将介绍含绝对值的一元一次方程的解法，并提供简单的策略来解决这类问题。

解法步骤解含绝对值的一元一次方程可以按照以下步骤进行：1. 确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。

绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。

确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。

绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。

2. 列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。

对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。

列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。

对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。

3. 解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。

这些解将是含绝对值的方程的解。

解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。

这些解将是含绝对值的方程的解。

4. 检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。

只有满足条件的解才是方程的真正解。

检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。

只有满足条件的解才是方程的真正解。

简单示例让我们通过一个简单的示例来演示含绝对值的一元一次方程的解法。

题目：解方程 $|2x - 3| = 5$。

解方程 $|2x - 3| = 5$。

解法：1. 绝对值的取值范围为非负数，所以我们可以将方程改写为两个等式：- $2x - 3 = 5$，对应于绝对值内的表达式为正数的情况。

- $2x - 3 = -5$，对应于绝对值内的表达式为负数的情况。

2. 解第一个等式：$2x - 3 = 5$。

解得 $x = 4$。

含绝对值的一元一次方程的解法之吉白夕凡创作1．含绝对值的一次方程的解法（1）形如(0)ax b c a +=≠型的绝对值方程的解法：①当0c <时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；②当0c =时，原方程变成0ax b +=，即0ax b +=，解得b x a=-； ③当0c >时，原方程变成ax b c +=或ax b c +=-，解得c b x a -=或c b x a--=． 解方程：⑴235x +=⑵21302x --=⑶200520052006x x -+-=⑷1121123x x +--+-= （2）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知0cx d +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；③分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+；④将求得的解代入0cx d +≥检验，舍去分歧条件的解． 解方程⑴4329x x +=+⑵525x x -+=-（3）形如(0)ax b cx d ac +=+≠型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cx d +=+或()ax b cx d +=-+；②分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+． 解方程⑴23a a =-⑵2131x x -=+（4）形如()x a x b c a b -+-=<型的绝对值方程的解法：①根据绝对值的几何意义可知x a x b a b -+-≥-；②当c a b <-时，此时方程无解； 当c a b =-时，此时方程的解为a x b ≤≤； 当c a b >-时，分两种情况：①当x a <时，原方程的解为2a b c x +-=； ②当x b >时，原方程的解为2a b cx ++=． 解方程⑴134x x -+-=⑵154x x -+-=⑶216x x -++=（5）形如(0)ax b cx d ex f ac +±+=+≠型的绝对值方程的解法： ①找绝对值零点：令0ax b +=，得1x x =，令0cx d +=得2x x =；②零点分段讨论：无妨设12x x <，将数轴分为三个区段，即①1x x <；②12x x x ≤<；③2x x ≥；③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解． 解方程⑴2123x x +--=⑵2134x x --+=⑶23143x x x +--=-（6）形如(0)ax b cx d ex f a +++=+≠型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：依照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解．解法二：由外而内去绝对值符号：①根据绝对值的非负性可知0ex f +≥，求出x 的取值范围；②根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程()ax b ex f cx d +=+-+和 ()()ax b ex f cx d +=-+-+；③解②中的两个绝对值方程．【题01】解方程93352x x x ++-=+35162x x ---=3548x -+= 【题02】解方程：2112x --=2121x x -+=+314x x -+=11110x ----= 【题03】当01x ≤≤时，求方程1110x ---=的解。

七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1．形如∣ax＋b∣＝c(c≥0)的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax＋b＝c或ax＋b＝一C2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例1 方程∣x一5∣＋2x＝一5的解是_______．(四川省竞赛题) 解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解．例2 适当∣2a＋7∣＋∣2a－1∣＝８的整数a的值的个数有( )．(A)5 (B)4 (C)3 (D)2解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解．例3 已知关于x的方程|ｘ|＝ａｘ＋１同时有一个正根和一个负根，求整数a的值．(第12届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路去掉绝对值的符号，把x用a的代数式表示，首先确定a的取值范围．例4解下列方程：．(1)|x－|3x＋1∣∣＝4；(天津市竞赛题) (2)|x＋3|－|x－1|＝x＋1(北京市“迎春杯”竞赛题) (3|x－1|＋|x－5|＝4(“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段．例5讨论关于x的方程|x－2|＋|x－5|＝a的解的情况．(南京市竞赛题)解题思路方程解的情况取决于a的情况，口与方程中常数2，5有一定的依存关系，这种关系决定了方程解的情况．因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具．A 级1．若x=9是方程|31x －2|=a 的解，则a=_______；又若当a=l 时，则方程|31x －2|=a 的解是_______．2．方程|31y ＋2|－|2y －53|的解是_______，方程3(|x|一1)=5x ＋1的解是_______． 3．已知|3990x ＋1995|=1995，那么x=_______(北京市“迎春杯”竞赛题) 4．已知|x|=x ＋2，那么19x 99+3x ＋27的值为_______．(“希望杯”邀请赛试题)5．方程|||x|－2|－1|=2的解是_______．6．满足(a －b)2＋(b －a)|a －b|=ab(ab ≠0)的有理数a 和b ，一定不满足的关系是( )(A)ab<O (B)ab>O (C)a+b>O (D)a+b<O7．有理数a 、b 满足|a ＋b|<|a －b|，则( )．(A)a ＋b 6≥O (B)a ＋b<0 (C)ab<O (D)ab≥O8．若关于x 的方程|2x －3|＋m=0无解，|3x －4|＋n=0只有一个解，|4x －5|＋k=0有两个解，则m 、n 、k 的大小关系是( )．(A)m>n>k (B)n>k>m (C)k>m>n (D)m>k>n9．方程|x －5|＋x 一5=O 的解的个数为( )．(A)不确定 (B)无数个 (C)2个 (D)3个(“祖冲之杯”邀请赛试题)lO ．若关于x 的方程||x －2|－1|=a 有三个整数解，则a 的值是( )．(A)0 (B)2 (C)1 (D)3． (全国初中数学联赛试题)11．解下列方程：(1)4－2|21x ＋1|=3； (2)|21x －1|=x －3； (3)|x －|2x ＋11||=|x ＋1|；(五城市联赛题) (4) |2x －1|＋|x －2|=|x ＋1|(全国通讯赛试题)12．求关于x 的方程||x －2|－1|－a=0(0<口<1)的所有解的和． ．(陕西省竞赛题)B 级1．关于x 的方程|a|x=|a ＋1|－x 的解是x=0，则a 的值是_______；关于x 的方程|a|x=|a＋1|－x 的解是x=l ，则有理数a 的取值范围是_______．2．若O<x<10，则满足条件|x －3|的整数a 的值共有_______个，它们的和是_______．(第十届“希望杯”邀请赛试题)3．若a>0，b<0，则使|x －a|＋|x －b|=a －b 成立的x 的取值范围是_______．(武汉市选拔赛试题)4．已知|a|＋a=0且a ≠一l ，那么11+-a a =_______．5．若有理数x 满足方程|1－x|=1＋|x|，那么化简|x －1|的结果是( )．(A)1 (B)x (C)x 一1 (D)1一x6．适合关系式|3x －4|＋|3x ＋2|=6的整数x 的值有( )个．(A)0 (B)l (C)2 (D)大于2的自然数7．当a>0，且|x －2|＋|x －5|<以时，则以下结论正确的是( )．(A)0.001<a<3 (B)O<a<0.01 (C)0<a<3 (D)a>38．已知方程|x|=ax+l 有一个负根，而没有正根，那么a 的取值范围是( )．(全国初中数学联赛试题)(A)a=1 (B)a>－1 (C)a ≥1 (D)a<19．设a 、b 为有理解，且|a|>O ，方程||x －a|－b|=3有三个不相等的解，求b 的值．(“华罗庚金杯”赛邀请赛试题)10．当a 满足什么条件时，关于x 的方程|x －2|－|x －5|=a 有一解?有无数多解?无解?(江苏省竞赛题)。

巧解含绝对值的一元一次方程作者：黄晓晔来源：《初中生世界·七年级》2019年第11期解含绝对值的方程，一个重要的基本思路就是：将含有绝对值的方程转化为不含绝对值的方程。

一、几何解法思路：在数轴上，到一个点的距离等于一个常数的点有两个，分别在这个点的左右两侧，可利用数轴直接观察得到方程的解。

我们知道[x]的几何意义表示数轴上的数x对应的点与原点的距离，即[x]=[x-0]。

这个结论可以推广为[x1-x2]表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离。

例1 已知[x]=3，求x的值。

【解析】数轴上与原点的距离为3的点对应的数分别为-3或3，即x=-3或x=3。

例2 已知[x+1]=2，求x的值。

【解析】数轴上与数-1对应的点的距离为2的点对应的数分别为-3和1，即x=-3或x=1。

例3 解方程[x-1]+[x+2]=5。

【解析】由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数-2对应的点的距离之和为5的点对应的数，即x的值。

在数轴上，数1和-2对应的点的距离为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或-2的左边。

若x对应的点在1的右边，如下图，可以看出x=2;同理，若x对应的点在-2的左邊，可得x=-3。

故原方程的解是x=2或x=-3。

二、代数解法思路：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，把含有绝对值的一元一次方程转化成两个不含有绝对值的一元一次方程，再求解。

例4 解方程[2x-1]=5。

【解析】我们只要把2x-1看成一个整体，根据绝对值的意义进一步解决问题即可。

解：根据绝对值的意义，得2x-1=5或2x-1=-5。

解这两个一元一次方程，得x=3或x=-2。

同学们可以自己检验一下。

（1）当x=3时，原方程的左边=[2x-1]=[2×3-1]=5，原方程的右边=5。

因为左边=右边，所以x=3是原方程的解。

（2）当x=-2时，原方程的左边=[2x-1]=[2×-2-1]=5，原方程的右边=5。

带有绝对值一元一次方程带有绝对值一元一次方程是数学中一类重要的问题，它是由一元一次方程与绝对值结合而成的，因此它有着独特的特征与解题思路。

本文将阐释带有绝对值一元一次方程的概念、形式及解题方法，以期帮助读者更深入地理解它。

首先，什么是带有绝对值一元一次方程？它是由一元一次方程与绝对值运算符表达式结合而成的。

它的一般形式为：|ax + b|= c，其中a、b和c是实数，其中c≠0。

解决带有绝对值一元一次方程的方法主要有两种：一种是将原方程移项化简法，将等式两边的绝对值表达式分解为两部分来解决；另一种是直接解法，它是利用绝对值表达式的定义来解决的。

用移项化简法解决带有绝对值一元一次方程需要将绝对值表达式分解成两部分，分别令两部分等于c并求根，假设ax+b=0，则可以得出下面两个方程：ax+b = cax+b = -c这两个方程的解分别是x1= (c-b)/a x2=(-c-b)/a。

另一种解法是直接解法，其实质是利用绝对值的定义例如|x|=c，表示x是c的正数或者负数，由此可以得出两个方程：x=c 以及 x=-c，解即是x1=c和x2=-c。

与一元一次方程相比，解决带有绝对值一元一次方程有些特殊之处，因为它同时包括了绝对值表达式，因此它有时会有两个解，即x1和x2，或者一个解，即x1=x2。

带有绝对值一元一次方程是数学中一类重要的问题，它是由一元一次方程与绝对值结合而成的，本文通过介绍它的概念、形式及解题方法，以期帮助读者更深入地理解它。

解带有绝对值一元一次方程的两种方法各有特点：一种是将原方程移项化简法，将等式两边的绝对值表达式分解为两部分来解决；另一种是直接解法，它是利用绝对值表达式的定义来解决的。

它们都有一定的优势与不足，但总是可以从中得到一个正确的解。

在解题过程中，正确理解绝对值的定义，并合理安排解题步骤，有助于我们更高效地解决此类问题。