随机事件及其概率最新版

新人教版九年级上册初中数学重难点有效突破知识点梳理及重点题型巩固练习随机事件和概率--知识讲解【学习目标】1、通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断；2、初步理解概率定义，通过具体情境了解概率意义.【要点梳理】要点一、必然事件、不可能事件和随机事件【 391875 名称：随机事件与概率初步：随机事件】1.定义：（1）必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．（2）不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．（3）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点诠释：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.要点二、概率的意义概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为.要点诠释：(1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；(2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小；(3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1.【典型例题】类型一、随机事件1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；②没有空气，动物也能生存下去；③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球.【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件.【总结升华】准确掌握定义，依据定义判别.【 391875 名称：随机事件与概率初步：经典例题1】举一反三【变式1】下列事件是必然事件的是( )．A．明天要下雨;B．打开电视机，正在直播足球比赛;C．抛掷一枚正方体骰子，掷得的点数不会小于1;D．买一张彩票，一定会中一等奖.【答案】C.【变式2】下列说法中，正确的是( )．A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生;B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件;C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生;D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.【答案】C.2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.【总结升华】了解并掌握三种事件的区别和联系.举一反三【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏.【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.类型二、概率3.（2015春•山亭区期末）一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为，白球有多少个？（2）取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到？【答案与解析】解：（1）设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x=4×5，解得：x=8，答：白球有8个；（2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）=20+y，或2（4+y）=8+8，解得：y=4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．【总结升华】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．举一反三【变式】（2014•宁波模拟）中央电视台“非常6+1”栏目中有个互动环节，在电视直播现场有三个“金蛋”三个“银蛋”其中只有一个“金蛋”内有礼物，银蛋也是如此．有一个打进电话的观众，选择并打开后得到礼物的可能性是（）A．B．C．D．【答案】D.【 391875 名称：随机事件与概率初步：例6及思考题】投篮次数n8 10 12 9 16 10进球次数m 6 8 9 7 12 7进球频率nm(1)计算表中各场次比赛进球的频率；(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少? 【答案与解析】 （1）投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6897127进球频率nm0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ)9 19 44 91 178 451 击中靶心频率()(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.。

title概率论与数理统计(西北农林科技大学) 中国大学mooc答案100分最新版content随机事件及其概率随机事件及其概率单元测验1、事件A,B,C为任意三个事件，A,B至少有个发生而C不发生的事件可以表示为（）答案:2、从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外学习小组，按性别比例分层随机选人，则组成此课外小组的概率为（）答案:3、设是互不相容事件，则（）答案:4、设为三个随机事件，且,则中恰有一个事件发生的概率为（）答案:5、设为随机事件，则的充要条件是（）答案:6、设为随机事件，若，则的充分必要条件是（）答案:7、设为任意两个随机事件，则（）答案:8、设随机事件A,相互独立，且,则（）答案:9、一袋中有2个黑球和若干个白球，现有放回地摸球4次，若至少摸到一个白球的概率为，则袋中白球数是（）答案: 410、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球，现随机取一个箱子，再从箱子中取出一球，则取到白球的概率是（）答案:一维随机变量及其概率分布一维随机变量及其概率分布单元测验1、设随机变量的概率密度函数为，则一定满足（）答案:2、下列各函数中可作为随机变量分布函数的是（）答案:3、设随机变量的概率密度函数为，则（）答案:4、设随机变量的概率密度函数为，则的概率分布函数为（）答案:5、设随机变量的概率密度函数为，分布函数为，且有，则对任意给定的实数有（）答案:6、已知随机变量，记，则（）答案: 随着的增加而增加7、已知随机变量，用表示对的3次独立重复观察中事件出现的次数，则答案: 正确8、设随机变量的概率分布为则常.答案: 错误9、设随机变量,已知,则.答案: 错误10、随机变量,则的概率密度函数答案: 正确多维随机向量及其概率分布多维随机向量及其概率分布单元测验1、设的概率密度为则A=（）答案:2、设随机变量相互独立，概率分布为，则必有（）答案:3、设二维随机变量服从二维正态分布，则随机变量与不相关的充分必要条件为（）答案:4、设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和，分布函数分别为和，则（）答案: 必为某一随机变量的分布函数5、设随机变量和独立同分布,且的分布函数为，则的分布函数为（）答案:6、设和相互独立，，服从参数为的泊松分布，则（）答案: 仍是离散型随机变量7、设二维随机变量的概率密度为则答案: 错误8、从数中等可能地任取一个数，记为，再从中等可能地任取一个数记为，则答案: 正确9、设随机变量和相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则答案: 错误10、设随机变量和相互独立，且则随机变量的概率密度为答案: 错误随机变量的数字特征随机变量的数字特征单元测验1、设,且，则（）答案: 32、设随机变量X满足，则( )答案: 83、设随机变量X和Y相互独立，方差分别为6和3，则D(2X-Y)=( )答案: 274、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于( )答案: -15、已知随机变量X有分布列，则E(X)=1，。

新教材高中数学教学用书教案新人教A 版必修第二册：10.1.4 概率的基本性质素养目标·定方向 素养目标 学法指导 1．熟练掌握性质1，性质2．(数学抽象)2．会判断两个事件的互斥与对立关系.(逻辑推理)3．能够利用性质3(互斥事件的概率公式)，性质4(对立事件的概率公式)求解概率问题.(数学运算)4．能够解决实际生活中的概率问题.(数据分析) 当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率，体验了正难则反的思想.必备知识·探新知知识点 概率的基本性质性质1 对任意的事件A ，都有__P (A )≥0__.性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P (Ω)＝__1__，P (∅)＝__0__. 性质3 如果事件A 和事件B 互斥，那么P (A ∪B )＝__P (A )＋P (B )__.性质4 如果事件A 与事件B 互为对立事件，那么P (B )＝__1－P (A )__，P (A )＝__1－P (B )__. 性质5 如果A ⊆B ，那么P (A )__≤__P (B ).性质6 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，我们有P (A ∪B )＝__P (A )＋P (B )－P (A ∩B )__.[知识解读] 1．概率的加法公式(1)当A 与B 互斥(即AB ＝∅)时，有P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，这称为互斥事件的概率加法公式.(2)一般地，如果A 1，A 2，…，A m 是两两互斥的事件，则P (A 1∪A 2∪…∪A m )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A m ).(3)P (A )＋P (A －)＝1．2．求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.关键能力·攻重难题型探究题型一 互斥事件概率公式的应用典例1 (1)抛掷一个骰子，观察出现的点，设事件A 为“出现1点”，B 为“出现2点”.已知P (A )＝P (B )＝16，求出现1点或2点的概率. (2)盒子里装有6只红球，4只白球，从中任取3只球.设事件A 表示“3只球中有1只红球，2只白球”，事件B 表示“3只球中有2只红球，1只白球”.已知P (A )＝310，P (B )＝12，求这3只球中既有红球又有白球的概率.[解析] (1)设事件C 为“出现1点或2点”，因为事件A 、B 是互斥事件，由C ＝A ∪B可得P (C )＝P (A )＋P (B )＝16＋16＝13，所以出现1点或出现2点的概率是13. (2)因为A ，B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝310＋12＝45，所以这3只球中既有红球又有白球的概率是45. [归纳提升] (1)公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，只有当A 、B 两事件互斥时才能使用，如果A 、B 不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A ∪B ”的意义.【对点练习】❶ 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？[解析] 记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A ，B ，C ，D ，E ，F 两两互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则G ＝A ∪B ∪C ，所以P (G )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44．题型二 概率一般加法公式(性质6)的应用典例2 甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.[解析] 设事件A 为“甲跑第一棒”，事件B 为“乙跑第四棒”，则P (A )＝14，P (B )＝14. 记甲跑第x 棒，乙跑第y 棒，则结果可记为(x ，y )，共有12种等可能结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能.即(1,4).故P (A ∩B )＝112. 所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝14＋14－112＝512. [归纳提升] (1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别：在公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )中，事件A ，B 是互斥事件；在公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，事件A ，B 可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助图形理解.(2)利用概率的一般加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )求解的关键在于理解两个事件A ，B 的交事件A ∩B 的含义，准确求出其概率.【对点练习】❷ 在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究.假设从这200家公司中任选一家，记事件A 为“该公司在研究广告效果”，记事件B 为“该公司在进行短期销售预测”，求P (A )，P (B )，P (A ∪B ).[解析] P (A )＝40%＝0.4，P (B )＝50%＝0.5，又已知P (A ∩B )＝30%＝0.3，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝0.4＋0.5－0.3＝0.6．题型三 利用互斥与对立的概率公式多角度求解典例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么抽取到红心(事件A )的概率是14，取到方块(事件B )的概率是14，求取到黑色牌(事件D )的概率. [分析] 先确定事件D 的对立事件C (取到红色牌)，也就是事件C 就是所求事件D 的对立事件，而事件C 包含A 和B 两个彼此互斥的事件，故可直接利用互斥事件加法公式求解；然后根据对立事件概率公式求解.[解析] 记“取出的是红色牌”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且A 与B 不会同时发生，所以事件A 与事件B 互斥.根据概率的加法公式得P (C )＝P (A )＋P (B )＝12. 又因为事件C 与事件D 互斥，且C ∪D 为必然事件，因此事件C 与事件D 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝12. [归纳提升] 对于较复杂事件的概率在求解时通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.【对点练习】❸ 某射击运动员在一次射击比赛中，每次射击比赛成绩均计整数环且不超过10环，其中射击一次命中各环数概率如表：命中环数 6及以下 7 8 9 10概率0.10 0.12 0.18 0.28 0.32求该射击运动员射击一次.(1)命中9环及10环的概率.(2)命中不足7环的概率. [解析] 记“射击一次命中k 环”的事件为A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥.(1)记“射击一次命中9环或10环”为事件A ，则当A 9或A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的概率公式，得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10).因此命中9环或10环的概率为0.60．(2)方法一：由于事件“射击一次命中不足7环”是“射击一次至少命中7环”的对立事件，故所求的概率为P ＝1－(0.12＋0.18＋0.28＋0.32)＝0.10，因此命中不足7环的概率为0.10．方法二：由题意可知“命中环数不足7环”即“命中环数为6环及以下”，故P ＝0.10．易错警示忽略概率加法公式的应用前提典例4 投掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是16，记事件A 为“出现奇数点”，事件B “向上的点数不超过3”，则P (A ∪B )＝ __23__. [错解] 因为P (A )＝36＝12，P (B )＝36＝12，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋12＝1． [错因分析] 造成错解的原因在于忽略了“事件和”概率公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )的使用前提：事件A ，B 彼此互斥.此题的两个事件A ，B 不是互斥事件，如出现的点数为1或3时，事件A ，B 同时发生，故此题应用性质6．[正解] 因为P (A )＝36＝12，P (B )＝36＝12，P (AB )＝26＝13，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝12＋12－13＝23. [误区警示] 在使用公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )时，一定要注意公式成立的前提，即事件A 与事件B 互斥.若事件A ，B 不互斥，则应用公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB ).【对点练习】❹ 甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5，两人都命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率.[解析] 至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件.设事件A 为“甲命中”，事件B 为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A ∪B ，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝0.8＋0.5－0.4＝0.9．。