高等数学-初等函数

教师：接下来，我们学习第一节映射与函数中的函数。

一、函数 （板书）1. 函数的概念 （板书） 定义 设数集D ⊂R , 则称映射f : D →R 为定义在D 上的函数, 通常简记为y =f (x ), x ∈D ,其中x 称为自变量， y 称为因变量, D 称为定义域， 记作D f ， 即D f =D 。

函数值f (x )的全体构成的集合称为函数f 的值域，记作R f = f (D )={y| y =f (x ), x ∈D }.2. 函数的两要素 （板书）构成函数的两个重要因素：定义域及对应法则 .如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.（熟记）3. 常见函数 （板书）（1） 函数 2y = 定义域D =(-∞, +∞)，值域W ={2}（2） 绝对值函数：⎩⎨⎧<-≥==00 ||x x x x x y 其定义域为D =(-∞, +∞)， 值域为R f =[0, +∞)。

（3） 符号函数：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==01000 1sgn x x x x y 其定义域为D =(-∞, +∞)， 值域为R f ={-1, 0, 1}。

（4） 取整函数：设x 为任一实数，不超过x 的最大整数，称为x 的整数部 分, 记作[ x ]，例如0]75[=, 1]2[=, [π]=3。

把x 看作变量，函数y = [ x ]即为取整函数。

其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =Z 。

（5） 分段函数:老师：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

符号函数和取整函数都是分段函数。

例：狄利克雷函数1()0x y D x x ⎧==⎨⎩当是有理数时当是无理数时 4. 函数的几种特性 （板书）（1） 函数的有界性设函数f (x )的定义域为D , 数集X ⊂D . 如果存在数K 1, 使得f (x )≤K 1对任一x ∈X 都成立, 那么称函数f (x )在X 上有上界，K 1称为函数f (x )在X 上的一个上界。

第一章 函数、极限与连续§1.1 初等函数在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，而函数的概念是变量间依赖关系在数学中的反映，函数的概念是微积分研究的主要对象。

下面我们首先复习和归纳中学数学中关于函数的知识，然后引入初等函数的相关概念。

一 邻域邻域是一个经常用到的概念，以前我们学习过区间，那么什么是邻域呢？下面我们用区间来说明邻域的概念。

设有两个数,a δ∈且0δ>，则称实数集{}x x a δ-<为点a 的δ邻域。

记为(,)U a δ，即{}(,)U a x x a δδ=-<，a —(,)U a δ的中心，δ—(,)U a δ的半径。

用图形表示为如果再把这邻域的中心a去掉,就称它为a 的去心δ邻域,记作(,)U a οδ,即 {} 0 ),(δδο<-<=a x x a U 。

为了方便起见，称开区间(),a a δ-为点a 的左δ邻域，称(),a a δ+点a 的右δ邻域。

这里邻域的半径δ虽然没有规定其大小,但在使用中一般总是取为很小的正数．并且大多数情形下并不一定要指明δ的大小,这时我们往往把a 的邻域和a 的去心邻域分别简化为()U a 和()U a ο。

二 函数的概念在具体研究某一自然现象或实际问题的过程中,我们还会发现问题中的变量并不是独立变化的,它们之间往往存在着相互依赖关系．为了说明函数的概念，我们首先看两个例子;例1 自由落体问题一个自由落体,从开始下落时算起经过的时间设为t (秒),在这段时间中落体的路程设为s (米)．由于只考虑重力对落体的作用,而忽略空气阻力等其它外力的影响,故从物理学知道s 与t 之间有如下的依赖关系212s gt = (1) 其中g 为重力加速度(在地面附近它近似于常数,通常取9.8g =米/秒2)． 如果落体从开始到着地所需的时间为T ,则变量t 的变化范围(或称变域)为 0t T ≤≤．当t 在变域内任取一值时,由(1)可求出s 的对应值．例如 x a a a δδ+-1t =(秒)时,219.81 4.92s =⨯⨯=(米); 2t =(秒)时,219.8219.62s =⨯⨯=(米)． 例2 圆的面积S 和半径r 之间存在这样的依赖关系：2r S π=不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。

高等数学公式与定理（第六版上册）第一章 函数与极限第一节：初等函数幂函数：a x y =(是常数）R a ∈ 指数函数：x a y =（a >0且)1≠a对数函数：y=x a log (a>0且a ≠1，特别当a=e 时，记为y=lnx) 三角函数: 如y=x sin 等 反三角函数：如y=arctan x 等第二节：数列的极限收敛数列的性质：定理1 (极限的唯一性)如果数列{x n }收敛，那么它的极限唯一。

定理2 (收敛数列的有界性)如果数列{x n }收敛，那么数列{x n }一定有界。

定理3 (收敛数列的保号性)如果,lima x n n =∞→且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0，当n>N 时，都有.n x >0(.n x <0)定理 4 (收敛数列与其子数列的关系)如果数列{.n x }收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节 函数的极限函数极限的性质定理1 (函数极限的唯一性) 如果)(limx f xx →存在，那么这极限唯一.定理2 （函数极限的局部有界性）如果)(limx f xx →=A 存在，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<{0x x - }<δ时，有)(x f M≤.定理 3 （函数极限的局部保号性）如果)(limx f xx →=A ，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0，使得δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）定理3′ 如果)0()(lim 0≠=→A A x f xx ,那么就存在着n x 的某一去心邻域),(00x U 当)(00x U x ∈时，就有2)(0A x f >.推论 如果在0x 的某去心邻域内)0)x 0)(0≤≥（或（f x f ，而且A x f x x =→)(lim 0，那么）或（00≤≥A A定理4 （函数极限与数列极限的关系） 如果极限)(limx f xx →存在，{n x }为函数)(x f 的定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足：)(*0N n x x n ∈≠,那么相应的函数数列)(n x f 必收敛，且).(lim )(lim 0x f x f x x n →∞→=第四节 无穷小与无穷大定理 1 在自变量的同义一变化过程0x x →)x (∞→或中，函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是,)(a A x f +=其中a是无穷小。

基本初等函数公式总结基本初等函数是数学中非常重要和常用的一类函数，它们的定义域和值域都是实数集合。

它们包括多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

这些函数有一些特殊的性质和公式，下面将对这些基本初等函数进行总结。

1.多项式函数：多项式函数是一个由常数项、一次幂、二次幂等有限次幂的项组成的函数。

它的一般形式为：f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0其中n为非负整数，ai为常数。

多项式函数的性质包括：-定义域为实数集合；-值域为实数集合；-对称性：奇次多项式函数关于原点对称，偶次多项式函数关于y轴对称；-当x趋向于正无穷大时，最高次幂项的次数决定函数的变化趋势；-多项式函数的导数是比它次数低一阶的多项式函数。

2.有理函数：有理函数是一个多项式函数除以另一个多项式函数的商。

它的一般形式为：f(x)=P(x)/Q(x)其中P(x)和Q(x)都是多项式函数，Q(x)不为零。

有理函数的性质包括：-定义域为实数集合，除去使得分母为零的点；-值域为实数集合；-有理函数的奇点是使得分母为零的点；-当x趋向于无穷大时，有理函数的变化趋势由最高次幂项的次数和系数决定；-有理函数的导数可以通过求导法则得到。

3.指数函数：指数函数的一般形式为：f(x)=a^x其中a为正常数且不等于1、指数函数的特点包括：-定义域为实数集合；-值域为正实数集合；-指数函数的图像是逐渐增长或逐渐衰减的曲线；-指数函数的性质和变化趋势与底数a的大小有关；-指数函数的导数是函数本身的常数倍。

4.对数函数：对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)其中a为正常数且不等于1、对数函数的性质包括：-定义域为正实数集合；-值域为实数集合；-对数函数的图像是逐渐增长或逐渐衰减的曲线；-对数函数的性质和变化趋势与底数a的大小有关；-对数函数的导数可以通过换底公式和链式法则计算。

5.三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

初等函数认识初等函数需要四个层次： (1) 基本初等函数 (2) 简单函数 (3) 复合函数 (4) 初等函数学习时，注意概念及注，注意分类，要会判断初等函数所属类型，为求导数、积分奠定基础1、基本初等函数 (1) 定义以下六类函数称为基本初等函数 ①C y =(C 为常数)② αx y =③x a y =(1,0≠>a a )，特别以e 为底，x e y =④ x y a log =，特别以e 为底，x y ln =⑤x y sin =、x y cos =、x y tan =、x y cot =、x y sec =、x y csc =⑥ x y arcsin =、x y arccos =、x y arctan =、x arc y cot = 由于经济学中不涉及三角和反三角函数，因而后面不讲解，请需要者自学 (2) 基本初等函数的性质① C y =(C 为常数)实质：看不到自变量 如：2=y ，2e y =，2ln 等常数函数的特点是：不管自变量取几，所对应的函数值都是该常数 如：已知2)(==x f y则：2)0(=f ，2)1(=f ，2)8(=-f ，……)点，平行于X 轴的一条直线②αxy=(α为常数，且0≠α)实质：底为变量，指数为实常数如：xy=，2xy=，21xxy==，331-==xxy，43431-==xxy等由于讨论的实际问题中的自变量通常＞0，故讨论0>x时幂函数特性<1> 0>α单增（左图）①1=α均匀增长；1>α越增越快；10<<α越增越慢；②α越大，增长速度越快<2> 0<α单减（右图）α越大，单减速度越快>α0<α运算性质：baba xxx+=⋅，b abaxxx-=，abba xx=)(③xay=(1,0≠>aa)，特别以71828.2≈e为底，x ey=实质：底为常量，指数为变量【注意与幂的区别】如：xy2=，xy)21(=，x ey=等注意：值域0>y指数函数的特点是：当自变量改变量相同时，因变量变化的百分比相同xxeey)1(==-，图形与x ey=关于xy=对称当底1>a时，函数单增当底10<<a时，函数单减④x y a log =，特别以71828.2≈e 为底：x y ln =——自然对数函数 特别：01ln =，1ln =e 对数函数运算性质：b a ab ln ln )ln(+=，b a b aln ln ln-=——乘除变加减 a b a b ln ln =，a ba b ln 1ln =——乘方、开方变为乘和除a e a =ln ，a e a =ln(3) 自变量的字母可以任意，但自变量出不能不是⋅1自变量1① C y =——看不到自变量② αx y =——自变量处在底③x a y =(1,0≠>a a )，特别以e 为底，x e y =——自变量处在指数④ x y a log =，特别以e 为底，x y ln =——自变量处在真数部分——对数符号后面 如：x e y =是指数函数，自变量处在指数部分，现在，自变量处为一个单独自变量11x ⋅，故为基本初等函数u e y =（u 为变量）也是指数函数，自变量处在指数部分，现在，自变量处为一个单独自变量11u ⋅，故为基本初等函数但xe y 2=，表面看上去也是指数函数，自变量处应该在指数部分，但现在自变量处为x 2，不是一个单独自变量11x ⋅，故该函数不是基本初等函数函数2x e y =，表面看上去也是指数函数，自变量处应该在指数部分，但现在自变量处为2x ，也不是一个单独自变量11x ⋅，故该函数不是基本初等函数再如，函数10x y =是10次幂函数，自变量处在底，现在，自变量处为一个单独自变量11x⋅，故为基本初等函数函数10u y =（u 为变量）也是10次幂函数，因为幂函数的自变量处在底，现在，自变量处为一个单独自变量11u ⋅，故为基本初等函数而函数函数10)1(+=x y 看上去也是10次幂函数，但幂函数的自变量处在底，现在，自变量处（底）为1+x ，而不是一个单独自变量11x ⋅，故不是基本初等函数同理：x y ln =是基本初等函数中的对数函数，而)1ln(x y -=不是基本初等函数x y =是基本初等函数中的21次幂函数，而12+=x y 不是基本初等函数……【例1】判断下列函数是否为基本初等函数，若是，属于哪一类？(1) Q R =21Q R =，底为变量，指数为常数，具有幂函数的形式由于幂函数的自变量处在底，而函数自变量处（底）恰为⋅1自变量1故是基本初等函数，是21次幂函数 (2) x e y =底为常数e ；指数部分为变量，故具有指数函数的形式由于指数函数的自变量处在指数部分，而函数自变量处（指数部分）恰为⋅1自变量1故是基本初等函数，是以e 为底的指数函数 (3) 2e y =底为常数e ；指数也是常数，故整个函数没有自变量 故为基本本初等函数，是常函数 (4) ex y =底为变量，指数为常数，故整个函数具有幂的形式而幂函数的自变量处在底，而函数自变量处（底）恰为⋅1自变量1是基本初等函数，是e 次幂函数 (5) xx y =有底也有指数，但两者都变，既不是幂，也不是指数，故该函数不是基本初等函数 (6) x y 2=2=y 是基本初等函数中的常数函数，x y =为基本初等函数中的幂函数（1次幂）但整个函数为两个基本初等函数的乘积，故整个函数不是基本初等函数 (7) p Q 5100-=不是基本初等函数是由常数函数100，5和幂函数1p 经乘和减形成的函数，故不是基本初等函数 (8) x e y -=底为常数e ；指数部分为变量，故具有指数函数的形式由于指数函数自变量处在指数，该函数自变量处（指数部分）为x -，不是⋅1自变量1故不是基本初等函数2、简单函数例1中的x y 2=和p Q 5100-=两个函数，都是由基本初等函数做加、减、乘、除四则运算得到的函数，称为简单函数，定义如下(1) 定义——由基本初等函数经有限次四则运算（加、减、乘、除）得到的函数如Q R 2=，p Q 5100-=都是简单函数(2) 注意：简单函数中的四则运算，不能发生在自变量处如函数22x y =为简单函数，它是常数函数2=y 与幂函数2x y =的乘积，乘发生在了基本初等函数与基本初等函数间了，因而为简单函数而函数2)2(x y =不是简单函数，虽然他也有一个乘的运算，但乘发生在了幂函数2u y =的自变量处（底）了，故不是简单函数 同样：xey -=，因为底为常数，指数部分发生变化，故可看成指数函数的形式，但指数函数的自变量处在指数部分，现在乘的运算x ⋅-1恰恰发生在指数部分，故函数不是基本初等函数，也不是简单函数【例2】判断下列函数是否为简单函数，若是，最后运算是什么？(1) 12+=x y ：是，最后运算为“加” (2) xe y 2=：是，最后运算为“乘” (3) x y ln 1-=：是，最后运算为“减”(4) xx e xx e y +-=1ln 2：是，最后运算为“除”(5) 2)12(+=x y ：不是，因为四则运算发生在了幂函数的自变量处——底处了 (6) )1ln(x y -=：不是，因为四则运算发生在了对数函数的自变量处——真数部分了3、复合函数(1) 复合函数引例已知销售收入R 是随着销售量Q 的变化而变化的，是销售量的函数)0()(≥==Q e Q f R Q 而销售量Q 又是随着时间t 的变化而变化的，是时间t 的函数)0(30)(≥==t t t Q ϕ将)0(30)(≥==t t t Q ϕ代入函数)0()(≥==Q e Q f R Q 中，有)0())((30≥==t e t f R t ϕ 于是销售收入R 随时间t 的变化而变化的，是时间t 的函数称)0(30≥=t e R t 是由函数)0()(≥==Q e Q f R Q 和)0(30)(≥==t t t Q ϕ复合而成的复合函数，记作：))((t f R ϕ=其中称)(Q f R =为外层函数，)(t Q ϕ=为内层函数，Q 为中间变量，或称)(t ϕ为中间变量 (2) 复合函数概念设)(u f y =，)(x u ϕ=，当Φ≠)()(ϕZ f D 时，称))((x f y ϕ=为复合函数x ：自变量，y ：因变量，)(x u ϕ=：中间变量 ϕ为内层函数，f 为外层函数即：在复合函数))((x f y ϕ=中，给出x ，按一定顺序求出y 值，先做的叫内，后做的叫外 如函数)0(30≥=t eR t中，给出自变量t ，求因变量R 的值先求t 30，再求e 的若干次方，故先做的t 30称为内层函数，后做的e 的若干次方称为外层函数 可见，复合函数可以看作，以函数)(x u ϕ=为自变量的函数，称为函数的函数，为复合函数 (3) 复合函数的实质复合函数是函数的函数，函数套函数 (4) 复合函数的判断方法自变量处不是单独自变量，而是函数，整个函数就构成复合函数 (5) 复合函数的分解复合函数分解的原则：① 求函数值时，先做的运算为内，后做的运算为外，先分出来)；② 注1：分解出的函数不能再有复合，且只可能最内层为简单函数，外层都是基本初等函数 如teR 30=，由于自变量处（指数部分）不是单独自变量，而是函数，故函数为复合函数内层函数为t 30，外层为e 的若干次方，故先将指数函数e 的若干次方分解出来，且按照分解的第②条原则，要想使其称为基本初等函数，自变量处必须只能为一个单独自变量，用u ，故有：u e R =，u 是t 30，由于t 30为简单函数，复合分解原则，故不用分解故复合函数teR 30=由ue R =和t u 30=两个函数复合而成【例3】判断下列函数是否为复合函数？若是，将其分解(1) 5)23(+=x y 可看成由5u y =，23+=x u 复合而成的复合函数； (2) )12ln(+=x y 可以看成u y ln =，12+=x u 复合而成的复合函数； (3) 2x e y =可以看成u e y =，2x u =复合而成的复合函数；(4) 22)(ln ln x x y ==可看成2u y =, x u ln =复合而成的复合函数；(5) 2ln x y =可以看成u y ln =，2x u =复合而成的复合函数；(6) x y ln ln =可看成u y ln =, x u ln =复合而成的复合函数； (7) 12+=x y 可以看成21u u y ==，12+=x u 复合而成的复合函数；(8) xey -=可以看成u e y =，x u -=复合而成的复合函数；(9) )23(ln 2x y -=可看成2u y =，v u ln =，x v 23-=复合而成的复合函数；(10) 10)12(+=x ey 可以看成ue y =，10v u =，12+=x v 复合而成的复合函数．【练习】判断下列函数是否为复合函数？若是，将其分解(1) )1ln(x y -=； u y ln =，x u -=1．(2) xe y 1=； u e y =，11-==x xu ． (3) )21ln(x y +=； u y =，v u ln =，x v 21+=．(4) 121ln2-=x y ． 2u y =，v u ln =，121-=x v ．4、初等函数(1) 初等函数的定义由基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合得到的，并可由一个解析式表示的函数 如：p pe R 2-= (2) 初等函数的分类基本初等函数、简单函数、复合函数都是初等函数，但根据后面求导及积分的需要，有必要将初等函数进一步划分到小类中初等函数除包含基本初等函数、简单函数、复合函数外，还包含象函数p pe R 2-=一样的，将四则运算与复合运算穿叉进行的初等函数——穿叉型初等函数【例4】判断下列初等函数是基本初等函数、简单函数、复合函数还是穿叉型初等函数？若为基本初等函数指明属于哪一类，若为复合函数将其分解．简单函数和穿叉型初等函数说明其最后运算． (1) 5x y =：基本初等函数中，幂函数(2) 235+=x y ：简单函数，最后运算为“加”(3) 5)23(+=x y ：复合函数，由5u y =，23+=x u 复合而成的复合函数； (4) 5)23(+=x e y x：穿叉型初等函数，最后运算为“乘”。