事件与概率

概率与事件的计算概率是数学中的一门重要分支，用于描述事件的发生可能性。

概率的计算可以帮助我们预测和解决各种实际问题，从而提供科学决策的依据。

本文将介绍概率与事件的基本概念，并讨论如何计算概率。

一、概率的基本概念在概率论中，我们将事件定义为样本空间中的一个子集。

样本空间是指所有可能结果的集合，而事件则是结果集合的一个子集。

概率表示事件发生的可能性大小，通常以一个0到1之间的数值表示。

在进行概率计算时，我们需要考虑两个因素：事件的总数和事件的有利结果数。

事件的总数是指样本空间中所有可能结果的数量，而事件的有利结果数则是指满足特定条件的结果数量。

二、计算概率的方法1. 经典概率经典概率是基于等可能性假设，即每个结果发生的可能性相等。

在这种情况下，我们可以通过有利结果数除以事件的总数来计算概率。

例如，假设有一个抛掷均匀硬币的事件，我们想知道抛掷结果为正面的概率。

样本空间为{"正面", "反面"}，事件为{"正面"}。

由于硬币是均匀的，正面和反面的可能性是相等的，因此事件的概率为1/2。

2. 频率概率频率概率是基于长期观察结果的概率计算方法。

它通过进行大量实验或观察，统计事件发生的频次来估计事件的概率。

例如，我们想知道一个六面骰子掷出的结果为1的概率。

我们可以进行100次掷骰子的实验，记录1出现的次数，并将1出现的次数除以总掷骰子次数来估计概率。

3. 主观概率主观概率是基于主体的主观判断和经验来估计事件发生的概率。

这种方法常用于缺乏明确数据支持的情况下。

例如，我们想知道明天下雨的概率。

我们可以结合过去的天气观察和气象预报等信息，然后根据个人经验和判断来估计下雨的概率。

三、概率的性质与运算规则在概率计算中，有几个重要的性质和运算规则需要了解。

1. 互斥事件：两个事件互斥是指它们不能同时发生。

对于互斥事件，它们的概率之和等于各自概率的和。

2. 独立事件：两个事件独立是指它们的发生与否互不影响。

概率与事件的关系了解概率和事件的基本概念和关系概率与事件的关系：了解概率和事件的基本概念和关系概率和事件是数学中的重要概念，它们经常被用于统计学、经济学、工程学等多个领域。

概率是指某个事件发生的可能性，而事件则是指某个具体结果或一系列结果的集合。

本文将详细介绍概率和事件的基本概念以及它们之间的关系。

一、概率的基本概念1.1 概率的定义概率是用来描述某个事件发生的可能性大小的数值，一般用P(A)表示事件A发生的概率。

概率的取值范围是0到1，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。

1.2 概率的性质（1）非负性：概率的取值范围是非负数，即P(A)≥0。

（2）规范性：某个样本空间中所有可能事件的概率之和为1，即P(Ω)=1。

（3）加法性：对于互斥事件（即事件A和事件B不可能同时发生），它们的概率可以相加，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。

二、事件的基本概念2.1 事件的定义事件是指某个具体结果或一系列结果的集合，用A、B、C等字母表示。

事件可以是简单事件，即只包含一个结果的事件，也可以是复合事件，即包含多个结果的事件。

2.2 事件之间的关系（1）互斥事件：事件A和事件B是互斥事件，当且仅当它们不可能同时发生，即P(A∩B)=0。

（2）相互独立事件：事件A和事件B是相互独立事件，当且仅当它们的发生与否互不影响，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。

三、概率与事件的关系概率与事件之间存在着紧密的关系，概率可以用来描述事件发生的可能性，而事件又是概率的基本对象。

概率可以通过事件的数量与样本空间的数量之比来计算，即P(A) = N(A) / N(Ω)其中，N(A)表示事件A包含的结果数量，N(Ω)表示样本空间中的结果数量。

在实际问题中，我们可以利用概率和事件的关系进行推理和预测。

通过观察和分析已有的数据，我们可以根据事件之间的关系和概率的性质，推断未来事件的可能性大小。

举个例子来说明概率和事件的关系。

事件与概率的基本知识点总结事件与概率的基本知识点总结概率论是研究随机现象的可能性的一门数学学科，其中的核心概念就是事件与概率。

事件是我们希望研究的一个或一组结果，而概率是用来描述这个事件发生的可能性的。

一、事件的概念与分类事件是指我们希望研究的一个或一组结果。

根据事件的特性，可以将其分为互斥事件、相对事件和对立事件。

1. 互斥事件：指两个或多个事件不能同时发生的情况。

例如掷一枚硬币的结果只可能是正面或反面，不可能既是正面又是反面。

2. 相对事件：指两个或多个事件至少有一个发生的情况。

例如掷一个骰子，结果可能是1、2、3、4、5或6，至少会出现其中的一个数字。

3. 对立事件：指两个事件在同一次实验中不能同时发生的情况。

例如抽一张扑克牌，事件A是抽到红心，事件B是抽到黑桃，这两个事件是对立事件。

二、概率的定义与性质概率是用来描述事件发生可能性的数值，它介于0和1之间，包括0和1。

1. 频率定义：频率定义概率是指某一事件在相同条件下进行的实验中发生的频率。

即当实验次数趋于无穷大时，事件发生的频率逼近于概率。

2. 古典定义：古典定义概率适用于等可能性事件。

根据古典概率的定义，事件A发生的概率等于事件A包含的基本事件数目除以样本空间中的基本事件数目。

3. 几何定义：几何定义概率适用于几何模型的实验。

根据几何概率的定义，事件A发生的概率等于落入事件A的区域面积与落入样本空间的区域面积之比。

三、概率的运算法则概率运算法则是用来描述事件之间相互关系的数学原理。

1. 加法法则：对于互斥事件A和B，它们的概率和等于两个事件发生概率的和。

即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。

2. 减法法则：对于事件A，它的补事件是A的对立事件，即A'。

事件A和事件A'是对立事件，它们的概率和等于1。

即P(A') = 1 - P(A)。

3. 乘法法则：对于相对事件A和B，它们的联合概率等于A的概率乘以在A发生的条件下，B发生的条件概率。

概率与事件关系概率是数学中的一个重要概念，它描述的是某件事情发生的可能性大小。

而事件是指我们所关注的事情或结果。

概率与事件之间存在着密切的关系，下面我们来探讨一下它们之间的联系。

首先，我们来了解一下概率的基本定义。

概率是一个介于0和1之间的数，表示某个事件发生的可能性大小。

通常用P(A)来表示事件A发生的概率，其中P代表概率。

如果一个事件发生的概率为0，那么这个事件是不可能发生的；如果概率为1，那么这个事件是肯定会发生的。

在实际问题中，我们通常通过统计或者实验来估算概率。

事件是我们所关心或所研究的对象，它可以是单个结果或一系列结果的集合。

我们可以将事件分为简单事件和复合事件。

简单事件是指只包含一个结果的事件，例如掷一次硬币正面朝上的事件；而复合事件是指包含多个结果的事件，例如掷两次硬币，至少有一枚硬币正面朝上的事件。

概率与事件之间的联系，可以通过概率公式来表示。

对于简单事件A来说，概率可以通过以下公式计算：P(A) = n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A中有多少个有利结果，n(S)表示在给定条件下所有可能结果的个数。

例如，在一副标准扑克牌中，红心K的概率为1/52，因为有且只有一张红心K，而总共有52张牌。

对于复合事件B来说，概率的计算稍微复杂一些。

复合事件可以通过求交集、并集、补集等运算来计算概率。

例如，对于掷两次硬币的复合事件C来说，至少有一枚硬币正面朝上的概率可以通过以下公式计算：P(C) = P(正正) + P(正反) + P(反正)，其中P(正正)表示两枚硬币都正面朝上的概率，P(正反)表示第一枚硬币正面朝上，第二枚硬币反面朝上的概率，P(反正)表示第一枚硬币反面朝上，第二枚硬币正面朝上的概率。

除了基本的概率公式之外，还有一些常见的概率规则可以用来计算复杂事件的概率。

其中包括加法法则、乘法法则和条件概率等。

加法法则指的是计算两个事件之和的概率；乘法法则指的是计算两个事件同时发生的概率；而条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

事件与概率计算公式事件与概率是概率论中的重要概念，它们被广泛应用于统计学、经济学、物理学等领域。

在现实生活中，我们经常需要通过事件与概率来进行决策和预测。

本文将介绍事件与概率的基本概念，以及事件与概率计算公式的应用。

事件与概率的基本概念。

在概率论中，事件是指样本空间中的一个子集，即样本点的集合。

例如，掷一枚硬币，出现正面和出现反面分别是两个事件。

概率是描述事件发生可能性的数值，通常用P(A)表示。

概率的取值范围是0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定发生。

事件与概率的计算公式。

1. 加法法则。

加法法则是指两个事件同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率之和减去两个事件同时发生的概率。

具体公式如下：P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)。

其中，P(A∪B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。

2. 乘法法则。

乘法法则是指两个事件同时发生的概率等于第一个事件发生的概率乘以在第一个事件发生的条件下，第二个事件发生的概率。

具体公式如下：P(A∩B) = P(A) P(B|A)。

其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

3. 条件概率。

条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

具体公式如下：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。

其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。

事件与概率的应用。

事件与概率在现实生活中有着广泛的应用。

例如，在金融领域，投资者需要通过事件与概率来评估投资风险和收益。

在医学领域，医生需要通过事件与概率来进行疾病诊断和治疗方案选择。

在工程领域，工程师需要通过事件与概率来评估工程项目的可行性和安全性。

概率与统计中的事件与概率概率是概率论的核心概念，是研究随机现象的发生可能性的数学工具。

而统计是对随机现象进行观察、收集数据，并通过对数据进行分析来推断总体的特征和规律的科学方法。

在概率与统计中，事件与概率是两个重要的概念，本文将从它们的定义、性质以及应用等方面进行论述。

一、事件的定义与性质在概率论中，事件是指一个可以在一次试验中发生或不发生的结果。

简单事件指的是只含有一个结果的事件，复合事件则是含有多个结果的事件。

事件的发生与否可用0或1来表示，其中0表示事件不发生，1表示事件发生。

事件具有以下性质：1. 确定性：每个事件在特定情况下必然发生或必然不发生。

2. 互斥性：两个事件不能同时发生。

3. 适应性：事件的发生可能受到其他事件的影响。

4. 完备性：一个试验的所有可能结果构成了一个完全事件。

在概率的计算中，事件通常与样本空间相关联。

样本空间是指一个试验中所有可能结果的集合，而事件是样本空间的子集。

事件的概率则是指事件发生的可能性大小，范围从0到1之间。

二、概率的定义与性质概率是研究随机现象发生可能性的一种数值度量，用于描述事件发生的可能性大小。

概率的计算依赖于事件与样本空间的关系，并且遵循以下几个重要性质：1. 非负性：事件的概率值始终大于等于0。

2. 归一性：样本空间中的所有可能事件的概率之和等于1。

3. 加法法则：对于互斥事件，其概率可通过将每个事件的概率加总得到。

4. 乘法法则：对于独立事件，其概率可通过将每个事件的概率相乘得到。

概率的计算方法有两种主要方式：经典概率和统计概率。

经典概率是基于样本空间中各个事件的等可能性，通过计算事件所占的可能结果数与样本空间大小的比值来确定。

而统计概率则是基于试验数据的分析结果，通过观察事件发生的频率来估计概率值。

三、事件与概率的应用概率与统计是应用广泛的数学工具，在各个领域都有重要的应用。

下面以几个典型的应用场景来说明事件与概率的作用。

1. 生活中的概率：概率论可以用于解决各种与生活有关的概率问题，如扔硬币的正反面、掷骰子的点数等。

概率与事件的基本概念及计算在数学和统计学中，概率与事件是两个基本的概念。

理解这些概念对于解决实际问题和进行数据分析非常重要。

本文将介绍概率与事件的基本概念，并解释如何进行计算。

一、概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。

它可以用于预测事件发生的可能性，帮助我们做出决策。

在概率理论中，事件是指某些可能会发生或不发生的结果。

为了研究事件的概率，我们需要引入一些基本概念。

1.1 样本空间样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合。

以掷骰子为例，样本空间可以是{1, 2, 3, 4, 5, 6}，代表掷骰子可能出现的所有数字。

1.2 事件事件是样本空间的子集，代表某种特定的结果。

比如，在掷骰子例子中，得到偶数点数可以是一个事件，它对应的子集是{2, 4, 6}。

1.3 概率概率是事件发生的可能性的度量，它的取值范围在0到1之间。

0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

概率可以用分数、小数或百分数来表示。

在掷骰子的例子中，得到偶数点数的概率为1/2或50%。

二、概率的计算方法为了求解事件发生的概率，我们需要根据不同的情况来选择合适的计算方法。

下面介绍一些常见的计算方法。

2.1 等可能性事件的计算当所有的事件在某个问题中具有相同的可能性时，我们可以使用等可能性事件的计算方法。

在这种情况下，事件A发生的概率等于事件A包含的样本点数目除以样本空间的样本点数目。

2.2 互斥事件的计算互斥事件是指两个事件不会同时发生的情况。

如果事件A和事件B 是互斥事件，那么它们的概率和等于各自概率的和。

例如，掷骰子得到奇数点数和偶数点数是互斥事件，它们的概率和为1/2+1/2=1。

2.3 独立事件的计算独立事件是指事件A的发生与事件B的发生没有任何关系。

如果事件A和事件B是独立事件，那么它们的概率乘积等于各自概率的积。

例如，连续掷两次硬币，每次都出现正面的概率为1/2*1/2=1/4。

三、实际应用概率与事件的概念不仅仅是理论上的抽象，它们在实际生活中有广泛的应用。

1．事件(1)不可能事件、必然事件、随机事件：在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；有的结果可能发生，也可能不发生，它称为随机事件． (2)基本事件、基本事件空间：试验连同它出现的每一个结果称为一个基本事件，它是试验中不能再分的最简单的随机事件；所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示． 2．概率与频率(1)概率定义：在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率mn ，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P (A )． (2)概率与频率的关系：概率可以通过频率来“测量”，频率是概率的一个近似． 3．事件的关系与运算名称 定义并事件 (和事件) 由事件A 和B 至少有一个发生所构成的事件C互斥事件 不可能同时发生的两个事件A 、B 互为对立 事件不能同时发生且必有一个发生的两个事件A 、B4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (E )＝1. (3)不可能事件的概率：P (F )＝0. (4)互斥事件的概率加法公式：①P(A∪B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．②P(A1∪A2∪…∪A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)(A1，A2，…，A n彼此互斥)．(5)对立事件的概率：P(A)＝1－P(A)．【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生频率与概率是相同的．(×)(2)随机事件和随机试验是一回事．(×)(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√)(6)两互斥事件的概率和为1.(×)1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶答案 D解析射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶．2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8答案 B解析因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B. 3．(2015·湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石B．169石C．338石D．1 365石答案 B解析因为样品中米内夹谷的比为28254，所以这批米内夹谷为1 534×28254≈169(石)．4．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．答案 0解析 ①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的为________． 答案 ②解析 ①是互斥不对立的事件，②是对立事件，③④不是互斥事件.题型一 事件关系的判断例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A 为“只订甲报纸”，事件B 为“至少订一种报纸”，事件C 为“至多订一种报纸”，事件D 为“不订甲报纸”，事件E 为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)A 与C ；(2)B 与E ；(3)B 与C ；(4)C 与E .解 (1)由于事件C “至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A 与事件C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥事件．(2)事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B 与E 是互斥事件．由于事件B 不发生可导致事件E 一定发生，且事件E 不发生会导致事件B 一定发生，故B 与E 还是对立事件．(3)事件B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C “至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与C 不是互斥事件．(4)由(3)的分析，事件E “一种报纸也不订”是事件C 的一种可能，即事件C 与事件E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥事件．思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系．判断下列各对事件是不是互斥事件或对立事件：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中(1)恰有1名男生和恰有2名男生； (2)至少有1名男生和至少有1名女生； (3)至少有1名男生和全是女生． 解 (1)是互斥事件，不是对立事件．“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，不是对立事件．(2)不是互斥事件，也不是对立事件．“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生． (3)是互斥事件且是对立事件．“至少有1名男生”，即“选出的2人不全是女生”，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以两个事件互斥且对立． 题型二 随机事件的频率与概率例2 (2015·北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．思维升华 (1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．(2)随机事件概率的求法：利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率mn(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位) 解 (1)依据公式f ＝mn ，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950. 题型三 互斥事件、对立事件的概率 命题点1 互斥事件的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则有P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14. 方法二 设红球有n 个，则n 12＝13，所以n ＝4，即红球有4个．又得到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个．又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是312＝14，212＝16，312＝14.命题点2 对立事件的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120. 故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P (A )＝1－P (A )求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：命中环数 10环 9环 8环 7环 概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)命中不足8环的概率．解记事件“射击一次，命中k环”为A k(k∈N，k≤10)，则事件A k彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则B表示事件“射击一次，命中不足8环”．又B＝A8∪A9∪A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.故P(B)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.23．用正难则反思想求互斥事件的概率典例(12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x 3025y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思维点拨若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．规范解答解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.[2分]该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝15，P(A2)＝10100＝110.[9分]P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710.[11分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[12分]温馨提醒(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．(2)正确判定事件间的关系，善于将A转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．易错提示(1)对统计表的信息不理解，错求x，y，难以用样本平均数估计总体．(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误．[方法与技巧]1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)．2．从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A 的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．[失误与防范]1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．A组专项基础训练(时间：35分钟)1．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件，其中，真命题是()A．①②④B．②④C．③④D．①②答案 B解析 对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M 与N 是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④，事件A 、B 为对立事件，则一次试验中A 、B 一定有一个要发生，故④正确．故B 正确．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( ) A.17 B.1235 C.1735 D ．1 答案 C解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C ．都不是移动卡D ．至少有一张移动卡答案 A解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.4．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47 D ．0.37 答案 A解析 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A.5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45 答案 D解析 设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x ，则所有矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x )×5＝1，解得x ＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45. 6．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件． 答案 ③ ② ①7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.8．若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (54，43]解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<13a －3≤1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 9．(2014·陕西)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)0 1 000 2 000 3 000 4 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.10．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.(1)求第七组的频率；(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm以上(含180 cm)的人数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E＝{|x －y|≤5}，事件F＝{|x－y|>15}，求P(E∪F)．解(1)第六组的频率为450＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5＝0.04，身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5＝0.08，身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5＝0.2，身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5＝0.2，由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32<0.5,0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52>0.5，估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170<m<175.由0.04＋0.08＋0.2＋(m －170)×0.04＝0.5，得m ＝174.5，所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5. 由直方图得后三组频率为0.08＋0.06＋0.008×5＝0.18， 所以身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数为0.18×800＝144.(3)第六组[180,185)的人数为4，设为a ，b ，c ，d ，第八组[190,195]的人数为2，设为A ，B ，则从中选两名男生有ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，aA ，bA ，cA ，dA ，aB ，bB ，cB ，dB ，AB ，共15种情况，因事件E ＝{|x －y |≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E 包含的基本事件为ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，AB ，共7种情况，故P (E )＝715.由于|x －y |max ＝195－180＝15，所以事件F ＝{|x －y |>15}是不可能事件，P (F )＝0. 由于事件E 和事件F 是互斥事件， 所以P (E ∪F )＝P (E )＋P (F )＝715. B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A ，B ，C ，D 的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件 答案 D解析 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故选D.12.如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．答案 45解析 记其中被污损的数字为x ，依题意得甲的5次综合测评的平均成绩是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝15(442＋x )，令90>15(442＋x )，解得x <8，所以x 的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为810＝45.13．若A ，B 互为对立事件，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y ，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________．答案 9解析 由题意可知4x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )(4x ＋1y )＝5＋(4y x ＋x y )≥9，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时等号成立．14.如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， 故用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间/分钟 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L 1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L 2的频率0.10.40.40.1(3)设A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P (A 1)＞P (A 2)，∴甲应选择L 1； 同理，P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P (B 1)<P (B 2)，∴乙应选择L 2.15．(2015·陕西)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率． 解 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P ＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.。

事件与概率知识点总结事件与概率是概率论中的基础概念，在各个领域都有着广泛的应用。

在我们日常生活中，我们经常会碰到各种事件，比如抛硬币的结果、掷骰子的点数、购彩票中奖的概率等。

而概率则是用来描述这些事件发生的可能性的数学工具。

在本文中，我们将介绍事件与概率的相关知识点，并举一些实际的例子来加深理解。

一、事件1. 事件的定义在概率论中，事件是指某种具体、明确的结果或状态，比如抛硬币正面朝上、摇骰子出现某个点数等。

在数学上，我们通常将事件用大写的字母A、B、C等来表示。

2. 样本空间样本空间是指试验所有可能结果的集合，通常用Ω来表示。

比如抛硬币的样本空间就是{正面，反面}，而掷骰子的样本空间就是{1，2，3，4，5，6}。

3. 事件的分类事件可以分为简单事件和复合事件。

简单事件是指只包含一个基本结果的事件，比如抛硬币正面朝上，掷骰子出现1点等。

而复合事件则是包含多个基本结果的事件，比如抛硬币正反面都出现，掷骰子出现偶数点数等。

4. 事件的运算在概率论中，我们通常会对多个事件进行交集、并集、补集等运算。

交集表示两个事件同时发生的情况，通常用A∩B来表示；并集表示两个事件中至少有一个发生的情况，通常用A∪B来表示；而补集则表示事件A不发生的情况，通常用A的补集来表示。

二、概率1. 概率的定义概率是描述事件发生可能性的数学工具，通常用P(A)来表示。

在数学上，概率的取值范围是[0, 1]，表示事件发生的可能性从不可能到肯定。

2. 古典概率古典概率是指在样本空间具有有限个基本结果的情况下，事件发生的概率。

在古典概率中，我们可以通过等可能原则来计算事件发生的概率。

3. 统计概率统计概率是指通过实验或观察来确定事件发生的概率。

通过频率来估计概率就是一种统计概率的方法。

比如我们可以通过大量的实验来确定抛硬币正面朝上的概率，通过观察历史数据来确定购彩票中奖的概率等。

4. 概率的性质概率具有一些重要的性质，比如非负性、规范性、可列可加性、互斥事件的加法规则等。