22.1平行四边形的性质(一)

第二十二章四边形22.1 平行四边形的性质第1课时平行四边形的性质定理11．理解平行四边形的概念；(重点)2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点)3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)一、情境导入如图，平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？二、合作探究探究点一：平行四边形的定义如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．探究点二：平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求边长如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．解析：∵四边形ADEF 为平行四边形，∴DE ＝AF ＝2，AD ＝EF ，AD ∥EF ，∴∠ACB ＝∠FEB .∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠B ，∴∠FEB ＝∠B ，∴EF ＝BF .∴AD ＝BF ，∵AB ＝5，∴BF ＝5＋2＝7，∴AD ＝7.方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．【类型二】 利用平行四边形的性质求角如图，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB 于E ，若∠A ＝125°，则∠BCE 的度数为( )A ．35°B ．55°C ．25°D ．30°解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°.∵∠A ＝125°，∴∠B ＝55°.∵CE ⊥AB 于E ，∴∠BEC ＝90°，∴∠BCE ＝90°－55°＝35°.故选A.方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．【类型三】 利用平行四边形的性质证明有关结论如图，点G 、E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP ，EP .求证：FP ＝EP .解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC ＝∠GCB ，根据等腰三角形性质求出∠DGC ＝∠DCG ，推出∠DCG ＝∠GCB ，根据“等角的补角相等”求出∠DCP ＝∠FCP ，根据“SAS”证出△PCF ≌△PCE 即可得出结论．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DGC ＝∠GCB .∵DG ＝DC ，∴∠DGC ＝∠DCG ，∴∠DCG ＝∠GCB .∵∠DCG ＋∠ECP ＝180°，∠GCB ＋∠FCP ＝180°，∴∠ECP ＝∠FCP .在△PCF 和△PCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CF ＝CE ，∠FCP ＝∠ECP ，CP ＝CP ，∴△PCF ≌△PCE (SAS)，∴PF ＝PE .方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．【类型四】 判断直线的位置关系如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ，M 为AB 的中点，连接DM 、MC ，试问直线DM 和MC 有何位置关系？请证明．解析：由AB ＝2AD ，M 是AB 的中点的位置关系，可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC ＋∠BCD ＝180°，进而可得出DM 与MC 的位置关系．解：DM 与MC 互相垂直．证明如下：∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM .又∵AB ＝2AD ，∴AM ＝AD ，∴∠ADM ＝∠AMD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠AMD ＝∠MDC ，∴∠ADM＝∠MDC ，则∠MDC ＝12∠ADC ，同理∠MCD ＝12∠BCD .∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠DCB ＝180°，∴∠MDC ＋∠MCD ＝12∠BCD ＋12∠ADC ＝90°.∵∠MDC ＋∠MCD ＋∠DMC ＝180°，∴∠DMC ＝90°，∴DM 与MC 互相垂直．方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．探究点三：两平行线间的距离如图，已知l1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝12GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴△EGO 的面积等于△FHO 的面积．方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．三、板书设计1．平行四边形的定义2．平行四边形的边、角特征3．两平行线间的距离学生通过观看多媒体课件的演示和动手操作的过程，得出并掌握平行四边形的性质，效果比较好．例题能够引导学生用不同的方法去解决问题并加以变式练习，使教师能根据学生的掌握情况及时解决学生在练习的过程中发现问题，并通过投影指出错误，规范说理过程，极大提高课堂效率．。

平行四边形的性质与定理平行四边形是指具有两组对边平行的四边形。

在数学中，平行四边形具有一些特殊的性质与定理，下面将逐一介绍。

1. 平行四边形定义平行四边形是一种特殊的四边形，其两组对边分别平行。

如果将平行四边形的对边延长，它们将永不相交。

2. 平行四边形的性质2.1 对边性质平行四边形的对边长度相等。

即，对边AB与CD长度相等，对边AD与BC长度相等。

2.2 对角线性质平行四边形的对角线互相平分。

即，对角线AC和BD相交于O点，且AO = OC，BO = OD。

2.3 到任意点的距离性质平行四边形上的任意一点到相邻两边的距离之差相等。

即，从点P到AB的距离减去从点P到CD的距离等于从点P到BC的距离减去从点P到AD的距离。

2.4 内角和性质平行四边形的内角和为360°。

即，∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°。

3. 平行四边形的定理3.1 对边定理如果一个四边形的对边分别平行且长度相等，那么这个四边形是平行四边形。

对边定理可以用于判断一个四边形是否为平行四边形。

3.2 邻补角定理在平行四边形中，相邻的内角互补，即相邻的内角之和为180°。

例如，∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°，以此类推。

3.3 余补角定理在平行四边形中，对角互补，即对角之和为180°。

例如，∠A +∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。

3.4 对顶角定理在平行四边形中，对顶角相等。

即，∠A = ∠C，∠B = ∠D。

4. 平行四边形的应用平行四边形的性质与定理在几何应用中有广泛的应用。

4.1 建筑设计平行四边形的性质可用于建筑设计中的墙体、天花板、地板等结构的布置。

设计师可以利用平行四边形的特性来构建更美观、稳定的建筑。

4.2 求解几何问题在解题过程中，利用平行四边形的性质可以简化许多几何问题。

例如，通过对边性质可以判断两条线段是否平行，通过对角线性质可以判断四边形是否为平行四边形。

平行四边形性质知识点平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。

本文将详细介绍平行四边形的性质知识点。

1. 平行四边形的定义平行四边形是具有两对对边平行的四边形。

对于一个平行四边形ABCD来说，AB || CD，AD || BC。

2. 平行四边形的性质（1）对边相等：平行四边形的对边相等，即AB = CD，AD = BC。

（2）同位角相等：平行四边形的同位角相等，即∠A = ∠C，∠B= ∠D。

（3）对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即AC和BD互为平分线。

（4）内角之和：平行四边形的内角之和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180°。

（5）对角线比例：在平行四边形中，对角线所分割的小平行四边形面积之比等于对角线所分割的平行四边形面积之比。

3. 平行四边形的判定方法判定一个四边形是否为平行四边形有多种方法：（1）对边判定法：若四边形的对边分别平行，则四边形为平行四边形。

（2）夹角判定法：若四边形内两对邻角的对应角相等，则四边形为平行四边形。

4. 平行四边形的常见特殊情况（1）矩形：具有四个直角的平行四边形称为矩形。

矩形的对边相等且同位角相等，对角线相等且相互平分。

（2）正方形：具有四条边相等且四个直角的矩形称为正方形。

正方形是一种特殊的矩形，具有独特的性质，如对角线相等、内角为90度等。

（3）菱形：具有四条边相等的平行四边形称为菱形。

菱形的对角线互相垂直且相互平分。

（4）等腰梯形：具有两组对边相等的平行四边形称为等腰梯形。

5. 平行四边形的应用平行四边形在几何学中有广泛的应用，特别是在计算面积和周长等方面。

通过掌握平行四边形的性质，我们可以解决各种与平行四边形相关的几何问题，如证明两条线段平行、判断图形是否为平行四边形等。

总结：平行四边形是具有两对对边平行的四边形。

它具有对边相等、同位角相等、对角线互相平分等性质。

在判定和应用中，可以根据对边判定法和夹角判定法来确定是否为平行四边形，并利用平行四边形的性质来解决几何问题。

初中数学知识归纳平行四边形的性质初中数学知识归纳：平行四边形的性质在初中数学学习中，平行四边形是一个重要的几何图形。

它的定义是具有两对对边平行的四边形。

本文将对平行四边形的性质进行归纳和讨论，帮助读者更好地理解和应用相关知识。

1. 平行四边形的定义及基本性质平行四边形是指具有两对对边平行的四边形。

根据这个定义，我们可以得出以下基本性质：（1）对边性质：平行四边形的对边相等。

即可以得到AB = CD，AD = BC等。

（2）同位角性质：平行四边形的同位角相等。

同位角指的是在两组平行边之间的相对角。

例如∠A = ∠C，∠B = ∠D等。

（3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。

即可以得出AC 平分BD，BD平分AC等。

2. 平行四边形的特殊性质除了基本性质外，平行四边形还有一些特殊的性质，包括：（1）等腰性质：如果一个平行四边形的相邻边相等，则它就是一个等腰平行四边形。

对于等腰平行四边形来说，两组对边都相等，且同位角也相等。

（2）矩形性质：如果一个平行四边形的所有内角都是直角，则它就是一个矩形。

对于矩形来说，相邻边相等，且对角线相等。

（3）正方形性质：如果一个矩形的四个边都相等，则它就是一个正方形。

正方形是一种具有对边平行且相等的特殊平行四边形。

3. 平行四边形的运用平行四边形的性质可以用于解决各种与图形相关的问题。

以下是几个常见的应用情景：（1）计算周长：根据平行四边形的对边相等性质，可以通过知道一个边长来计算平行四边形的周长。

例如，如果AB = 5cm，BC = 3cm，则平行四边形ABCD的周长为2(AB + BC) = 16cm。

（2）计算面积：平行四边形的面积可以通过底边长乘以高得到。

例如，如果底边长为8cm，高为4cm，则平行四边形的面积为8cm ×4cm = 32cm²。

（3）证明定理：平行四边形的性质也可以用于证明一些几何定理。

例如，可以利用平行四边形的同位角性质和对角线性质来证明平行线与等腰三角形、相似三角形等的性质。

《平行四边形的性质》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过学生对平行四边形性质的学习和练习，巩固其对于平行四边形概念的理解，掌握平行四边形的性质，并能灵活运用这些性质解决实际问题。

二、作业内容1. 基础练习练习识别平行四边形的基本图形特征，如对边平行且相等。

让学生尝试画出一个标准的平行四边形，并标出其所有性质相关的线（如对角线）。

2. 理论学习阅读并理解平行四边形的定义、性质及其证明方法。

掌握平行四边形与矩形、菱形等特殊四边形的关系及其性质。

3. 实践应用完成一组关于平行四边形性质的填空题和选择题，加深对性质的理解。

解答几道涉及平行四边形性质的实际应用题，如利用平行四边形的性质求解角度或边长。

4. 拓展延伸探索平行四边形在不同几何图形中的应用，如与其他图形的组合、切割等。

尝试证明一些与平行四边形相关的几何命题，如对角线互相平分的性质等。

三、作业要求1. 所有题目必须独立完成，不得抄袭他人作业。

2. 基础练习部分要求准确无误地画出图形，并标明所有必要的标记。

3. 理论学习部分要求理解并能够用自己的话解释平行四边形的性质及其与其他图形的联系。

4. 实践应用部分要求能够灵活运用所学知识解决实际问题，并附上详细的解题步骤。

5. 拓展延伸部分鼓励创新思考，可以尝试提出自己的问题或命题，并附上证明过程。

四、作业评价1. 基础练习部分评价标准为图形的准确性和标记的完整性。

2. 理论学习部分评价学生对定义和性质的掌握程度及理解深度。

3. 实践应用部分评价学生运用所学知识解决问题的能力及解题步骤的清晰度。

4. 拓展延伸部分评价学生的创新思维及命题证明的准确性。

五、作业反馈1. 教师将对作业进行批改，并给出详细的评语和分数。

2. 对于普遍存在的问题，将在课堂上进行讲解和纠正。

3. 对于优秀的学生和作业，将在课堂上进行表扬和展示。

4. 学生可根据作业反馈调整学习策略，以更好地掌握平行四边形的性质。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生在初中数学课程中关于平行四边形性质的理解，通过实际操作和问题解决，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力，为后续学习打下坚实的基础。

平行四边形的性质与特征平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质和特征。

理解和掌握这些性质和特征对于几何学的学习至关重要。

本文将介绍平行四边形的定义、性质以及与其他几何形状的关系。

一、平行四边形的定义平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

简单来说，平行四边形的两对对边是平行的。

在平行四边形中，相邻的两个内角之和为180度，即相邻角互补。

二、平行四边形的性质1. 对边性质：平行四边形的对边长度相等。

这是因为平行四边形的定义中要求两对对边平行，所以对边之间的距离相等。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相等长，且二分之一对角线相互垂直。

这是因为平行四边形可以看作是一个长方形被一条对角线切分而成，而长方形的对角线是相等的且相互垂直。

3. 内角性质：平行四边形的内角相等。

具体来说，两对相对的内角分别相等。

4. 外角性质：平行四边形的外角相等。

具体来说，平行四边形的内角与其相邻的外角互补，即内角和外角的和为180度。

5. 底角性质：平行四边形的底角相等。

底角是指与底边相邻的内角，它们相等是因为平行四边形中对边之间的距离相等。

6. 对边角性质：平行四边形的对边角互补。

具体来说，平行四边形中相对的对边之间的内角和为180度。

三、平行四边形与其他几何形状的关系1. 矩形：平行四边形的特殊情况之一是矩形。

矩形拥有平行四边形的所有性质，同时它的内角都是直角，即90度。

2. 正方形：正方形是矩形的特殊情况，也是平行四边形的特殊情况。

正方形的四条边相等且垂直，也可以看作是一个特殊的平行四边形。

3. 菱形：菱形是另一种特殊的平行四边形，它拥有平行四边形的部分性质。

菱形的对角线相等且互相垂直，但它的内角并不一定相等。

总结：平行四边形具有两对对边平行的性质，其内角和为180度。

平行四边形的对边相等，对角线互相等长且垂直。

平行四边形可以是矩形、正方形和菱形的特例。

掌握平行四边形的性质与特征，有助于我们更好地理解几何学中的各种形状关系和计算。

平行四边形的性质了解平行四边形的特点和性质一、平行四边形的定义平行四边形是指拥有两对相对平行边的四边形。

具体来说，平行四边形的两对边分别平行，并且对边长度相等。

平行四边形是四边形中的一种特殊情况，它具有一些独特的性质和特点。

二、平行四边形的性质1. 相对边是平行的：平行四边形的两对边互相平行，即对边AB和CD是平行的，对边AD和BC也是平行的。

2. 相对边长相等：平行四边形的两对对边长度相等，即AB = CD，AD = BC。

3. 相对角是相等的：平行四边形的两对对边相交处的两个内角以及两个外角相等。

即∠A = ∠C，∠B = ∠D。

4. 任两对相邻内角是补角：平行四边形的任意两对相邻内角的度数之和为180°。

例如，∠A和∠B是补角，∠B和∠C也是补角。

5. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即对角线AC 平分∠B和∠D，对角线BD平分∠A和∠C。

6. 对角线长度关系：平行四边形的对角线长度关系为AC² + BD² = 2(AB² + AD²)。

即对角线长度的平方和等于两对边长的平方和的两倍。

三、平行四边形的推论1. 矩形是特殊的平行四边形：矩形是一种拥有四个直角的平行四边形。

因为矩形的每个角都是直角，所以它具有平行四边形的所有性质和特点。

2. 平行四边形的对角线相等：若平行四边形的对角线相等，即AC = BD，则该四边形是矩形。

3. 平行四边形的对角线垂直平分：若平行四边形的对角线互相垂直平分，即AC⊥BD，则该四边形是菱形。

4. 平行四边形的对边相等：若平行四边形的相邻边相等，即AB = CD，AD = BC，则该四边形是矩形或菱形。

四、平行四边形的应用1. 平行四边形的性质在几何证明中常常被用到，能够简化计算和推理的过程。

2. 在建筑和工程中，平行四边形的性质可以用来设计和布局平行的道路、建筑物和平面构造。

3. 平行四边形的面积计算公式为：S = 底边 ×高，可以在计算面积时提供便利。

平行四边形的性质平行四边形是几何学中常见的一个概念，它有着一些独特的性质和特点。

本文将介绍平行四边形的性质，并通过实例来展示这些性质的应用。

一、定义和性质概述平行四边形是由四条互不相交的平行线所围成的四边形。

其主要性质如下：1. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的，即相对的两条边永远平行。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线相交于一点，且该点将对角线等分。

3. 对边长度性质：平行四边形的对边长度相等。

二、平行四边形的重要定理平行四边形有许多重要的定理，下面将介绍其中几个常用的定理。

1. 对边角定理：平行四边形的对边角（相对的两个内角和两个外角）互补，即其和等于180度。

实例：如图所示，ABCD为平行四边形。

角A和角C是对边角，角B和角D是对边角。

根据对边角定理，角A + 角C = 180度，角B + 角D = 180度。

（插入图示例）2. 对角线分割定理：平行四边形的对角线将该四边形分割成两个面积相等的三角形。

实例：如图所示，ABCD为平行四边形，AC和BD为其对角线。

根据对角线分割定理，三角形ABC的面积等于三角形ACD的面积。

（插入图示例）三、平行四边形的应用举例平行四边形的性质在实际应用中有着广泛的应用。

下面将介绍两个实际问题，并借助平行四边形的性质来解决。

问题一：已知一个平行四边形的对角线长分别为5cm和8cm，求该平行四边形的面积。

解决方法：设对角线相交点为O，根据对角线分割定理，平行四边形被对角线所分割成两个面积相等的三角形。

因此，平行四边形的面积等于两个三角形的面积之和。

设对角线AO和BO分别为5cm和8cm，利用三角形面积公式 S = 1/2 * 底 * 高，可得到三角形AOB的面积为 S1 = 1/2 * 5cm * 8cm =20cm²。

由于平行四边形被对角线等分，所以另一个三角形的面积也为20cm²。

因此，平行四边形的面积为 2 * 20cm² = 40cm²。

平面几何中的平行四边形的性质在平面几何中，平行四边形是一种特殊的四边形，具有独特的性质和特征。

本文将介绍平行四边形的定义、性质以及应用。

一、定义平行四边形是指具有对边平行的四边形。

具体而言，对边AB和CD平行，对边AD和BC平行。

二、性质1. 对边性质：平行四边形的对边相等。

即AB = CD，AD = BC。

2. 对角线性质：平行四边形的对角线相互平分，并且彼此相等。

即AC = BD。

3. 内角性质：平行四边形的内角相互补角，并且相等。

即∠DAB +∠CBA = 180°，∠CDA + ∠BDC = 180°。

4. 外角性质：平行四边形的外角相互补角，并且补角也相等。

即∠CAB = ∠BDC，∠BCA = ∠CDB。

5. 相邻角性质：平行四边形的相邻内角互补，并且补角也相等。

即∠DAB + ∠CAB = 180°，∠CBA + ∠BCA = 180°。

6. 对边夹角性质：平行四边形的对边夹角相等。

即∠DAB = ∠CBA，∠CDA = ∠BDC。

7. 联立角性质：平行四边形的联立角互补。

即∠DAB + ∠CDA = 180°，∠CBA + ∠BDC = 180°。

8. 对边比例性质：平行四边形的对边比例相等。

即AB/CD =AD/BC。

三、应用平行四边形的性质和定理在几何学中有广泛的应用。

1. 平行四边形定理：如果一个四边形的对边相等，则该四边形是平行四边形。

根据平行四边形的性质，可以通过对边的相等关系来判断一个四边形是否为平行四边形。

这在解题或证明中起到重要的作用。

2. 平行四边形的周长计算：平行四边形的周长可以通过对边长度的加和来计算。

例如，已知平行四边形ABCD中，AB = 5cm，BC = 8cm，需要计算周长。

根据性质1，对边相等，所以ABCD是一个平行四边形。

则周长为AB+BC+CD+DA = 5+8+5+8 = 26cm。