人教版八年级数学上册三角形的内角和定理

三角形的内角和定理人教八上初中数学试卷11-4一、学习目标理解“三角形的内角和等于180°”及证明过程；证明“三角形内角和定理”，体会证明中辅助线的作用，尝试用多种方法证明三角形内角和定理；运用三角形内角和定理解决问题．二、知识回顾拼拼看，将任意一个三角形的三个内角拼合在一起会形成什么角？三、新知讲解1．三角形内角和定理定理三角形三个内角的和等于180°符号语言在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°图示2．三角形内角和定理的证明已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．〖方法1〗证明：过A点作DE∥BC，∵DE∥BC，（已作）∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，（两直线平行，内错角相等）∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，(平角=180°)∴∠BAC+∠B+∠C=180°，(等量代换)〖方法2〗证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．∵CE∥BA，∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等），∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等），∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°，(平角=180°)∴∠A+∠B+∠ACB=180°．(等量代换)3．三角形内角和定理的应用（1）已知三角形的两个内角，利用三角形内角和定理可求第三个角；（2）已知各角之间的关系，利用三角形内角和定理可求各角．四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．三角形的内角和定理【例1】（2014春•靖江市校级月考）若一个三角形的三个内角之比为3：4：5，则它的最大内角的度数是（）A．80° B．75° C．90° D．108°总结：给出三角形三个内角的比求内角度数时，通常要设未知数，通过列方程求解．【例2】（2014•重庆校级模拟）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=45°，则∠A的度数为（）A．65° B．75° C．85° D．95°总结：关于三角形与平行线结合的问题，求解时，先从平行线的性质入手，把有关角转化到三角形中，再利用三角形的内角和定理求解．【例3】（2014秋•太和县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100° B．110° C．115° D．120°总结：三角形中两内角平分线相交组成的角等于90°与第三个内角一半的和.练1．（2015•重庆模拟）在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，则∠C的度数是（）A．50° B．45° C．40° D．30°练2．（2014秋•安庆期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形练3．（2014春•通川区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．2．三角形内角和定理的实际应用【例4】如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，若轮船行驶到C处时测得∠BAC=55°，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？总结：1．“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少.2．在有关方位角的计算中，常常构造三角形，在三角形中计算角的度数.练4．（2010•石家庄二模）如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1=38°，∠2=23°，则桥面断裂处夹角∠BCD为________度．3．（2014春•江阴市校级期中）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）A．50° B．40° C．70° D．35°4．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°二、填空题5．（2014秋•宁津县校级月考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A= ，∠C= ．6．（2014•徐州二模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=35°，∠AOB=75°，则∠C= ．（2013春•苏州期末）如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=30°，∠B=60°，则∠DCE= ．7．三、解答题8．（2014春•庐江县期末）如图，已知∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∠1=35°，求∠D的度数．9．（2012春•中山区期中）已知，如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．10．（2011春•宣威市校级月考）如图所示，已知图①五角星ABCDE，将图①中的A点向下移动得到图②，将图①中的C点向上移动得图③，对于五角星及五角星的变形图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和为多少度？并选择一图加以说明．典例探究答案：【例1】（2014春•靖江市校级月考）若一个三角形的三个内角之比为3：4：5，则它的最大内角的度数是（）A．80° B．75° C．90° D．108°分析：设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x，根据三角形内角和定理得到3x+4x+5x=180°，然后解方程求出x后计算5x即可．解答：解：设三角形的三个内角的度数分别为3x、4x、5x，所以3x+4x+5x=180°，解得x=15°，所以5x=75°．故选B．点评：本题考查了三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．（2014•重庆校级模拟）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=45°，【例2】则∠A的度数为（）A．65° B．75° C．85° D．95°分析：根据平行线的性质可得∠C=∠AED=45°，再利用三角形内角和为180°可以计算出∠A的度数．解答：解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=45°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，故选：B．点评：此题主要考查了三角形内角和定理，即三角形内角和为180°．【例3】（2014秋•太和县期末）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（）A．100° B．110° C．115° D．120°分析：根据三角形内角和定理计算．解答：解：∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=25°，∠PCB=40°，∴∠BPC=115°．故选C．点评：此题主要考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．练1．（2015•重庆模拟）在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，则∠C的度数是（）A．50° B．45° C．40° D．30°分析：根据已知条件求出∠B的度数，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．解答：解：∵4∠B=104°，∴∠B=26°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣104°﹣26°=50°．故选A．点评：本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出∠B的度数，然后列出∠C的表达式是解题的关键．练2．（2014秋•安庆期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3：4：5，那么△ABC 是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形分析：已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的形状．解答：解：设一份为k°，则三个内角的度数分别为3k°，4k°，5k°．则3k°+4k°+5k°=180°，解得k°=15°，∴5k°=75°，3k°=45°，4k°=60°，所以这个三角形是锐角三角形，故选A．点评：此题主要考查三角形的按边分类，直接根据三角形三个内角的度数比来判断是解题的关键．练3．（2014春•通川区校级期中）如图，已知△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．分析：由三角形的内角和定理，可求∠BAC=70°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=35°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=25°，所以∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°．解答：解：在△ABC中，∵∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=35°．又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°﹣∠B=25°，∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=10°．点评：本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是三角形的内角和定理，一定要熟稔于心．【例4】如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，若轮船行驶到C处时测得∠BAC=55°，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？分析：根据方位角就可求得BA与正北方向的夹角，即可得到∠ABC，在△ABC中，根据三角形内角和定理即可求得∠ACB的度数．解答：解：∵∠BAE=30°，∴∠ABD=30°，∴∠ABC=∠DBC-∠ABD=75°-30°=45°．在△ABC中，根据三角形内角和定理得到：∠ACB=180°-45°-55°=80°，即从C处看A，B两处的视角∠ACB是80°．点评：本题主要考查了方位角的定义，以及三角形的内角和定理．练4．（2010•石家庄二模）如图所示是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1=38°，∠2=23°，则桥面断裂处夹角∠BCD为_____度．分析：连接BD，根据对顶角相等得到∠1=∠4=38°，∠2=∠3=23°，然后根据三角形内角和定理进行计算即可．解答：解：连接BD，如图，∵∠1=∠4=38°，∠2=∠3=23°，∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-23°-38°=119°．故答案为：119．点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了对顶角相等．课后小测答案：一、选择题1．（2014•江北区模拟）在△ABC中，已知∠A=3∠C=54°，则∠B的度数是（）A．90° B．94° C．98° D．108°解：如图所示：∵∠A=3∠C=54°，∴∠C=18°，∴∠B的度数是：180°﹣∠A﹣∠C=108°．故选：D．（2014春•合川区校级期中）已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（）2．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．正三角形解：∵∠A=20°，∴∠B=∠C=（180°﹣20°）=80°，∴三角形△ABC是锐角三角形．故选A．3．（2014春•江阴市校级期中）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A=（）A．50° B．40° C．70° D．35°解：∵BE、CF都是△ABC的角平分线，∴∠A=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣2（∠DBC+∠BCD）∵∠BDC=180°﹣（∠DBC+∠BCD），∴∠A=180°﹣2（180°﹣∠BDC）∴∠BDC=90°+∠A，∴∠A=2（110°﹣90°）=40°．故选B．4．如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=100°，∠B=40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为（）A．30° B．40° C．50° D．60°解：∵△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°．故选B．二、填空题5．（2014秋•宁津县校级月考）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A= ，∠C= ．解：设∠A=2x°，则∠B=3x°，∠C=4x°，∵∠A+∠B+∠C=180°，即：2x°+3x°+4x°=180°，解得：x=20∴∠A=40°，则∠B=60°，∠C=80°，故答案为：40°、80°6．（2014•徐州二模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=35°，∠AOB=75°，则∠C= ．解：∵∠A=35°，∠AOB=75°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°﹣35°﹣75°=70°．又∵AB∥CD，∴∠C=∠B=70°．7．（2013春•苏州期末）如图，CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A=30°，∠B=60°，则∠DCE= ．解：∵∠A=30°，∠B=60°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=90°，∵CD、CE分别是△ABC的高和角平分线，∴∠BCE=∠ACB=45°，∠BDC=90°，∴∠BCD=90°﹣∠B=30°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=45°﹣30°=15°．故答案为：15°．三、解答题8．（2014春•庐江县期末）如图，已知∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∠1=35°，求∠D的度数．解：∵∠DAB=70°，AC平分∠DAB，∴∠DAC=35°，又∵∠1=35°，∴∠D=180°﹣（∠1+∠DAC）=180°﹣（35°+35°）=110°．9．（2012春•中山区期中）已知，如图，AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，求∠E的度数．解：∵AB∥CD，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，又∠BAC+∠DCA=180°⇒∠CAE+∠ACE=（∠BAC+∠DCA）=90°，∠E=180°﹣（∠CAE+∠ACE）=90°，∴∠E=90°．10．（2011春•宣威市校级月考）如图所示，已知图①五角星ABCDE，将图①中的A点向下移动得到图②，将图①中的C点向上移动得图③，对于五角星及五角星的变形图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的和为多少度？并选择一图加以说明．解：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°，图①：∵∠A+∠D=∠BNM，∠E+∠C=∠BMN，（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），又∵∠B+∠BNM+∠BMN=180∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．图②：延长AD交BE于点F，再根据三角形外角的性质解答；③同①，∵∠A+∠C=∠1，∠B+∠E=∠2，∠1+∠2+∠D=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．。