2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷(理科)

2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷（理科）（1）一、选择题(5&＃215；12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1．设全集U=R，集合A=｛x|0＜x＜2}，B={x｜x＜1｝，则集合（∁U A）∩B=( ）A．(﹣∞，0）B．(﹣∞,0] C．（2,+∞） D．[2,+∞)2．已知复数Z的共轭复数=，则复数Z的虚部是（)A．B． i C．﹣ D．﹣ i3．命题“∃x0≤0，使得x02≥0”的否定是（）A．∀x≤0，x2＜0 B．∀x≤0,x2≥0 C．∃x0＞0，x02＞0 D．∃x0＜0，x02≤04．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心,且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为( ）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=05．五个人坐成一排，甲要和乙坐在一起，乙不和丙坐在一起,则不同排法数为（)A．12 B．24 C．36 D．486．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为（）A．B．C．6 D．77．已知公差不为0的等差数列{a n}，它的前n项和是S n,,a3=5,则取最小值时n=( ）A．6 B．7 C．8 D．98．已知，则y=f（x）的对称轴为( ）A．B． C．D．9．算法如图，若输入m=210，n=119，则输出的n为（）A．2 B．3 C．7 D．1110．设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的x≥0，y≥0最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．411．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，连结AF1、BF1，若｜AB|=｜BF1|且,则双曲线的离心率为（）A．B． C．D．12．已知定义在R上的函数f(x），其导函数为f’（x），若f’（x）﹣f（x）＜﹣2,f（0）=3，则不等式f （x）＞e x+2的解集是（）A．（﹣∞，1）B．（1,+∞） C．（0，+∞) D．（﹣∞，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，是夹角为的两个单位向量, =﹣2， =k+，若•=0，则实数k的值为．14．已知的展开式中，x3项的系数是a，则= ．15．函数f（x）=,若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．16．已知等边三角形ABC的边长为，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△ABC折成直二面角，则四棱锥A﹣MNCB的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b，c．已知,．（1）求证：；（2）若a=2，求△ABC的面积．18．康杰中学高三数学学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，在全市高三年级学生中随机抽取100名同学的上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有16人，语文成绩优秀但外语不优秀的有14人，外语成绩优秀但语文不优秀的有10人．(1）根据以上信息，完成下面2×2列联表:语文优秀语文不优秀总计外语优秀1610外语不优秀14总计(2）能否判定在犯错误概率不超过0。

山西省运城市康杰中学2017年高考模拟（理科）数学试卷（5）答 案1~5．CCCBC 6~10．BDAAB 11~12．BA 13．1-14．10x y +-= 15．R =16．30017．解：（1）因为图象的最高点为(3,S所以A =由图知sin y A x ω=的周期为12T =，又2πT ω=，所以π6ω=，所以π6y x = 所以(4,3),(8,0)M P|5|MP ==（2）在,120MNP MNP ∠=︒△中，故(0,60)θ∈︒︒ 由正弦定理得5sin20sin sin(60)NP MNθθ==︒︒-，所以.,)NP MN θθ==︒-. 设使折线段赛道MNP 为L 则))sin ]60)L θθθθθ=︒-=︒-+=+︒ 所以当角30θ=︒时L18．解：（1）当13t =时，PA MQB ∥平面下面证明：若PA MQB ∥平面，连AC 交BQ 于N由AQ BC ∥可得，ANQ BNC △∽△，12AQ AN BC NC ∴== ,PA MQB PA PAC ⊂∥平面平面，平面PAC I 平面MQB MN =，PA MN ∴∥13PM AN PC AC ==即：1133PM PC t =∴= （2）由2PA PD AD ===，Q AD 为的中点，则PQ AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，连BD ， 四边形ABCD 为菱形，,60AD AB BAD ABD =∠=︒Q △为正三角形，Q 为AD 中点，AD BQ ∴⊥以Q 为坐标原点，分别以QA QB QP 、、所在的直线为x y z ，，轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为(1,0,0)(0,0)(0,0,0)(0,0,A B Q P ，，，设平面MQB 的法向量为(,,)n x y z =r，可得0 0n QB n MN ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u u r g r u u u u rg 而PA MN ∴∥ 00 n QB v n PA ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u r u u u r g r u u u r g，00x =-=⎪⎩取1z =，解得0,1)n =r取平面ABCD的法向量(0,0,QP =u u u r设所求二面角为θ，则| |1cos 2|||n|QP n QP θ==u u u r r g u u ur r 故二面角M BQ C --的大小为60︒19．解：（1）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为12， 有一道题目做对的概率为13，有一道做对的概率为14，∴所得40分的概率为1111 23424P ==g g （2）依题意，该考生得分的范围为25，30，35，40得25分做对了5题，其余3题都做错了，∴概率为11231 2344P==g g 得30分是做对5题，其余3题只做对1题，∴概率为212311312111 23423423424P=++=g g g g g g 得35分是做对5题，其余3题做对2题，∴概率为31131211111 2342342344P=++=g g g g g g 得40分是做对8题，∴概率为4124p =∴得30分的可能性最大（3）由（2）得ξ的分布列为：ξ25 30 35 40P14 112414 12411111730525 30 35 40 304244242412E ξ∴=+++==g g g g20．（Ⅰ）解：由MOF △是等腰直角三角形，得2224,8c b a ===， 故椭圆方程为：22184x y +=．（Ⅱ）证明：（1）若直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为：y kx m =+，依题意得2m ≠±， 设1122(),,,()A x y B x y ，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(12)4280k x kmx m +++-=， 则2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++ 由已知128k k +=，可得1212228y y x x --+=， 所以1212228kx m kx m x x +-+-+=，即()1212228x x k m x x ++-=． 所以42mk k m -=+，整理得122m k =-． 故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即1()22y k x =+-．所以直线AB 过定点1(,2)2--．（2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，设0000(),,,()A x y B x y -，由已知0000228y y x x ---+=，得012x =-． 此时AB 方程为12x =-，显然过点1(,2)2--． 综上，直线AB 过定点1(,2)2--．21．解：（1）()(1)af x x a x'=+-+Q ，①0a ≤当时，若01x <<，则()0f x '<，故函数()f x 的单调减区间是(0,1)；若1x >，则()0f x '>，故函数()f x 的增区间是(1,)+∞．②当01a <<时，函数()f x 的单调减区间是(,1)a ；单调增区间是(0,)(1,)a +∞,． ③当1a =时，则2(1)()0x f x x-'=≥，故函数()f x 的单调增区间是(0,)+∞；④当1a >时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)a ；函数()f x 的单调递增区间是(0,1)(,)a +∞,．（2）由于1(1)2f =-， 当0a >时(1)0f <，此时()0f x ≥对定义域内的任意x 不是恒成立的．当0a ≤时，由（1）得,()f x 在区间(0,)+∞上的极小值，也是最小值为1(1)2f =-， 此时，(1)0f ≥，解得12a ≤-， 故实数a 的取值范围是1(,)2-∞-．（3）由2（）知，当12a =-时， 2111()ln 0222f x x x x =-+≥-，当且仅当1x =时，等号成立，这个不等式等价2ln x x x ≤-于． 当1x >时，变换为21111ln 1x x x x x>=---， 因此不等式左边11111111()()...()1121()n m m m m m n m n m m n m m n >-+-++-=-=++++-+++， 从而得证．22．解：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2239x y +-=．（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(cos sin )70t t αα+--=， 由2(2cos 2sin )470αα=-+⨯>V ，故可设12t t ，是上述方程的两根，12122(cos sin ) 7t t t t αα+=--⎧∴⎨=-⎩g ， 又直线过点(1,2)，故结合t 的几何意义得1212||||||||||PA PB t t t t +=+=-，||||PA PB +∴的最小值为23．解：（1）由()f x a ≤，得1122a ax -+≤≤． 因为不等式()f x a ≤的解集为1|}0{x x ≤≤，所以102112aa -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得1a =．（2）11()()(1)|21||21|g x f x f x m x x m==+++-+++的定义域为R ，可得|21||21|0x x m +++≠﹣恒成立．|||(21||2121)(21)|2,2x x x x m -++≥--+=∴>Q -．山西省运城市康杰中学2017年高考模拟（理科）数学试卷（5）解 析1．【考点】5A ：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等的性质求出x y ，，再利用复数的代数形式的乘除运算法则能求出结果．【解答】解：i x y R ∈Q ，，为虚数单位，且2i 1i x y =+（﹣）﹣﹣，∴211x y -=⎧⎨-=-⎩，解得31x y ==，，421i 1i 2i 4x y +∴+=+==（）（）（）﹣．故选：C ．2．【考点】1H ：交、并、补集的混合运算． 【分析】先求出R B ，ð从而根据集合A 及RA B R =U（）ð即可求出a 的取值范围． 【解答】解|}12{R B x x x =≤≥Q ：，或ð， R A B R ∴=U 若（）；ð2a ∴≥． 故选C ．3．【考点】85：等差数列的前n 项和． 【分析】设公差为d ，由101221210S S -=，得1d =，从而201711112016,201320171S S S a -+⨯==-，由此能求出2017S ．【解答】解：{}n a Q 为等差数列，∴n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列， 设公差为d ，Q101221210S S -=， 1d ∴=，201711112016,201320171S SS a -+⨯==-，2017201736051S ∴=⨯=．故选：C ．4．【考点】7C ：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z ax y =+取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论． 【解答】解：不等式对应的平面区域如图： 由z ax y =+得y ax z =+﹣，若0a =时，直线y ax z z =+=﹣，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．若0a ﹣＞，则直线y ax z =+﹣截距取得最大值时，z 取的最大值，此时满足直线y ax z =+﹣与2y x=﹣平行， 此时1a =﹣，解得1a =﹣．若0a ﹣＜，则直线y ax z =+﹣截距取得最大值时，z 取的最大值，此时满足直线y ax z =+﹣与314y x =+﹣平行，此时3a =﹣﹣，解得3a =． 综上满足条件的3a =或1a =﹣， 故实数a 的取值集合是{31}，﹣， 故选：B ．5．【考点】L !：由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P ABCD ﹣的四个侧面中面积，得到最大值即可．【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3所以后面三角形的面积为：142⨯=两个侧面面积为：12332⨯⨯=，前面三角形的面积为：1462⨯=，四棱锥P ABCD ﹣的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6． 故选C ．6．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据导数的几何意义写出g x （）的表达式．再根据图象的对称性和函数值的分布，逐一判断． 【解答】解：由题意，得g x xcosx =（），因为g x g x =（﹣）﹣（）所以它是奇函数， 0000k g x y x x cosx =='=（）（），图象关于原点对称，排除A C ，，排除B C ，．又当π012x <＜＜时，00cosx xcosx ∴＞，＞，知D 项不符合， 故选：B ．7．【考点】2K ：命题的真假判断与应用． 【分析】由平均数的定义，计算即可判断①； 运用平均数、中位数和众数的定义，即可判断②； 由线性回归直线必过样本中心点，即可判断③；由ξ服从正态分布20N σ（，），即曲线关于y 轴对称，求得2P ξ（＜﹣），即可判断④． 【解答】解：①由题意可得这两个班的数学平均分为①，故①错；②由题意可得11517141015171716141214.7151710a b c =+++++++++===（），，，即有c b a ＞＞，故②错；③由线性回归方程的特点，可得回归直线ˆˆˆy bxa =+必过样本中心点(),x y ，故③对； ④已知ξ服从正态分布20N σ（，），且200.4P ξ≤≤=（﹣），则20.50.40.1P ξ==（＜﹣）﹣， 则220.1PP ξξ==（＞）（＜﹣），故④错． 故选：D8．【考点】GQ ：两角和与差的正弦函数．【分析】比较题设条件与结论，可知应利用角的关系2ααβαβ=++（）（﹣）求解．【解答】解：[]2sin sin sin cos cos sin ααβαβαβαβαβαβ=++=+++Q （）（﹣）（）（﹣）（）（﹣），Q ∵[]2sin sin sin cos cos sin ααβαβαβαβαβαβ=++=+++（）（﹣）（）（﹣）（）（﹣），又Q()()3123,cos ,sin 24135ππαβαβαβ<<<-=+=-，π3π0,42αβπαβ∴-<-<<+<，54135sin cos αβαβ∴=+=（﹣）﹣，（）﹣，51245162131351365sin α∴=⨯⨯=（﹣）﹣（﹣）﹣．故选：A ．9．【考点】EF ：程序框图．【分析】由题意可知，首先是判断框中的条件满足，所以框图依次执行循环，框图执行第一次循环后，S 的值为12，执行第二次循环后，S 的值为前2项的和，满足1111246100+++⋅⋅⋅+时，此时I 的值为100，判断框中的条件应该不满足，算法结束，由此得到判断框中的条件． 【解答】解：框图首先给累加变量S 赋值为0I ，赋值2，此时判断框中的条件满足，执行102S =+，224I =+=； 此时判断框中的条件满足，执行11042624S I =++=+=，；此时判断框中的条件满足，执行1110628246S I =+++=+=，；⋯观察规律可知：判断框中的条件满足，执行1111246100S =+++⋅⋅⋅+1002102I =+=，； 此时判断框中的条件不满足，故判断框内应填入的一个条件为100I ≤． 故选：A ．10．【考点】KA ：双曲线的定义；HR ：余弦定理．【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求12•||||PF PF 的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出12•||||PF PF 的值． 【解答】解：法1．由双曲线方程得11a b c ==，， 由余弦定理得12cos F PF ∠=()(22222221212121212121212122221cos602222PF PF PF PF PF PF F F PF PF F F PF PF PF PF PF PF +--+-+-⇒=⇒=o12||||•4PF PF ∴=．法2；由焦点三角形面积公式得：12221216011cot 1cot sin 602222F PFS b PF PF PF PF θ∆====o o 12||||•4PF PF ∴=；故选B ．11．【考点】9V ：向量在几何中的应用．【分析】根据题意，建立坐标系，设出A B ，点的坐标，并设AOC α∠=，则由OC xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r得x y ，的值，从而求得x y +，结合正弦函数的性质可求满足条件的角α的范围，可求 【解答】解：建立如图所示的坐标系， 则10120120A B cos sin o o（，），（，）， 即12B （﹣ 设AOC α∠=，则OC cos sin αα=u u u r（，）()()1,0cos ,sin 2OC xOA yOB x y y αα⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u u r u u u ru u u r Q ． 1cos 2sin x y y αα⎧-=⎪⎪∴=cos y x α⎧=⎪⎪∴⎨⎪=+⎪⎩230x y cos sin ααα∴++=+o （）． 0120α︒≤≤o Q ∵0°≤α≤120°． 3030150α∴≤+≤o o o ．当x y +≥30sinα+︒≥（）4530135α∴≤+≤o o o 即15105α≤≤o o ，∴满足x y +≥1051531204P -==o o o 故选B12．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】根据定义域为R 的偶函数f x （）满足对21x R f x f x f ∀∈+=，有（）（）﹣（），可以令1x =﹣，求出1f （），再求出函数f x （）的周期为2，当]3[2x ∈，时221218f x x x =+，（）﹣﹣，画出图形，根据函数|1|a y f x log x =+（）﹣（）在0+∞（，）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解； 【解答】解：因为21f x f x f +=（）（）﹣（），且f x （）是定义域为R 的偶函数令1x =﹣所以 121111f f f f f +==（﹣）（﹣）﹣（），（﹣）（） 即 10f =（）则有 2f x f x +=，（）（） f x （）是周期为2的偶函数，当]3[2x ∈，时222121823f x x x x =+=，（）﹣﹣﹣（﹣） 图象为开口向下，顶点为30（，）的抛物线 Q 函数|1|a y f x log x =+（）﹣（）在0+∞（，）上至少有三个零点， 0f x ≤Q （），0g x ∴≤（），可得1a ＜，要使函数|1|a y f x log x =+（）﹣（）在0+∞（，）上至少有三个零点， 令|1|a g x log x =+（）（）， 如图要求22g f （）＞（），可得就必须有2122a log f +=（）＞（）﹣，∴可得32a log ＞﹣213a ∴，＜，解得a 又0a ＞，0a ∴＜ 故选A ；13．【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】根据2x 产生的两种可能分别得到其系数的等式解出a ．【解答】解：因为511ax x ++（）（）的展开式中2x 的系数为5，则21555C aC +=，即1055a +=，解得a =﹣1；故答案为：1-．14．【考点】8K ：抛物线的简单性质；QK ：圆的参数方程．【分析】求出抛物线焦点与圆心坐标，故当直线l 经过圆心时弦长最长，利用两点式求出直线方程． 【解答】解：抛物线标准方程为24y x =，焦点坐标为10（，）， 圆的圆心坐标为21（，﹣）， ∴当直线l经过圆心21（，﹣）时，弦长最长， 故直线l 的方程为011021y x --=---，即10x y+=﹣． 故答案为：10x y +-=．15．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；3L ：棱锥的结构特征．【分析】法一：内切球球心O 到各面的距离相等，如图，可以推断出球心在AB 和CD 的中点的连线的中点，求出OH 即可．法二：先求四面体的体积，再求表面积，利用体积等于表面积和高乘积的13，求出内切球半径．【解答】解：法一：易知内切球球心O 到各面的距离相等． 设E F 、为CD AB 、的中点，则O 在EF 上且O 为EF 的中点．在ABE △中，6,4,AB AE BE OH ==== 解法二：设球心O 到各面的距离为R ．143BCD A BCD S R V -⨯⨯=△， 164122BCD S =⨯⨯=Q △，2A BCD C ABE V V --==14123R ∴⨯⨯=R ∴=16．【考点】8H ：数列递推式．【分析】由1[][2121]113n n nn n a a n +++=+⨯﹣（﹣）（﹣）（﹣），当*2n k k N =∈（），可得：*22131621k k a a k n k k N ++=+=∈，﹣（），可得：2123163k k a a k +=+﹣﹣，于是212141k k a a k+=﹣﹣﹣，利用“累加求和”方法与等差数列的前n 项和公式即可得出．【解答】解()()()12121[][113]nnnn n a a n +--++-=+-⨯Q ，()*2n k k N ∴=∈，可得：221316k k a a k ++=+， ()*21n k k N =-∈，可得：2123163k k a a k -+=-+，212141k k a a k +-∴=--，2525232321311a a a a a a a a ∴=++⋯++---（）（）（） 141214111411a =⨯-+⨯-+⋯+⨯-+=（）（）（）()11121214123002a a ⨯+⨯-+=+则251300a a -=， 故答案为：300．17．【考点】HO ：已知三角函数模型的应用问题． 【分析】（1）由图得到A 及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M 的横坐标代入求出M 的坐标，利用两点距离公式求出|MP |（2）利用三角形的正弦定理求出NP MN ，，求出折线段赛道MNP 的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值．【解答】解：（1）因为图象的最高点为(3,S所以A =由图知sin y A x ω=的周期为12T =，又2πT ω=，所以π6ω=，所以π6y x = 所以()()4,3,8,0M P5|MP（2）在,120MNP MNP ∠=o △中，故()0,60θ∈o o由正弦定理得()5sin 20sin sin 60NP MNθθ==-o o ，所以(),60,NP MN θθ==-o设使折线段赛道MNP 为L 则()()()60sin 60sin 60L θθθθθ=-+⎤=-+⎦=+o o o 所以当角30θ=o 时L18．【考点】MR ：用空间向量求平面间的夹角；LS ：直线与平面平行的判定．【分析】1（）当13t =时，//P MQB 平面，若//P MQB 平面，连AC 交BQ 于N ，根据线面平行得到//PA MN ，从而13PM AN PC AC ==，即13PM PC =，从而求出t 的值； （2）以Q 为坐标原点，分别以QA QB QP 、、所在的直线为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，先求出平面MQB 的法向量n r ，取平面ABCD的法向量(0,0,QP =u u u r 设所求二面角为θ，根据公式cos QP n QP nθ=u u u r r g u u u r r 即可求出二面角MBQ C ﹣﹣的大小． 【解答】解：（1）当13t =时，P MQB ∥平面下面证明：若P MQB ∥平面，连AC 交BQ 于N由AQ BC ∥可得，ANQ BNC △∽△，12AQ AN BC NC ∴==… ,PA MQB PA PAC ⊂∥平面平面，平面PAC I 平面MQB MN =，PA MN ∴∥…13PM AN PC AC ==即：1133PM PC t =∴=… （2）由2PA PD AD ===，Q AD 为的中点，则PQ AD ⊥．．又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，连BD ， 四边形ABCD 为菱形，,60AD AB BAD ABD =∠=o Q △为正三角形，Q 为AD 中点，AD BQ ∴⊥…以Q 为坐标原点，分别以QA QB QP 、、所在的直线为x y z ，，轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为()()()(1,0,00,00,0,00,0,A B Q P ，，，设平面MQB 的法向量为(),,n x y z =r，可得 00n QB n MN ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u u r g 而PA MN ∴∥00n QB n PA ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u r g，00x ==⎪⎩ 取1z =，解得)0,1n =r…取平面ABCD的法向量(0,0,QP =u u u r设所求二面角为θ， 则1cos 2QP n QP n θ==u u u r rg u u ur r 故二面角M BQ C --的大小为60o …19．【考点】9C ：相互独立事件的概率乘法公式CG ；：离散型随机变量及其分布列；CH ：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为12，有一道题目做对的概率为13，有一道做对的概率为14，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（2）由题意知可能得到的分数是25，30，35，40，结合每一个分数对应的事件，根据相互独立事件和互斥事件做出每一种分数的概率，比较出大小．（3）根据第二问所做出的结果，列出随机变量的分布列，算出期望值．【解答】解：（1）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为12， 有一道题目做对的概率为13，有一道做对的概率为14，∴所得40分的概率为111123424P ==g g（2）依题意，该考生得分的范围为25，30，35，40 得25分做对了5题，其余3题都做错了，∴概率为112312344P==g g 得30分是做对5题，其余3题只做对1题，∴概率为21231131211123423423424P=++=g g g g g g 得35分是做对5题，其余3题做对2题，∴概率为311312111112342342344P =++=g g g g g g 得40分是做对8题，∴概率为4124p =∴得30分的可能性最大（3）由（2）得ξ的分布列为：ξ25 30 35 40P14112414 12411111730525303540304244242412E ξ∴=+++==g g g g20．【考点】KG ：直线与圆锥曲线的关系；3K ：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由MOF V 是等腰直角三角形，得224c b ==，再根据222a b c =+可求得a ； （Ⅱ）分情况讨论：（1）当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为：y kx m =+，联立直线AB 方程与椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，由韦达定理及128k k +=可得关于k m ，的关系式，消m 代入直线AB 方程可求得定点坐标；（2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，由已知可求得AB 方程，易验证其过定点；【解答】（Ⅰ）解：由MOF V 是等腰直角三角形，得2224,8c b a ===， 故椭圆方程为：22184x y +=．（Ⅱ）证明：（1）若直线AB 的斜率存在，设AB 的方程为：y kx m =+，依题意得2m ≠±， 设()()1122,,,Ax y B x y ，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222124280k x kmx m +++-=， 则2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++由已知128k k +=，可得1212228y y x x --+=， 所以1212228kx m kx m x x +-+-+=，即()1212228x x k m x x ++-=． 所以42mk k m -=+，整理得122m k =-． 故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =， 设()()0000,,Ax y B x y -,，由已知0000228y y x x ---+=，得012x =-． 此时AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．21．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f x （）的导数，由此根据a 的取值范围进行分类讨论，能求出函数f x （）的单调区间．（2）由于112f =（）﹣，当010a f ＞时，（）＜，此时0f x ≥（）对定义域内的任意x 不是恒成立的．当0a ≤时，由（1）得f x （）在区间0+∞（，）上取得最小值为112f =（）﹣，由此能求出实数a 的取值范围． （3）由（2）知，当12a =﹣时，0f x ≥（），当且仅当1x =时，等号成立，这个不等式等价于2lnx x x ≤﹣．由此能够证明对任意的正整数m n ，，不等式恒成立． 【解答】解：（1）()()1af x x a x'=+-+Q ， ①0a ≤当时，若01x ＜＜，则()0f x '＜，故函数()f x 的单调减区间是()0,1；若1x ＞，则()0f x '＞，故函数()f x 的增区间是()1,+∞．②当01a ＜＜时，函数()f x 的单调减区间是(),1a ；单调增区间是()()0,1,a +∞,．③当1a =时，则()()210x f x x-'=≥，故函数()f x 的单调增区间是()0,+∞；④当1a ＞时，函数()f x 的单调递减区间是()1,a ；函数()f x 的单调递增区间是()()0,1,a +∞,．（2）由于()112f =-， 当0a >时()10f <，此时()0f x ≥对定义域内的任意x 不是恒成立的．当0a ≤时，由（1）得(),f x 在区间()0,+∞上的极小值，也是最小值为()112f =-， 此时，()10f ≥，解得12a ≤-，故实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．（3）由2（）知，当12a =-时， 2111ln 0222f x x x x =-+-≥（），当且仅当1x =时，等号成立，这个不等式等价2ln x x x ≤-于． 当1x ＞时，变换为21111ln 1x x x x x>=---， 因此不等式左边()11111111...1121n m m m m m n m n m m n m m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪-+++-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 从而得证．22．【考点】QH ：参数方程化成普通方程；4Q ：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得2270t cos sin t αα+=（﹣）﹣，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．【解答】解：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，即()2239x y +-=．（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得()22cos sin 70tt αα+--=，由()22cos 2sin 470αα=-+⨯>V ，故可设12t t ，是上述方程的两根，()12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎪∴⎨=-⎪⎩g ，又直线过点()1,2，故结合t的几何意义得1212PA PB t t t t +=+=-===，||PA PB∴+的最小值为23．【考点】5R ：绝对值不等式的解法；33：函数的定义域及其求法．【分析】（1）由()f x a ≤，得1122a ax -+≤≤．再根据不等式()f x a ≤的解集为1|}0{x x ≤≤，可得102112aa -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由此解得a 的值．（2）根据12121gx x x m=-+++（）的定义域为R ，可得21|10|2x x m +++≠﹣恒成立．求得221|1|xx ++﹣的最小值为2，可得m 的范围． 【解答】解：（1）由()f x a ≤，得1122a ax -+≤≤． 因为不等式()f x a ≤的解集为1|}0{x x ≤≤，所以102112aa -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得1a =．（2()()1112121gx f x f x mx x m==+++-+++（）的定义域为R ，可得|2120|1xx m +++≠﹣恒成立． ()()||212121212,2||x x x x m -++≥--+=∴>Q -．。

山西省康杰中学2017届高三模拟试题（三）数学（理科）【满分150分，考试时间为120分钟】一、选择题（5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号） 1. 已知集合{}{}1|,)1lg(|-≥=-==y y B x y x A ，那么=B A A. []1,0- B. [)1,1-C. ()1,-+∞D. (]0,12. 复数3201611i i i z +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=（i 为虚数单位）的共轭复数为A. 12i +B. 1i +C. 1i -D. 12i -3. 下列有关命题说法错误的是A. 命题“若1,012==-x x 则”的逆否命题是：“若01,12≠-≠x x 则”B. “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件 C. 若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题D. 对于命题01,:2<++∈∃x x R x p 使，则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p 均有4. 在一次数学竞赛选拔测试中，每人解3道题，至少解对2道题才能通过测试被选上，设某同学解对每道题的概率均为p （10<<p ），且该同学是否解对每道题互相独立，若该同学通过测试被选上的概率恰好是p ，则p 的值为 A.21B.31 C. 32D.525. 如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后得几何体的三视图，其体积为332916+π，则圆锥的母线长为 A. 22B. 32正视图俯视图C. 4D.32+6. 在等差数列{}n a 中，8386=+a a ， 则=+105a aA. 16B. 12C. 8D. 47. 函数)1ln()(xx x f -=的图像大致是8. 在ABC ∆中，4,5=⋅=⋅,则=AB A. 9B. 3C. 2D. 19. 已知a 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6)1(xx a -的展开式中常数项是A. 20B. 52-C. 192-D. 160-10. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右两个焦点分别为21,F F ,P 是双曲线上的一个动点，满足212F F PF =，直线1PF 与圆222a y x =+相切，则双曲线的离心率为A.45B.3C.332 D.3511. 定义：用{}x 表示不小于x 的最小整数，例如{}{}{}11.1,22.1,22-=-==，已知数列{}n a 满足：n n n a a a a +==+211,1，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++++++111111201621a a aA. －1B. 0C. 1D. 212. 已知函数)(x f 的定义域为R ，)2()(),()(x f x f x f x f -==-，当[]1,0∈x 时，3)(x x f =，则函数)()cos()(x f x x g -=π在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,21上的所有零点的和为A.7 B . 6 C. 3 D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知变量y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤--≤-00063203y x x y y x ，则2-2yx z =的最小值为 .14. 已知ABC ∆的三个顶点在以O 为球心的球面上，且︒=∠90BAC ，2==AC AB ,球心O 到平面ABC 的距离为1，则球O 的表面积为 .15. 已知抛物线x y 82=的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于B A ,两点，若点M 满足）（OB OA OM +=21，过点M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P ，若4=PF ，则M 的横坐标为 .16.已知函数)(x f y =在()∞+，0上可导，且满足[])1(0)()(2)1(≠>'+-x x f x x f x 恒成立，2)1(=f ，若曲线)(x f 在点)2,1(处的切线为)(x g y =且2016)(=a g ，则a = .三、解答题（本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）17.（本小题满分12分）已知)2cos 3,(cos ,21,sin ,)(x x x x f ==⋅=）（其中，将函数)(x f 的图像向右平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的21，纵坐标不变，得到函数)(x g 的图像.（1）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈125,0πx ，求)(x g 的单调区间；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，且,3),2,0(,0)(=∈=b B B f π求c a +的范围.18.（本小题满分12分）一超市在销售一批大小相近的某时令水果时，由于存放的时间对口味影响较大，超市根据调研决定最多销售5天，第6天就会扎成果汁。

西省运城市康杰中学2017年高考模拟（理科）数学试卷（五）一、选择题（5*12=60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知x y ∈R ，，i 为虚数单位，且(2)i 1i x y --=-+，则(1i)x y ++的值为（ ）A ．4B ．44i +C ．4-D ．2i 2．已知集合12{|}{|}A x x a B x x =<=<<，，且()A B =R R U ð，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．2a ≥ D ．2a > 3．已知等差数列1{}n a a =-， 2 013，其n 前项和n S ，若101221210S S -=，则 2 017S =（ ） A ．2 017 B ．3 C ．6 051D ．-2 017 4．变量x ，y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，若使z ax y =+取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是（ ）A ．{}3,0-B ．{3,1}-C ．{0,1}D ．{}3,0,1- 5．已知四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD -的四个侧面中面积最大的是（ ）A ．3 B． C ．6 D ．86．（文）设函数sin cos y x x x =+的图象上的点00(,)x y 处的切线的斜率为k ，若0()k g x =，则函数0()k g x =的图象大致为（ ）A B C D7．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是m n ，，某次测试数学平均分分别是a b ，，则这两个班的数学平均分为2a b +； ②10名工人某天生产同一零件的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有c a b >>；③从总体中抽取的样本为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ⋅⋅⋅，若记1111,n n i i i i x x y y n n ====∑∑，则回归直线$$y bx a =+$必过点(,)x y ；④已知ξ服从正态分布2(0)σN ，，且(20)4P ξ≤≤=-，则(2)0.2P ξ>=． 其中正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 8．已知π3π123,cos(),sin()24135αβαβαβ<<<-=+=-，则sin2α=（ ） A ．1665- B ．5665 C ．1665 D ．5665- 9．如图给出的是计算1111246100+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．i 100≤B ．i>100C ．i>50D ．i 50≤10．已知12F F 、为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，°1260F PF ∠=，则12| |||PF PF =g （ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．如图，给定两个平面单位向量OA u u u r 和OB u u u r ，它们的夹角为°120，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，且OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r (,)x y ∈R 其中，则满足x y +≥ ）A 1B ．34C ．π4D ．π212．定义域为R 的偶函数()f x 满足对x ∀∈R ，有(2)()(1)f x f x f +=-，且当[2,3]x ∈时，2()21218f x x x =-+-，若函数()log (|1)|a y f x x =+-在(0,)+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,B ．(0,C ．(0,D ．(0, 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸的相应位置） 13．已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =__________．14．已知直线l 过抛物线214x y =的焦点，且被圆22420x y x y ++=-截得的弦长最长时，直线l 的方程为__________．15．三棱锥A BCD -的两条棱6AB CD ==，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径__________．16．已知数列{}n a 满足1[2(1)][2(1)]1(1)3n n n n n a a n +-++=+⨯---，则251a a -=__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数sin (0,0)0,]4[y A x A x ωω=>>∈的图象，且图象的最高点为(3,S ；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定°120MNP ∠=（1）求,A ω的值和,M P 两点间的距离；（2）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，°60BAD ∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD === （1）点M 在线段PC 上PM tPC =，，试确定t 的值，使PA ∥平面MQB ；（2）在（1）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C --的大小．19．高三第一学期期末四校联考数学第I 卷中共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余选择题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有1道因不了解题意只能乱猜，试求出该考生：（1）得40分的概率；（2）得多少分的可能性最大？（3）所得分数ξ的数学期望．20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(2,0),F M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且MOF △是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设两直线的斜率分别为12,k k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点1(,2)2--．21．已知函数21()ln 2(1)f x a x x a x -+=+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≥对定义域中的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：对任意正整数m ，n ，不等式111ln(1)ln(2)ln()()n m m m n m m n ++⋅⋅⋅+>++++恒成立． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，圆C 的方程为6sin ρθ=． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若点(1,2)P ，设圆C 与直线l 交于点,,A B 求||||PA PB +的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数()21||,f x x x =-∈R ．（1）若不等式()f x a ≤的解集为1|}0{x x ≤≤，求a 的值；1()(1)f x f x m+++的定义域为R，求实数m的取值范围．（2）若()g x=。

绝密★启用前康杰中学2017年高考全真模拟理科综合试题可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 N-14 O-16 S-32 As-75 Ga-70第I 卷一、选择题：本题共13小题，每小题6分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列关于细胞的叙述，正确的是A.线粒体是蓝藻细胞和酵母菌细胞进行有氧呼吸的主要场所B.原核细胞与真核细胞均以DNA为遗传物质C.细胞膜、细胞质基质中转运氨基酸的载体均是蛋白质D.细胞分化过程中，细胞中的遗传物质及蛋白质种类均发生变化2. 在条件适宜的情况下，用自然光照射离体的新鲜叶绿体一段时间后，突然改用光照强度与自然光相同的绿色光照，瞬间叶绿体中的物质所发生变化正确的是A. ATP含量下降B. C3的含量下降C.合成C5的速率加快D. NADPH的含量上升3. 科学家在进行下列实验研究中，所采用的核心技术相同的一组是①分离真核细胞的细胞器②探究光合作用释放的氧气来自水③研究细胞中分泌蛋白的合成、加工及分泌过程④用甲基绿和吡罗红对细胞染色，观察核酸的分布⑤用肺炎双球菌转化实验证明DNA是遗传物质⑥用T2噬菌体侵染细菌的实验证明DNA是遗传物质A.①②③B.①④⑤C.②③⑥D.②⑤⑥4.下图中，a 、b 、c表示一条染色体上相邻的3个基因, m 、n为基因间的间隔序列,下列相关叙述，正确的是A.该染色体上的三个基因一定控制生物的三种性状B. m 、n片段中碱基对发生变化会导致基因突变C.若a中有一个碱基对被替换，其控制合成的肽链可能不变D.a 、 b 、 c 均可在细胞核中复制及表达5.下列关于人体生命活动调节的叙述，正确的是A.下丘脑中有渗透压感受器，细胞外液渗透压下降可产生渴觉B.发生膝跳反射时，兴奋在反射弧中是双向传导的C.胰岛素与胰高血糖素通过协同作用调节人体血糖浓度D.神经冲动通过突触传递时，体现了细胞间的信息交流6.下列关于植物生命活动调节的叙述，错误．．的是 A.生长素既能促进发芽也能抑制发芽B.乙烯、吲哚乙酸、吲哚丁酸及2,4-D 均为植物激素C.在植物成熟组织中，生长素可进行非极性运输D.植物生长发育的过程，在根本上是基因组在一定时间和空间上程序性表达的结果7.化学与社会、生活密切相关。

康杰中学2017-2018学年数学（理）模拟试题（四）【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数5122iz i -=+的实部为 A. -1B. 0C. 1D. 22. 设集合{}2log ,04A y y x x ==<≤，集合{}1xB x e =>，则AB 等于A. (],2-∞B. (0,)+∞C. (,0)-∞D. R3. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是 A. 492B. 382C. 185D. 1234. 给出下列四个结论： ①命题“10,2x x x ∀>+≥.”的否定是“00010,2x x x ∃>+<.”； ②“若3πθ=，则sin θ=”的否命题是“若,3πθ≠则sin θ≠”；③若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，则命题,p q 中一真一假； ④若1:1;:ln 0p q x x≤≥，则p 是q 的充分不必要条件. 其中正确结论的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知1tan 4tan θθ+=，则2cos 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ A.12 B.13C. 14D. 15试题类型：A6. 已知实数,x y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x ay =-只在点（4，3）处取得最大值，则a的取值范围是 A. (,1)-∞- B. (2,)-+∞C. (,1)-∞D. 1()2+∞，7. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正 方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何 体的体积为 A.83B.43C. 3D. 38. 已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足||c a b --＝2，则｜c ｜的取值范围为A. [11，B. [22C.D. [3+－9. 将函数2sin (0)y x ωω=>的图象向左平移(0)2ϕπϕω<≤个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数()y g x =的图象，且()y g x =的图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若()1g x >-对任意(,)123x ππ∈-恒成立，则ϕ的取值范围是 A. [,]122ππB. [,]63ππC. [,]123ππD. [,]62ππ10. 设双曲线2213y x -=的左、右焦点分别为12,F F . 若点P 在双曲线上，且12F PF ∆为锐角三角形，则12PF PF ｜｜+｜｜的取值范围是A.B.C. )+∞D. (8,)+∞11. 点P为棱长是1111ABCD A B C D －的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的正视图侧视图俯视图中点，若满足DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为A.πB. 2πC. 4π12. 设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()(4),(4)0,(2)1f x f x f f ''=-==，则使得()20x f x e -<成立的x 的取值范围是A. (2,)-+∞B. (0,)+∞C. (1,)+∞D. (4,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2017-2018学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，则的值为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i3．下列函数中既是奇函数，又是在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=lg2x4．下列的说法错误的是（）A．对于p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q都是假D．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．106．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（）A．16种B．18种C．22种D．37种7．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣218．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．96 B．108 C．180 D．1989．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．6610．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“g（x）≥”发生的概率为（）A．B．C．D．11．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），则f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣2 D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．14．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=．15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=，若B=60°，则sinC=．三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．18．根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的（）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；（ⅱ）求斜率k的取值范围．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R），g（x）=x++4（x＜0）（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；（2）对∀x1∈R，∀x2∈（﹣∞，0）有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年山西省忻州一中、临汾一中、长治二中、康杰中学高三（下）第四次联考数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x＜2或x＞4}D．{x|0＜x≤2或x≥4}【考点】其他不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【分析】利用指数函数的性质可求得集合A，通过解一元二次不等式可求得集合B，从而可求得A∩C R B．【解答】解：∵≤1=，∴x≥0，∴A={x|x≥0}；又x2﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，∴2≤x≤4．∴B={x|2≤x≤4}，∴∁R B={x|x＜2或x＞4}，∴A∩∁R B={x|0≤x＜2或x＞4}，故选C．2．已知a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，则的值为（）A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i C．1+2i D．1﹣2i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数是纯虚数，求出a，然后利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：a为实数，若复数z=（a2﹣9）+（a+3）i为纯虚数，可得a=3，则====1﹣2i．故选：D．3．下列函数中既是奇函数，又是在（0，+∞）上为增函数的是（）A．B．C．y=﹣x3D．y=lg2x【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断可得答案．【解答】解：y=x+是奇函数，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴在（0，+∞）上不单调，故排除A；y=的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，故y=不具备奇偶性，故排除B；y=﹣x3是奇函数，但在（0，+∞）上单调递减，故排除C；y=lg2x的定义域为R，且lg2﹣x==﹣lg2x，∴函数为奇函数，又t=2x递增，y=lgt递增，∴y=lg2x在（0，+∞）上递增，故选D．4．下列的说法错误的是（）A．对于p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．若p∧q为假，则p，q都是假D．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”【考点】的真假判断与应用．【分析】利用的否定判断A的正误；充要条件判断B的正误；复合的真假判断C的正误；四种的逆否关系判断D的正误；【解答】解：对于A，p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0，满足的否定关系，正确；对于B，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，满足“x=1”⇒“x2﹣3x+2=0”，反之，不成立，所以B正确；对于C，若p∧q为假，则p，q至少一个是假，所以C不正确；对于D，“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，满足逆否的形式，正确．故选：C．由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10【考点】回归分析的初步应用．【分析】利用样本点的中心在线性归回方程对应的直线上，即可得出结论．【解答】解：由表中数据得，，由在直线，得，即线性回归方程为．所以当x=12时，，即他的识图能力为9.5．故选：B．6．从6个盒子中选出3个来装东西，且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有（）A．16种B．18种C．22种D．37种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】从6个盒子中选出3个来装东西，有C63=20种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4种方法，利用间接法可得结论．【解答】解：从6个盒子中选出3个来装东西，有C63=20种方法，甲乙未被选中的情况有C43=4种方法，∴甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有20﹣4=16种方法，故选A．7．如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．7 B．﹣7 C．21 D．﹣21【考点】二项式系数的性质．【分析】给二项式中的x赋值﹣1，求出展开式的各项系数和，列出方程，求出n；将n的值代入二项式，利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为﹣3，求出r的值，将r的值代入通项，求出展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数之和2n，∴2n=128，解得n=7．∴展开式的通项为，令，解得r=6．所以展开式中的系数是3C76=21．故选C8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为6的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．96 B．108 C．180 D．198【考点】由三视图求面积、体积．【分析】用正方体的体积减去四棱锥的体积即可．【解答】解：几何体为正方体减去一个正四棱锥，正方体的棱长为6，正四棱锥的底面边长为6，高为3．∴几何体的体积V=63﹣=180．故选C．9．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．10．已知函数f （x ）=sin ωx +cos ωx （ω＞0）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得到函数g （x ）的图象．若在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“g （x ）≥”发生的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】几何概型；函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由两角和的正弦把三角函数化简，结合已知求出周期，进一步得到ω，则三角函数的解析式可求，再由图象平移得到g （x ）的解析式，确定满足g （x ）≥1的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论【解答】解：∵f （x ）=sin ωx +cos ωx=2sin （ωx +），由题意知=，则T=π，∴ω=2，∴f （x ）=2sin （2x +），把函数f （x ）的图象沿x 轴向左平移个单位，得g （x ）=f （x +）=2sin [2（x +）+]=2sin（2x +）=2cos2x ．∵2cos2x ≥，x ∈[0，π]，可得：cos2x ，解得：2x ∈[0，]，所以x ∈[0，]，∴事件“g （x ）≥”发生的概率为=；故选：C ．11．已知抛物线y 2=8x 的焦点F 到双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）渐近线的距离为，点P 是抛物线y 2=8x 上的一动点，P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的标准方程．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a ，再利用抛物线的定义，结合P 到双曲线C 的上焦点F 1（0，c ）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF 1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C：=1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴∴a=2b，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF1=3∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1∴双曲线的方程为﹣x2=1．故选C．12．已知函数f（x）=（x2+x）（x2+ax+b），若对∀x∈R，均有f（x）=f（2﹣x），则f（x）的最小值为（）A．﹣B．﹣C．﹣2 D．0【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由f（0）=f（2），f（﹣1）=f（3）可求得a，b，从而确定函数f（x），从而求导确定函数的极值，从而求最小值．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴f（0）=f（2），f（﹣1）=f（3），即0=6（4+2a+b），0=12（9+3a+b），解得，a=﹣5，b=6；故f（x）=（x2+x）（x2﹣5x+6），令f′（x）=（2x+1）（x2﹣5x+6）+（x2+x）（2x﹣5）=（x﹣1）（2x2﹣4x﹣3）=0，解得，x=1或x=1+或x=1﹣；由函数的对称性知，当x=1+或x=1﹣时，函数f（x）都可以取到最小值f（1+）=﹣，故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的相应位置上）13．设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图所示，由得A（3，3），z=2x﹣y可转换成y=2x﹣z，z最大时，y值最小，即：当直线z=2x﹣y过点A（3，3）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故答案为：3．14．已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）•（+）=﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．求得∠AOD=∠AOE=，再根据OD=OE=，利用两个向量的数量积的定义求得（+）•（+）的值．【解答】解：取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2， +=2．而由等边三角形的性质可得，OA=2OD，OD⊥AB，∴∠AOD=，同理可得，∠AOE=．再根据OD=OE=•=，可得（+）•（+）=2••2=4=4×××cos=﹣，故答案为：﹣．15．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点相切，且x轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为，则a=﹣1．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可．【解答】解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，∴f（x）=﹣x2（x﹣a），有∫a0（x3﹣ax2）dx=（）|a0=0﹣+==，∴a=±1．函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=﹣1．故答案为：﹣1．16．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=，若B=60°，则sinC=．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理，得b=，与已知等式比较可得sinA=，而B=60°得sinB＞sinA，所以角A是锐角，由同角三角函数的平方关系算出cosA=，最后根据sinC=sin（A+B），结合两角和的正弦公式即可算出sinC的值．【解答】解：∵由正弦定理，得∴b==7asinB，解之得sinA=∵B=60°，sinA=＜sinB=，得A为锐角可得cosA==（舍负）∴sinC=sin（A+B）=sin（A+60°）=×+×=故答案为：，三、解答题（本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n﹣1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜1．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）分类讨论，再检验写出通项公式即可；（2）化简b n===﹣，从而利用裂项求和法求解．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2﹣1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1，a1=1也满足a n=2n﹣1，故a n=2n﹣1；（2）证明：∵b n===﹣，∴T n=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1．18．根据国家《环境空气质量标准》规定：居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的；（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列及数学期望E（X）和方差D（X）．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用频率分配表，直接求解众数和中位数．（2）利用中位数与频率求出该居民区PM2.5年平均浓度，判断即可．（3）随机变量ξ的可能取值为0，1，2．求出概率，得到分布列，然后求解期望与方差即可．【解答】解：（1）众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米．…（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．因为40.5＞35，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…（3）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则．随机变量ξ的可能取值为0，1，2．且ξ～B所以，所以变量ξ的分布列为0 1 2（天），或（天）…Dξ=0.1819．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；（Ⅱ）求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性质，根据AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得证；（Ⅱ）取BC的中点O，连接PO，以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面ADP 与平面BCP的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PBC．（Ⅱ）解：如图，取BC的中点O，连接PO，因为PB=PC，所以PO⊥BC．因为PB=PC，所以PO⊥BC，因为平面PBC⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．以O为原点，OB所在的直线为x轴，在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设BC=2．由AB=PB=PC=BC=2CD得，，所以，设平面PAD的法向量为=（x，y，z）．所以．令x=﹣1，则，所以=（﹣1，2，）．取平面BCP的一个法向量，所以cos＜，＞=，所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆与直线x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）如图，若斜率为k（k≠0）的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A，M，N（A点在椭圆右顶点的右侧），且∠NF2F1=∠MF2A．（ⅰ）求证：直线l过定点（2，0）；（ⅱ）求斜率k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（I）由题意知及c2=a2﹣b2可得a，b之间的关系，由圆与直线相切的性质可求b，进而可求a，从而可求椭圆的方程（II）由题意可设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）．，联立直线与椭圆方程，根据方程有根的条件可得△＞0，从而可得关于m，k的不等式，然后根据方程的根与系数关系可求则x1+x2，x1x2，由∠NF2F1=∠MF2A．可得，根据直线的斜率公式代入可求m，k的关系，然后代入已知不等式即可求解k的范围【解答】解：（I）由题意知=，所以==．即a2=2b2．又因为b==1，所以a2=2，b2=1．故椭圆C的方程为（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）.．由△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＞0，得m2＜2k2+1．则有，．因为∠NF2F1=∠MF2A，且∠MF2A≠90°，所以，即．化简得：2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0．将，代入上式得m=﹣2k（满足△＞0）．直线l的方程为y=kx﹣2k，即直线过定点（2，0）将m=﹣2k代入m2＜2k2+1．得4k2＜2k2+1．且k≠0直线l的斜率k的取值范围是．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，f'（x）＜1恒成立，其中f'（x）为f（x）的导函数，求k的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导数，讨论a≤0，a＞0，求出函数的单调区间；（2）运用参数分离可得k＜+x，令g（x）=+x（x＞0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（2）由于a=1，，∵x ＞0，∴e x ﹣1＞0．∴，令，∴k ＜g （x ）min ，令h （x ）=e x ﹣x ﹣2，h ′（x ）=e x ﹣1＞0， ∴h （x ）在（0，+∞）单调递增， 且h （1）＜0，h （2）＞0，∴h （x ）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为x 0，则x 0∈（1，2） 当x 0∈（0，x 0）时，g ′（x ）＜0，当x 0∈（x 0，+∞）时，∴∴，由，∴g （x 0）=x 0+1∈（2，3）， 又∵k ＜g （x 0）， ∴k 的最大值为2．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ，且D ，C ，E ，G 四点共圆． （Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG ； （Ⅱ）若GC=1，求AB ．【考点】相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明． 【分析】（Ⅰ）由题意可得，G 为△ABC 的重心，根据D 、C 、E 、G 四点共圆，可得∠ADE=∠ACG ，DE ∥AB ，故有∠BAD=∠ADE ，从而得到∠BAD=∠ACG ．（Ⅱ）延长CG 交AB 于F ，则F 为AB 的中点，且CG=2GF ．证得△AFG ∽△CFA ，可得=，即 FA 2=FG •FC ，根据条件化为即AB=GC ，从而得出结论． 【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC 的两条中线AD 和BE 相交于点G ， ∴G 为△ABC 的重心．连结DE ，因为D 、C 、E 、G 四点共圆，则∠ADE=∠ACG ．又因为AD、BE为△ABC的两条中线，所以点D、E分别是BC、AC的中点，故DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，从而∠BAD=∠ACG．解：（Ⅱ）∵G为△ABC的重心，延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．在△AFC与△GFA中，因为∠FAG=∠FCA，∠AFG=∠CFA，所以△AFG∽△CFA，∴=，即FA2=FG•FC．因为FA=AB，FG=GC，FC=GC，∴•AB2=CG2，即AB=GC，又∵GC=1，所以AB=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B （x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，故．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R），g（x）=x++4（x＜0）（1）若a=3，求不等式f（x）≥4的解集；（2）对∀x1∈R，∀x2∈（﹣∞，0）有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x范围，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）min≥g（x）max，根据绝对值不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解（1）因为a=3，所以有|x﹣1|+|x﹣3|≥4，当x≤1时，有4﹣2x≥4，所以x≤0，当1＜x＜3时，有2≥4，当x≥3时，有2x﹣4≥4，所以x≥4，综上所述，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．（2）由题意可得f（x）min≥g（x）max，又f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，g（x）≤2，当且仅当x=﹣1时取等号，所以有|a﹣1|≥2即a的取值范围时a≥3或a≤﹣1．2016年11月2日。

2017年山西省运城市康杰中学高考数学模拟试卷(文科)（4）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知实数m满足=1﹣i（i为虚数单位),则m=（）A．B．﹣ C．﹣2 D．22．已知A=｛1，2，4}，B={y|y=log2x，x∈A｝，则A∪B=（）A．{1，2} B．[1,2] C．{0，1，2，4｝D．［0,4]3．某种饮料每箱装6瓶，库存23箱未开封的饮料，现欲对这种饮料进行质量检测，工作人员需从中随机取出10瓶，若采用系统抽样法，则要剔除的饮料瓶数是( ）A．2 B．8 C．6 D．44．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞1，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（¬q)是假命题D．命题p∨(¬q）是真命题5．已知双曲线 C：﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴端点到一条渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（）A．3 B．C．D．26．设等差数列{a n｝的前n项和为S n，若=24， =18，则S5=（）A．18 B．36 C．50 D．727．运行如图所示的程序框图,当输入x的值为5时，输出y的值恰好是，则处的关系式可以是( )A．y=x3B．y=x C．y=5﹣x D．y=5x8．函数f（x）=Asin（ωx+φ)（A＞0，ω＞0，｜φ|＜）的部分图象如图所示，则下列命题中的真命题是（）①将函数f(x）的图象向左平移个单位，则所得函数的图象关于原点对称；②将函数f（x）的图象向左平移个单位,则所得函数的图象关于原点对称；③当x∈[，π]时，函数f（x）的最大值为;④当x∈[，π]时，函数f（x）的最大值为．A．①③ B．①④ C．②④ D．②③9．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（)A．B．C．D．10．已知x,y满足约束条件若目标函数z=3x+y的最大值是﹣3，则实数a=（)A．0 B．﹣1 C．1 D．11．半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆,它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则球O表面积为（）A．64π B．100πC．36π D．24π12．已知函数f(x）=，若数列｛a n}满足a n=f（n)(n∈N﹡）,且｛a n｝是递增数列,则实数a的取值范围是（）A．[，3） B．(，3） C．（2,3）D．（1，3）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2=4x上，则这个等腰直角三角形的面积为．14．已知函数f(x）=,则不等式f（2）≥f（lgx)的解集为．15．已知D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且BD=2AD,AE=2EC，点P是线段DE上的任意一点，若=x+y，则xy的最大值为．16．在△ABC中,点D在线段AC上，AD=2DC，BD=，且tan∠ABC=2，AB=2,则△BCD的面积为．三、解答题：本大题共5小题,满分60分。

山西省运城市康杰中学2017年高考模拟（理科）数学试卷（2）答 案1~5．CABCD6~10．DADCD11~12．AB13． 14．7415．2316．π617．解：（1）∵21n n S a n =+-，∴当2n ≥时，2211(1)[(1)1]n n n n n a S S a n a n --=-=+--+--，化为：121n a n -=-121n a n =-﹣， 又∵1123a =++满足上式，∴21n a n =+，∵113(1)n n n n b n a na ++=+-， ∴11111[(1)][(1)(23)(21)](43) 333n n n n n nb n a na n n n n n ++=+-=++-+=+， 又∵13b =满足上式， ∴11(41)3n n b n -=-1(41) 13n n b n -=-． （2）由（1）可知，211113 17 11 ...(41) 333n n T n -=++++-， 21111113 7 ...(45) (41) 33333n n n T n n -=+++-+-， 错位相减得：21211113 +4(...)(41) 33333n n n T n -=+++--， ∴111(1)3133[34(41) ]12313n n n T n --=+⨯--- 115145 223n n -+=-，111514515149(43) ( )02232233n n n n n n n n T T +-++-+-=----=-<．∴1n n T T +<，即{}n T 为递增数列．又3459647,799T T =<=>， ∴n T <7时，n 的最大值为3．18．解：（1）用A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到B 地”，B i 表示事件“乙选择路径L i 时，50分钟内赶到B 地”，i =1，2．由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得：1()(0.010.020.03)100.6P A =++⨯=，2()(0.010.04)100.5P A =+⨯=．∵12()()P A P A >故甲应选择L 1．1()(0.010.020.030.02)100.8P B =+++⨯=，2()(0.010.040.04)100.9P B =++⨯=．∵21()()P B P B >，故乙应选择L 2．（2）用M 、N 分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B 地，由（1）知()0.6,()0.9P M P N ==，又由题意知，M 、N 相互独立，∴(0)()()()0.40.10.04P X P MN P M P N ====⨯=；(1)()()()()()0.40.90.60.10.42P X P MN M N M P M P N P N ==+=+=⨯+⨯=(2)()()()0.60.90.54P X P MN P M P N ====⨯=∴X 的分布列为∴()00.0410.42E X =⨯+⨯．19．解法1 （1）证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，又AE EB ⊥，EB EF E =，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE ．过D 作EH AE ∥交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE ．∵EG ⊂平面BCFE ，∴DH EG ⊥．∵,AD EF DH AE ∥∥，∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又,EH BG EH BE ⊥∥，∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥，又,BH DH H BH =⊂平面BDH ，DH ⊂平面BDH ，∴EG ⊥平面BDH ．∵BD ⊂平面BDH ，∴BD EG ⊥．（2）解：∵AE ⊥平面BCFE ，AE ⊂平面AEFD ，∴平面AEFD ⊥平面BCFE由（1）可知GH EF ⊥，∴GH ⊥平面AEFD∵DE ⊂平面AEFD ，∴GH DE ⊥取DE 的中点M ，连接MH 、MG∵四边形AEHD 是正方形，∴MH DE ⊥∵,MH GH H MH =⊂平面GHM ，GH ⊂平面GHM ，∴DE ⊥平面GHM ，∴DE MG ⊥∴GMH ∠是二面角G DE F --的平面角，在GMH △中，2,GH MH MG ===cos GMH ∠=∴平面DEG 与平面DEF ． 解法2（1）证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ， ∴,EF AE EF BE ⊥⊥，又AE EB ⊥，∴,,EB EF EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，(0,0,2),(2,0,0),(2,4,0),(0,3,0),(0,2,2),(2,2,0)A B C F D G ．∴(2,2,0),(2,2,2)EG BD ==-,∴ 22220BD EG =-⨯+⨯=，∴BD EG ⊥．（2）解：由已知得(2,2,0)EB =是平面DEF 的法向量．设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z ，∵(0,2,2),(2,2,0),ED EG ==∴ 0 0ED n EG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00y x x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =-． 设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ，则| |cos |cos(,)|||||2n EB n EB n EB θ====∴平面DEG 与平面DEF ．20．解：（1）∵椭圆M ：22221x y a b +=(0)a b >>的离心率为12，左焦点F 1到直线2a x c=-的距离为3， ∴由题意知2123c a a cc⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得21a c ==，． ∴b ，∴椭圆M 的方程为22143x y +=， 圆N 的方程为225(1)x y +=-，∵直线l ：y kx m =+(0)k >与椭圆M 只有一个公共点，∴由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(34)84120kx kmx m +-++=，① ∴2222644(34)(412)0k m k m ∆=--+=，整理得2234m k =+，②由直线l ：y kx m =+与N=222255k km m k ++=+，③将②代入③得1km =，④由②④得2k m ==，．∴直线l ：2y x =+．（2）将122k m ==，代入①可得3(1,)2A -，又过切点B 的半径所在的直线l '：22y x =-+， 与直线l 的方程联立得B (0,2)，设00(),P x y ，由||||PB PA =22002200(2)83(1)()2x y x y +-=++-， 化简得720x +720y +001620220x y +=﹣，⑤又00(),P x y 满足2200024x y x +-=，⑥将⑤﹣7×⑥并整理得003250x y +=-， 即00352x y +=，⑦ 将⑦代入⑥并整理得0132290x ++=，解得0x =1-或0x =913-， 所以存在(11)P -，或99(,)1313P -满足条件． 21．解：（Ⅰ）由()e 2x f x k x =-'可知，当0k <时，由于(0,),()e 20x x f x k x ∈+∞'=<-，故函数()f x 在区间(0,)+∞上是单调递增函数．（Ⅱ）当2k =时，2()2e x f x x =-，则()2e 2x f x x '=-令()2e 2x h x x =-，()2e 2x h x '=-由于(0,)x ∈+∞，故()220x h x e -'=>，于是()22x h x e x =-在(0,)+∞为增函数，所以()2e 2(0)20x h x x h >=-=>即()2e 20x f x x -'=>在(0,)+∞恒成立，从而2()2e x f x x =-在(0,)+∞为增函数，故2()2e (0)2x f x x f ->==．（Ⅲ）函数()f x 有两个极值点12,x x ，则12,x x 是()e 20x f x k x '=-=的两个根， 即方程2e xx k =有两个根，设()x ϕ2e x x =，则()x ϕ'22e x x -=, 当0x <时，()0x ϕ'>函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ<； 当01x <<时，()0x ϕ'>函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；当1x >时，()0x ϕ'<函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>． 要使2e x x k =有两个根，只需0 < <2e(1)k ϕ=． 故实数k 的取值范围是2(0,)e 又由上可知函数()f x 的两个极值点12,x x 满足1201x x <<<，由11()e 20x f x k x -'==，得112e x x k =， ∴11122221111111112()e e (2)2(1)1ex x x x f x k x x x x x x x ==-=-=-+=--+-， 由于1(0,1)x ∈，故，210(1)11x <--+<所以1)1(0f x <<22．解：（1）∵曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）． ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y y -+=，∴曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ-=，即曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（2）设直线l 的参数方程是1 cos 1 sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）① 曲线C 的直角坐标方程是2240x y y -+=，②① ②联立，得22(cos sin )20t t θθ+--=，∴122t t =-，且||2||MA NB =，∴122t t =-，则122,1t t ==-或122,1t t =-=∴AB 的弦长12||||3AB t t -==．23．（1）证明：()1||1|||1||1||11|2f x x x x x x x =-++=-++≥-++=；（2）解：|21||1||211|3||||()b b b b b g b b +--+--=≤=， ∴()3,f x ≥即1||13||x x -++≥1x ≤-时23,x ≥-∴ 1.5x ≤--，∴ 1.5x ≤-；11x -<≤时，23≥不成立；1x >时23x ≥，∴ 1.5x ≥，∴ 1.5x ≥．综上所述 1.5x ≤-或 1.5x ≥．山西省运城市康杰中学2017年高考模拟（理科）数学试卷（二）解 析1．【考点】1D ：并集及其运算．【分析】运用二次不等式的解法，化简集合A ，由绝对值不等式的解法，化简集合B ，再由并集的定义，即可得到所求集合．【解答】解：集合()()2560,23,{|A x x x =+>=∞+∞﹣-，{}()3|||12,4B x x <==﹣，∴22A B ⋃=∞⋃+∞（﹣，）（，）．故选：C ．2．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的模的计算公式及其性质即可得出． 【解答】解：5i 134i z ==+．故选：A ．3．【考点】CP ：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】由条件可知μ=3，再利用对称性计算出P （X >4）．【解答】解：由正态曲线性质知，μ=3， 40.5240.50.682 60.(158 )7P X P X ∴>=≤≤=⨯=﹣（）﹣．故选B ．4．【考点】DB ：二项式系数的性质．【分析】由题意得321444+10aC C C --=-，由此能求出a 的值．【解答】解：∵241a x x x ++（）（﹣）的展开式中含3x 项的系数为﹣10， ∴由题意得321444+10aC C C --=-，解得3a =．故选：C ．5．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】联立方程组，利用抛物线的性质和根与系数的关系列方程得出k ．【解答】解：联立方程组2y (x 2)8k y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得22224840k x k x k ++=﹣（）， ∴12x x +=284k +， ∵直线AB 经过抛物线的焦点（2，0），∴1248||9AB x x =++=+=，又k ＞0，∴k =．故选D6．【考点】L !：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱，结合图中数据，求出三棱柱的高与侧视图的面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是正三棱柱，且底面正三角形一边上的高为=4，∴三棱柱的体积为V 三棱柱=12×4×=， 三棱柱的高为h =3；∴侧视图的面积为S 侧视图=3=故选：D ．7．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设数列{an }的首项为a1，公比为q ，则log2a1+log2a2+log2a3=3，从而a1a2a3=8，进而a2=2．由b1b2b3=﹣3，得log2a1•log2a2•log2a3=﹣3，从而log2a1•log2a3=﹣3，进而（log2a2﹣log2q ）（log2a2+log2q ）=﹣3，解得q =4，2112a a q ==，由此能求出结果． 【解答】解：设数列{an }的首项为a1，公比为q ，∵b1+b2+b3=3，∴log2a1+log2a2+log2a3=3，∴log2（a1a2a3）=3，∴a1a2a3=8，∴a2=2．∵b1b2b3=﹣3，∴log2a1•log2a2•log2a3=﹣3，∴log2a1•log2a3=﹣3，∴()2222log log 3a a q q=-， 即（log2a2﹣log2q ）（log2a2+log2q ）=﹣3，即（1﹣log2q ）（1+log2q ）=﹣3，解得log2q =±2，又∵q ＞1，∴log2q =2，解得q =4，112a a a q ==， ∴4231422n n n a --=⨯=． 故选：A ． 8．【考点】EF ：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值，利用函数图象即可得解．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数的值，由y=x，在同一坐标系中，分别画出图象，如图：可知有四个交点．故选：D．9．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】首先求出F2到渐近线的距离，利用F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，可得直角三角形MF1F2，运用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（0，﹣c），F2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点，又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C．10．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；H2：正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的对称性求出b=﹣a，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．【解答】解：∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴f（）=（a﹣b）=，平方得a2+2ab+b2=0，即（a+b）2=0，则a+b=0，b=﹣a，则f（x）=asinx+acosx=sin（x+），又a≠0，则=sin（﹣x+）=sin（π﹣x）=sinx为奇函数，且图象关于点（π，0）对称，故选：D．11．【考点】3T：函数的值．【分析】由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由此能求出函数f（x）的“生成点”的个数．【解答】解：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由x0，n∈N*，得或，解得或，所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）．故函数f（x）的“生成点”共有2个．故答案为：A．12．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（m，n）处的切线相同，分别求出两个函数的导数，可得切线的斜率相等且f（m）=g（m），解得m=a，求出b关于a的函数，设h（t）=t2﹣3t2lnt（t＞0），求出导数和单调区间，可得极大值，且为最大值，即可得到所求b的范围．【解答】解：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（m，n）处的切线相同，f′（x）=x+2a，g′（x）=，由题意知f（m）=g（m），f′（m）=g′（m），∴m+2a=，且m2+2am=3a2lnm+b，由m+2a=得，m=a，或m=﹣3a（舍去），即有b=a2+2a2﹣3a2lna=﹣3a2lna，令h（t）=t2﹣3t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1﹣3lnt），于是：当2t（1﹣3lnt）＞0，即0＜t＜e时，h′（t）＞0；当2t（1﹣3lnt）＜0，即t＞e时，h′（t）＜0．故h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e）=e，故b的最大值为e，故选：B．13．【考点】9J：平面向量的坐标运算．【分析】利用向量坐标运算性质、投影的计算公式即可得出．【解答】解：∵，∴=+（﹣5，1）=（﹣4，2）．∴=（﹣2，1）．则在上的投影为．故答案为：14．【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线x+y=a的变化范围，最后由三角形面积公式解之即可．【解答】解：如图，不等式组表示的平面区域是△AOB，动直线x+y=a（即y=﹣x+a）在y轴上的截距从﹣2变化到1．知△ADC是斜边为3的等腰直角三角形，△EOC是直角边为1等腰直角三角形，所以区域的面积S阴影=S△ADC﹣S△EOC=故答案为：．7 415．【考点】7F：基本不等式．【分析】由∠BAC=60°想到三角形面积公式，可设AD=x，AE=y，利用余弦定理与重要不等式求解．【解答】解：设AD=x，AE=y（0＜x≤4，0＜y≤3），由余弦定理得DE2=x2+y2﹣2xycos60°，即4=x2+y2﹣xy，从而4≥2xy﹣xy=xy，当且仅当x=y=2时等号成立．所以，即的最小值为．故答案为23．16．【考点】LR：球内接多面体；L3：棱锥的结构特征；LG：球的体积和表面积．【分析】设出内切球的半径，利用棱锥的体积求出内切球的半径，即可求解内切球的体积．【解答】解：四棱锥P﹣ABCD底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60°，△ADB，△DBC都是正三角形，边长为2，三角形的高为：．由题意设内切球的半径为r，四棱锥的高为：h，∴h==，斜高为：棱锥的体积为：V=S底•h==．连结球心与底面的四个顶点，组成5个三棱锥，题目的体积和就是四棱锥的体积，∴S全=4×+2×2sin60°=6．∴=，r =．球的体积为：==．故答案为：π617．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（1）21n n S a n =+-，当n ≥2时，1n n n a S S --=，1n =时满足上式，可得112 1.31n n n n n a n b n a na ++=+=+（）﹣，可得()()111114333n n n n nb n a na n ++=⎡+-⎤=+∙⎣⎦，又1b =3满足上式，可得()11413n n b n -=-． （2）利用错位相减法与等比数列的求和公式可得n T ．可得n T ﹣1n T +<0．即可得出．【解答】解：（1）∵21n n S a n =+-，∴当2n ≥时，()()2211111n n n n n a S S a n a n ==+⎡⎤----⎦+-⎣﹣﹣，化为：121na n =-﹣， 又∵1123a =+=满足上式，∴21n a n =+()()()()()1111232143n n n b n a na n n n n n ++=+=⎡++-+⎤=⎣-⎦⎡⎤⎦+⎣，∵1131nn n n b n a na ++=+-（），∴1n b +=13n ()11n n n a na +⎡+-⎤⎣⎦=13n ()()()()1232143n n n n n ⎡++-+⎤=+⎣⎦•13n， 又∵13b =满足上式， ∴()41n b n =-•113n -． （2）由（1）可知，()1111317141333n n T n -=∙+∙+∙++-∙， ()2111137413333n n T n =∙+∙++-∙，错位相减得：()21211134413333n n nT n -⎛⎫=+++--∙⎪⎝⎭， ∴n T =n-11113333+4(4n 1)1213⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⨯--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦n-111131333+4(4n 1)12313n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⨯--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦n-11113333+41213⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⨯⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ =115145223n n -+-， n T -1n T +=-115145223n n -+--15149(4n 3)2233n n n +-+⎛⎫-∙= ⎪⎝⎭0<． ∴1n n T T +<，即{}n T 为递增数列． 又35979T =<，46479T =>， ∴n T <7时，n 的最大值为3．18．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图；CG ：离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）用Ai 表示事件“甲选择路径Li 时，40分钟内赶到B 地”，Bi 表示事件“乙选择路径Li 时，50分钟内赶到B 地”，i =1，2．由频率分布直方图及频率估计概率求出P （A1）＞P （A2），从而甲应选择L1，P （B2）＞P （B1），从而乙应选择L2．（2）用M ，N 分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B 地，P （M ）=0．6，P （N ）=0．9，M ，N 相互独立，由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【解答】解：（1）用Ai 表示事件“甲选择路径Li 时，40分钟内赶到B 地”， Bi 表示事件“乙选择路径Li 时，50分钟内赶到B 地”，i =1，2．… 由频率分布直方图及频率估计相应的概率可得：()()10.010.020.03100.6P A =++⨯=， ()()20.010.04100.5P A =+⨯=．∵()()12P A P A >，故甲应选择L1．…()()10.010.020.030.02100.8P B =+++⨯=， ()()20.010.040.04100.9P B =++⨯=．∵()()21P B P B >，故乙应选择L2．…（2）用,M N 分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到B 地， 由（1）知()()0.60.9P M P N ==，，又由题意知，,M N 相互独立，… ∴()0P X ==()()()0.40.10.04P MN P N M P =⨯=；()()()()()()10.40.90.60.10.42M P X P MN M N P M P N P N ==+=+=⨯+⨯=()()()()20.60.90.54P X P MN P M P N ====⨯=．…∴X 的分布列为∴()00.0410.4220.54 1.5E X =⨯+⨯+⨯=．…19．【考点】MR ：用空间向量求平面间的夹角；LX ：直线与平面垂直的性质． 【分析】解法1（1）证明BD ⊥EG ，只需证明EG ⊥平面BHD ，证明DH ⊥EG ，BH ⊥EG 即可；（2）先证明∠GMH 是二面角G ﹣DE ﹣F 的平面角，再在GMH △中，利用余弦定理，可求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值；解法2（1）证明EB ，EF ，EA 两两垂直，以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量，证明0BD EG =，可得BD ⊥EG ；（2）由已知得(2,0,0)EB =是平面DEF 的法向量，求出平面DEG 的法向量()1,1,1N =-，利用向量的夹角公式，可求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值． 【解答】解法1 （1）证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥， 又AE EB ⊥，EBEF E =，EB EF ，⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE ．…过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE ． ∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥．…∵////AD EF DH AE ，，∴四边形AEHD 平行四边形，∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又////EH BG EH BE ，， ∴四边形BGHE 为正方形， ∴BH EG ⊥，… 又,BHDH H BH =⊂平面,BHD DH ⊂平面BHD ，∴EG ⊥平面BHD ．… ∵BD ⊂平面BHD ， ∴BD EG ⊥．…（2）解：∵AE ⊥平面BCFE ，AE ⊂平面AEFD ，∴平面AEFD ⊥平面BCFE 由（1）可知GH EF ⊥，∴GH ⊥平面AEFD ∵DE ⊂平面AEFD ，∴GH DE ⊥… 取DE 的中点M ，连接MH MG ， ∵四边形AEHD 是正方形，∴MH DE ⊥ ∵,MHGH H MH =⊂平面,MH GH H MH =⊂平面GHM DE ∴⊥，平面GHM DE MG ∴⊥， ∴GMH ∠是二面角G DE F --的平面角，…在GMH △中，2,GH MH MG ===∴cosGMH =∠…∴平面DEG 与平面DEF ．… 解法2（1）证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面,AEB BE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥，∴EB EF EA ，，两两垂直．…以点E 为坐标原点，EB EF EA ，，分别为x y z ，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由已知得，()()()()()(),,,0,0,22,0,02,4,00,3,00,2,2,,2,2,0A B C F D G ．… ∴()()2,2,0,2,2,2EG BD ==-,… ∴22220BD EG =-⨯+⨯=，… ∴BD EG ⊥．…（2）解：由已知得()2,0,0EB 是平面DEF 的法向量．… 设平面DEG 的法向量为(,,)n x y z ， ∵()()2,0,0,2,2,0,ED EG ==∴00ED n EG n ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，即00y x x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =-．…设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ，则cos cos ,2n EB n EB nEBθ===∴平面DEG 与平面DEF ．…20．【考点】KL ：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率为12，左焦点F1到直线2a x c =-的距离为3，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆M 的方程；由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2223484k x kmx m +++（）120=﹣，由此利用根的判别式、点到直线距离公式能求出直线l 的方程． （2）将k =12，m =2代入，得A （﹣1，32），过切点B 的半径所在的直线l ′：y =﹣2x +2，与直线l 的方程联立得B （0，2），设P （x0，y0），由PB PA=72x +72y +16x0﹣20y0+22=0，再由P （x0，y0）满2200024x y x +-=，能求出存在P （﹣1，1）或P （﹣913，1913）满足条件． 【解答】解：（1）∵椭圆M ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为12，左焦点F1到直线2a x c =-的距离为3，∴由题意知2123c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得21a c ==，．…∴b，∴椭圆M 的方程为22143x y +=，…圆N 的方程为()2251x y +=-，∵直线l ：y kx m =+()0k >与椭圆M 只有一个公共点，∴由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484120k x kmx m +-++=，① ∴()()2222644344120k m km∆=+-=-，整理得2234m k =+，②…由直线l ：y kx m =+与N=222255k km m k ++=+，③将②代入③得1km =，④由②④得2k m ==，． ∴直线l ：2y x =+．…（2）将2k m ==，代入①可得31,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭， 又过切点B 的半径所在的直线l ′：22y x =-+， 与直线l 的方程联立得B ()0,2，…设()00,P x y ，由PB PA=()()2200220028312x y x y +-=⎛⎫++- ⎪⎝⎭，化简得72x +72y +001620220x y +=﹣，⑤…又()00,P x y 满足2200024x y x +-=，⑥将⑤﹣7×⑥并整理得003250x y +=-， 即00352x y +=，⑦ 将⑦代入⑥并整理得0132290x ++=，解得0x =1-或0x =913-… 所以存在()11P -，或99,1313P ⎛⎫- ⎪⎝⎭满足条件．… 21．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6C ：函数在某点取得极值的条件．【分析】（Ⅰ）求导数f x '（），由于f x '（）＜0，即得f x （）在区间（0，+∞）上单调递减；（Ⅱ）根据导函数即可判断在f x （）（0，+∞）上的单调性，由单调性即可比较f （x ）与2的大小；（Ⅲ）先求导数f x '（），由题意知12x x 、是方程f x '（）=0的两个根，令2=xxx eϕ（），利用导数得到函数x ϕ）（）x ϕ（）的单调区间，继而得到k 的取值范围，由10f x '=（），则得112x xk e =，又由21111110101f x x x f x =+∈（）﹣（﹣），（，），即可得到＜（）＜． 【解答】解：（Ⅰ）由()1120x f x ke x '-==()2x f x ke x =-'可知， 当0k <时，由于()()0,,20xx f x ke x -∈+∞'=<，故函数()f x 在区间()0,+∞上是单调递增函数．（Ⅱ）当2k =时，()22x f x e x -=，则()22x f x e x =-' 令()22x h x e x -=，()22xh x e '=-由于()0,x ∈+∞，故()220xh x e -'=>，于是22x h x e x =-（）在()0,+∞为增函数，所以()()22020x h x e x h >=-=>即()220xf x e x =-'>在()0,+∞恒成立，函数()f x 有两个极值点12,x x ，则12,x x 是()20xf x ke x -'==的两个根 从而()22x f x e x -=在()0,+∞为增函数， 故()()222x f x e x f ->==0．（Ⅲ）即方程2xxk e =有两个根，设()x ϕ2x x e =，则()x ϕ'22x x e -=,当0x <时，()0x ϕ'>函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ<； 当01x <<时，()0x ϕ'>函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；当1x >时，()0x ϕ'<函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>． 要使2x x k e=有两个根，只需()0 < <12k ϕ=e ． 故实数k 的取值范围是20,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭2e又由上可知函数()f x 的两个极值点12,x x 满足1201x x <<<， 由()1120x f x ke x '-==，得112x x k e=， ∴，()()1221111x f x ke x x '==--+-由于()10,1x ∈，故，()210111x <--+< 所以()101f x <<22．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C 的参数方程先求出曲线C 的直角坐标方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程． （2）先求出直线l 的参数方程，与曲线C 的直角坐标方程联立，得2220t cos sin t θθ+=（﹣）﹣，由此能求出AB 的弦长．【解答】解：（1）∵曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）． ∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y y -+=，∴曲线C 的极坐标方程为24sin 0ρρθ-=，即曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=．…5分（2）设直线l 的参数方程是1cos 1sin x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）① 曲线C 的直角坐标方程是2240x y y -+=，②②联立，得()22cos sin 20t t θθ+--=，∴122t t =-，且1222MA NB t t =∴=-，则122,1t t ==-或AB 的弦长12|3AB t t -==．…10分23．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用三角不等式证明：f （x ）≥2；（2）g （b ）=211b b b +-+≤211b b b +--=3，可得3f x ≥（），即1|13|x x ++≥﹣，分类讨论，求x 的取值范围．【解答】（1）证明：()1111112||f x x x x x x x =-++=-++≥-++=； （2）解：()2112113b bbb b g b b +-++--≤==，∴()3,f x ≥即1|13|x x -++≥1x ≤-时23, 1.5 1.5x x x ≥∴≤-∴≤--，； 11x -<≤时23≥不成立；1x >时23 1.5 1.5x x x ≥∴≥∴≥，，．综上所述 1.5x ≤-或 1.5x ≥．。

山西省运城市康杰中学2017年高考全真模拟（理科）数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．设集合0123{45}=U ,,,,,，3{}12A =,,，25{40|}B x x x =∈-+≥Z ，则()A B =U ð( )A ．{123},,B ．{1}2,C ．{2}3,D ．{}22．已知复数z 的实部和虚部相等，且()()2i 3i z b b +=-∈R ，则z =( )A ．B ．C ．3D ．2 3．已知圆2214C x y +=:，圆22268160C x y x y ++-+=:，则圆1C 和圆2C 的位置关系是( )A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切4．某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学，生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法( ) A ．6B ．12C ．18D ．245．在等差数列{}n a 中，已知45a =，3a 是2a 和6a 的等比中项，则数列{}n a 的前5项的和为( ) A ．15B ．20C ．25D ．15或256．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x +=对x ∈R 恒成立，当[]0,1x ∈时，()2xf x =，则92f ⎛⎫- ⎪⎝⎭=( )A ．12B C ．2D ．1 7．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n 表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为 1.732≈，sin150.2588︒≈，sin750.1305︒≈）( )A ．2.598，3，3.1048B ．2.598，3，3.1056C ．2.578，3，3.1069D ．2.588，3，3.11088．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．223B ．203C ．163D ．69．关于函数()[]()2π22cos 0πf x x x =+∈,下列结论正确的是( ) A ．有最大值3，最小值1- B ．有最大值2，最小值2- C ．有最大值3，最小值0 D ．有最大值2，最小值010．点A B C D ,,,在同一个球的球面上，AB BC ==90ABC ∠=，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为( ) A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π11．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B ,两点，且2AF BF =，则直线AB 的斜率为( ) A．B．C．-D．或-12．若函数()213sin221x x f x x -=+++在区间[](),0k k k -＞上的值域为[],m n ，则m n +等于( )A ．0B ．2C ．4D ．6 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知矩形ABCD ，AB=4，AD=1，点E 为DC 的中点，则AE BE ⋅=______．14．为了活跃学生课余生活，我校高三年级部计划使用不超过1200元的资金购买单价分别为90元、120元的排球和篮球．根据需要，排球至少买3个，篮球至少买2个，并且排球的数量不得超过篮球数量的2倍，则能买排球和篮球的个数之和的最大值是______．15．学校艺术节对同一类的,A B C D ,,四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；丙说：“A D ,两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C 作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______． 16．我们把满足：()()1n n n n f X X X f X +=-'的数列{}n x 叫做牛顿数列．已知函数()21f x x =-，数列{}n x 为牛顿数列，设1ln1n n n X a X -=+，已知12a =，则3a =______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．如图，D 是直角ABC △斜边BC 上一点，AC =． （1）若30DAC ∠=，求角B 的大小；（2）若2BD DC =，且AD =DC 的长．18．某单位280名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[)45,50，得到的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）现要从年龄低于40岁的员工中用分层抽样的方法抽取12人，则年龄在第1，2，3组的员工人数分别是多少？（Ⅱ）为了交流读书心得，现从上述12人中再随机抽取3人发言，设3人中年龄在[)35,40,的人数为ξ，求ξ的数学期望；（Ⅲ）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对从该单位所有员工中按性别比例抽取的40人做“是否喜欢阅读国学类书籍”进行调查，调查结果如下表所示：（单位：人）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++;19．如图1，菱形ABCD 的边长为12，60BAD ∠=，AC 与BD 交于O 点．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC 的中点，DM =（Ⅰ）求证：平面ODM ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角M AD C --的余弦值．20．已知点,A B 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右顶点，点()0,2P -，直线BP 交E 于点Q ，32PQ QB =且ABP △是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点P 的动直线l 与E 相交于,M N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围． 21．已知函数()ln mx f x x=，曲线()y f x =在点()()22e ,ef 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）．（1）求()f x 的解析式及单调递减区间； （2）若存在[)0e,x ∈+∞，使函数()()1e 2eln ln 22a g x a x x x f x a +=+-⋅⋅≤成立，求实数a 的取值范围． [选修44-：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，已知圆2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点P 在直线40l x y +-=：上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程． [选修45-：不等式选讲]23．（1）解不等式：211x x --＜；（2）设()21f x x x =-+，实数a 满足1x a -＜，求证：()()()21f x f a a -+＜．山西省运城市康杰中学2017年高考全真模拟（理科）数学试卷答 案一．选择题 1~5．CABCA6~10．BBACD11~12．CD二．填空题 13．3- 14．12 15．B 16．8 三．解答题17．解：（1）在ABC △中,根据正弦定理,有sin sin AC DCADC DAC=∠∠．因为AC =,所以sin ADC DAC ∠=∠= 又6060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+＞, 所以120ADC ∠=,于是1801203030C ∠=--=,所以60B ∠=． （2）设DC x =,则2,3,BD x BC x AC ===．于是sin AC B B AB BC ===． 在ABD △中,由余弦定理,得2222cos AD AB BD AB BD B =-∙+,即(2222=642223x x x x +-⨯⨯=,得2x =． 故2DC =．18．解：（1）由频率分布直方图得前三组的人数分别为：()0.02528028,28,10.020.020.060.025280112⨯⨯=⎡+++⨯⎤⨯=⎣⎦-所以前三组抽取的人数分别为2812=2,2,82828112⨯++,（2）由上可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,其概率分别为()383121055C P C ξ===,()128431212515C C P C ξ===,()218431228525C C P C ξ===,()3831214553C P C ξ===,所以,11228140123255555555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）假设0H ：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”,根据表中数据,求得2K 的观测值()240141448 6.8605 6.63522182218k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,查表得()26.6350.01P K ≥=,从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系19．（1）证明：∵ABCD 是菱形,∴AD DC OD AC =⊥,,12120ADC AD DC ADC ==∠=△中,,,∴6OD =,又M 是BC 中点,∴16,2OM AB MD ===∵222OD OM MD +=∴DO OM ⊥, ∵,OM AC ⊂面ABC ,OM AC O =, ∴OD ⊥面ABC ,又∵OD ⊂平面ODM ,∴平面ODM ⊥平面ABC ． （2）解：由题意,,OD OC OB OC ⊥⊥,又由（1）知OB OD ⊥,建立如图所示空间直角坐标系, 由条件知：()()()6,0,0,0,,D A M -, 故()()0,93,3,6,6AM AD ==,设平面MAD 的法向量(),,m x y z =,则00m AM m AD ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩,即3060z x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令y =则3,9xz ==,∴()3,m =,由条件知OB ⊥平面ACD ,故取平面ACD 的法向量为()0,0,1n =. 所以,+393cos ,m n m n m n≥=由图知二面角M AD C --为锐二面角, 故二面角M AD C --的余弦值为3120．解：（1）由题意知：ABP △是等腰直角三角形,()220a B =,,, 设()00Q x y ,,由32PQ QB =,则0064,45x y ==-,代入椭圆方程,解得21b =,∴椭圆方程为2214x y +=．（2）由题意可知,直线l 的斜率存在,方程为2y kx =-,设()()1122M x y N x y ,,,,则22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()221416120k x kx +-+=, 由韦达定理可知：12122216121414k x x x x k k +==++,, 由直线l 与E 有两个不同的交点,则0△＞,即()()2216412140k k --⨯⨯+＞,解得：234k ＞,①由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外,则0OM ON >,即12120x x y y +＞, 则()()1212121222x x y y x x kx kx +=+--=()()21212124k x x k x x +-⨯++=()222121612401414kk k kk +-⨯+++＞,解得：24k ＜,②综合①②可知：2344k ＜＜,2k ＜或2k -＜＜,直线l 斜率的取值范围32,,2⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 21．解：（1）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞,()()2ln 1ln m x f x x -'=（）,又由题意有：()21e 42m f '==,所以()22,ln x m f x x==． 此时,()()()22ln 1ln x f x x -'=,由()0f x '＜得01x ＜＜或1e x ＜＜, 所以函数()f x 的单调递减区间为()01,和()1,e ． （2）因为()()21eln e 2g x a x x a x =+-+, 由已知,若存在[)0x e ∈+∞,,使函数()()21e eln ln 22a g x a x x x f x a +=+-∙∙≤成立, 则只需满足当[)()e min x g x a ∈+∞≤,，即可．又()()21eln e 2g x a x x a x =+-+, 则()()()e x a x g x x--'=,e a ≤,则()0g x '≥在[)e,x ∈+∞上恒成立,∴()g x 在[)e +∞,上单调递增, ∴()()2e e 2ming x g ==-,∴2e 2a ≥-,∵e a ≤, ∴2e e 2a -≤≤．a e ＞,则()g x 在[)e,a 上单调递减,在[),a +∞上单调递增,∴()g x 在[)e +∞,上的最小值是()g a , ∵()()e e g a g a ＜,＞,∴满足题意,综上所述,2e 2a ≥-．22．解：（1）圆2cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）,可得直角坐标方程：224x y +=, ∴圆C 的极坐标方程2ρ=．点P 在直线40l x y +-=：上,直线l 的极坐标方程4sin cos ρθθ=+．（2）设,P Q R ,的极坐标分别为()()()12,ρθρθρθ,,,,, 因为124=,2sin cos ρρθθ=+,又因为2OP OR OQ =∙,即212=ρρρ∙,∴()2122161==2sin cos ρρρθθ⨯+, ∴8=1sin 2ρθ+．23．（1）解：根据题意,对x 分3种情况讨论：①当0x ＜时,原不等式可化为211x x -+-+＜,解得0x ＞,又0x ＜,则x 不存在, 此时,不等式的解集为∅．②当102x ≤＜时,原不等式可化为211x x -++＜,解得0x ＞,又102x ≤＜, 此时其解集为122x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭＜．③当12x ≥时,原不等式化为211x x -+＜ ,解得122x ≤＜, 又由12x ≥,此时其解集为21{|}2x x ≤＜,综上,原不等式的解集为2|}0{x x ＜＜． （2）证明：∵()21f x x x =-+,实数a 满足1x a -＜,故()()2211f x f a x x a a x a x a x a ---+=-∙++-=-＜=()21+2112121x a a x a a a a -+-≤-++=+-＜． ∴()()()21f x f a a -+＜．山西省运城市康杰中学2017年高考全真模拟（理科）数学试卷解 析一、选择题.1．【考点】1H ：交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合的补集的定义求出集合B 的补集；再利用集合的交集的定义求出A ∩C U B【解答】解：∵2{|5}40B x Z x x -=∈+≥,∴{3}2B =U ,ð ∵集合01234512{}{}3A ==U ,,,,,，，，, ∴{}1,232323{}{}A B ==U ,,,ð, 故选：C ．2．【考点】5A ：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部和虚部相等求得b ,得到z ,代入复数模的计算公式得答案．【解答】解：由()2i 3i z b +=-,得()()()()()3bi 2i 6b 2b 3i3bi z===2i 2i 2i 5----+-++-, ∴623b b -=--,解得9b =-． ∴z=33i +,则z 故选：A ．3．【考点】JA ：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把圆的方程化为标准形式,求出圆心和半径,根据两圆的圆心距等于半径之和,可得两个圆关系．【解答】解：圆2214C x y +=：,表示以()10,0C 为圆心,半径等于2的圆．圆22268160C x y x y ++-+=：,即()()22349x y ++-=,表示以()23,4C -为圆心,半径等于3的圆．∴两圆的圆心距523d ==+, ∵两个圆外切． 故选：B ．4．【考点】8D ：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意,分2种情况讨论：①、从物理,化学,生物三科中选2科,从政治,历史,地理三科中选1科,②、从物理,化学,生物三科中选1科,从政治,历史,地理三科中选2科,分别求出每一种情况下的选法数目,由分类计数原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意,分2种情况讨论：①、从物理,化学,生物三科中选2科,从政治,历史,地理三科中选1科,则有21339C C ∙=种选法；②、从物理,化学,生物三科中选1科,从政治,历史,地理三科中选2科,则有21339C C ∙=种选法；则一共有9+9=18种选考方法； 故选：C ．5．【考点】85：等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式和等比中项定义,列出方程组,求出11a =-，2d = ,由此能求出数列{}n a 的前5项的和．【解答】解：∵在等差数列{}n a 中,45a =, 3a 是2a 和2a 的等比中项,∴()()()121113525a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩, 解得11,2a d =-=,∴数列{}n a 的前5项的和为：()5154=55154152S a d ⨯+=⨯-+⨯=． 故选：A ． 6．【考点】3L ：函数奇偶性的性质． 【分析】先确定函数()f x 的周期为2,再利用函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当[]0,1x ∈时,()2x f x =,即可得出结论．【解答】解：∵()()2f x f x +=对x ∈R 恒成立, ∴()f x 的周期为2.()f x 是定义在R 上的偶函数,∴911222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵当[]0,1x ∈时,()2xf x =,∴122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故选：B ．7．【考点】EF ：程序框图．【分析】由n 的取值分别为6,12,24,代入即可分别求得S ．【解答】解：当6n =时,16sin602598,2S =⨯⨯︒=．输出2598S =．, 6＜24,继续循环,当12n =时,112sin3032S =⨯⨯︒=,输出3S =,12＜24,继续循环,当24n =时,124sin15 3.10562S =⨯⨯︒=,输出31056S =．,24=24,结束, ∴故选B ． 8．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体,进而得到答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体, 正方体的体积为：8,三棱锥的体积为：13×12×2×2×1=23, 故组合体的体积222833V =-=,故选：A ．9．【考点】GI ：三角函数的化简求值；2H ：正弦函数的图象．【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为()sin y A x ωϕ=+的形式,[]0,πx ∈时,求出内层函数的取值范围,结合三角函数的图象和性质,求出()f x 的最大值和最小值．【解答】解：函数()22cos 2x f x x =+．化简可得：()πcos 12sin 16f x x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭ ∵[]0,πx ∈, ∴ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 可得πsin ,2611x ⎛⎫+∈ ⎪⎡⎥⎝⎭⎤-⎢⎣⎦x , ∴函数()[]0,3f x ∈,故选：C ．10．【考点】LG ：球的体积和表面积．【分析】根据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的表面积【解答】解：根据题意知,直角三角形ABC △的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上,设小圆的圆心为Q ,若四面体ABCD 的体积的最大值,由于底面积ABC S △不变,高最大时体积最大,所以,DQ 与面ABC 垂直时体积最大,最大值为为133ABC S DQ ⨯=△, 即1333DQ ⨯⨯=,∴3DQ =,如图．设球心为O ,半径为R ,则在直角AQO △中,222OA AQ OQ =+,即()2223,2R R R =+-∴=, 则这个球的表面积为：24π216πS =⨯=．故选：D ．11．【考点】8K ：抛物线的简单性质．【分析】当点A 在第一象限,通过抛物线定义及2AF BF =可知B 为CE 中点,通过勾股定理可知|AC =,进而计算可得结论．【解答】解：如图,点A 在第一象限．过A B 、分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为D E 、,过A 作EB 的垂线,垂足为C ,则四边形ADEC 为矩形． 由抛物线定义可知,AD AF BE BF ==, 又∵2AF BF =, ∴2AD CE BE ==,即B 为CE 中点, ∴3AB BC =,在Rt ABC △中,AC =,∴直线l 的斜率为AB BC=当点B 在第一象限时,同理可知直线l 的斜率为-∴直线l 的斜率为±故选：C ．12．【考点】34：函数的值域．【分析】由已知函数解析式可得()()6f x f x +-=,结合()f x 在区间[](),0k k k -＞上的值域为[],m n ,即无论k 取什么样的正实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值,令1k =得答案．【解答】解：∵()213sin 221x x f x x -=+++, ∴()()21213sin 23sin 22121x x x x f x x x -----=++-=-=++, ∴()()6f x f x +-=．①又()f x 在区间[](),0k k k -＞上的值域为[],m n ,即无论k 取什么样的正实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值,故可令1k =,由于函数()213sin 221x x f x x -=+++在区间[](),0k k k -＞上是一个增函数, 故()()m n f k f k +=+-由①知,()()6m n f k f k +=+-=．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】根据条件,可分别以,AB AD 所在直线为x 轴,y 轴,建立坐标系,然后可求出点,,A B E 的坐标,进而求出向量,AE BE 的坐标,从而求出,AE BE 的值．【解答】解：分别以边,AB AD 所在直线为,x y 轴,建立如图所示平面直角坐标系,则：()()()0,0,4,0,2,1A B E ；∴()()2,1,2,1AE BE ==-；∴413AE BE =-+=-．故答案为：3﹣．14．【考点】7C ：简单线性规划．【分析】设买排球x 个,篮球y 个,由题意列关于,x y 的不等式组,作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案．【解答】解：设买排球x 个,篮球y 个,买排球和篮球的个数之和z x y =+．则232901201200x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨≤⎪⎪+≤⎩, 由约束条件作出可行域如图：联立23440x y x y =⎧⎨+=⎩,解得()8,4A , 化目标函数z x y =+为y x z =-+,由图可知,当直线y x z =-+过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为12．故答案为：12．15．【考点】4F ：进行简单的合情推理．【分析】根据学校艺术节对同一类的,,A B C D ,四项参赛作品,只评一项一等奖,故假设,,A B C D ,分别为一等奖,判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性,即可判断．【解答】解：若A 为一等奖,则甲,丙,丁的说法均错误,故不满足题意,若B 为一等奖,则乙,丙说法正确,甲,丁的说法错误,故满足题意,若C 为一等奖,则甲,丙,丁的说法均正确,故不满足题意,若D 为一等奖,则只有甲的说法正确,故不合题意,故若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是B故答案为：B16．【考点】8H ：数列递推式．【分析】依题意,可求得()()2+112+111121-11ln ln ln 2ln 21111112n n n n n n n n n n n n X X X X X a a X X X X X +⎛⎫+- ⎪--⎝⎭=====++⎛⎫++- ⎪⎝⎭,即数列{}n a 是以2为公比的等比数列,又12a =,利用等比数列的通项公式即可求得答案．【解答】解：∵()21f x x =-,数列{}n x 为牛顿数列,∴()()2111122n n n n n n n n n f X X X X X X f X X X +⎛⎫-=-=-=+ ⎪'⎝⎭, ∴()()2+112+11112111ln ln ln 2ln 21111112n n n n n n n n n n n n X X X X X a a X X X X X +⎛⎫+- ⎪---⎝⎭=====++⎛⎫++- ⎪⎝⎭, 又12a =,∴数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,∴23228a =⨯=．故答案为：8．三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17．【考点】HP ：正弦定理．【分析】()Ⅰ由正弦定理有sin sin AC DC ADC DAC =∠∠,又AC ,可得sin ADC DAC ∠=∠,结合6060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+︒︒＞,可求ADC ∠,即可求B 的值． ()Ⅱ设DC x =,则2,3,BD x BC x AC ===．可求sin 33AC B B AB BC ====,由余弦定理即可计算得解DC 的长．【解答】（本题满分为12分） 解：()Ⅰ在ABC △中,根据正弦定理,有sin sin AC DC ADC DAC=∠∠．因为AC =,所以sin ADC DAC ∠∠=． 又6060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+︒︒＞,所以120ADC ∠=︒．于是1801203030C ∠=︒-︒-︒=︒,所以60B ∠=︒．()Ⅱ设DC x =,则2,3,BD x BC x AC ==．于是sin AC B B AB BC ===． 在ABD △中,由余弦定理,得2222cos AD AB BD AB BD B =-∙+,即(2222=64222x x x x +-⨯=,得2x =． 故2DC =．18．【考点】BO ：独立性检验的应用；8B ：频率分布直方图．【分析】()Ⅰ由频率分布直方图得前三组的人数,即可求出年龄在第1,2,3组的员工人数分别是多少； ()Ⅱ由上可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,求出其概率,即可求ξ的数学期望；()III 求得2K 的观测值,查表得()26635001P K ≥=．．,即可得出结论． 【解答】解：()Ⅰ由频率分布直方图得前三组的人数分别为：()0.02528028,28,10.020.020.060.02528⨯⨯=⎡+++⨯⎤⨯=⎣⎦- 所以前三组抽取的人数分别为2812=2,2,82828112⨯++, ()Ⅱ由上可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,其概率分别为()383121055C P C ξ===,()128431212515C C P C ξ===,()218431228525C C P C ξ===,()3831214553C P C ξ===, 所以,11228140123255555555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． ()Ⅲ假设0H ：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”,根据表中数据, 求得2K 的观测值()240141448 6.8605 6.63522182218k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯,查表得2 6.6350.01P K ≥=（）,从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系 19．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LY ：平面与平面垂直的判定．【分析】()Ⅰ推导出,OD AC DO OM ⊥⊥,从而OD ⊥面ABC ,由此能证明平面ODM ABC ⊥平面． ()Ⅱ由,,OD OC OB OC OB OD ⊥⊥⊥,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角M AD C --的余弦值．【解答】（本小题满分12分）证明：()Ⅰ证明：∵ABCD 是菱形, ∴AD DC OD AC =⊥,,12120ADC AD DC ADC ==∠=︒△中,,,∴6OD =,又M 是BC 中点,∴16,2OM AB MD ===∵222OD OM MD +=∴DO OM ⊥,∵,OM AC ⊂面ABC ,OM AC O =, ∴OD ⊥面ABC ,又∵OD ⊂平面ODM ,∴平面ODM ⊥平面ABC ．()Ⅱ解：由题意,,OD OC OB OC ⊥⊥,又由（Ⅰ）知OB OD ⊥,建立如图所示空间直角坐标系, 由条件知：()()()6,0,0,0,,D A M - 故()()0,93,3,6,6AM AD ==, 设平面MAD 的法向量(),,m x y z =,则00m AM m AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即3060z x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令y =则3,9x z ==, ∴()3,m =,由条件知OB ⊥平面ACD ,故取平面ACD 的法向量为()0,0,1n =.所以,393cos ,31m nm n m n ≥=由图知二面角M AD C --为锐二面角,故二面角M AD C --20．【考点】4K ：椭圆的简单性质．【分析】()Ⅰ由题意可知：由32PQ QB =,求得Q 点坐标,即可求得椭圆E 的方程； ()Ⅱ设直线2y kx =-,代入椭圆方程,由韦达定理,由0△＞,由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外,则0OM ON ∙>,由向量数量积的坐标公式,即可求得直线l 斜率的取值范围．【解答】解：()Ⅰ由题意知：ABP △是等腰直角三角形,()220a B =,,, 设()00Q x y ,,由32PQ QB=,则0064,45x y ==-,代入椭圆方程,解得21b =, ∴椭圆方程为2214x y +=． ()Ⅱ由题意可知,直线l 的斜率存在,方程为2y kx =-,设()()1122M x y N x y ,,,, 则22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得：()221416120k x kx +-+=, 由韦达定理可知：12122216121414k x x x x k k +==++,, 由直线l 与E 有两个不同的交点,则0△＞, 即()()2216412140k k --⨯⨯+＞,解得：234k ＞,① 由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外,则0OM ON >,即12120x x y y +＞,则()()1212121222x x y y x x kx kx +=+--=()()21212124k x x k x x +-⨯++ =()222121612401414k k k k k +-⨯+++＞, 解得：24k ＜,② 综合①②可知：2344k ＜＜,2k ＜或2k -＜＜直线l斜率的取值范围32,,2⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．21．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】()1由题意有：()21e 42m f '==,可得()f x 的解析式；()0f x '由＜得01x ＜＜或1e x ＜＜,即可求出单调递减区间； ()2由已知,若存在[)0e,x ∈+∞,使函数()()21e eln ln 22a g x a x x x f x a +=+-∙∙≤成立,则只需满足当[)()e,,min x g x a ∈+∞≤即可【解答】解：()1函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞,()()()2ln 1ln m x f x x -'=, 又由题意有：()21e 42m f '==,所以()22,ln x m f x x ==． 此时,()()()22ln 1ln x f x x -'=,由()0f x '＜得01x ＜＜或1e x ＜＜, 所以函数()f x 的单调递减区间为()01,和()1,e ． ()2因为()()21eln e 2g x a x x a x =++-,由已知,若存在[)0e x ∈+∞,,使函数()()21e eln ln 22a g x a x x x f x a +=+-≤成立, 则只需满足当[)(),min x e g x a ∈+∞≤,即可．又()()21eln e 2g x a x x a x =+-+, 则()()()e x a x g x x--'=, e a ≤,则()0g x '≥在[)e,x ∈+∞上恒成立,∴()g x 在[)e +∞,上单调递增,∴()()2e e 2min g x g ==-, ∴2e 2a ≥-, ∵e a ≤, ∴2e e 2a -≤≤． e a ＞,则()g x 在[)e,a 上单调递减,在[),a +∞上单调递增,∴()g x 在[)e +∞,上的最小值是()g a ,∵()()e e g a g a ＜,＞,∴满足题意,综上所述,2e 2a ≥-． [选修44-：坐标系与参数方程]22．【考点】QH ：参数方程化成普通方程；4Q ：简单曲线的极坐标方程．【分析】()Ⅰ圆2cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）,可得直角坐标方程：224x y +=,利用互化公式可得圆C 的极坐标方程．点P 在直线40l x y +-=：上,利用互化公式可得直线l 的极坐标方程． ()Ⅱ设,,P Q R 的极坐标分别为()()()12,ρθρθρθ,,,,,由124=,2sin cos ρρθθ=+,又2•OP OR OQ =,即可得出． 【解答】解：()Ⅰ圆2cos 2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩：（θ为参数）,可得直角坐标方程：224x y +=, ∴圆C 的极坐标方程2ρ=．点P 在直线40l x y +-=：上,直线l 的极坐标方程4sin cos ρθθ=+． ()Ⅱ设,P Q R ,的极坐标分别为()()()12,ρθρθρθ,,,,, 因为124=,2sin cos ρρθθ=+,又因为2•OP OR OQ =,即212=ρρρ, ∴()2122161==2sin cos ρρρθθ⨯+, ∴8=1sin 2ρθ+． [选修4-5：不等式选讲]23．【考点】4R ：绝对值三角不等式；5R ：绝对值不等式的解法． 【分析】()1根据题意,对x 分3种情况讨论：①当0x ＜时,②当102x ≤＜时,③当12x ≥时；在各种情况下．去掉绝对值,化为整式不等式,解可得三个解集,进而将这三个解集取并集即得所求． ()2根据()()2211f x f a x x a a x a x a x a =+=+-<+-----=21211||||21x a a x a a a -+-≤-+-++＜,证得结果．【解答】()1解：根据题意,对x 分3种情况讨论：①当0x ＜时,原不等式可化为211x x -+-+＜,解得0x ＞,又0x ＜,则x 不存在, 此时,不等式的解集为∅．②当102x ≤＜时,原不等式可化为211x x -++＜,解得0x ＞,又102x ≤＜, 此时其解集为122x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭＜． ③当12x ≥时,原不等式化为211x x -+＜ ,解得122x ≤＜, 又由12x ≥,此时其解集为21{|}2x x ≤＜, 综上,原不等式的解集为2|}0{x x ＜＜． ()2证明：∵()21f x x x =-+,实数a 满足1x a -＜,故()()2211f x f a x x a a x a x a x a ---+=-∙++-=-＜=()21+2112121x a a x a a a a -+-≤--++=+＜． ∴()()()21f x f a a -+＜．。