圆周角(1)(优质竞赛课件)

B
A
E DC
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练习： 如图，P是△ABC外接圆上一点
∠APC=∠CPB=60°。 求证：△ABC是等边三角形
A P
· O
C B
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例3: 船在航行过程中，船长经常经过测定 角度来确定是否会碰到暗礁。如图A,B表示 灯塔，暗礁分布在经过A,B两点一个圆形区 域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是 “危险角”，当船与两个灯塔夹角大于 “危险角”时，就有可能触礁。
Ｄ
ＡＯ
Ｂ
Ｃ
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问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E大小有什么关系?
为何?
∠B = ∠D= ∠E
D
B E
●O
A
C
图1
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问题解答
1、圆周角定理推论2：
用于找相等角
同圆或等圆中，同弧或等弧所正确圆周角相等；
同圆或等圆中，相等圆周角所正确弧也相等。
用于找相 等弧
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例2
已知：如图，在△ABC中，AB=AC, 以AB为直径圆交BC于D,交AC于E, 求证：⌒BD=⌒DE
AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工
湖直径.
C
A
B
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一个圆形人工湖,弦AB是湖上一座桥,已知桥
AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工
湖直径.
C
D
A
B
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小结与作业 1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、圆周角定理及其推论用途你都 知道了吗？
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P
弓形所含圆周角 ∠C=50°,问船在航行 C 时怎样才能确保不进 入暗礁区?
E O
A

A
O
B
C
D
❖ 证实：作直径AD, 由第一个情况知
∠BAD=1/2 ∠BOD ∠CAD=1/2 ∠COD
∴ ∠BAD+ ∠CAD=1/2(∠BOD+
∠COD)
∴ ∠BAC=1/2 ∠BOC
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第三种情况：圆心在圆周角外部
❖ 证实：作直径AD， 同理由第一个情况得 ∠BAD=1/2∠BOD， ∠CAD=1/2∠COD ∴ ∠CAD- ∠BAD=1/2( ∠COD- ∠BOD) ∴∠BAC=1/2∠BOC
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圆周角定理：一条弧所正确圆周角等于它所正 确圆心角二分之一。
推论：同弧或等弧所正确圆周角相等；在同圆 或等圆中，相等圆周角所正确弧相等。
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1、求圆中角x度数？ =?
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❖ 如图，四边形ABCD四个顶点在⊙O上，找出 图中分别与∠1、∠2、∠3、∠4相等角。
D
34
C
2 1
O
A
B
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摸索：判断下列各图中，哪些是圆周角，为何？
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重点观测下面三个图形中,圆心与圆周角位置关系?
在以上三个图 形中,哪个图形 是特殊,其它图 形能够转化为
特殊图形吗?
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圆心角和圆周角都是和圆相关角,同弧所正确 圆心角相等。
假如圆心角和圆周角所对弧相同,那么 1、同弧所正确所有圆周角度数是否也相等呢? 2、同一条弧所正确圆周角与圆心角之间又有什么 关系呢?
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总结、扩展 这节课主要学习了两个知识点： 1．圆周角定义． 2．圆周角定理及其定理应用． 办法上主要学习了圆周角定理证实渗入了“特殊到 普通”思想办法和分类讨论思想．
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图４
图５
辨一辨
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请画出BC所对圆心角以及圆周角画Fra bibliotek画思索：
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B
C
以不变应万变（弧不变）
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如图：找出图中全部圆周角.
图中圆周角有:∠BAC ∠BAD ∠BDA ∠DBA ∠DAC
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如图，量出圆周角∠BAC与它所对弧上圆心角∠BOC度数，二者之间有什么关系？
当点A在弧BEC 上移动过程中，∠BAC与圆心O有几个不一样位置关系？
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半圆或直径所正确圆周角是直角, 90°圆周角所正确弦是直径。
推论：
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例1：如图,等腰三角形ABC顶角∠BAC=500，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D,交AC于点E.求BD,DE,AE度数。
例题观赏
⌒
⌒
⌒
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Ｏ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Ｄ
例题观赏
例2：如图, B是AC上一点，∠AOC＝n°，求∠ABC度数 。
⌒
变式：如图,在⊙O中，∠AOC=1200，∠ACB=250,求∠BAC度数。
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书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。
本节课你学到了什么？ 有何收获？
本节课包括： （1）研究方法：特殊 —— 普通 —— 特殊 （2）数学思想：转化、分类讨论。
猜测
归纳
应用
量一量每次改变后∠BAC度数，你发觉了什么？给出你猜测。
圆周角度数等于它所对弧上圆心角度数二分之一。
圆周角定理：
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C
A
B
C
C
O
O
A
B
温馨提醒：分类
角边上 角内 角外
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已知：O中BC所对的圆周角是 BAC ，圆心角是BOC。
求证:BAC 12BOC
证明：分三种情况讨论。
⑴ 如图1中，圆心O在BAC 的一条边上。
O
∵OA=OC∴C=BAC 又BOC = BAC + C
∴BAC = 12BOC ⑵ 如图2中，圆心O在BAC 的内部。
B A
作直径AD，利用⑴的结果，有
（BAC= 36º， AOC= 108 º）
A
O
图2
?
140º B
C
C
O
B 图3
O D
B
A 图1
C
图2 C
A 图3 C
猜定想理:: 圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半。
A
将图中的点A沿BAC移动，可
A’
得到弧BC所对的多个圆周角，
如A’、 O
B
C
A
A’
将图中的点A沿BAC移动，可得 到弧BC所对的多个圆周角，如
A” A’、 A”······
O
而BC所对的圆心角只有BOC，
O
为C什么？
C
C不是，因为它有一边不与圆相交。
B
CC
定义:顶点在圆上,并且两边都 和圆相交的角叫做圆周角。
A
圆周角BAC所对的弧是哪一条？
圆心角BOC所对的弧是哪一条？ O
它们都对着BC
B
C
定义:顶点在圆上,并且两边都 和圆相交的角叫做圆周角。
猜对既那想弧然么:上它圆B们的周A之圆C角与间心的是角B度否O度数C存数都等在对的于着着一联它B半系所C，。？
达标训练
达标训练：
C
1 如图1在O中AB和CD是O的互 M