随机事件及其概率

第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。

这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。

这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。

随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。

概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。

§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。

举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。

随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。

随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。

样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。

上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。

二、随机事件试验£样本空间。

随机事件及其概率一、随机事件1、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下，一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫作随机事件，一般用大写字母A，B，C来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.5、试验为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察或模拟，这种观察或模拟的过程就叫作试验.【注】（1）在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先并不能判断将出现哪种结果，这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是，随机现象绝不是杂乱无章的现象，这里的“随机”有两方面意思：①这种现象的结果不确定，发生之前不能预言；②这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定，带有某种偶然性，但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性，我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性，从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.（2）必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.（3）随机试验满足的条件：可以在相同条件下重复进行；所有结果都是明确可知的，但不止一个；每一次试验的结果是可能结果中的一个，但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件，但有时为了叙述的简洁性，也可能包含不可能事件和必然事件.二、基本事件空间1、基本事件在试验中不能再分的最简单的随机事件，而其他事件都可以用它们进行描述，这样的事件称为基本事件.2、基本事件空间所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母Ω来表示，Ω中的每一个元素都是一个基本事件，并且Ω中包含了所有的基本事件.【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位，它不能再分，其他的事件都可以用这些基本事件来表示；在写一个试验的基本事件空间时，应注意每个基本事件是否与顺序有关系；基本事件空间包含了所有的基本事件，在写时应注意不重复、不遗漏.三、频率与概率1、频数与频率在相同条件S 下进行了n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则称在n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例()A n n f A n=为事件A 出现的频率.对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率()n f A 稳定在某个常数上，则把这个常数称为事件A 的概率，简称为A 的概率，记作()P A .3、频率与概率的关系（1）频率虽然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小，但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同，产生的频率也可能不同，所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小，但人们从大量的重复试验中发现：随着试验次数的无限增加，事件发生的频率会稳定在某一固定的值上，即在无限次重复试验下，频率具有某种稳定性.（2）概率是一个常数，它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时，所得到的频率就会近似地等于概率. 另外，概率大，并不表示事件一定会发生，只能说明事件发生的可能性大，但在一次试验中却不一定会发生.四、事件的关系与运算1、包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，则我们称 事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇（或A B ⊆）.2、相等关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生时，事件B 一定发生，并且如果事件B 发生时，事件A 一定发生，即若B A ⊇且A B ⊇，则我们称事件A 与事件B 相等，记作A B =.3、并事件如果某事件发生当且仅当事件A 或事件B 发生，则我们称该事件为事件A 与事件 B 的并事件（或和事件），记作A B ⋃（或A B +）.如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B也发生，则我们称该事件为事件A 与事件B的交事件（或积事件），记作A B⋂（或A B⋅）.5、互斥事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），则我们称事⋂为不可能事件（即A B件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生.6、对立事件如果事件A与事件B的交事件A B⋂=∅），而事件A与⋂为不可能事件（即A B事件B的并事件A B⋃=Ω），则我们称事件A与事件B互⋃为必然事件（即A B为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生.【注】事件的关系与运算可以类比集合的关系与运算. 例如，事件A包含事件B 类比集合A包含集合B；事件A与事件B相等类比集合A与集合B相等；事件A 与事件B的并事件类比集合A与集合B的并集；事件A与事件B的交事件类比集合A与集合B的交集……五、互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件是今后考察的重点，因此关于互斥事件与对立事件，我们很有必要再作进一步的说明.1、互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外，还要求这两个事件必须有一个发生. 因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件. 例如，掷一枚骰子，事件：“出现的点数是1”与事件：“出现的点数是偶数”是互斥事件，但不是对立事件；而事件：“出现的点数是奇数”与事件：“出现的点数是偶数”既是互斥事件，也是对立事件.2、互斥事件的概率加法公式（1）两个互斥事件的概率之和如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+；（2）有限多个互斥事件的概率之和一般地，如果事件1A ，2A ，…，n A 两两互斥，那么事件“12n A A A ⋃⋃⋃发生”（指事件1A ，2A ，…，n A 中至少有一个发生）的概率等于这n 个事件分别发生的概率之和，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋃⋃⋃=+++.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时，一定要首先确定各事件是否彼此互斥（如果这个条件不满足，则公式不适用），然后求出各事件分别发生的概率，再求和.3、对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件A 与B 而言，由于在一次试验中，事件A 与事件B 不会同时发生，因此事件A 与事件B 互斥，并且A B ⋃=Ω，即事件A 或事件B 必有一个发生，所以对立事件A 与B 的并事件A B ⋃发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之和，且和为1，即()()()()1P P A B P A P B Ω=⋃=+=，或()1()P A P B =-.【注】上述这个公式为我们求事件A 的概率()P A 提供了一种方法，当我们直接求()P A 有困难时，可以转化为先求其对立事件B 的概率()P B ，再运用公式()1()P A P B =-即可求出所要求的事件A 的概率()P A .4、求复杂事件的概率的方法求复杂事件的概率通常有两种方法：一种是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，然后再运用互斥事件的概率加法公式进行求解；另一种是先求其对立事件的概率，然后再运用对立事件的概率加法公式进行求解. 如果采用方法一，一定要准确地将所求事件拆分成若干个两两互斥的事件，不能有重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准所求事件的对立事件，并准确求出对立事件的概率.六、概率的基本性质1、任何事件的概率都在01之间，即对于任一事件A，都有0()1≤≤.P A2、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3、若事件A与事件B互斥，则()()()⋃=+.P A B P A P B4、两个对立事件的概率之和为1，即若事件A与事件B对立，则()()1+=.P A P B。

第一章随机事件及其概率总结随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的现象或结果。

在任何随机事件中，我们都可以通过概率来描述它发生的可能性。

概率是一个在0到1之间的数字，表示一些随机事件发生的可能性大小。

以下是关于随机事件及其概率的总结。

1.随机事件的分类随机事件可以分为两类：简单事件和复合事件。

简单事件是指只有一个结果的随机事件，而复合事件是指有多个结果的随机事件。

例如，抛一枚硬币的结果可以是正面或反面，这就是一个简单事件；而抛两枚硬币的结果可以是两个正面、两个反面或一个正面一个反面，这就是一个复合事件。

2.样本空间样本空间是指一些随机事件所有可能结果的集合。

通过样本空间，我们可以计算概率。

例如，抛一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，抛两枚硬币的样本空间为{正正，正反，反正，反反}。

3.事件的概率事件的概率是指一些事件发生的可能性大小。

概率可以通过以下公式计算：概率=事件的可能数/样本空间的总数。

例如，抛一枚硬币出现正面的概率为1/2，即0.5；抛两枚硬币出现两个正面的概率为1/4，即0.254.组合事件的概率组合事件是指由两个或多个简单事件组成的事件。

组合事件的概率可以通过以下公式计算：概率=简单事件1的概率×简单事件2的概率×……×简单事件n的概率。

例如，从一副扑克牌中抽出一张红心和一张方块的概率为(26/52)×(13/51)=1/85.互斥事件和对立事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的事件。

对立事件是指一个事件的发生排除了另一个事件的发生。

互斥事件的概率可以通过简单事件的概率之和计算；对立事件的概率可以通过1减去事件的概率计算。

6.大数定律大数定律是指随着试验次数的增加，事件的相对频率趋近于事件的概率。

也就是说，如果一个事件的概率为p，那么在进行n次独立的重复试验后，事件发生的频率将会接近于np。

例如，抛1000次硬币，正面出现的频率将会接近于500次。

第一章 随机事件与概率§1.1 随机事件及其运算1．1．1 随机现象在一定条件下必然出现的现象叫做确定性现象。

在相同的条件下可能出现也可能不出现，但在进行了大量重复地观测之后，其结果往往会表现出某种规律性的现象叫做随机现象。

(举例)为了研究和揭示随机现象的统计规律性，我们需要在相同条件下对随机现象进行大量重复地观测、测量或试验，统称为随机试验。

也有很多随机试验是不能重复的，比如某些经济现象、比赛等。

概率论与数理统计主要研究能够大量重复的随机现象，但也十分注意不能重复的随机现象的研究。

1．1．2 样本空间用{}ωΩ=表示随机现象的一切可能基本结果组成的集合，称为样本空间。

样本空间的元素，即每个基本结果ω，称为样本点。

例1 抛掷一枚硬币，观察正面和背面出现（这两个基本结果依次记为1ω和2ω）的情况，则该试验的样本空间为12{,}ωωΩ=例2 一枚骰子，观察出现的点数，则基本结果是“出现i 点”，分别记为iω（i ＝1，2，3，4，5，6），则该试验的样本空间为123456{,,,,,}ωωωωωωΩ= 例3 在一只罐子中装有大小和形状完全一样的2个白球和3个黑球，依次在2个白球上标以数字1和2，在3个黑球上标以数字3，4和5，从罐子中任取一个球，用i ω表示“取出的是标有i 的球”（i ＝1，2，3，4，5），则试验的样本空间为12345{,,,,}ωωωωωΩ=例4 在一个箱子中装有10个同型号的某种零件，其中有3件次品和7件合格品，从此箱子中任取3个零件，其中的次品个数可能是0，1，2，3，试验的样本空间为{0,1,2,3}Ω=例5 某机场问讯电话在一天内收到的电话次数可能是0，1，2，…，则试验的样本空间为{0,1,2,}Ω=L例6 考察某一大批同型电子元件的使用寿命（单位：h ），则使用的样本空间为[0,)Ω=+∞ 注意：1样本空间中的元素可以是数也不是数；2样本空间至少有两个样本点，仅含两个样本点的样本空间是最简单的样本空间；3从样本空间中所含的样本点个数来区分，样本空间可分为有限与无限两类，有限样本空间比如例1、2、3、4，无限比如例5、6，例5中样本点的个数是可列的，但例6中样本点的个数是不可列无限的。

随机事件的概念及其常见概率随机事件是指在相同的随机试验中，可以发生也可以不发生的事件。

随机事件的出现是由于试验过程中某些不确定的因素所决定的。

概率是研究随机事件发生规律的一种数学工具。

在概率论中，我们可以通过概率的计算和分析来描述随机事件的可能性和发生规律。

1. 随机事件的概念随机事件是指在一次或多次试验中可能发生的某个结果或一组结果。

每个试验具有明确的标准和确定的结果，但具体的结果却是不确定的。

例如，掷一颗骰子的结果是1、2、3、4、5或6，每个结果都是一种随机事件。

又如，从一副扑克牌中抽取一张牌，每个牌面的出现都是一种随机事件。

2. 随机事件的概率概率是用来度量随机事件发生可能性的数学工具。

概率通常用一个介于0到1之间的实数来表示。

当一个事件必然发生时，其概率为1；当一个事件不可能发生时，其概率为0。

事件发生的可能性越大，其概率就越接近1；事件发生的可能性越小，其概率就越接近0。

对于一个随机事件A，可以用P(A)来表示事件A发生的概率。

概率的计算可以通过以下公式进行：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的样本点数目，N(S)表示全体样本点的数目。

3. 常见概率的计算方法在实际应用中，我们经常需要计算一些常见随机事件的概率。

以下是几种常见的概率计算方法：3.1 事件的等可能性原理当一个试验的样本空间中的样本点具有相同的概率时，每个事件的概率可以通过事件包含的样本点数目与样本空间中的样本点总数之比来计算。

例如，掷一颗普通骰子，事件A为出现偶数点数，事件A的概率可以计算如下：P(A) = N(A) / N(S) = 3 / 6 = 1 / 23.2 事件的排列组合当一个试验的样本空间中的样本点不具有相同的概率时，我们可以利用排列组合的方法来计算事件的概率。

例如，从一副扑克牌中抽取一张红心牌的概率可以计算如下：P(A) = N(A) / N(S) = 26 / 52 = 1 / 23.3 事件的条件概率在一次试验中，如果一个事件A的发生与另一个事件B的发生有关，我们可以定义关于事件B发生的条件下事件A发生的概率为条件概率。