第五讲 自相关
高斯-马尔科夫假定五是：
(,)0,i j Cov i j εε=≠
如果该假定不成立，那么称模型的误差项是序列相关的。由于序列相关主要针对于时间序列数据，因此我们把脚标i 改写为t ，把样本容量N 改写为T 。
笔记：
1、如果基于横截面数据的回归模型其误差项是相关的，则称为空间自相关。但是要记住，除非观察顺序具有某种逻辑或者经济上的意义，否则，在横截面数据回归中，观察顺序是可以随意的，因此，也许在某种观测顺序下误差项呈现出一种模式的自相关但在另一种观测顺序下又呈现出另外一种模式的自相关。然而，当我们处理时间序列时，观测服从时间上的一种自然顺序。
2、在时间序列模型中，误差项经常被称之为冲击(Shock)。对经济系统的冲击经常具有持续性，从而这为误差项序列相关提供了现实依据。
一、 自相关的后果
与仅仅违背同方差假定一样，仅仅违背序列无关假定并不影响OLS 估计量所具有的线性、无偏性、一致性等性质。在误差项序列相关的情况下，OLS 估计法
并没有利用这个信息，故OLS 估计量不是最有效的。
我们下面来推导在误差项序列相关情况下OLS 估计量的方差表达。假定真实模型是：
t 01t t y x ββε=++
则
1
2ˆ12222()()()()(())()()[()]t t t t t t t t t x x Var x x x x Var x x Var x x x x βεδβεε-=+---==--∑∑∑∑∑∑ 在假定五：0,0t t j j εεδ+=≠下，有：
1
22
ˆ222()[()]t t t x x x x βεδδ-=-∑∑ 但如果假定五不成立，那么正确的方差表达式应该是：
12
ˆ1221122()2()()[()]t t t j T T t t t t j t j t x x x x x x x x βεεεδδδ+--+==-+--=-∑∑∑∑
所以， OLS 法下通常的系数估计量方差的表示是错误的，一般来说它小于真实的方差。这是因为，对于经济数据来说，正的序列相关是最常见的，因此t t j εεδ+一般为正，而()()t t j x x x x +--一般也是正的。因此，111
()()t t j T T t t t j t j x x x x εεδ+--+==--∑∑一般是大于0的。 计量软件包默认状态下通过公式：
1ˆ)(se β=来计算1ˆβ的标准误，其中用22ˆˆ2
i N δε=-∑来估计误差项的方差。利用这个公式的理由在于：在误差项同方差与
序列无关假定下有：1ˆ)(sd β=，而22ˆˆ2
i N δε=-∑是对2δ的无偏与一致估计估计。显然，当同方差与序列无关假定中的任意一个不成立时，基
于
1ˆ)(se β=当序列无关假定被违背时，基于上述公式所计算的标
准误很可能低估1
ˆβ的真实的标准差（当序列无关假定被违背时，异方差稳健标准误也面临着低估问题，因为该稳健标准误同样是假定误差项序列无关）。
当然，依靠错误的标准误所进行的t 检验也是无效的。标准的F 检验在序列相关情况下也是无效的。 笔记：
1、如果误差项序列相关，即使其他高斯-马尔科夫假定成立，但2RSS/ δ并不服从卡方分布，而2RSS/ δ对于构造F 检验十分重要。
2、模型设定错误很可能是误差项呈现出序列相关性的一个
原因。例如，如果模型遗漏了解释变量，而这些被遗漏的变量是自相关的，则当这些被遗漏变量进入误差项后，误差项将呈现出自相关性。在实践中，序列相关与异方差一样，也被认为是模型设定错误的信号。如果产生自相关性的原因是模型设定有误，那么我们首先应该正确设定模型。
二、 发现自相关
与异方差检验一样、我们是通过对残差的分析来检验序列无关假定是否被违背。因此，序列无关检验同样隐含着一个前提，即残差是对误差的良好近似。而高斯-马尔科夫假定中的假定一、二、三被违背将使得很多检验方法无效。
（一）图示法
图一：正序列相关
ˆt ε
ˆt ε
图二：负序列相关
如果残差随着观测顺序的变化并不频繁地改变符号，见图一，则这是误差项序列正自相关的证据；如果残差随着观测顺序的变化频繁地改变符号，则这是误差项序列负自相关的证据，见图二。
笔记：
1、与上述图形检验思路一样但更正规的一种检验方式是游程检验（runs test）。首先记录残差的符号，例如：(++++++++++)(--)(+++++++)(-)(++++++)。所谓游程是指具有同一符号的一个不间断历程。在此例中，具有5个游程。直观来看，如果游程太多，这意味着残差频繁地改变符号，而这是负自相关的证据；反之，如果游程太少，则是正自相关的证据。我们是用残差来近似作为误差的观测值。给定观测值的个数，利用Swed & Eisenhart所给出的一定显著水平下关于游程数的两个临界值，我们可以检验误差是独立的这个原假设。详情可参见相关教科书。
2、在图一中，残差大约在三个位置改变了符号，你也许会问，这不是违背了正序列相关的判断吗？记住！我们发现的正序列相关是统计规律，而统计规律是大部分观测所具有的规律。
（二）Durbin-Watson检验
DW检验用来检验误差项是否存在一阶自相关。首先利用OLS残差ˆt 构造检验统计量：
212
21ˆˆ()ˆT t t t T t t DW εεε-==-=∑∑ 显然，2211122222211ˆˆˆˆˆˆ22(1)ˆˆT T T T t t t t t t t t t t T T t t t t DW εεεεεεεε---======+-=
≈-∑∑∑∑∑∑，而
2121
ˆˆˆ/T T t t t t t εεε-==∑∑是残差（样本）一阶自相关系数ˆρ的近似，因此，ˆ2(1)DW ρ
≈-。 笔记：
按照定义，一阶样本自相关系数是：
1111ˆˆˆˆ()()ˆT T T t t t t εεεερ
----=∑∑∑ 而1221111ˆˆˆ011T T T t t t t t t T T T εεε-===≈≈=--∑∑∑。应该注意，模型
应该带有截距，以保证残差均值为0。另外，
≈
≈故2121
ˆˆˆ/ˆT T t t t t t εεερ-==≈∑∑。注意，要使得ˆρ是对误差项一阶自相关系数的恰当近似，我们要求误差项是同方差的。关于自相关系数所涉及到的一些假设可参见本章 “相关图分析”一节。
