全国版高考数学必刷题：第十一单元 不等式

新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编不 等 式 选 讲一、 解答题【2018，23】23. [选修4—5：不等式选讲]已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【2017，23】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．【2016，23】已知函数321)(--+=x x x f ． （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．【2015，24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.【2014，24）】若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.【2013，24】已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．当()1x∈-∞-，时，()g x单调递减，()f x单调递增，且()()112g f-=-=．综上所述，()()f xg x≥解集1711⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，．（2）依题意得：242x ax-++≥在[]11-，恒成立．即220x ax--≤在[]11-，恒成立．则只须()()2211201120aa⎧-⋅-⎪⎨----⎪⎩≤≤，解出：11a-≤≤．故a取值范围是[]11-，．【2016，23】已知函数321)(--+=xxxf．（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(xfy=的图像；（Ⅱ）求不等式1)(>xf的解集．【解析】：⑴如图所示：⑵()4133212342x xf x x xx x⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-⎪⎩，≤，，≥,()1f x>,①1x-≤，41x->，解得5x>或3x<,1x-∴≤②312x-<<，321x->，解得1x>或13x<，113x-<<∴或312x<<③32x≥，41x->，解得5x>或3x<，332x<∴≤或5x>xyO11综上，13x <或13x <<或5x >()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，【2015，24】已知函数()12,0f x x x a a =+-->.（I ）当1a =时求不等式()1f x >的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.解析：（I ）（方法一）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤-⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<.（方法二）当1a =时，不等式()1f x >可化为1211x x +-->，结合绝对值的几何意义，不等式的含义为：数轴上一点x 到点1-的距离与它到1的距离的2倍之差大于1.设点x 到1-的距离为1d ，到1的距离为2d ，结合数轴可知：若x 在[1,1]-内，则有1212221d d d d +=⎧⎨->⎩解得213d <；故2(,1]3x ∈. 若x 在(1,)+∞内，则有1212221d d d d -=⎧⎨->⎩解得21d <；故(1,2)x ∈.综上可得223x <<. （Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩， 所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +.由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）.-11x-1 1x【2014，24）】若0,0a b >>，且11a b+=. (Ⅰ) 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由. 【解析】：(Ⅰ)11a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==故3342a b+≥=，且当a b ==∴33a b +的最小值为……5分（Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ，使得236a b +=成立. ……………10分【2013，24】已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.【2012，24】已知函数()|||2|f x x a x =++-。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。

4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。

专题03等式与不等式考向一基本不等式的应用【母题来源】2022年新高考全国II 卷【母题题文】若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A.1x y +≤B.2x y +≥- C.222x y +≤ D.221x y +≥【答案】BC【试题解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设cos ,sin 22y x y θθ-==，所以cos ,x y θθθ=+=，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y θθθθ=θ-θ+=++++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33,33x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度有易有难，是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件【得分要点】（1）对原不等式进行化简、变形；（2）符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解；（3）判断等号成立的条件；（4）利用“1”的合理变换是解题.考向二线性规划【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）【母题题文】若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（）A.2-B.4C.8D.12【答案】C【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目．【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度较小，是历年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力．常见的命题角度有：（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值；【得分要点】1.正确画出可行域；2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值一、单选题1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22ac bc >B ．1ab>C ．22a b >D ．33a b >2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．83．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x ，y 满足20,2,20x y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪++≤⎩，的最小值是（）A ．2B．CD ．4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数0,0x y >>满足x y xy +=，则4x y +的最小值为（）A ．8B ．9C ．7D ．105．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m ，n 满足1m n +=，则1+m mn的最小值为（）A ．3B ．3+C．D ．3+6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]2,0-B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()()55f f =--，则满足()301f x x -≥+的x 的取值范围是（）A ．(](),18,-∞-⋃+∞B ．(],8∞-C ．(](),21,-∞-⋃-+∞D ．(](],21,8-∞-⋃-8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（）A ．1x >-且2x ≠B ．13x -<<C ．1x <D ．3x >二、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x 的不等式223252x x m m -++<-有解，则实数m 的取值范围___________.11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数20x y ≥>，0z >，则43223x y z xx y y z+++++的最小值为___________.12．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数()()0bf x ax ab x=-≠有下列四个命题：①,a b R ∃∈，使()f x 关于y 轴对称．②,a b R ∀∈，都有()f x 关于原点对称．③,a b R ∃∈，使()f x 在⎛⎝上为减函数．④若0x <，,a b R ∃∈，使()f x 有最大值-其中真命题的序号是____________．三、解答题13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设p ：实数x 满足()224300x ax a a -+≤>，q ：实数x 满足302x x -<-(1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a ，b 都是正数．(1)若1+=-a b 4+≥ab ；(2)当a b ¹时，证明：>15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数()22f x x ax =+-，()0f x >的解集为{1x x <-或}x b >．(1)求实数a 、b 的值；(2)若()0,x ∈+∞时，求函数()()4f x g x x+=的最小值．16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x 千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？一、单选题1．（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22ac bc >B ．1ab>C ．22a b >D ．33a b >【答案】D 【解析】【分析】可以利用特殊值进行排除，以及利用不等式的性质进行判断.【详解】当0c =时，22ac bc =，则A 错误；当0b <时，1ab<，则B 错误；当0a b >>时，22a b <，则C 错误；当0a b >>时，33a b >，当0a b >≥时，33330a b a b >≥⇒>，当0b a <≤时，()()3333330a b a b a b a b ≤-<-⇒-<-⇒--⇒，则D 正确.故选：D.2．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知圆()()22124x y +++=关于直线10ax by ++=（0a >，0b >）对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．9C ．4D ．8【答案】B 【解析】【分析】由题可得()210,0a b a b +=>>，然后利用基本不等式即得.【详解】圆()()22124x y +++=的圆心为()1,2--，依题意，点()1,2--在直线10ax by ++=上，因此210a b --+=，即()210,0a b a b +=>>，∴()1212222225529b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时取“=”，所以12a b+的最小值为9.故选：B.3．（2022·四川达州·高一期末（理））已知实数x ，y 满足20,2,20x y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪++≤⎩()()2211x y -+-的最小值是（）A ．2B ．22C 10D ．32【答案】B 【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最小值.【详解】根据约束条件，画出可行域（如图），()()2211x y -+-可看成可行域内的点(),x y 与定点()11，的距离，由图可知：当过点()11，的直线与20x y ++=垂直时，距离最小，此时最小距离为：=222故选：B4．（2022·江苏·宿迁中学高二期末）已知实数0,0x y >>满足x y xy +=，则4x y +的最小值为（）A ．8B ．9C ．7D ．10【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的代换求4x y +的最值，注意等号成立条件.【详解】由题设，111x y+=，所以11444(4)(5529y x y xx y x y x y x y x y+=++=++≥+⋅=，当且仅当33,2x y ==时等号成立，所以4x y +的最小值为9.故选：B5．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知正数m ，n 满足1m n +=，则1+m mn的最小值为（）A ．3B ．322+C ．32D ．323+【答案】B 【解析】【分析】化简1212()()3m m nm n mn n m n m+=++=++，再利用基本不等式得解.【详解】解：由题得12212()33+22m m m n m n m nm n mn mn mn n m n m++++===++=++≥（当且仅当21,22m n -=.故选：B6．（2022·江西吉安·高二期末（文））若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]2,0-B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】讨论0a =和0a <两种情况，即可求解.【详解】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立，等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<．综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．7．（2022·湖南·高二阶段练习）已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()()55f f =--，则满足()301f x x -≥+的x 的取值范围是（）A ．(](),18,-∞-⋃+∞B ．(],8∞-C ．(](),21,-∞-⋃-+∞D ．(](],21,8-∞-⋃-【答案】D 【解析】【分析】先利用偶函数的性质得到()f x 在(],0-∞上单调递增，()()550f f =-=.把原不等式转化为()30,10,f x x ⎧-≥⎨+>⎩或()30,10,f x x ⎧-≤⎨+<⎩即可解得.【详解】因为偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在(],0-∞上单调递增，且()()55f f =--，又()()55f f =-，所以()()550f f =-=.由()301f x x -≥+，得()30,10,f x x ⎧-≥⎨+>⎩或()30,10,f x x ⎧-≤⎨+<⎩所以535,10,x x -≤-≤⎧⎨+>⎩或3535,10,x x x -≤--≥⎧⎨+<⎩或解得18-<≤x 或2x -≤.故x 的取值范围是(](],21,8-∞-⋃-.故选：D.8．（2022·陕西·武功县普集高级中学一模（文））使不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件是（）A ．1x >-且2x ≠B ．13x -<<C ．1x <D ．3x >【答案】D【解析】【分析】求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.【详解】因为()220x -≥，故不等式2(1)(2)0x x +->的解集为{1x x -且2}x ≠，故不等式2(1)(2)0x x +->成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是{1x x -且2}x ≠的真子集，显然，满足题意的只有{}3x x .故选：D.二、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x 、y ∈R ，且224x y +=，给出下列四个结论：①2x y +≤；②1xy ≥；③23x y +≤；④448x y +≥．其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．【答案】①④【解析】【分析】利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x ＝0、y ＝2log 3可判断②，取特殊值y ＝12可判断③．【详解】对于①，∵20,20x y >>，∴由224x y +=得，42222222x y x y x y +=+≥⋅=即422x y +≥2x y +≤(当且仅当1x y ==时取等号)，故①一定成立；对于②，当20,log x y ==3时，224x y +=成立，但1xy ≥不成立，故②不一定成立；对于③，当12y =时，由224x y +=得242x =，则132********xy +-=+-=>，即23x y +>，故③不一定成立；④将224x y +=两边平方得144216x y x y ++++=，∴144162x y x y +++=-，由①可知：131********x y x y x y x y +++++≤⇒++≤⇒≤=⇒-≥-11621688x y ++⇒-≥-=，∴448x y +≥，当且仅当1x y ==时取等号，因此④一定成立﹒故答案为：①④﹒【点睛】本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围.对于②和③，取特殊值验算即可快速求解﹒10．（2022·上海市川沙中学高二期末）若关于x 的不等式223252x x m m -++<-有解，则实数m 的取值范围___________.【答案】()(),24,-∞-+∞ 【解析】【分析】根据题意可得()2min 23252x x m m -++<-，根据+≥-a b a b 可得()min23258x x -++=，代入求解．【详解】根据题意可得()2min 23252x x m m-++<-∵()()232523258x x x x -++≥--+=∴228m m ->，即2280m m -->，则4m >或2m <-故答案为：()(),24,-∞-+∞ ．11．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知实数20x y ≥>，0z >，则43223x y z xx y y z+++++的最小值为___________.【答案】1221【解析】【分析】依题意利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为20x y ≥>，0z >，所以43223x y z x x y y z +++++223223x y y z x x y y z +++=+++231223y z xx y y z +=++++23231112223223y z x y z xx y z x y z++≥++=+⋅=+++当"232,223,2223y z xx y x y z x y x y z +==⇒=+=+取等号“综上所述：43223x y z xx y y z+++++的最小值为12故答案为：1212．（2020·云南德宏·高三期末（理））关于函数()()0bf x ax ab x=-≠有下列四个命题：①,a b R ∃∈，使()f x 关于y 轴对称．②,a b R ∀∈，都有()f x 关于原点对称．③,a b R ∃∈，使()f x 在b a ⎛⎤⎝⎦上为减函数．④若0x <，,a b R ∃∈，使()f x 有最大值2ab -．其中真命题的序号是____________．【答案】②③④【解析】【分析】对①②，判断()f x 的奇偶性即可；对③④，根据对勾函数的性质判断即可；【详解】由题，因为()()bf x ax f x x-=-+=-，且0ab ≠，故()f x 为奇函数，①错②对；当0,0a b ><时，由对勾函数的性质，()b f x ax x =-在ba⎛ ⎝上为减函数，故③正确；又当0x <时，若0,0a b ><，则()f x 在b x a=2b b a ab a b a⎛=- ⎝-，故④正确；故答案为：②③④13．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高二期末）设p ：实数x 满足()224300x ax a a -+≤>，q ：实数x 满足302x x -<-(1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()2,3(2)[]1,2【解析】【分析】（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题p ，q 为真时实数x 的取值范围，再求交集即可；（2）先求得[],3A a a =，再根据p 是q 的必要不充分条件可得A B ⊇，再根据集合包含关系，根据区间端点列不等式求解即可(1)当1a =时，2430x x -+≤，解得13x ≤≤，即p 为真时，实数x 的取值范围为13x ≤≤．由302x x -<-，解得23x <<，即q 为真时，实数x 的取值范围为23x <<．若p q ∧为真，则1323x x ≤≤⎧⎨<<⎩，解得实数x 的取值范围为()2,3．(2)若p 是q 的必要不充分条件，则q p ⇒且p q ¿．设(){}A x p x =，(){}B x q x =，则A B ⊇，又()2,3B =．由22430x ax a -+≤，得()()30x a x a --≤，因为0a >，则[],3A a a =，有233a a ≤⎧⎨≤⎩，解得12a ≤≤因此a 的取值范围为[]1,2．14．（2022·江西抚州·高二期中（文））已知a ，b 都是正数．(1)若12+=-a b ab ，证明：4≥b a a b ab ；(2)当a b ¹时，证明：+>a a b b b a a b 【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】（1）根据12+=-a b ab 1a b =，再结合b a a bab化简，利用基本不等式证明即可（2）根据证明的不等式逆推即可(1)证明：由12+=-a b ab ，得21a b+=1a b (11ab b a b a a b ab ab a b+==()2224b a b a a b a b a b ab==≥+⋅=，当且仅当14a b ==时“=”成立．所以4+≥b a b ab ．(2)要证+>+a a b b b a a b )()0--->a a b b a b ，即证)0->a b a b ，即证2)0a b a b >，因为20>+>a b a b ，所以上式成立，所以>a a b b b a a b 15．（2022·四川巴中·高一期末（理））已知函数()22f x x ax =+-，()0f x >的解集为{1x x <-或}x b >．(1)求实数a 、b 的值；(2)若()0,x ∈+∞时，求函数()()4f x g x x+=的最小值．【答案】(1)1a =-，2b =(2)221【解析】【分析】（1）分析可知1-、b 是方程220x ax +-=的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可求得a 、b 的值；（2）求得()21g x x x=+-，利用基本不等式可求得()g x 在()0,∞+上的最小值.(1)解：因为关于x 的不等式220x ax +->的解集为{1x x <-或}x b >，所以，1-、b 是方程220x ax +-=的两个根，所以，12012a b --=⎧⎨-⋅=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩.(2)解：由题意知()()24221f x x x g x x xx x+-+===+-，因为0x >，由基本不等式可得()22121221g x x x x x=+-≥⋅=-，当且仅当2x x=时，即2x =故函数()g x 的最小值为221.16．（2022·浙江舟山·高二期末）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车､雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车､雪橇､高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x 千件产品成本21()1011002C x x x =++；若年产量x 千件不低于100千件时，则这x 千件产品成本4500()120540090C x x x =+--.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完.(1)写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩(2)当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元【解析】【分析】（1）年利润L 为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当0100x <<时，根据二次函数单调性求L 最大值；当100x ≥时，根据基本不等式求最大值，继而求出L 最大值.(1)当0100x <<时，2211100101100200090310022L x x x x x =----=-+-；当100x ≥时，45004500100120540020002034009090L x x x x x ⎛⎫=-+--=--+ ⎪--⎝⎭.所以21903100,010024500203400,10090x x x L x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--+≥⎪-⎩(2)当0100x <<时，2211903100(90)95022L x x x =-+-=--+.当90x =时，L 取得最大值，且最大值为950.当100x ≥时，(45002252034002090160020225160010009090L x x x x ⎛⎫=--+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭当且仅当105x =时，等号成立.因为1000950>，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.。

2022-2023学年北师大八年级数学下册精选压轴题培优卷专题11 一元一次不等式的应用姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021秋•港南区期末）某种商品进价为700元，标价1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则至多可以打（ ）折．A．9B．8C．7D．62．（2分）（2021春•毕节市月考）2020年5月，毕节的所有学校复课之前必须购置一批防疫物资，其中有20支水银温度计，体温枪若干支．水银温度计每支5元，体温枪每支180元，如果总费用超过1000元，那么体温枪至少有（ ）A．4支B．5支C．6支D．7支3．（2分）（2021春•武侯区校级期中）静怡准备用70元在文具店买A，B两种笔记本共7本，A种笔记本每本10元，B种笔记本每本8元，如果至少要买4本A种笔记本，请问静怡购买的方案有（ ）A．2种B．3种C．4种D．5种4．（2分）（2021春•舞阳县期末）新冠病毒肺炎疫情防控期间，某校为达到开学复课标准，购进一批新桌椅．学校组织100名教师搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为（ ）A．40B．30C．20D．105．（2分）（2021春•牡丹区期中）某商品进价是6000元，标价是9000元，商店要求利润率不低于5%，需按标价打折出售，最低可以打（ ）A．8折B．7折C．7.5折D．8.5折6．（2分）（2018秋•慈溪市期末）某经销商销售一批多功能手表，第一个月以200元/块的价格售出80块，第二个月起降价，以150元/块的价格将这批手表全部售出，销售总额超过了2.7万元，则这批手表至少有（ ）A．152块B．153块C．154块D．155块7．（2分）（2018春•文山州期末）学校准备用3000元购买口琴和笛子作为校园歌手大赛的奖品，其中笛子每支80元，口琴每把200元，现已经购买笛子21支，最多还能购买（ ）把口琴．A．5B．6C．7D．88．（2分）（2016•合肥校级一模）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱，赔钱的原因是（ ）A．a＞b B．a＝bC．a＜b D．与a、b大小无关9．（2分）（2021春•青岛期末）某校20名同学去工厂进行暑假实践活动，每名同学每天可以加工甲种零件5个或乙种零件4个，已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元，若要使车间每天获利不低于1800元，加工乙种零件的同学至少为（ ）A．11B．12C．13D．1410．（2分）（2019春•稷山县期末）电话手表轻巧方便，一经推出倍受青睐．某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有（ ）A．103块B．104块C．105块D．106块评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•巴南区期末）临近端午，甲、乙两食品厂商分别承接制作白粽，肉粽和蛋黄粽的任务，甲厂商安排200名工人制作白粽和肉粽，每人只能制作其中一种粽子，乙厂商安排100名工人制作蛋黄粽，其中肉粽的人均制作数量比白粽的人均制作数量少20个，蛋黄粽的人均制作数量比肉粽的人均制作数量少20%，若本次制作的白粽、肉粽和蛋黄粽三种粽子的人均制作数量比肉粽的人均制作数量多20%，且制作白粽的人数不高于制作肉粽的人数的3倍，则本次可制作的粽子数量最多为m个，这里的m ＝ ．12．（2分）（2022春•禅城区校级月考）某种家用小电器的进价为每件200元，以每件300元的标价出售，由于电器积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的 折出售．13．（2分）（2022春•电白区期末）一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或者不答扣一分，在这次竞赛中小明获得优秀（不低于90分），则他至少答对了 道题．14．（2分）（2021秋•沙坪坝区校级期末）2022年北京冬奥会已经越来越近了，这是我国重要历史节点的重大标志性活动，更是全国人民的一次冰雪运动盛宴．与此同时北京冬奥会吉祥物冰墩墩也受到人们的喜爱，关于冰墩墩的各种周边纪念品：徽章、风铃、抱枕、公仔正在某商场火热销售中．已知徽章和抱枕的价格相同，公仔的单价是风铃的两倍，且徽章和风铃的单价之和不超过120元．元旦节期间，徽章的销售数量是公仔数量的2倍，风铃和抱枕的销售数量相同，其中徽章和风铃共卖出120件，抱枕和公仔的销售总额比风铃和徽章的销售总额多2200元，则徽章和风铃销售总额的最大值是 元．15．（2分）（2021春•神木市期末）为扩大十四运影响力，充分展现陕西人文风貌，某县欲印制一批宣传册，该宣传册每本共10页，由A、B两种彩页构成，其中A种彩页4页，B种彩页6页．已知A种彩页印刷费为2.5元/页，B彩页印刷费为1.5元/页，若要求这批宣传册的总印刷费不超过28500元，则最多能印制这种宣传册 册．16．（2分）（2021春•青山区期中）制作糕点的张师傅现有面粉460千克，武汉成为新冠肺炎的重灾区后，张师傅想把这些面粉制作成A、B两种型号的糕点，装盒后送给武汉的医护人员，已知每盒可以装2块A 和4块B，而制作1块A需要0.05千克的面粉，制作1块B需要0.02千克面粉，每盒都装满，他最多能制作这样的糕点 盒．17．（2分）（2022春•五常市期末）用10元钱买一包牛奶钱不足，打九折后钱又有剩余，如果牛奶的标价是整数元，那么标价是 元．18．（2分）（2021春•开州区期末）某公司以A、B两种材料，利用不同的搭配方式推出了两款产品，其中，甲产品每份含2克A、2克B；乙产品每份含2克A、1克B，甲乙两种产品每份成本价分别为A、B两种材料的成本之和，若甲产品每份成本为16元，公司在核算成本的时候把A、B两种材料单价看反了，实际成本比核算时的成本多760元，如果每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，那么公司每天的实际成本最多为 元．19．（2分）（2019春•沙坪坝区校级期末）为迎接建国70周年，某商店购进A，B，C三种纪念品共若干件，且A，B，C三种纪念品的数量之比为8：7：9．一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且A，B，C三种纪念品的比例为9：10：10．又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数量比第二次多170件，且A，B，C三种纪念品的比例为7：6：6．已知第一次三种纪念品总数量不超过1000件，则第一次购进A种纪念品 件．20．（2分）（2021春•奉化区校级期中）我校为组织八年级的234名同学去看电影，租用了某公交公司的几辆公共汽车．如果每辆车坐30人，则最后一辆车不空也不满．他们共租了 辆公共汽车．评卷人得分三．解答题（共10小题，满分60分，每小题6分）21．（6分）（2022春•渝中区校级月考）“感受生命律动，聆听花开声音”，鲁能巴蜀中学生物组老师组织初二年级同学开展“开心农场”活动．生物组老师准备去市场购买辣椒种子和樱桃萝卜种子，计划用492元购买两种种子共72袋．已知辣椒种子的售价为每袋6元，樱桃萝卜种子的售价为每袋8元．（1）求计划购买辣椒种子和樱桃萝卜种子各多少袋；（2）生物组老师去市场购买种子时，发现市场正在进行促销，辣椒种子的售价每袋下降了5a元，樱桃萝卜种子的售价每袋打八折，老师决定按原计划数量购买辣椒种子，而樱桃萝卜种子比原计划多购买了50a袋，这样实际使用的经费比原计划经费节省了至少15元．求a的最大值．22．（6分）（2022春•城阳区期中）某校学生会组织七年级和八年级共100名同学参加垃圾分类志愿者活动，七年级学生平均没人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶，为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1800个，至少需要多少名八年级学生参加活动？23．（6分）（2022春•城阳区期中）2022年北京冬奥会掀起“一墩难求”热潮，由于供货紧张，某商场第一次采购雪容融10个和冰墩墩15个，采购总价为510元，第二次采购冰墩墩20个，采购雪容融数量是冰墩墩的，采购总价720元．（1）雪容融和冰墩墩的进货单价各是多少元？（2）商家决定采购冰墩墩的数量比雪容融数量的倍多15个，在采购总价不超过1290元的情况下，冰墩墩最多能购进多少个？24．（6分）（2022春•凌海市期中）“五一”期间甲、乙旅行社假期搞组团促销活动．甲旅行社说：“如果带队团长买全票一张，则其余的员工可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括团长在内全部按票价的六折优惠．”若全票价为2000元，两家旅行社的服务质量相同，根据员工的人数（不包括团长）你认为选择哪一家旅行社才比较合算？25．（6分）（2022春•榆次区期中）电影《长津湖》以抗美援朝时的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史：72年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神一路追击，奋勇杀敌，扭转战役局势，打出了军威国威．某中学为了培养学生的爱国主义情怀，准备先组织师生共100人进行观影活动，已知学生票每张38元，成人票每张60元，若总费用不超过4000元，最多可以安排几名教师参加此次观影活动？26．（6分）（2022春•漳州期中）天运羽毛球馆有两种计费方案，如表，钟老师打算和朋友们周末去该羽毛球馆连续打球4小时，经球馆管理员测算后，告知他们包场计费会比人数计费便宜，则他们参与包场的人数至少为多少人？包场计费每场每小时50元，每人须另付入场费5元人数计费前两小时每人每小时10元，两小时之后每人每小时6元27．（6分）（2022春•金水区校级期末）某公司40名员工到一景点集体参观，景点门票价格为30元/人．该景点规定满40人可以购买团体票，票价打八折，这天恰逢妇女节，该景点做活动，女士票价打五折，但不能同时享受两种优惠，请你通过计算帮助他们选择购票方案．28．（6分）（2022•同心县二模）雾霾天气持续笼罩我国大部分地区，困扰着广大市民的生活，口罩市场出现热销，小明的爸爸用12000元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售，销售完后共获利2700元，进价和售价如表：甲型口罩乙型口罩品名价格进价（元/袋）2030售价（元/袋）2536（1）小明爸爸的商店购进甲、乙两种型号口罩各多少袋？（2）该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩打折让利销售，若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2460元，每袋乙种型号的口罩最多打几折？29．（6分）（2022秋•海曙区期中）哈六十九中校团委为了教育学生，开展了以感恩为主题的有奖征文活动，并为获奖的同学颁发奖品．小红与小明去文化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元，且买甲种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元．（1）求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？（2）若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购买这两种笔记本的总金额不超过320元，求本次乙种笔记本最多购买多少个？30．（6分）（2019春•滕州市期中）为了提倡低碳经济，某公司为了更好得节约能源，决定购买节省能源的10台新机器．现有甲、乙两种型号的设备供选择，其中每台的价格、工作量如下表：甲型乙型价格（万元/台）1210产量（吨/月）240180（1）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，请列式解答有几种购买方案可供选择；（2）在（1）的条件下，若每月要求产量不低于2040吨，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案．。

2020高考数学第十一单元不等式考点一不等式的性质及不等式的解法1.(2017年山东卷)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是().A.a+<<log2(a+b)B.<log2(a+b)<a+C.a+<log2(a+b)<D.log2(a+b)<a+<【解析】由题意知a>1,0<b<1,所以<1,log2(a+b)>log22=1,>a+>a+b⇒a+>log2(a+b).故选B.【答案】B2.(2016年北京卷)已知x,y∈R,且x>y>0,则().A.->0B.sin x-sin y>0C.-<0D.ln x+ln y>0【解析】∵x>y>0,∴<,即-<0,故A不正确.当x>y>0时,不能说明sin x>sin y,如x=π,y=,x>y,但sin π<sin ,故B不正确.∵函数y=在R上为减函数,且x>y>0,所以<,即-<0,故C正确.当x=1,y=时,ln x+ln y<0,故D不正确.【答案】C3.(2016年全国Ⅰ卷)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=().A.--B.-C. D.【解析】因为A={x|1<x<3},B=,所以A∩B==.【答案】D4.(2016年全国Ⅲ卷)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=().A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)【解析】∵S={x|x≤2或x≥3},T={x|x>0},∴S∩T=(0,2]∪[3,+∞).【答案】D考点二简单的线性规划5.(2017年全国Ⅱ卷)设x,y满足约束条件--则z=2x+y的最小值是().A.-15B.-9C.1D.9【解析】由题意知目标区域如图中阴影部分所示,当直线y=-2x+z过点(-6,-3)时,故所求z取到最小值为-15.【答案】A6.(2016年山东卷)若变量x,y满足-则x2+y2的最大值是().A.4B.9C.10D.12【解析】由约束条件画出可行域如图(阴影部分)所示,可知x2+y2为可行域内的点到原点距离的平方,联立解得交点为(3,-1),结合图形可知(x2+y2)max=()2=10.-【答案】C7.(2016年浙江卷)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影.由区域-中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=().-A.2B.4C.3D.6【解析】画出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.因为直线x+y=0与直线x+y-2=0平行,且直线x-3y+4=0的斜率k=<1,所以可行域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段AB的长度即为图中的线段EF的长度,所以|EF|=|AB|.联立方程组解得点E的坐标为(-1,1);联立方程组解得点F的坐标为(2,-2).所以-|EF|==3.【答案】C则z=3x-2y的最小值为.8.(2017年全国Ⅰ卷)设x,y满足约束条件-【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=3x-2y,得y=x-,要求z的-最小值,即求直线y=x-的纵截距的最大值.当直线y=x-过图中点A时,纵截距最大,由解得点A的坐标为(-1,1),此时z=3×(-1)-2×1=-5.【答案】-59.(2016年全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元,该企业现有甲材料 150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.【解析】设生产产品A、产品B分别为x件、y件,利润之和为z元,由题意得,x,y满足的关系为①目标函数z=2100x+900y.二元一次不等式组①即②如图所示,作出二元一次不等式组②表示的平面区域(阴影部分).将z=2100x+900y变形,得y=-x+,平移直线y=-x,当直线y=-x+经过点M时,z取得最大值.解方程组得点M的坐标为(60,100).所以当x=60,y=100时,z max=2100×60+900×100=216000.【答案】216000考点三基本不等式10.(2015年陕西卷)设f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是().A.q=r<pB.p=r<qC.q=r>pD.p=r>q【解析】由题意知,p=f()=ln,q=f=ln,r=(f(a)+f(b))=(ln a+ln b)=ln ab=ln.∵b>a>0,∴>>0.又∵函数f(x)=ln x为增函数,∴p=r<q.【答案】B11.(2017年江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.【解析】一年的总运费与总存储费用之和为6×+4x=+4x≥2=240,当且仅当=4x,即x=30时取等号.【答案】30高频考点:不等式的性质及应用;解(含参数的)一元二次不等式及一元二次不等式恒成立;解分式、指数、对数不等式;线性规划;基本不等式及其简单应用.命题特点:1.不等式的性质及应用是不等式的基础内容,主要以客观题形式呈现,难度不大.2.解一元二次不等式及分式不等式为容易题,主要以选择题、填空题出现.常与集合的交集、并集、补集结合,难度不大;解(含参数的)一元二次不等式及一元二次不等式恒成立问题是高考的热点,主要出现在综合题中,常与函数、导数联系在一起,难度较大.3.利用线性规划求目标函数的最值问题是每年高考必考内容,一般以选择题、填空题的形式出现,难度适中.利用线性规划解决实际问题也是高考的热点,试题一般是解决实际问题的最值问题,难度不大.4.对基本不等式的考查是高考热点之一,但基本不单独命题,多与其他知识综合命题.§11.1不等式性质与一元二次不等式一不等式的性质(1)对称性:a>b⇔b<a;(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c;(3)可加性:a>b⇒a+c b+c;a>b,c>d⇒a+c b+d;(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac bc;a>b>0,c>d>0⇒ac bd;(5)可乘方:a>b>0⇒a n b n(n∈N,n≥1);(6)可开方:a>b>0⇒(n∈N,n≥2).二解一元二次不等式☞左学右考(2016皖南八校联考)已知a,b∈R,下列命题正确的是().A.若a>b,则|a|>|b|B.若a>b,则<C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b2已知ab>0,则“b<”是“a<”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2017资阳一诊)关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为().A.-2B.-1C.1D.2(2017中原名校联考)若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为().A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]知识清单一、(3)>>(4)>>(5)>(6)>二、{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}⌀基础训练1.【解析】当a=1,b=-2时,选项A、B、C均不正确;对于选项D,a>|b|≥0,则a2>b2.【答案】D2.【解析】由b<,ab>0得ab2<b,又b2>0,所以a<,同理,由a<可得b<.【答案】C3.【解析】依题意得q,1是方程x2+px-2=0的两根,则q+1=-p,即p+q=-1.【答案】B4.【解析】因为x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以要使x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.【答案】A题型一不等关系、不等式的性质及应用【例1】(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是().A.M<NB.M>NC.M=ND.不确定(2)(2017山东济南模拟)“x1>3且x2>3”是“x1+x2>6且x1x2>9”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)(2017西安八校联考)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①>;②a c<b c;③log b(a-c)>log a(b-c).其中正确结论的序号是().A.①B.①②C.②③D.①②③【解析】(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1),∵a1,a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0,∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,∴M>N.(2)x1>3,x2>3⇒x1+x2>6,x1x2>9;反之不成立,例如x1=,x2=20,x1+x2=>6,x1x2=10>9,但x1<3.故“x1>3且x2>3”是“x1+x2>6且x1x2>9”的充分不必要条件.(3)由不等式及a>b>1知<,又c<0,所以>,①正确;由指数函数的图象与性质知②正确;由a>b>1,c<0知a-c>b-c>1-c>1,由对数函数的图象与性质知③正确.【答案】(1)B(2)A(3)D【变式训练1】(1)(2017黄冈质检)已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中成立的是().A.xy>yzB.xz>yzC.xy>xzD.x|y|>z|y|(2)(2016贵阳期末)已知a>0,且a≠1,m=,n=a a+1,则().A.m≥nB.m>nC.m<nD.m≤n(3)(2017广州模拟)已知实数x,y满足则4x+2y的取值范围是.--【解析】(1)∵x>y>z,x+y+z=0,∴3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,∴x>0,z<0.由可得xy>xz.(2)由题易知m>0,n>0,两式作商,得==a a(a-1),当a>1时,a(a-1)>0,∴a a(a-1)>a0=1,即m>n;当0<a<1时,a(a-1)<0,∴a a(a-1)>a0=1,即m>n.综上,对任意的a>0,且a≠1,都有m>n.(3)令4x+2y=m(x+y)+n(x-y),则-解得则4x+2y=3(x+y)+(x-y),∵1≤x+y≤3,∴3≤3(x+y)≤9.又∵-1≤x-y≤1,∴2≤3(x+y)+(x-y)≤10.∴2≤4x+2y≤10.【答案】(1)C(2)B(3)[2,10]题型二一元二次不等式的解法及应用【例2】(1)已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于().A.-3B.1C.-1D.3(2)(2017惠州质检)已知不等式ax2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则不等式bx2-5x+a>0的解集是().A.-B.-C.或D.或【解析】(1)由题意得,A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},∴A∩B={x|-1<x<2}.由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,则a+b=-3.(2)由题意得方程ax2-5x+b=0的两根分别为-3,2,于是----⇒于是不等式bx2-5x+a>0即为30x2-5x-5>0,即(3x+1)(2x-1)>0⇒x<-或x>.【答案】(1)A(2)C的解集是().【变式训练2】(1)不等式组--A.(2,3)B.∪(2,3)C.-∪(3,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞)(2)(2017福州质检)已知一元二次不等式f(x)≤0的解集为或,则f(e x)>0的解集为().A.{x或x>ln 3}B.{x|ln 2<x<ln 3}C.{x|x<ln 3}D.{x|-ln 2<x<ln 3}【解析】(1)∵x2-4x+3<0,∴1<x<3.又∵2x2-7x+6>0,∴(x-2)(2x-3)>0,∴x<或x>2,∴原不等式组的解集为∪(2,3).(2)由题意知f(x)>0的解集为,由f(e x)>0得<e x<3,解得ln <x<ln 3,即-ln 2<x<ln 3.【答案】(1)B(2)D题型三解含参数的一元二次不等式【例3】(1)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是().A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(-2,2)D.(-2,2](2)若0<a<1,则不等式(a-x)->0的解集是.(3)(2017河北张家口质检)若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是().A.-B.-C.(1,+∞)D.-【解析】(1)当a-2=0,即a=2时,-4<0,恒成立;当a-2≠0时,则-解得-2<a<2.故实数a的取值范围为(-2,2].--(2)由题意可得原不等式为(x-a)-<0,由0<a<1得a<,所以a<x<.(3)由Δ=a2+8>0知方程恒有两个不等实根,又知两根之积为负,所以方程必有一个正根、一个负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,解得a>-,故a的取值范围为-.【答案】(1)D(2)(3)A解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据:(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于【变式训练3】(1)(2017温州模拟)若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b的值为().A.3B.1C.-3D.-1(2)(2017沈阳模拟)若关于x的二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是.【解析】(1)因为不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},所以1和2为方程(x-a)(x-b)=0的两个根,则有或所以a+b=1+2=3,即a+b的值为3.(2)不等式x2+mx+1≥0的解集为R,相当于二次函数y=x2+mx+1的最小值非负,即方程x2+mx+1=0最多有一个实根,故Δ=m2-4≤0,解得-2≤m≤2.【答案】(1)A(2)[-2,2]方法一元二次不等式的恒成立问题一元二次不等式的恒成立问题,常根据二次函数的图象与x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围.恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方;恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.一元二次不等式的恒成立问题常常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值.【突破训练】(1)若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为().A.(-3,0)B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0](2)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于任意x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围是.【解析】(1)当k=0时,不等式显然成立;当k≠0时,要使一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则--解得-3<k<0.综上,满足不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(-3,0].(2)要使f(x)<-m+5在[1,3]上恒成立,则mx2-mx+m-6<0,即m-+m-6<0在x∈[1,3]上恒成立.令g(x)=m-+m-6,x∈[1,3].当m>0时,g(x)在[1,3]上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-6<0,所以m<,则0<m<;当m<0时,g(x)在[1,3]上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-6<0,所以m<6,即m<0.综上所述,m的取值范围是(-∞,0)∪.【答案】(1)D(2)(-∞,0)∪1.(2016南昌联考)若a>b>0,c<d<0,则一定有().A.>B.<C.>D.<【解析】(法一)令a=3,b=2,c=-3,d=-2,则=-1,=-1,排除选项C,D;又=-,=-,所以<,所以选项A错误,故选B.(法二)因为c<d<0,所以<<0.又a>b>0,所以<.【答案】B,B={x|x2<2x},则A∩B等于().2.(2017福建三明模拟)若集合A=-A.{x|0<x<1}B.{x|0≤x<1}C.{x|0<x≤1}D.{x|0≤x≤1}【解析】集合A=={x|0≤x<1},B={x|x2<2x}={x|0<x<2},所以A∩B={x|0<x<1}.-【答案】A3.(2017晋城模拟)已知a,b,c∈R,给出下列命题:①若a>b,则ac2>bc2;②若ab≠0,则+≥2;③若a>b>0,n∈N*,则a n>b n;④若log a b<0(a>0,a≠1),则(a-1)·(b-1)<0.其中真命题的个数为().A.2B.3C.4D.1【解析】当c=0时,①错;a,b异号时,②错;当x>0,n∈N*时,y=x n在(0,+∞)上单调递增,③正确;当0<a<1时,由log a b<0,得b>1,此时(a-1)(b-1)<0,当a>1时,由log a b<0,得0<b<1,此时(a-1)(b-1)<0,综上,④正确,故选A.【答案】A4.(2017年安徽合肥质检)若不等式5-x>7|x+1|与不等式ax2+bx-2>0有相同的解集,则().A.a=-8,b=-10B.a=-1,b=9C.a=-4,b=-9D.a=-1,b=2【解析】由不等式5-x>7|x+1|可知5-x>0,两边平方得(5-x)2>49(x+1)2,整理得4x2+9x+2<0,即-4x2-9x-2>0.因为两不等式的解集相同,所以可得a=-4,b=-9.【答案】C5.(2016皖南八校联考)已知x,y∈R,且2x+3y>2-y+3-x,则下列各式中正确的是().A.x-y>0B.x+y<0C.x-y<0D.x+y>0【解析】∵2x+3y>2-y+3-x,∴2x-3-x>2-y-3y,令f(x)=2x-3-x,则易知f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.∵f(x)>f(-y),∴x>-y,即x+y>0.【答案】D6.(2016淄博模拟)不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为().A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]【解析】由x∈R,x2-2x+5≥a2-3a恒成立,先求出y=x2-2x+5的最小值,当x=1时,y min=4,所以a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.【答案】A7.(2017广西模拟)若角α,β满足-<α<β<,则2α-β的取值范围是.【解析】∵-<α<β<,∴-π<2α<π,-<-β<,∴-<2α-β<.又∵2α-β=α+(α-β)<α<,∴-<2α-β<.【答案】-8.(2016枣强中学一轮检测)若关于x的不等式ax-b>0的解集为(-∞,1),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)>0的解集为.【解析】由题意可得a=b<0,故(ax+b)(x-2)>0等价于(x+1)(x-2)<0,解得-1<x<2,故所求不等式的解集为(-1,2).【答案】(-1,2)9.(2016深圳联考)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为.【解析】由定义可知,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2<0,解得-2<x<1,所以实数x的取值范围为(-2,1).【答案】(-2,1)10.(2017北京朝阳统一考试)已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.(1)若a=2,试求函数y=(x>0)的最小值;(2)对于∀x∈[0,2],不等式f(x)≤a恒成立,试求a的取值范围.【解析】(1)依题意得y==-=x+-4.因为x>0,所以x+≥2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立.所以y≥-2.所以当x=1时,y=的最小值为-2.(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,所以要使得“∀x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”,只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.不妨设g(x)=x2-2ax-1,则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.所以即解得a≥.-则a的取值范围为.11.(2017广东实验中学模拟)已知0<a<b<1,则().A.>B.<C.(lg a)2<(lg b)2D.>【解析】因为0<a<b<1,所以-=-<0,可得<,>,(lg a)2>(lg b)2.由lg a<lg b<0,可得>.综上可知,选项D正确.【答案】D<0的解集为().12.(2016衡水二中预测)不等式--A.{x|1<x<2}B.{x|x<2且x≠1}C.{x|-1<x<2且x≠1}D.{x|x<-1或1<x<2}【解析】-<0⇒(x-1)(x+1)(x-2)<0⇒x<-1或1<x<2,故选D.-【答案】D13.(2017河南南阳模拟)若不等式x2+x-1<m2x2-mx对任意的x∈R恒成立,则m的取值范围为().A.-B.(-∞,-1]∪C.-D.-∪(1,+∞)【解析】原不等式可化为(1-m2)x2+(1+m)x-1<0,若1-m2=0,得m=1或m=-1.①当m=-1时,不等式可化为-1<0,显然不等式恒成立;②当m=1时,不等式可化为2x-1<0,解得x<,故不等式的解集不是R,不合题意.若当1-m2≠0,由不等式恒成立可得---解得m<-1或m>.综上,m的取值范围为(-∞,-1]∪.【答案】B14.(2016湖北黄冈调考)设f(x)=ax2+bx,若1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则f(-2)的取值范围是.【解析】(法一)设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数),则4a-2b=m(a-b)+n(a+b)=(m+n)a+(n-m)b,则-解得∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即5≤f(-2)≤10.(法二)由--得---∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.【答案】[5,10]15.(2017山东青岛模拟)已知x∈(0,+∞)时,不等式9x-m·3x+m+1>0恒成立,则m的取值范围是.【解析】令t=3x(t>1),则由已知得函数f(t)=t2-mt+m+1>0在t∈(1,+∞)上恒成立,则m<-=t+1+-=t-1+-+2,∵t-1+-≥2,当且仅当t-1=-,即t=+1时等号成立,∴m<-=2+2.【答案】(-∞,2+2)§11.2简单的线性规划问题一一元二次不等式(组)表示的平面区域二线性规划中的基本概念☞左学右考不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是().则可行域的面积为.(2016枣强中学期末)已知变量x,y满足-则目标函数z=3x-y的最大值为.设变量x,y满足约束条件--(2016年郑州第二次质量预测)已知实数x,y满足-设b=x-2y,若b的最小值为-2,则b的最大值为.知识清单一、边界直线边界直线公共部分二、一次解析式一次(x,y)集合最大值最小值最大值最小值基础训练1.【解析】(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇒--或--结合图形可知选C.【答案】C2.【解析】作出可行域如图(阴影部分)所示,所以可行域的面积为S=×1×1=.【答案】3.【解析】根据约束条件作出可行域,如图中阴影部分所示,∵z=3x-y,∴y=3x-z,当该直线经过点A(2,2)时,z 取得最大值,即z max=3×2-2=4.【答案】44.【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示.由b=x-2y,得y=x-.易知在点(a,a)处b取得最小值,故a-2a=-2,可得a=2.在点(2,-4)处b取得最大值,于是b的最大值为2+8=10.【答案】10题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】(1)如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式.所围成的平面区域的面积为().(2)(2017忻州模拟)不等式组--A.3B.6C.6D.3(3)已知A为不等式组表示的平面区域,则当a从-1连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的-区域的面积为.【解析】(1)边界对应直线方程为x+y-1=0,且为虚线,区域中不含(0,0),由以上可知平面区域(阴影部分)满足x+y-1>0.(2)如图,不等式组所围成的平面区域为△ABC,其中A(2,0),B(4,4),C(1,1),故所求平面区域的面积为S△ABO-S△ACO=(2×4-2×1)=3.(3)不等式组表示的平面区域是△AOB(如图),动直线x+y=a(即y=-x+a)在y轴上的截距从-1变-化到1,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域是阴影部分.∵△AGF≌△BDE,AF=1,S△AGF=×1×=,S△AOB=×2×2=2,∴阴影部分面积为2-2×=.【答案】(1)x+y-1>0(2)D(3)表示的平面区域内的点是().【变式训练1】(1)下面给出的四个点中,位于--A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)(2)不等式组所表示的平面区域的面积等于().A. B. C. D.【解析】(1)将四个点的坐标分别代入不等式组--验证可知,满足条件的只有点(0,-2).(2)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,解得A(1,1),易得B(0,4),C,|BC|=4-=,∴S△ABC=××1=.【答案】(1)C(2)C题型二求目标函数的最值【例2】(1)(2017吉林实验中学)已知实数x,y满足约束条件-则z=2x+4y-3的最大值是.(2)若x,y满足约束条件---则的最大值为.(3)(2016年开封模拟)设变量x,y满足约束条件-则目标函数z=x2+y2的取值范围为().A.[2,8]B.[4,13]C.[2,13]D.【解析】(1)满足约束条件-的区域如图所示,目标函数z=2x+4y-3在点(0,0)处取得最大值,则z max=-3.(2)作出可行域如图中阴影部分所示,由可行域知,在点A(1,3)处取得最大值3.(3)作出可行域如图中阴影部分所示,将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方,从而可得z min=|OA|2==2,z max=|OB|2=32+22=13.故z的取值范围为[2,13].【答案】(1)-3(2)3(3)C【变式训练2】(1)若x,y满足-则z=x+2y的最大值为().A.0B.1C.D.2(2)(2016厦门大学附中模拟)设变量x,y满足约束条件-则目标函数z=的最大值为.(3)已知实数x,y满足--则w=x2+y2-4x-4y+8的最小值为.【解析】(1)由题意作出可行域如图中阴影部分所示,当z=x+2y经过点A(0,1)时,目标函数取得最大值,则z max=0+2×1=2.(2)作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC),则z的几何意义为区域内的点P到定点D(-1,-1)的直线的斜率.由图象可知当直线过点C时对应的斜率最小,当直线经过点A时对应的斜率最大,由-解得即A(0,1),此时直线AD的斜率z==2.(3)目标函数w=x2+y2-4x-4y+8=(x-2)2+(y-2)2,其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方.由实数x,y所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示,则点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的距离的最小值,又-=,所以w min=.【答案】(1)D(2)2(3)题型三线性规划的实际应用【例3】(1)(2016汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨;生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元,销售每吨乙产品可获得利润3万元,若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨,煤不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是万元.(2)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为().A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元【解析】(1)设该企业生产甲产品x吨,乙产品y吨,由题意知利润z=5x+3y,作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线5x+3y=0并平移,易知当直线经过点(3,4)时,z取得最大值,即生产甲产品3吨,乙产品4吨时,该企业可获得最大利润是27万元.(2)根据题意,设每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,则目标函数为z=3x+4y,作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示,作出直线3x+4y=0并平移,易知当直线经过点A(2,3)时,z取得最大值,且z max=3×2+4×3=18,故该企业每天可获得最大利润为18万元,故选D.【答案】(1)27(2)D【变式训练3】某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个、55个,所用原料为A,B两种规格金属板,每张面积分别为2 m2,3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个;用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A,B两种规格金属板各取多少张才能完成计划,并使总的用料面积最省?【解析】设A,B两种规格金属板各取x张,y张,用料面积为z,则约束条件为目标函数z=2x+3y.作出不等式组所表示的平面区域,即可行域如图中阴影部分所示.将z=2x+3y变成y=-x+,得斜率为-,在y轴上截距为,且随z变化的一组平行直线.当直线z=2x+3y经过可行域上点M时,截距最小,即z最小,解方程组得点M的坐标为(5,5).此时z min=2×5+3×5=25(m2).故当A,B两种规格金属板各取5张时才能完成计划,且用料面积最省.方法线性规划中的参数问题及其求解思路线性规划问题是高考的重点,也是每年高考的必考点.线性规划中的参数问题,就是已知目标函数的最值或其他限制条件,求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题.解决这类问题时,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来,以确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里寻求最优解,从而确定参数的值.【突破训练】(1)(2016河南六市联考)已知实数x,y满足-如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m=().A.6B.5C.4D.3(2)(2017山东济南三校联考)已知变量x,y满足约束条件---若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值,则a的取值范围为().A.(0,2)B.C. D.【解析】(1)画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线l:y=x,平移l可知,当直线l经过点A时,z=x-y取得最小值-1,联立-得即A(2,3).又点A(2,3)在直线x+y=m上,∴m=5,故选B.-(2)约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线l:ax+y=0,过点(1,1)作l的平行线l',要满足题意,则直线l'的斜率介于直线x+2y-3=0与直线y=1的斜率之间,因此,-<-a<0,即0<a<.【答案】(1)B(2)B表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的值为().1.(2017衡水二中模拟)已知约束条件--A.1B.-1C.0D.-2【解析】先作出不等式组对应的平面区域,如图(阴影部分)所示.要使阴影部分为直角三角形,当k=0时,此三角形的面积为×3×3=≠1,所以不成立,所以k>0,则必有BC⊥AB.因为x+y-4=0的斜率为-1,所以直线kx-y=0的斜率为1,所以k=1,故选A.【答案】A2.(2017江西南昌模拟)若x,y满足约束条件-则3x+5y的取值范围是().A.[-13,15]B.[-13,17]C.[-11,15]D.[-11,17]【解析】画出可行域如图中阴影部分所示.由图可知,3x+5y在点(-2,-1)处取得最小值,在点处取得最大值,即3x+5y∈[-11,17].【答案】D3.(2016厦门大学附中模拟)已知x,y满足---则--的取值范围是().A. B.C. D.【解析】不等式组---表示的平面区域如图中阴影部分所示.因为--=---=1+--,而--为区域内的点与点(4,2)连线的斜率,显然斜率的最小值为0,点(-3,-4)与点(4,2)连线的斜率最大,为----=,所以1+--的取值范围为,故选C.【答案】C4.(2016衡水中学模拟)当变量x,y满足约束条件时,z=x-3y的最大值为8,则实数m的值是().A.-4B.-3C.-2D.-1【解析】画出可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=x-3y变形为y=-,当直线y=-过点C时,z取得最大值,又C(m,m),所以8=m-3m,解得m=-4.【答案】A5.(2017江西八校联考)在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为().A.2B.1C.D.【解析】不等式组所表示的可行域如图①所示.设a=x+y,b=x-y,则此两目标函数的范围分别为a=x+y∈[0,1],b=x-y∈[-1,1],又a+b=2x∈[0,2],a-b=2y∈[0,2].则点(x+y,x-y),即点(a,b)满足约束条件--作出该不等式组所表示的可行域如图②所示,由图可得该可行域为一等腰直角三角形,其面积S=×2×1=1,故选B.【答案】B6.(2017北京朝阳模拟)已知点A(-2,0),点M(x,y)为平面区域----上的一个动点,则|AM|的最小值是().A.5B.3C.2D.【解析】不等式组----表示的平面区域如图中阴影部分所示,结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y-2=0的距离,即|AM|min=--=.【答案】D7.(2017江南十校模拟)若实数x,y满足-则x2+y2的最小值是.【解析】原不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.∵x2+y2表示可行域内任意一点P(x,y)与原点(0,0)距离的平方,∴当P在线段AB上且OP⊥AB时,x2+y2取得最小值,∴(x2+y2)min=-=.【答案】8.(2016长沙模拟)若x,y满足约束条件---则z=x+y的最大值为.【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如图中阴影部分所示,易得在点A处,z取得最大值,则z max=.【答案】9.(2016枣强中学模拟)若实数x,y满足-且z=2x+y的最小值为4,则实数b的值为.【解析】由题意作出不等式组的可行域,如图中阴影部分所示.由可行域可知目标函数z=2x+y在直线2x-y=0与直线y=-x+b的交点A处取得最小值4,所以4=2×+,解得b=3.【答案】310.(2017九江模拟)实数x,y满足-(1)若z=,求z的最大值和最小值,并求z的取值范围;(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.【解析】由不等式组-作出可行域如图中阴影部分所示.(1)z=表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率,因此的取值范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(OA斜率不存在).而由-得B(1,2),则k OB==2.∴z max不存在,z min=2,∴z的取值范围是[2,+∞).(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间的距离的平方.因此x2+y2的范围最小为|OA|2(取不到),最大为|OB|2.由-得A(0,1),∴|OA|2=()2=1,|OB|2=()2=5.∴z的最大值为5,没有最小值.故z的取值范围是(1,5].11.(2016陕西模拟)设动点P(x,y)在区域Ω:上,过点P任作直线l,设直线l与区域Ω的公共部分为线段AB,则以AB为直径的圆的面积的最大值为().A.πB.2πC.3πD.4π【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,则根据图形可知,以AB为直径的圆的面积的最大值S=π×=4π.【答案】D12.(2017广西模拟)已知x,y满足--则z=8-x·的最小值为().A.1B.C.D.【解析】根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,而z=8-x·=2-3x-y,欲使z最小,只需使-3x-y 最小.由图知当x=1,y=2时,-3x-y的值最小,且为-3×1-2=-5,此时2-3x-y最小,最小值为.【答案】D13.(2016河南八市联考)已知a>0,x,y满足约束条件-若z=3x+2y的最小值为1,则a=().A. B. C. D.1【解析】根据约束条件作出可行域如图中阴影部分所示,把z=3x+2y变形为y=-x+,得到斜率为-,在y轴上的截距为,随z变化的一组平行直线,当直线z=3x+2y 经过点B时,截距最小,即z最小,又点B坐标为(1,-2a),代入3x+2y=1,得3-4a=1,得a=,故选B.【答案】B14.(2017河北八校联考)若x,y满足约束条件--(1)求目标函数z=x-y+的最值;(2)若目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,求a的取值范围.【解析】(1)作出可行域如图中阴影部分所示,可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移直线x-y+=0,当直线过点A(3,4)时,z取得最小值-2,当直线过点C(1,0)时,z取得最大值1.所以z的最大值为1,最小值为-2.(2)直线z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<-<2,解得-4<a<2.故所求a的取值范围为(-4,2).15.(2017河南洛阳质检)某企业生产A,B两种产品,生产每吨产品所需的劳动力、煤和电如下表:已知生产每吨A产品的利润是7万元,生产每吨B产品的利润是12万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力300个,煤360吨,并且供电局只能供电200千瓦时,试问:该企业如何安排生产,才能获得最大利润?【解析】设生产A,B两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元.依题意,得目标函数为z=7x+12y.作出上述不等式组的可行域,如图中阴影部分所示.。

绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及整除与算术基本定理、同余与著名数论定理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数方程、多项式理论与代数基本定理、常用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块，以解答题的方式进行考查。

2023年全国新高考地区解答题中，结构中规中矩。

但预测2024年新高考地区将以结构不良型方式整除与算术基本定理、同余与著名数论定理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数方程、多项式理论与代数基本定理、常用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．某车间有两条生产线分别生产5号和7号两种型号的电池，总产量为8000个．质检人员采用分层抽样的方法随机抽取了一个样本容量为60的样本进行质量检测，已知样本中5号电池有45个，则估计7号电池的产量为（ ）A ．6000个B ．5000个C ．3000个D ．2000个2．如图所示，四边形ABCD 是正方形，,M N 分别BC ，DC 的中点，若,,AB AM AN λμλμ=+∈R，则2λμ-的值为（ ）A ．43B ．52C ．23-D ．1033．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4920224a a a ++=，则20S =（ ）A ．60B ．120C ．180D ．2404．设,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（ ）A ．若,m m n α⊥⊥，则n α或n ⊂αB ．若,,⊥⊥⊥m n αβαβ，则m n⊥C ．若,,m l n αββγαγ⋂=⋂=⋂=，且n β，则//l m D ．若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥5．第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（ ）A ．48B ．24C ．12D ．66．已知函数1()e 2x f x x a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(4e,)⎛∞ ⎝UC ．2e ⎫⎪⎭D ．(2e,)⎛∞ ⎝U 7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点()3,4A -的直线l 的一个法向量为()1,2-，则直线l 的点法式方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3M 的平面的一个法向量为()1,4,2m =-，则该平面的方程为（ ）A ．4210x y z -++=B ．4210x y z --+=C ．4210x y z +-+=D ．4210x y z +--=8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与双曲线C 分别在第一、二象限交于,A B 两点，2ABF △内切圆的半径为r ，若1||2BF a =，r =，则双曲线C 的离心率为（ ）A B C D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()sin 0,0,22f x A x A ππωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()f x 的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称10．已知12,z z 是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若12z z =，则12z z +与12z z 均为实数B ．若12z z +与12z z 均为实数，则12z z =C ．若12,z z 均为纯虚数，则12z z 为实数D ．若12z z 为实数，则12,z z 均为纯虚数11．已知函数()y f x =在R 上可导且(0)2f =-，其导函数()f x '满足：22()21()e xf x f x x -=-'，则下列结论正确的是（ ）A ．函数()f x 有且仅有两个零点B ．函数2()()2e g x f x =+有且仅有三个零点C ．当02x ≤≤时，不等式4()3e (2)f x x ≥-恒成立D ．()f x 在[1,2]上的值域为22e ,0⎡⎤-⎣⎦第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合{}{}2,0,2,4,3A B x x m =-=-≤，若A B A = ，则m 的最小值为．13．已知M ，N 是抛物线()2:20C x py p =>上两点，焦点为F ，抛物线上一点(),1P t 到焦点F 的距离为32，下列说法正确的是 ．（把所有正确结论的编号都填上）①1p =；②若OM ON ⊥，则直线MN 恒过定点()0,1；③若MOF △的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的半径为12；④若2MF FN = ，则直线MN 的斜率为14．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，中，M ，N 分别为线段11A D ，1BC 上的动点.给出下列四个结论:①存在点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；②任意点M ，存在点N ，满足MN ∥平面11ABB A ；③任意点M ，存在点N ，满足1MN BC ⊥；④任意点N ，存在点M ，满足1MN BC ⊥.其中所有正确结论的序号是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数31()ln 222f x ax x x x=--+.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)对[1,)x ∀∈+∞，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.16．（15分）我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线一线总计愿生40y 60不愿生x 2240总计5842100(1)求x 和y 的值．(2)分析调查数据，是否有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？(3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，()2P k χ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82817．（15分）在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠=︒，如图（1）．把ABD△沿BD 翻折，使得平面ABD ⊥平面BCD ．(1)求证：CD AB ⊥；(2)在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60°？若存在，求出BNBC的值；若不存在，说明理由．18．（17分）已知椭圆22:143x y C +=的左右焦点分别为12,F F ，点()00,P x y 为椭圆C 上异于顶点的一动点，12F PF ∠的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M N 、．(1)若012x =，求1PF ；(2)求证：PMPN为定值；(3)当1F N P 面积取到最大值时，求点P 的横坐标0x ．19．（17分）已知数列12:,,,n A a a a L 为有穷正整数数列.若数列A 满足如下两个性质，则称数列A 为m 的k减数列：①12n a a a m +++= ；②对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(,)i j 有k 个.(1)写出所有4的1减数列；(2)若存在m的6减数列，证明：6m ；(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）01数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及整除与算术基本定理、同余与著名数论定理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数方程、多项式理论与代数基本定理、常用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块，以解答题的方式进行考查。

2023高考数学必刷题电子版注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合2=--<=-，则A x x x B{|340},{4,1,3,5}A、{4,1}-B、A B={1,5}C、{3,5}D、{1,3}2、若3z=++，则||=z12i iA、0B、1D、2C3、埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A 、14B 、12C 、14D 、124、设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为A 、15B 、25C 、12D 、455、某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A 、y a bx =+B 、2y a bx =+C 、e xy a b =+ D 、ln y a b x =+6、已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为A 、1B 、2C 、3D 、4 7、设函数π()cos()6f x x ω=+在[−π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为A 、10π9 B 、7π6 C 、4π3D 、3π28、设3log 42a =，则4a -=A 、116B 、19C 、18D 、169、执行下面的程序框图，则输出的n=A 、17B 、19C 、21D 、2310、设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++= A 、12 B 、24 C 、30 D 、3211、设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为A 、72B 、3C 、52 D 、212、已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A 、64πB 、48πC 、36πD 、32π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题04一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）构造函数法解决导数不等式问题①构造()()n F x x f x =或()()n f x F x x=(n Z ∈，且0n ≠)型②构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型③构造()()sin F x f x x =或()()sin f x F x x =型④构造()()cos F x f x x =或()()cos f x F x x=型⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数①构造()()n F x x f x =或()()nf x F x x =(n Z ∈，且0n ≠)型1．（2022·安徽师范大学附属中学高二期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0xf x f x '+>，且(2)3f =，则()e e 6xxf >的解集为（）A ．(ln 2,)+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(0,1)【答案】A令()()F x xf x =，可得()()()0F x xf x f x ''=+>，所以()F x 在R 上是增函数，可得(e )e (e )x x x F f =，(2)3f =，(2)2(2)6F f ==，由(e )6ex x f >，可得(e )(2)xF F >，可得：e 2x >，所以ln 2x >，所以不等式的解集为：(ln 2,)+∞，故选：A ．2．（2022·河北·沧县中学高二阶段练习）已知定义在()(),00,∞-+∞U 上的偶函数()f x ，在0x >时满足：()()0xf x f x '+>，且()10f =，则()0f x >的解集为（）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()(),10,1-∞-⋃C ．()0,1D ．()1,+∞【答案】A 令()()F x xf x =，所以()()()()()F x x f x xf x F x -=--=-=-所以()F x 是奇函数，在0x >时，()()()0F x xf x f x ''+=>，则在0x >时，()F x 单调递增，由()10f =，可得(1)1(1)0F f =⨯=，(1)(1)0F F -=-=，所求()()0F x f x x =>，等价于()00F x x >⎧⎨>⎩或()00F x x <⎧⎨<⎩，解得1x >或1x <-，所以解集为：()(),11,-∞-⋃+∞．故选：A ．3．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校高二期中）已知()'f x 是偶函数()()R f x x ∈的导函数，(1)1f =．若0x >时，3()()0f x xf x '+>，则使得不等式3(2022)(2022)1x f x -->成立的x 的取值范围是（）A ．(2021,)+∞B ．(,2021)-∞C ．(2023,)+∞D ．(,2023)-∞【答案】C构造函数()()3g x x f x =，其中R x ∈，则()()()()()33g x x f x x f x g x -=--=-=-，所以，函数()g x 为R 上的奇函数，当0x >时，()()()()()232330g x x f x x f x x f x xf x '''=+=>⎡⎤⎣⎦+，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，因为()11f =，则()()111g f ==，由()()3202220221x f x -->得()()20221g x g ->，可得20221x ->，解得2023x >.故选：C4．（2022·河北·邢台市第二中学高二阶段练习）定义在()0,8上的函数()f x 的导函数为()f x ¢，且()()2xf x f x '<，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24f x x <的解集为（）A ．1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 设()()2f xg x x=，08x <<，则()()()320xf x f x g x x '-'=<，则()g x 在()0,8上单调递减，由()24f x x <，得：()24f x x<，而21124212f g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()12g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则182x <<．故不等式()24f x x <的解集为1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：A5．（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）若()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且()30f -=，则不等式()0xf x >的解集为（）A ．()()3,00,3-B ．()(),33,-∞-+∞C ．()(),30,3-∞-⋃D ．()()3,03,-⋃+∞【答案】C设()()g x xf x =，则()g x 的定义域为R而()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-，故()g x 为R 上的奇函数，且()()()g x f x xf x ''=+，当0x <时，因为()()0f x xf x '+<，故()0g x ¢<，故()g x 在(),0-∞上为减函数，故()g x 为()0,+∞上的减函数，而()30f -=，故()30g -=，所以()30g =又()0xf x >即为()0g x >，故()00x g x <⎧⎪⎨>⎪⎩或()00x g x >⎧⎪⎨>⎪⎩，故()()03x g x g <⎧⎪⎨>-⎪⎩或()()03x g x g >⎧⎪⎨>⎪⎩，故3x <-或03x <<，故选：C.6．（2022·宁夏吴忠·高二期中（理））()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当0x >时，有()()20xf x f x x '-<恒成立，则()0f x x>的解集为（）A ．()()2,02,-+∞B ．()(),22,-∞+∞C ．()()2,00,2-D ．()(),20,2-∞- 【答案】C 设函数()()f x g x x=，则()()()2xf x f x g x x'-'=，由题知，当0x >时，()0g x ¢<，∴()()f x g x x=在()0,+∞上单调递减，∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-∴()()()()f x f x g x g x x x---===--，∴函数()g x 是定义在R 上的偶函数，∴()g x 的单调递增区间为(),0-∞，∵()20f =，∴()(2)202f g ==，()20g -=∴当2x <-或2x >时，()0g x <，当20x -<<或02x <<时，()0g x >，∴()()0f x g x x=>的解集为()()2,00,2- .故选：C.7．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（文））设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x <成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞-⋃B ．()()1,01,-⋃+∞C ．()(),11,0-∞--UD ．()()0,11,+∞ 【答案】B 设()()f x F x x =，则()()()2xf x f x F x x '-'=，∵当0x >时，()()0xf x f x '-<，当0x >时，()0F x '<，即()F x 在()0,∞+上单调递减.由于()f x 是奇函数，所以()()()()f x f x F x F x x x--===-,()F x 是偶函数，所以()F x 在(),0∞-上单调递增.又()()110f f =-=，所以当1x <-或1x >时，()()0=<f x F x x；当10x -<<或01x <<时，()()0f x F x x=>.所以当10x -<<或1x >时，()0f x <.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，图象关于y 轴对称，且当0x <时，()()f x f x x'>恒成立，设1a >，则()411af a a ++，(，()411a a f a ⎛⎫+⎪+⎝⎭的大小关系为（）A ．()(()414111af a a a f a a +⎛⎫>>+ ⎪++⎝⎭B ．()(()414111af a a a f a a +⎛⎫<<+ ⎪++⎝⎭C ．(()()414111af a a a f a a +⎛⎫>>+ ⎪++⎝⎭D ．(()()414111af a a a f a a +⎛⎫<<+ ⎪++⎝⎭【答案】B解：∵当0x <时，()()f x f x x'>恒成立，∴()()xf x f x '<，∴()()0xf x f x '-<，令()()f x g x x =，∴()()()2xf x f x g x x'-'=，∴()0g x '<，∴()g x 在(),0∞-上单调递减，∵()()f x f x -=，∴()()g x g x -=-，∴()g x 为奇函数，在()0,∞+上单调递减．∵比较()411af a a ++，(，()411a a f a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小，∴()()41411af a ag a a +=++，((4ag =，()441411a a a f ag a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∵1a >，∴)2110a +->，∴1a +>4411a aa a <++.∴411a a a +>>+，∴()(411a g a g g a ⎛⎫+<< ⎪+⎝⎭，∴()(441441a ag a ag ag a ⎛⎫+<< ⎪+⎝⎭，即()(()414111af a a a f a a +⎛⎫<<+ ⎪++⎝⎭．故选：B ．9．（2022·四川雅安·三模（理））定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()'f x ，且当0x >时，()2()0xf x f x '+<．则（）A ．2(e)(2)4ef f >B ．9(3)(1)>f f C ．4(2)9(3)-<-f f D ．2(e)(3)9e f f ->【答案】D令()()2g x x f x =，因为()f x 是偶函数，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()()()()()2220g x xfx x f x x f x xf x '''=+=+<⎡⎤⎣⎦，所以()g x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增，则()()e 2g g <，即()()22e e 22f f <，则2(e)(2)4ef f <，故A 错误；()()31g g <，即()()931f f <，故B 错误；()()23g g ->-，即4(2)9(3)f f ->-，故C 错误；()()()e 33g g g >=-，即()()2e e 93f f >-，则2(e)(3)9e f f ->，故D 正确.故选：D.②构造()()nx F x e f x =或()()nxf x F x e =(n Z ∈，且0n ≠)型1．（2022·广东·深圳市南山外国语学校（集团）高级中学高二期中）设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，已知()()f x f x '<，且()12e f =，则满足不等式()2e af a <的实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．(),0∞-C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C设()()e x f x g x =，则2()e ()e ()()()(e )e x x x xf x f x f x f xg x ''--'==，因为()()f x f x '<，e 0x >，所以()0g x '<，()g x 是减函数，(1)2e (1)2e ef g ===，不等式()2e af a <化为()2e af a <，即()(1)g a g <，所以1a >．故选：C ．2．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足()()20f x f x '->，则下列大小关系正确的是（）A ．()()2312e 1e 2f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．()()231e 12e 2f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．()()231e 1e 22f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．()()3212e e 12f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】A 构造函数()()2e x f x g x =，其中R x ∈，则()()()220e xf x f xg x '-'=>，所以，函数()g x 为R 上的增函数，所以，()()1122g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()()241122e e ef f f ⎛⎫⎪⎝⎭<<，因此，()()321e e 122ff f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：A.3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（文））记定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0f x f x '->，()11f =，则不等式()1e xf x ->的解集为______．【答案】()1,+∞设()()xf xg x =e，()()()()()()20x xxx f x f x f x f x g x ''--'==>e e e e ，所以函数()g x 单调递增，且()()111e ef g ==，不等式()()()()11>e 1e e x x f x f x g x g -⇔>⇔>，所以1x >.故答案为：()1,+∞.4．（2022·甘肃·玉门油田第一中学高二期中（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x ¢，满足()()f x f x '<，且()3f x +为偶函数，()61f =，则不等式()e xf x >的解集为______．【答案】(),0-∞设()()exf xg x =，则()()()exf x f xg x '-'=，又()()f x f x '<，所以()0g x ¢<，即()g x 在R 上是减函数，因为()3f x +为偶函数，所以()3f x +图象关于y 轴对称，而()3f x +向右平移3个单位可得()f x ，所以()f x 对称轴为3x =，则()()061f f ==，所以()()0001e f g ==，不等式()e xf x >等价于()()()10e xf xg x g =>=，故0x <，所以不等式()e xf x >的解集为(),0-∞.故答案为：(),0-∞5．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()3f x f x '+<，()03f =，则()3f x >的解集为___________.【答案】(),0∞-因为()()3f x f x '+<，所以()()3x xe f x f x e '+<⎡⎤⎣⎦，令()()3x F x e f x =-⎡⎤⎣⎦，则()()()3x x F x e f x e f x ''=-+⎡⎤⎣⎦，()()30x e f x f x '=+-<⎡⎤⎣⎦，所以()F x 是减函数，又()()00030F e f =-=⎡⎤⎣⎦，()3f x >即()30f x ->，()30x e f x ->⎡⎤⎣⎦，所以()()0F x F >，所以0x <，则()3f x >的解集为(),0∞-故答案为：(),0∞-6．（2022·全国·高三专题练习）若定义在R 上的函数()f x 满足()()30f x f x '->，13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()3xf x e >的解集为________________．【答案】1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭构造()3()x f x F e x =，则()3363()3()()3()x x x xe f x e f x F f x f x e x e ''-=-='，函数()f x 满足()()30f x f x '->，则()0F x '>，故()F x 在R 上单调递增．又∵13f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则113F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式3()x f x e >⇔3()1x f x e >，即1()3F x F ⎛⎫> ⎪⎝⎭，根据()F x 在R 上单调递增，可知1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭．故答案为：1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭③构造()()sin F x f x x =或()()sin f x F x x=型1．（2022·山西·临汾第一中学校高二期末）若函数()f x 的导函数为()f x '，对任意()0,x π∈，()()sin cos f x x f x x '<恒成立，则（）A3546f ππ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．3546f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C3546f ππ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．3546f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B因为任意()()()0,,sin cos x f x x f x x <'∈π恒成立，即任意()()()0,,sin cos 0x f x x f x x '∈-<π恒成立，所以()()()()2sin cos 0sin sin f x f x x f x xx x ''⎡⎤-=<⎢⎥⎣⎦，()0,x π∈所以()sin f x x在()0,π上单调递减，因为56π34>π，所以536453sin sin 64f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ，即536412f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ππ5364f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ，故选：B2．（2022·江苏江苏·高二阶段练习）函数()f x 的定义域是()0,π，其导函数是()f x '，若()()sin cos f x x f x x <-'，则关于x()πsin 4x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为______．【答案】π,π4⎛⎫⎪⎝⎭()()sin cos f x x f x x <-'变形为()()sin cos 0f x x f x x +<'，()πsin 4x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭变形为()ππsin sin 44f x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故可令g (x )＝f (x )sin x ，()0,πx ∈，则()()()sin cos 0g x f x x f x x =+''<，∴g (x )在()0,π单调递减，不等式()ππsin sin 44f x x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭即为g (x )＜g (π4)，则π,π4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：π,π4⎛⎫⎪⎝⎭.3．（2022·全国·高三专题练习）函数()f x 定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上，6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭其导函数是()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()f x >的解集为_____________.【答案】,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭解：()()cos sin f x x f x x'< ()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x=，则()()()2sin cos f x x f x xg x sin x'-'=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，∴不等式()f x x >，即()61sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>==即()6x g g π⎛>⎫⎪⎝⎭，26x ππ∴<<故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭.4．（2022·全国·高三专题练习）设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ- 上，其导函数为()'f x ，且()02f π=，当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为．【答案】(,0)(,)66πππ- 设()()sin f x g x x =，∴2()sin ()cos ()sin f x x f x x g x x'='-，∵()f x 是定义在(,0)(0,)ππ- 上的奇函数，∴()()()()sin()sin f x f x g x g x x x--===-，∴()g x 是定义在(,0)(0,)ππ- 上的偶函数，∵当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<，∴()0g x '<，∴()g x 在(0,)π上单调递减，()g x 在(,0)π-上单调递增，∵()02f π=，∴(2(02sin 2f g πππ==，∵()2()sin 6f x f x π<，∴()()6g x g π<，(0,)x π∈，或，(,0)x π∈-，∴6x ππ<<或06x π-<<.∴关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为(,0)(,)66πππ- .④构造()()cos F x f x x =或()()cos f x F x x=型1．（2022·重庆·高二阶段练习）已知定义在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数()y f x =，对于任意的0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是()f x 的导函数），则下列不等式中成立的是（）A．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．63f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．43f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D64ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】B 构造函数()()cos f x g x x =，其中,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()()()()()cos cos f x f x g x g x x x --==-=--，所以，函数()()cos f x g x x=为奇函数，当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()()()2cos sin 0cos f x x f x x g x x'+'=>，所以，函数()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，故该函数在,02π⎛⎤- ⎥⎝⎦上也为增函数，由题意可知，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上连续，故函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数.对于A 选项，63g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6312f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭<，则63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错；对于B 选项，63g g ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎝⎭⎝⎭6312f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭>，则63f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 对；对于C 选项，43g g ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43122f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭>，则43f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错；对于D 选项，64g g ππ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎝⎝⎭⎭64f f ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪<64ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错.故选：B.2．（2022·福建龙岩·高二期中）设函数()f x '是定义在()0,π上的函数()f x 的导函数，有()()cos sin 0f x x f x x '->，若π6a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，1π23b f ⎛⎫=⎪⎝⎭，23π24c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】C因为()()cos sin 0f x x f x x '->，所以设()()cos F x f x x =⋅，则()()()cos sin 0F x f x x f x x ''=⋅->，所以()()cos F x f x x =⋅在()0,π上为增函数，又因为ππ266a f F ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，1ππ233b f F ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23π3π244c f F ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，ππ3π634<<，所以ππ3π634F F F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a b c <<故选：C3．（2022·广东·广州市第四中学高二阶段练习）设函数()f x '是定义在()0π，上的函数()f x的导函数，有()cos ()sin 0f x x f x x '->，若1023a b f π⎛⎫==⎪⎝⎭，，34c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a>>【答案】C解：设()()cos g x f x x =，则()()cos ()sin g x f x x f x x ''=-，又因为()cos ()sin 0f x x f x x '->，所以()0g x '>，所以()g x 在(0,)π上单调递增，又0cos(22a f ππ==，1(cos (2333b f f πππ==，333()cos ()2444c f f πππ==，因为3324πππ<<，所以33cos()cos ()cos (332244f f f ππππππ<<，所以c a b >>.故选：C ．4．（2022·广西玉林·高二期中（文））函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，()f x '是它的导函数，且()()tan x f x f x '⋅>在定义域内恒成立，则（）A ．43f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()cos116f f π⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭D 46ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎝⎭⎝⎭【答案】D因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0cos 0x x >>，，由()()tan x f x f x '⋅>可得()cos ()sin f x x f x x '<，即()cos ()sin 0f x x f x x '-<，令()cos (),0,2g x x f x x π⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭，则()()cos ()sin 0g x f x x f x x ''=-<，所以函数()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，则(1)643g g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则cos cos cos(1)(1)cos 664433f f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2cos(1)(1)643f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）定义域为,22ππ⎛⎫- ⎝⎭的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，其导函数为()f x '，当02x π≤<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x的不等式()cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭的解集为（）A ．,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B∵()()0f x f x +-=且,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴()f x 是奇函数，设()()cos f x g x x =，则02x π≤<时，2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<，∴()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭是减函数．又()f x 是奇函数，∴()()cos f x g x x =也是奇函数，因此()g x 在(,0]2π-是递减，从而()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎝⎭上是减函数，不等式()cos 4f x f x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭为()4cos cos 4f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()4g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴42x ππ<<．故选：B ．6．（2022·全国·高三专题练习）已知奇函数()f x 的定义域为ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，其图象是一段连续不断的曲线，当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，则关于x 的不等式()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．ππ23⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．ππ23⎛⎫-- ⎪⎝⎭，C ．ππππ2332⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，D ．πππ0332⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【答案】A 设()()cos f x g x x=，则()()()2cos sin cos f x x f x xg x x'+'=当π02x -<<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+>成立，此时()0g x '>所以()()cos f x g x x =在02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.又()f x 为奇函数，则()00f =，则()()cos f x g x x=为奇函数，又()00g =则()()cos f x g x x =在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以()g x 在ππ,22⎛⎫- ⎝⎭上单调递增.当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，恒有cos 0x >()π2cos 3f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()π3πcos cos 3f f x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<，即()3g x g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，由()()cos f x g x x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以23x ππ-<<故选：A⑤根据不等式（求解目标）构造具体函数1．（2022·重庆·高二阶段练习）定义在R 上的函数()f x 满足()()260f x f x -'-<，且()21e 3=-f ，则满足不等式()2e 3>-x f x 的x 的取值有（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D 构造函数()()23e x f x F x +=，则()()()226e xf x f x F x '--'=，因为()()260f x f x -'-<，所以()0F x '<，所以()()23exf x F x +=单调递减，又()21e 3=-f ，所以()()21311e f F +==，不等式()2e 3>-xf x 变形为()231e xf x +>，即()()1F x F >，由函数单调性可得：1x >故选：D2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知()f x '是定义域为R 的函数()f x 的导函数.若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-，且()13f =，则不等式()12e x f x -->的解集为（）A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),e -∞D ．()e,+∞【答案】B解：不等式1()2e x f x -->，等价于不等式1()21e x f x -->，构造函数1()2()e x f x g x --=，则1()(()2)()e x f x f x g x -'--'=，若对任意实数x 都有()()2f x f x '>-，则()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，又()0(1)211e f g -==，故1()21e x f x -->即()()1g x g >，故不等式的解集是(1,)+∞，故选：B ．3．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式()()2122f x f x x -->--的解集为（）A ．(),1-∞-B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,-+∞【答案】D设()()2g x f x x =+，则()()2g x f x ''=+.因为定义在R 上的函数()f x 满足()2f x '>-，所以()()20g x f x ''=+>，所以函数()g x 在R 上单调递增.又不等式()()2122f x f x x -->--可化为()()()24121f x x f x x +>-+-，即()()21g x g x >-，所以21x x >-，解得1x >-.所以不等式()()2122f x f x x -->--的解集为()1,-+∞.故选：D.4．（2022·江苏·海门中学高二阶段练习）已知R 上的函数()f x 满足()13f =，且()2f x '<，则不等式()21f x x <+的解集为（）A ．(,1)-∞B ．()3,+∞C ．()1,+∞D ．(2,)+∞【答案】C解：令()()21F x f x x =--，则()()2F x f x ''=-，又()f x 的导数()'f x 在R 上恒有()2f x '<，()()20F x f x ''∴=-<恒成立，()()21F x f x x ∴=--是R 上的减函数，又()()11210F f =--= ，∴当1x >时，()()10F x F <=，即()210f x x --<，即不等式()21f x x <+的解集为(1,)+∞；故选：C ．5．（2022·陕西渭南·二模（理））设函数()f x 的定义域为()0,∞+，()'f x 是函数()f x 的导函数，()(ln )()0f x x x f x '+>，则下列不等关系正确的是（）A ．2(3)log 3(2)f f >B ．()ln 033f ππ<C ．(3)2(9)f f >D ．21(0e )f <【答案】A函数()f x 的定义域为()0,∞+，则1()(ln )()0()()ln 0f x x x f x f x f x x x''+>⇔+>，令()()ln g x f x x =，0x >，则1()()()ln 0g x f x f x x x'=+>，即()g x 在()0,∞+上单调递增，对于A ，(3)(2)g g >，即2(3)ln 3(2)ln 2(3)log 3(2)f f f f >⇔>，A 正确；对于B ，((1)3g g π>，即(3)ln (1)ln103f f π>=，B 不正确；对于C ，(3)(9)g g <，即(3)ln 3(9)ln 92(9)ln 3(3)2(9)f f f f f <=⇔<，C 不正确；对于D ，21()(1)e g g <，即2211()ln (1)ln10e e f f <=，有22112()0()0e e f f -<⇔>，D 不正确.故选：A6．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知函数()2224ln f x x x x ax =++-，若当0m n >>时，()()n f m f m n ->-，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,9B ．(],9-∞C ．(],8∞-D ．[)8,+∞【答案】B()()n f m f m n ->-，即()()f m m f n n ->-，令224l (n )()x x x ax g x f x x -+==+-，由题意得()g x 在(0,)+∞上单调递增，即4()410g x x a x '=++-≥，即441a x x≤++在(0,)+∞上恒成立由基本不等式得44119x x++≥+=，当且仅当44x x =即1x =时等号成立，则9a ≤故选：B7．（2022·安徽·高二阶段练习）已知()()21lg 20221lg 20222n n -+>，求满足条件的最小正整数n的值为___________.【答案】3解：由()()21lg 20221lg 20222n n -+>，两边取对数得()()()21ln 1lg 2022lg 2022lg 2n n -⋅+>⋅，因为n 是正整数，所以()()()ln lg 20221ln 211lg 202221n n +-+>-，令()()()ln 11x f x x x +=>，则()()()2ln 111xx x f x x x -++'=>，令()()ln 11x h x x x =-++，则()()201x h x x -'=<+，所以()h x 在()1,+∞上递减，则()()11ln 202h x h <=-=<，即()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上递减，所以lg 202221n <-，解得()11lg 20222n >+，因为3lg 20224<<，所以最小正整数n 的值为3.故答案为：38．（2022·浙江·高二期中）已知定义在R 上的可导函数()f x 是奇函数，其导函数为()'f x ，当0x <时，(1)()()0x f x xf x '-+>，则不等式()0f x <的解集为_______________．【答案】(0,)+∞()2e e(1)()()()()()e e e e x xx x x x x x x x f x xf x f x f x f x '--+⎡⎤=+'='⎢⎥⎣⎦，因为(1)()()0x f x xf x '-+>，所以()0e x xf x '⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即函数()e x x y f x =在(,0)-∞时单调递增的．因为()f x 的定义域是R ，且e x x在R 上都有意义，所以()e xx y f x =的定义域也是R ，所以在(,0)-∞时00()(0)0e ex x f x f <=，而e xx在(,0)-∞小于0恒成立，即在(,0)-∞时()0f x >．因为()f x 是奇函数，所以在(0,)+∞时()0f x <恒成立．所以()0f x <的解集为(0,)+∞．故答案为：(0,)+∞．9．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（理））已知定义在R 上的可导函数()f x 为偶函数，且满足()21f =，若当0x ≥时，()f x x '>，则不等式()2112f x x <-的解集为___________.【答案】(2,2)-设21()()2g x f x x =-，则()()0g x f x x ''=->，0x ≥时，()g x 是增函数，又()f x 是偶函数，所以2211()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，()g x 是偶函数，21(2)(2)212g f =-⨯=-,不等式()2112f x x <-即为()(2)g x g <，由()g x 是偶函数，得()(2)g x g <，又0x ≥时，()g x 递增，所以2x <，22x -<<．故答案为：(2,2)-．10．（2022·四川·成都实外高二阶段练习（文））已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()21f =，且()f x 的导函数()f x '满足：()1f x x '>-，则不等式()2112f x x x <-+的解集为___________.【答案】(),2∞-因为()1f x x '>-，所以()10f x x '-+>构造()()212F x f x x x =-+，则()()10F x f x x ''=-+>，即()()212F x f x x x =-+在R 上单调递增，因为()21f =，所以()()22221F f =-+=()2112f x x x <-+变形为()2112f x x x -+<，即()()2F x F <，由()F x 的单调性可知：2x <.故答案为：(),2∞-。

【最新】数学《不等式》专题解析一、选择题1．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．[3,2]--C ．[2,3)-D ．[3,2]-【答案】D 【解析】 【分析】由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求出s 的取值范围. 【详解】解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则()()()222232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以222323s s s s -+≥-+-，整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.2．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（ ） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)- C ．(1,3) D ．(,1)(3,)-∞+∞U【答案】A 【解析】 【分析】由0ax b ->的解集，可知0a >及1ba=，进而可求出方程()()30ax b x +-=的解，从而可求出()()30ax b x +->的解集. 【详解】由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1ba=， 令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ， 故选：A. 【点睛】本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.3．已知函数())2log f x x =，若对任意的正数,a b ，满足()()310f a f b +-=，则31a b+的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．24【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简方程得31a b +=，最后根据基本不等式求最值. 【详解】0,x x x x ≥-=所以定义域为R ，因为()2log f x =，所以()f x 为减函数因为()2log f x =，())2log f x x -=,所以()()()f x f x f x =--，为奇函数，因为()()310f a f b +-=，所以()()1313f a f b a b =-=-，，即31a b +=， 所以()3131936b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，因为96b a a b +≥=， 所以3112a b +≥（当且仅当12a =，16b =时，等号成立），选C. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.4．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）A ．ln ln a b b a ->-B ．|||b a <C ．ln ln a b b a -<-D ．|||b a ->【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，1b a e ==-，可排除A 、D 项；取11,49a b ==711812b a ==，可排除B 项； 因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2【答案】D 【解析】 【分析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<；()1,2P Q ∴⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.6．已知x ，y 满足约束条件1,22,326,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，若22x y z +≥恒成立，则实数z 的最大值为（ ） A．2B ．25C ．12D ．2【答案】C 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，根据22xy +的几何意义，结合平面区域求得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，即可求解．【详解】由题意，画出约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域，如图所示，要使得22x y z +≥恒成立，只需()22minz x y≥+，因为22xy +表示原点到可行域内点的距离的平方，结合平面区域，可得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，其中最小值距离为2d ==，则212d =，即12z ≤所以数z 的最大值12． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合22x y +的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力．7．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =I ð（ ）A ．{}13x x -≤<B ．{}19x x -≤≤C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，再利用补集和交集的定义得出集合()R A B ⋂ð. 【详解】解不等式2230x x -->，得1x <-或3x >；解不等式()lg 11x +≤，得0110x <+≤，解得19x -<≤.{}13A x x x ∴=-或，{}19B x x =-<≤，则{}13R A x x =-≤≤ð，因此，(){}13R A B x x ⋂=-<≤ð，故选：C. 【点睛】本题考查集合的补集与交集的计算，同时也考查了一元二次不等式以及对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．已知,x y 满足33025010x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则36y z x -=-的最小值为（ ）A ．157B ．913C ．17D ．313【答案】D【解析】【分析】画出可行域，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率，根据图像得到答案.【详解】画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数36yzx-=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P连接的斜率.直线330x y-+=与直线10x y+-=交于点13(,)22A-，由图可知，当可行域内的点为A时，PAk最小，故min333211362z-==--.故选：D.【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.9．若,x y满足约束条件360,60,1,x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z x y=-的最小值为（）A．4 B．0 C．2-D．4-【答案】D【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出约束条件360601x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值， 又由3601x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(3,1)A -，所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．10．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且223sin 2AA =.则ABC V 周长的取值范围为（ ） A ．(23,4]B ．(4,43]C ．(43,423]+D ．(423,63]+【答案】C 【解析】 【分析】 由223sin 2A A =及倍角公式可得23A π=，2sin 23a R A ==得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】 由题意，232cos 112A A -=-，即3cos 1A A =-，可化为 333A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3sin 32A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23A π=，2sin 23a R A ==ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），所以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为22212()b c bc b c bc =++=+-，所以2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则423a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以 243a b c a ++>=，即43423a b c <+++≤.故ABC V 周长的取值范围为 (43,423]+.故选：C 【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.11．设x ，y 满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。

高考数学压轴题：含有参数的方程或不等式含有参数的方程(或不等式)中的“任意性”与“存在性”问题,历来是高考考查的一个热点，也是高考复习中的一个难点．破解的关键在于将它们等价转化为熟悉的基本初等函数的最值或值域问题，而正确区分“任意性”与“存在性”问题也是解题的关键．本专题举例说明辨别“任意性问题”与“存在性问题”的方法、技巧.类型一 “∀x ，使得f(x)>g(x)”与“∃x ，使得f(x)>g(x)”的辨析 (1)∀x ，使得f (x )>g (x )，只需h (x )min ＝[f (x )－g (x )]min >0.如图①.(2)∃x ，使得f (x )>g (x )，只需h (x )max ＝[f (x )－g (x )]max >0.如图②. 【例1】已知函数1()ln (0),()a f x a x a g x x x x=-≠=--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若存在0[1,]x e ∈，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围.【解析】（I ）()f x 的定义域为'221(0,),().a a xf x a x x x ++∞=--=- 所以，当0a >时，()'0f x <，()f x 在(0,)+∞上递减；当0a <时，()'0fx >，所以，()f x 在(0,)+∞上递增.（II ）在[]1e ，上存在一点0x 使00()()f xg x <成立， 即函数1()ln a h x a x x x x=-++在[]1,e 上的最小值小于0, ()'222(1)1+1()1x x a a a h x x x x x+-⎡⎤⎣⎦=--+-=.①当1+a e ≥，即1a e ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递减， 所以()h x 在[]1,e 上的最小值为()h e ，由()10ah e e a e+=+-<，得222111,1,111e e e a e a e e e +++>>-∴>---； ②当11a +≤，即0a ≤时，0a >，不合乎题意；③当11a e <+<，即01a e <<-时，()h x 的最小值为()1h a +，0ln(1)1,0ln(1),a a a a <+<∴<+<故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>.此时(1)0h a +<不成立.综上所述，a 的取值范围是211e a >e +-.(1)这是较为常见的一类恒成立问题，运用数形结合的思想可知，当x 0≥0时，总有f (x 0)≥g (x 0)，即f (x 0)－g (x 0)≥0(注意不是f (x )min ≥g (x )max )，可以转化为当x ≥0时，h (x )＝f (x )－g (x )≥0恒成立问题．(2)存在x ≥0，使得f (x )≥g (x )，即至少有一个x 0≥0，满足f (x 0)－g (x 0)不是负数，可以转化为当x ≥0时，h (x )＝f (x )－g (x )的函数值至少有一个是非负数．例题：已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值. 【解析】（1）由()()ln f x x x a b =++得：()ln 1f x x a '=++ 由切线方程可知：()1211f =-=()112f a '∴=+=，()11f a b =+=，解得：1a =，0b =（2）由（1）知()()ln 1f x x x =+则()1,x ∈+∞时，()()1f x m x ≥-恒成立等价于()1,x ∈+∞时，()ln 11x x m x +≤-恒成立令()()ln 11x x g x x +=-，1x >，则()()2ln 21x x g x x --'=-.令()ln 2h x x x =--，则()111x h x x x-'=-= ∴当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增()31ln30h =-<，()422ln 20h =-> ()03,4x ∴∃∈，使得()00h x =当()01,x x ∈时，()0g x '<；()0,x x ∈+∞时，()0g x '>()()()000min 0ln 11x x g x g x x +∴==-()000ln 20h x x x =--= 00ln 2x x ∴=- ()()()()0000min0213,41x x g x g x x x -+∴===∈-()03,4m x ∴≤∈，即正整数m 的最大值为3类型二 “若1122x D x D ∃∈∃∈，，，使得()()12f x g x ＝”与“1122x D x D ∀∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝”的辨析(1) 1122x D x D ∃∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数f (x )在D 1上的值域A 与g (x )在D 2上的值域B 的交集不是空集，即A ∩B ≠∅，如图③.其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值．(2) 1122x D x D ∀∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数f (x )在D 1上的值域A 是g (x )在D 2上的值域B 的子集，即A ⊆B ，如图④.其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的值域都在函数y ＝g (x )的值域之中．说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y 轴上的投影． 【例2】已知函数()()()11ln 1f x a x x =---+，()1xg x xe-=.（1）求()g x 在区间(]0,e 上的值域；（2）是否存在实数a ，对任意给定的(]00,x e ∈，在[]1,e 存在两个不同的()1,2i x i =使得()()0i f x g x =，若存在，求出a 的范围，若不存在，说出理由.【解析】（1）()()1'1xg x x e-=-，()0,1x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增，(]1,x e ∈时，()'0g x <，()g x 单调递减，()00g =，()11g =，()10e g e e e -=⨯>，∴()g x 在(]0,e 上值域为(]0,1. （2）由已知得1()1f x a x='--，且[]1,x e ∈， 当0a ≤时，()'0f x ≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意． 当11a e≥-时，()'0f x ≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，不合题意． 当101a e <<-时，()0f x '=得011x a=-． 当1(1,)1x a∈-时()'0f x <，()f x 单调递减， 当1()1x e a ，∈-时，()'0f x >，()f x 单调递增，∴()min 11f x f a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.由（1）知()g x 在(]0,e 上值域为(]0,1，而()11f =，所以对任意(]00,x e ∈，在区间[]1,e 上总有两个不同的()1,2i x i =，使得()()0i f x g x =.当且仅当()1101fe f a ⎧≥⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩，即()()()()()1111ln 1102a e a a ⎧--≥⎪⎨+-+≤⎪⎩， 由（1）得111a e ≤--. 设()()ln 11h a a a =+-+，10,1a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()1'111a h a a a =-=--， 当10,1a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0h a <，()h a 单调递减，∴()11110h a h e e⎛⎫>-=-> ⎪⎝⎭.∴()0h a ≤无解.综上，满足条件的a 不存在.本例第(2)问等价转化的基本思想是：函数g (x )的任意一个函数值都与函数f (x )的某两个函数值相等，即f (x )的值域都在g (x )的值域中． 例题：已知函数1()ln 1f x x x=+-, 32()324g x x a x a =--+, []0,1x ∈,其中0a ≥. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]11,x e ∈,总存在[]20,1x ∈,使得()()12f x g x =成立,求a 的取值范围. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞,22111()x f x x x x-'=-+=, 令()0f x '>,解得1x >,令()0f x '<,解得01x <<,∴函数()f x 的减区间为(0,1),增区间为(1,)+∞;（2）依题意,函数()f x 在[]1,e 上的值域包含于函数g x （）在[]0,1上的值域,由（1）可知,函数()f x 在[]1,e 上单调递增,故值域为10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 由32()324g x x a x a =--+得22()333()()g x x a x a x a '=-=+-, ①当0a =时,()0g x '≥恒成立,故函数g()x 在[]0,1上单调递增,此时值域为[]224,3254,5a a a ⎡⎤-+--+=⎣⎦,故0a =不符合题意;②当0a >时,()0g x '>的解集为(,)a +∞,()0g x '<的解集为(0,)a ,∴ 故函数()g x 在(0,)a 上单调递减,在(,)a +∞上单调递增,且2(0)42,(1)325g a g a a =-=--+,()i 当01a <<时,函数g()x 在(0,)a 上单调递减,在(,1)a 上单调递增,此时值域为{}32224,42,325a a max a a a ⎡⎤--+---+⎣⎦,则此时需要32240a a --+≤,即320a a +-≥,当01a <<时,320a a +-≥不可能成立,故01a <<不符合题意; ()ii 当1a ≥时,()0g x '≤在[]0,1上恒成立,则函数g()x 在[]0,1上单调递减,此时值域为2325,42a a a ⎡⎤--+-⎣⎦,则23250142a a a e ⎧--+≤⎪⎨-≥⎪⎩,解得1122a e ≤≤-; 综上所述,实数a 的取值范围为11,22e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.类型三 f (x )，g (x )是闭区间D 上的连续函数，“∀x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)”与“∃x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)”的辨析(1)f (x )，g (x )是在闭区间D 上的连续函数且∀x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)，等价于f (x )min >g (x )max .其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值均大于函数y ＝g (x )的任意一个函数值．如图⑤.(2)存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)，等价于f (x )max >g (x )min .其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的某一个函数值大于函数y ＝g (x )的某些函数值．如图⑥.【例3】已知函数(1)(1ln )()3x x f x m x++=-，()ln g x mx x =-+(R)m ∈.(1)求函数()g x 的单调区间与极值.(2)当0m >时，是否存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】（1）1()(0)g x m x x =-+>'， 当0m ≤时，1()0g x m x=-+>'恒成立，即函数()g x 的单调增区间为∞（0，+），无单调减区间，所以不存在极值． 当0m >时，令1()0g x m x =-+='，得1x m =,当10x m <<时，()0g x '>，当1x m>时，()0g x '<，故函数()g x 的单调增区间为10m （，），单调减区间为1m+∞（，），此时函数()g x 在1x m =处取得极大值，极大值为111()ln 1ln g m m m m m=-⨯+=--，无极小值． 综上，当0m ≤时，函数()g x 的单调增区间为()0+∞，，无单调减区间，不存在极值．当0m >时，函数()g x 的单调增区间为10m ⎛⎫⎪⎝⎭，，单调减区间为1m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，极大值为1ln m --，无极小值（2）当0m >时，假设存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立，则对[]1,2x ∈，满足max min ()()f x g x >由(1)(1ln )()3x x f x m x++=-[]1,2x ∈（）可得，221(1ln 1)(1)(1ln )ln ()x x x x x x x f x x x +++-++-=='. 令[]()ln 1,2h x x x x =-∈（），则1()10h x x'=-≥，所以()h x 在[]1,2上单调递增，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0f x '>，所以()f x 在[]1,2上单调递增，所以max (21)(1ln 2)3(1ln 2)()(2)3322f x f m m +++==-=-由（1）可知，①当101m<≤时，即m 1≥时，函数()g x 在[]1,2上单调递减，所以()g x 的最小值是(2)2ln 2g m =-+． ②当12m ≥，即102m <≤时，函数()g x 在[]1,2上单调递增， 所以()g x 的最小值是(1)g m =-．③当112m <<时，即112m <<时，函数()g x 在11,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.又(2)(1)ln 22ln 2g g m m m -=-+=-，所以当1ln 22m <<时，()g x 在[]1,2上的最小值是(1)g m =-.当ln 21m ≤<时，()g x 在[]1,2上的最小值是(2)ln 22g m =- 所以当0ln 2m <<时，()g x 在[]1,2上的最小值是(1)g m =-，故3(1ln 2)32m m +->-，解得3(1ln 2)4m +>,所以ln 20m >>． 当ln 2m ≤时，函数()g x 在[]1,2上的最小值是(2)ln 22g m =-，故3(1ln 2)3ln 222m m +->-， 解得3ln 22m +>，所以3ln 2ln 22m +≤<.故实数m 的取值范围是3ln 20,2+⎛⎫⎪⎝⎭1.本例第(2)问从形的角度看，问题的本质就是函数f (x )图象的最低点低于g (x )图象的最高点．2.题设中，使得成立可转化为，进而求出参数.例题：已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；②若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围． 【解析】（1）22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x+-'=-+=->， 由()0{0f x x >>'得01x <<，由()0{0f x x <>'得1x >，∴()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， ∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-； （2）∵()a g x x x=+，∴2()1a g x x =-'，（Ⅰ）由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又∵函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点，∴1x =是函数()g x 的极值点，∴(1)10g a =-='，解得1a =， 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意；（ⅱ）∵211()2f ee =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+， ∵2192ln 321e -+<--<-， 即1(3)()(1)f f f e <<，∴1[,3]x e∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，由（ⅰ）知1()g x x x =+，∴21()1g x x =-'，当1[,1)x e∈时，()0g x '<，当(1,3]x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1[,1)e为减函数，在(1,3]上为增函数，∵11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=， 而11023e e <+<，∴1(1)()(3)g g g e <<，∴1[,3]x e∀∈，min max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====，①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立 12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴312k ≥-+=-，又∵1k >，∴1k >， ②当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-，12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，∵121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，∴342ln 33k ≤-+，又∵1k <， ∴342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-+⋃+∞． 类型四 “∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)>g (x 2)”与“∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)<g (x 2)”的辨析(1)∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)>g (x 2)，等价于函数f (x )在D 1上的最小值大于g (x )在D 2上的最小值，即f (x )min >g (x )min (这里假设f (x )min ，g (x )min 存在)．其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值大于函数y ＝g (x )的某一个函数值．如图⑦.(2)∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)<g (x 2)，等价于函数f (x )在D 1上的最大值小于g (x )在D 2上的最大值，即f (x )max <g (x )max .其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值小于函数y ＝g (x )的某一个函数值．如图⑧.【例4】已知函数()42ln af x a x x x-=-++. （1）当4a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()26xg x e mx =+-，当22a e =+时，对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2122f x e g x +≥，求实数m 的取值范围.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，224()1a a f x x x -'=-++2(2)[(2)]x x a x ---=， 由()0f x '=，得2x =或2=-x a .当4a >即22a ->时，由()0f x '<得22x a <<-， 由()0f x '>得02x <<或2x a >-；当4a =即22a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当4a >时，单调减区间是(2,2)a -，单调增区间是(0,2)，(2,)a -+∞；当4a =时，单调增区间是()0,∞+，没有单调减区间.（2）当22a e =+时，由（1）知()f x 在()22,e 上单调递减，在()2,e +∞上单调递增， 从而()f x 在[)2,+∞上的最小值为22()6f e e =--.对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21x ∈+∞,，使()g x 的值不超过()22e f x +在区间[)2,+∞上的最小值26e -.由2266xe e mx ≥+--，22e e xm x -∴≤.令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()22222()x x e x e xh x e x ---'=()232x x e xe e x+-=-，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22xxe xe e +-20xx xee >-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-，从而2m e e ≤-.“对任意x 1∈(0,2)，总存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)”等价于“f (x )在(0,2)上的最小值大于或等于g (x )在[1,2]上的最小值”．例题：已知函数()()()11ln x x f x x++=，()()ln g x x mx m R =-∈ .（1）求函数()g x 的单调区间；（2）当0m >时，对任意的[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()123f x m g x ->成立，试确定实数m 的取值范围.【解析】（1）由()()ln 0g x x mx x =->，得()'1g x m x=-.当0m ≤时，()'0g x >，所以()g x 的单调递增区间是()0,∞+，没有减区间.当0m >时，由()'0g x >，解得10x m <<；由()'0g x <，解得1x m >，所以()g x 的单调递增区间是10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间是1,m ⎛⎫+∞⎪⎝⎭.综上所述，当0m ≤时，()g x 的单调递增区间是()0,∞+，无递减区间；当0m >时，()g x 的单调递增区间是10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间是1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）当0m >时，对任意[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()123f x m g x ->成立，只需()()min min 3f x m g x ->成立. 由()()()11ln ln 1ln 1x x x f x x xxx++==+++，得()'2221ln 11ln x x x f x x xx x --=+-=.令()()ln 0h x x x x =->，则()'1x h x x-=.所以当()0,1x ∈时，()'0h x <，当()1,x ∈+∞时，()'0h x >.所以()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，且()11h =，所以()()()min 110h x h x h ≥==>.所以()'0f x >，即()f x 在()0,∞+上递增，所以()f x 在[]1,2上递增，所以()()min 12f x f ==.由（1）知，当0m >时，()g x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减， ①当101m<≤即m 1≥时，()g x 在[]1,2上递减，()()min 2ln22g x g m ==-； ②当112m <<即112m <<时，()g x 在11,m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在1,2m ⎛⎤⎥⎝⎦上递减，()()(){}min min 1,2g x g g =，由()()()21ln22ln2g g m m m -=---=-，当1ln22m <≤时，()()21g g ≥，此时()()min 1g x g m ==-， 当ln21m <<时，()()21g g <，此时()()min 2ln22g x g m ==-， ③当12m ≥即102m <≤时，()g x 在[]1,2上递增，()()min 1g x g m ==-， 所以当0ln2m <≤时，()()min 1g x g m ==-，由0ln223m m m<≤⎧⎨->-⎩，得0ln2.m <≤当ln2m >时，()()min 2ln22g x g m ==-，由ln223ln22m m m>⎧⎨->-⎩，得 ln22ln2m <<-．∴ 02ln2m <<-．综上，所求实数m 的取值范围是()0,2ln2-．练习：1．已知函数ln ()xx af x e +=. （1）当1a =时，求()f x 的极值； （2）设()xg x xea -=-，对任意12,(0,)x x ∈+∞都有()()11112xx e f x ax g x ->成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，ln 1()xx f x e+=，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以1ln ()xx x xf x xe--'=，且0x xe >， 令()1ln h x x x x =--，所以当01x <<时，10,ln 0x x x -><， 所以()1ln 0h x x x x =-->. 又()2ln h x x '=--，所以当1x >时，()2ln 0h x x '=--<，所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0h x h <=. 同理当01x <<时，()0f x '>； 当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)是单调递增，在(1,)+∞单调递减， 所以当1x =时，()f x 的极大值为1(1)f e=，无极小值. （2）令()()xm x xe f x ax =-，因为对任意12,(0,)x x ∈+∞都有()()11112xx e f x ax g x ->成立，所以()()12min max m x g x >.因为()()ln xm x xe f x ax x x =-=， 所以()1ln m x x '=+.令()0m x '>，即1ln 0x +>，解得1x e>；令()0m x '<，即1ln 0x +<，解得10x e<<. 所以()m x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以min 11()m x m e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 因为()xg x xea -=-，所以()(1)xg x x e -'=-，当0x >时0x e ->，令()0g x '>，即10x ->，解得01x <<；令()0g x '<，即10x -<，解得1x >. 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以max 1()(1)g x g a e==-， 所以11a e e->-， 所以2a e >，即实数a 的取值范围为2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 2．已知函数()f x 满足:①定义为R ；②2()2()9xx f x f x e e+-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x x g x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解. 【解析】（1）2()2()9x xf x f x e e +-=+-,…① 所以2()2()9xx f x f x e e ---+=+-即1()2()29xxf x f x e e -+=+-…② 由①②联立解得:()3xf x e =-. （2）设2()(2)6x x a x ϕ=-+-+,()()()1333x x x F x x e e xe x =--=+--,依题意知:当11x -≤≤时,min max ()()x F x ϕ≥()()33x x x x F x e e xe xe '+=-+=-+又()(1)0x F x x e ''=-+<在(1,1)-上恒成立,所以()F x '在[1,1]-上单调递减()(1)30min F x F e ∴'='=-> ()F x ∴在[1,1]-上单调递增,max ()(1)0F x F ∴==(1)70(1)30a a ϕϕ-=-≥⎧∴⎨=+≥⎩,解得:37a -≤≤实数a 的取值范围为[3,7]-. （3）()g x 的图象如图所示：令()T g x =,则()1g T =1232,0,ln 4T T T ∴=-==当()2g x =-时有1个解3-,当()0g x =时有2个解：(1-、ln3,当()ln 4g x =时有3个解:ln(3ln 4)+、1-. 故方程[()]10g g x -=的解分别为：3-,(1-、ln3,ln(3ln 4)+、1-3．已知函数()2ln h x ax x =-+.（1）当1a =时，求()h x 在()()2,2h 处的切线方程； （2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在012x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】()1当1a =时，()()12ln ,'2h x x x h x x=-+=-+2x =时，()()3'2,24ln 22h h =-=-+()h x ∴在()()2,2h 处的切线方程为()34ln 222y x +-=-- 化简得：322ln 220x y +-+=()2对函数求导可得，()()221'0ax ax f x x x-+=>令()'0f x =，可得2210ax ax -+=20440112a a a a ⎧⎪≠⎪∴->⎨⎪⎪>⎩，解得a 的取值范围为()1,2 ()3由2210ax ax -+=，解得121,1x x a a=-=+而()f x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增12a <<2112x ∴=+<+()f x ∴在122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增 ∴在122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上，()()max 22ln 2f x f a ==-+0122x ⎡⎤∴∃∈+⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对a M∀∈恒成立等价于不等式2(2ln 2ln 1112))()n (l 2a a m a a -+++>--++恒成立 即不等式2()ln 1ln 210a ma a m +--+-+>对任意的()12a a <<恒成立令()()2ln 1ln 21g a a ma a m =+--+-+，则()()121210,'1ma a m g g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭==+ ①当0m ≥时，()()'0,g a g a <在()1,2上递减()()10g a g <=不合题意②当0m <时，()1212'1ma a m g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+ 12a <<若1112m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即104m -<<时，则()g a 在()1,2上先递减 ()10g =12a ∴<<时，()0g a >不能恒成立若111,2m ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭即14m ≤-，则()g a 在()1,2上单调递增 ()()10g a g ∴>=恒成立m ∴的取值范围为1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦4．已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）当1a =时，因为()3213x x x f x =-+所以()221x x f x =-+'，(0)1f '=.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为y x =. （Ⅱ）因为()321(1)32a x x ax f x +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=.令()0f x '=，解得x a =或1x =. 若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时， 故函数()f x 的单调递增区间为()(),1,,a -∞+∞；当()0f x '<即1x a <<时，故函数()f x 的单调递减区间为()1,a . 若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，故函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数. 若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时， 故函数()f x 的单调递增区间为()(),,1,a -∞+∞；当()0f x '<即1<<a x 时，故函数()f x 的单调递减区间为(),1a .综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1,)a ； 1a =时，函数()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(,1)a .（Ⅲ） 由题设，只要()()max min 23f x f x -≤即可. 令2()(1)0f x x a x a '=-++=，解得x a =或1x =.当0a ≤时，随x 变化，(),()f x f x ' 变化情况如下表：由表可知(0)0(1)f f =>，此时(2)(1)3f f ->，不符合题意.当01a <<时，随x 变化，()()'f x f x , 变化情况如下表：由表可得32(0)0()(1)(2)62263f f a a a f a f ==-+=-=,,,，且(0)()f f a <，(1)(2)f f <，因()()2203f f -=，所以只需()(2)(1)(0)f a f f f ≤⎧⎨≥⎩，即3211262311026a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩ ，解得113a ≤<.当1a =时，由（Ⅱ）知()f x 在[]0,2为增函数， 此时()()()()max min 2203f x f x f f -=-=，符合题意. 当12a <<时，同理只需(1)(2)()(0)f f f a f ≤⎧⎨≥⎩，即3211226311062a a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩ ，解得513a <≤.当2a ≥时，2()(1)32f f >=，()2()0(311)f f f =->，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.5．已知函数()ln f x x x x =+，()x x g x e=. （1）若不等式()()2f xg x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值； （2）证明：()()1f x x g x +->.（3）设方程()()f x g x x -=的实根为0x .令()()()00,1,,,f x x x x F x g x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩若存在1x ，()21,x ∈+∞，12x x <，使得()()12F x F x =，证明：()()2012F x F x x <-.【解析】（1）()()2f xg x ax ≥，即()2ln x x x x x ax e +⋅≥，化简可得ln 1x x a e+≤. 令()ln 1x x k x e+=，()()1ln 1xx x k x e -+'=，因为1x ≥，所以11x ≤，ln 11x +≥. 所以()0k x '≤，()k x 在[)1,+∞上单调递减，()()11k x k e≤=. 所以a 的最小值为1e. （2）要证()()1f x x g x +->，即()ln 10xxx x x e +>>. 两边同除以x 可得11ln x x x e+>. 设()1ln t x x x =+，则()22111x t x x x x-'=-=. 在()0,1上，()0t x '<，所以()t x 在()0,1上单调递减.在()1,+∞上，()0t x '>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11t x t ≥=.设()1x h x e=，因为()h x 在()0,∞+上是减函数，所以()()01h x h <=. 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->.（3）证明：方程()()f x g x x -=在区间()1,+∞上的实根为0x ，即001ln x x e =，要证 ()()2012F x F x x <-，由()()12F x F x =可知，即要证()()1012F x F x x <-.当01x x <<时，()ln F x x x =，()1ln 0F x x '=+>，因而()F x 在()01,x 上单调递增. 当0x x >时，()x x F x e =，()10xxF x e -'=<，因而()F x 在()0,x +∞上单调递减. 因为()101,x x ∈，所以0102x x x ->，要证()()1012F x F x x <-. 即要证01011122ln x x x x x x e --<.记()0022ln x xx xm x x x e --=-，01x x <<.因为001ln x x e =，所以0000ln x x x x e =，则()00000ln 0x x m x x x e=-=. ()0000022212121ln 1ln x x x x x xx x x x m x x x e e e ---+--'=++=++-.设()t t n t e =，()1tt n t e-'=，当()0,1t ∈时，()0n t '>. ()1,t ∈+∞时，()0n t '<，故()max 1n t e=. 且()0n t >，故()10n t e <<，因为021x x ->，所以002120x x x xe e ---<<. 因此()0m x '>，即()m x 在()01,x 上单调递增. 所以()()00m x m x <=，即01011122ln x x x x x x e --<.故()()2012F x F x x <-得证.6．已知函数()()sin ,ln f x x a x g x x m x =-=+.(1)求证:当1a ≤时,对任意()()0,,0x f x ∈+∞>恒成立; (2)求函数()g x 的极值;(3)当12a =时,若存在()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+,求证:12249x x m <.【解析】(1)()()sin 1cos f x x a x f x a x '=-∴=-，1cos 1x -≤≤,()11cos 0a f x a x '∴≤=-≥，, ()sin f x x a x =-在()0+∞，上为增函数,所以当()0,x ∈+∞时,恒有()()00f x f >=成立; (2)由()()()ln ,10m x mg x x m x g x x x x+'=+∴=+=> 当()00m g x '≥>，()g x 在()0+∞，上为增函数,无极值 当()()0,00;0m x m g x x m g x ''<<<-<>->，，()g x 在()0m -，上为减函数,在(),m -+∞上为增函数,()x m x ∴=-，g 有极小值()ln m m m -+-,无极大值,综上知:当()0m g x ≥，无极值,当()0m g x <，有极小值()ln m m m -+-,无极大值. (3)当()11sin 22a f x x x ==-，在()0+∞，上为增函数, 由(2)知,当0m ≥,()g x 在()0+∞，上为增函数, 这时,()()f x g x +在()0+∞，上为增函数, 所以不可能存在()12,0,x x ∈+∞,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+且12x x ≠ 所以有0m <现不防设()()()()1211220x x f x g x f x g x <<+=+，得:111222112sin ln 2sin ln 22x x m x x x m x -+=-+()()()2121211ln ln 2sin sin 2m x x x x x x --=---①1122sin sin x x x x -<-()()212111sin sin 22x x x x -->--② 由①②式可得:()()()2121211ln ln 22m x x x x x x -->--- 即()()21213ln ln 02m x x x x -->-> 又1221ln ln ,ln ln 0x x x x <->2121302ln ln x x m x x -∴->⨯>-③ 又要证12249x x m <，即证21294m x x > 120,0m x x <<<即证m ->所以由③式知,只需证明:2121ln ln x x x x ->-2121ln 1x xx x -> 设211x t x =>,只需证1ln t t->即证()ln 01t t ->> 令()()ln 1h t t t => 由()()()2101h t t h t '=>>，在()1+∞，上为增函数, ()()10h t h∴>=2121ln ln x x x x -∴>-,所以由③知,0m ->>成立, 所以12249x x m <成立.7．已知函数21()ln 1()2f x x a x a R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若20a -≤＜，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式121211()()f x f x m x x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）∵依题意可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+，∴2()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>在()0,∞+恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增. 当0a >时，由()0f x '>得x ()0f x '<得0x <<综上可得当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，()f x在(上单调递减；在)+∞上单调递增.（2）因为20a -≤<，由（1）知，函数()f x 在[]1,2上单调递增， 不妨设1212x x ≤≤≤，则121211()()f x f x mx x -≤-， 可化为2121()()m m f x f x x x +≤+， 设21()()ln 12m mh x f x x a x x x=+=-++，则12()()h x h x ≥， 所以()h x 为[]1,2上的减函数， 即2()0a mh x x x x=--≤'在[]1,2上恒成立，等价于3m x ax ≥-在[]1,2上恒成立， 设3()g x x ax =-，所以max ()m g x ≥，因20a -≤＜，所以2()30＞'=-g x x a ，所以函数()g x 在[]1,2上是增函数，所以max ()(2)8212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立） 所以12m ≥．8．已知函数()()2log ln a f x x x x =+-，1a >.（1）求证：()f x 在()1,+∞上单调递增；（2）若关于x 的方程()1f x t -=在区间()0,∞+上有三个零点，求实数t 的值； （3）若对任意的112,,x x a a -⎡⎤∈⎣⎦，()()121f x f x e -≤-恒成立（e 为自然对数的底数），求实数a 的取值范围. 【解析】（1）()()2ln 1'21ln x f x xx a =⋅+-,∵1x >,∴()'0f x >,故()f x 在()1,+∞上单调递增. （2）()()()()2222ln ln ln 'ln x x a a f x x a +-=,令()()()222ln ln ln g x x x a a =+-,()()22'ln 0g x a x=+>,()10g =, 故当()0,1x ∈,()'0g x <,()1,x ∈+∞,()'0g x >,即()f x 在()0,1x ∈上单调递减；在()1,x ∈+∞上单调递增.()11f =,若()()11f x t f x t -=⇔=±在区间()0,∞+上有三个零点,则11t -=,2t =. （3）()f x 在1,1x a -⎡⎤∈⎣⎦上单调递减；在(]1,x a ∈上单调递增.故()()min 11f x f ==,()()max 1max ,f x f f a a ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 令()()112ln h a f f a a a a a ⎛⎫=-=+-⎪⎝⎭,∴()0h a <, 故()max 1ln f x a a =+-,∴ln 1ln 1a a e a a e -≤-⇒-≤-, 因为1a >,设()ln a a a ϕ=-则1'()10a aϕ=->,故()ln a a a ϕ=-为增函数, 又()ln 1e e e e ϕ=-=-. ∴(]1,a e ∈.9．已知函数()ln f x a x x b =-+，其中,a b ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）使不等式()ln f x kx x x a ≥--对任意[]1,2a ∈，[]1,x e ∈恒成立时最大的k 记为c ，求当[]1,2b ∈时，b c +的取值范围.【解析】（1）因()f x 的定义域为()0,∞+，()()'10af x x x=->， 当0a ≤时，()'0f x <，∴()f x 在()0,∞+上单调递减； 当0a >时，()'f x 在()0,∞+上单调递减，()'0f a =， ∴()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞单调递减； （2）()()l ln n f x kx x x f x x x a k x a ++⇒≤≥--()1ln ln a x x x x bx+-++=. ∵[]1,2a ∈，[]1,x e ∈，∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x bx x+-+++-++≥， 令()()21ln ln ln 'x x x x b x x b g g x x x x +-++-+-=⇒=，由（1）()ln p x x x b ⇒=-+-在()1,+∞上递增；（1）当()10p ≥，即1b =时[]1,x e ∈，()()0'0p x g x ≥⇒≥，∴()g x 在[]1,e 上递增； ∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.（2）当()0p e ≤，即[]1,2b e ∈-时[]1,x e ∈，()()0'0p x g x ≤⇒≤，∴()g x 在[]1,e 上递减；∴()()min 22b b c g x g e b c b e e ++===⇒+=+14,2e ee ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦.（3）当()()10p p e <时，()ln p x x x b =-+-在上递增； 存在唯一实数()01,x e ∈，使得()00p x =，则当()01,x x ∈时()()0'0p x g x ⇒<⇒<.当()0,x x e ∈时()()0'0p x g x ⇒>⇒>. ∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===.∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+.此时00ln b x x =-. 令()()()11ln '10x h x x x h x h x x x-=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增， ()()01,11,b e x e ∈-⇒∈，∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述，42,2b c e ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. 10．设函数()212ln 222a f x ax x x -=+++，a R ∈. （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）2x =是函数()f x 的极值点，求函数()f x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，()217ln 422g x x x x ⎛⎫=-++-⎪⎝⎭，若[)11,x ∀∈+∞，()20,x ∃∈+∞，使不等式()()1122mf xg x x x -≥+恒成立，求m 的取值范围. 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，2a =时，()2ln 2f x x x =++，()12f x x x'=+， ()13f '=，()13f =，所以切线方程为()331y x -=-，即30x y -=.（2）()()22221222ax a x a f x ax x x+-+-'=++=， 2x =是函数的极值点，()8422204a a f +-+'==，可得1a =-，所以()2232(0)2x x f x x x-++'=>，令()0f x '>，即22320x x --<，解得1,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，结合定义域可知()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减. （3）令()()()2ln ln 26h x f x g x x x x x =-=+++，[)11,x ∀∈+∞，[)20,x ∃∈+∞， 使得()()1122m f x g x x x -≥+恒成立，等价于()()2min21mh x x x x ≥+≥⎡⎤⎣⎦，()12ln 2h x x x x x'=++-，因为1x ≥，所以2ln 0x x ≥，12x x+≥，即()'0h x ≥， 所以()h x 在[)1,+∞上单调递增，()()14h x h ≥=， 即()20,x ∃∈+∞使得函数4mx x+≤，即转化为240x x m -+≤在()0,∞+有解， ()22424x x m x m -+=--+，所以40m -+≤，4m ≤.。

历年高三数学高考考点之〈不等式〉必会题型及答案体验高考体验高考1.已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1，所以－1<x ≤－12；当－12<x <12时，f (x )<2；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1， 所以，－12<x <1.所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0，即(a ＋b )2<(1＋ab )2， 因此|a ＋b |<|1＋ab |.2.已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3， 解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞).高考必会题型题型一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.例1 已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4| 得－2x ＋6≥4， 解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解； 当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4| 得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}.(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.点评 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.变式训练1 已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集.(1)证明 f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)解 由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为 {x |5≤x ≤6}.综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}. 题型二 不等式的证明 1.含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 2.算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立. 例2 (1)已知x ，y 均为正数，且x >y .求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.证明 (1)因为x >0，y >0，x －y >0， 2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y＝2(x －y )＋1x －y2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y2≥33x －y21x －y2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |， 由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.点评 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论.关键是代数式的变形能力. (2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧. 变式训练2 (1)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.(2)已知a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＝1，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明 (1)当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立. 当|a ＋b |≠0时，由0<|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ， 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.题型三 柯西不等式的应用 柯西不等式(1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立. (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立.例3 (2015·福建)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值.解 (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立.又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b . 所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c . 又已知f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立.故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 点评 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明. (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n)≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.变式训练3 已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.(1)解 因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明 由(1)知p ＋q ＋r ＝3， 又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9， 即p 2＋q 2＋r 2≥3.高考题型精练1.如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，求实数a 的取值范围. 解 设y ＝|x －3|－|x －4|， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤3，2x －7，3<x <4，1，x ≥4的图象如图所示：若|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集， 则(|x －3|－|x －4|)min <a .由图象可知当a >－1时，不等式的解集不是空集. 即实数a 的取值范围是(－1，＋∞).2.设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y ≥0恒成立，求实数λ的最小值.解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )·(x ＋y )＝2＋y x ＋xy.∵2＋y x ＋x y ≥2＋2y x ·xy＝4， 当且仅当x ＝y 时等号成立. ∴[(1x ＋1y)(x ＋y )]min ＝4，∴－λ≤4，λ≥－4.即实数λ的最小值是－4.3.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.解 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5； 当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12].4.设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值.解 (1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，所以f (x )的最小值为3. 5.已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. (1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4； 当x >1时，由2x <4，得1<x <2. ∴综上可得－2<x <2，即M ＝(－2，2). (2)证明 ∵a ，b ∈M ， 即－2<a <2，－2<b <2，∴4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |<|4＋ab |.6.已知a 2＋2b 2＋3c 2＝6，若存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立，求实数x 的取值范围.解 由柯西不等式知[12＋(2)2＋(3)2][a 2＋(2b )2＋(3c )2] ≥(1·a ＋2·2b ＋3·3c )2即6×(a 2＋2b 2＋3c 2)≥ (a ＋2b ＋3c )2. 又∵a 2＋2b 2＋3c 2＝6， ∴6×6≥(a ＋2b ＋3c )2， ∴－6≤a ＋2b ＋3c ≤6，∵存在实数a ，b ，c ，使得不等式a ＋2b ＋3c >|x ＋1|成立.∴|x ＋1|<6，∴－7<x <5. ∴x 的取值范围是{x |－7<x <5}. 7.设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值. 解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}. (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a2}.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.8.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).。

第24讲不等式的证明问题知识梳理利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（4）对数单身狗，指数找基友（5）凹凸反转，转化为最值问题（6）同构变形必考题型全归纳题型一：直接法例1．（2024·北京房山·北京市房山区良乡中学校考模拟预测）已知函数()()2ln 1f x x =+．(1)若函数()f x 在点()()00,P x f x 处的切线平行于直线22y x =-，求切点P 的坐标及此切线方程；(2)求证：当[]0,e 1x ∈-时，()22f x x x ≥-．（其中e 2.71828= ）例2．（2024·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数ln 1()x f x x x=-.(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求证：()23f x x ≤-.例3．已知函数()(1)af x a lnx x x=-++，0a <．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，证明：(1,)x ∀∈+∞，2()f x a a >--．题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）例4．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数()11(0)xf x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭．(1)证明：()e f x <；(2)讨论()f x 的单调性，并证明：当*n ∈N 时，()()()()21ln 1ln 1ln 2n n n n n n ++<+++．例5．已知曲线21()2x f x -=与曲线()g x alnx =在公共点(1,0)处的切线相同，（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求证：当0x >时，2112x x lnx --．例6．已知函数()1()x f x e ax a R =--∈，()g x xlnx =．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若直线1y x =-是函数()y f x =图象的切线，求证：当0x >时，()()f x g x ．变式1．已知函数2()sin (1)2x f x x ln x =+-+．（1）证明：()0f x ；（2）数列{}n a 满足：1102a <<，1()(*)n n a f a n N +=∈．（ⅰ）证明：10(*)2n a n N <<∈；（ⅱ）证明：*n N ∀∈，1n n a a +<．变式2．讨论函数2()2xx f x e x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>．题型三：分析法例7．已知函数()()f x ln a x =-，已知0x =是函数y xf =()x 的极值点．（1）求a ；（2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明：()1g x <．例8．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知函数()e a x f x -=(1)求()y f x =在x a =处的切线;(2)若02a <<，证明当0x >时，()2af x x<+.例9．已知12a <，函数()x f x e x a =--，其中 2.71828e =⋯为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0,)+∞上有唯一零点；（Ⅱ）记0x 为函数()y f x =在(0,)+∞上的零点，证明：（ⅰ0x ；（ⅱ）00()(1)(1)x x f e e a a --．变式3．已知函数()1x f x e ax =--在(0,)+∞上有零点0x ，其中 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）记()g x 是函数()y f x =的导函数，证明：0()(1)g x a a <-．题型四：凹凸反转、拆分函数例10．（2024·北京·高三专题练习）已知函数()322f x x ax bx a =+++，当0a =，3b =-时，证明：任意的x R ∈，都有()12e ex x f x +≥-恒成立.例11．（2024·河南开封·校考模拟预测）设函数()()22e xf x x x =-，()2e ln eg x x a x =-．(1)若函数()g x 在()e,+∞上存在最大值，求实数a 的取值范围；(2)当2a =时，求证：()()f x g x >．例12．已知函数2212()()()x f x a lnx a R x x+=++∈．（Ⅰ）若x =()f x 的极小值点，求a 的取值范围；（Ⅱ）若1a =-，()f x '为()f x 的导函数，证明：当12x 时，3()()2f x f x '->．变式4．已知函数3()f x x ax =-．()a R ∈（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：23()2x x x e xlnx e f x ax ex--⋅+>-+．题型五：对数单身狗，指数找朋友例13．已知函数1()xf x lnx ax-=+．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在1[2，2]上最大值及最小值；（Ⅱ）当12x <<时，求证(1)2(1)x lnx x +>-．例14．已知函数(1)()b x f x alnx x+=+，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为2y =．（1）求a 、b 的值；（2）当0x >且1x ≠时．求证：(1)()1x lnxf x x +>-．例15．已知二次函数()g x 对任意实数x 都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--，且g （1）1=-，令19()()(,0)28f xg x mlnx m R x =+++∈>．（1）求()g x 的表达式；（2）设1m e <，()()(1)H x f x m x =-+．证明：对任意1x ，2[1x ∈，]m ，恒有12|()()|1H x H x -<．变式5．已知函数()()f x lnx ax l a R =+-∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 图象过点(1,0)，求证：10xe lnx x x-++-．变式6．已知函数()1()f x lnx ax a R =+-∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 图象过点(1,0)，求证：()0x e xf x -+．题型六：放缩法例16．（2024·全国·高三专题练习）已知()12e x f x x +=-，()ln a x x g x x++=，R a ∈．(1)当()1,x ∈+∞时，求函数()g x 的极值；(2)当0a =时，求证：()()f x g x ≥．例17．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数()()2e 1=-+xf x ax x （R a ∈，e 为自然对数的底数）．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当21e a ≥时，求证：()2ln 2x x f x x ---≥.例18．已知函数()21x f x ae x =+-．（其中常数 2.71828e =⋯，是自然对数的底数．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意的1a ，当0x >时，()()f x x ae x +．变式7．已知函数1()a f x lnx x -=+，(sin 1)2()a x g x x+-=（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：当01a 时，()()f x g x >．变式8．已知函数1()1x e f x lnx-=+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）解关于x 的不等式11()()2f x x x>+题型七：虚设零点例19．（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)ln ()f x x a x a x a R =---∈．(1)求函数()y f x =的单调区间；(2)当1a =时，证明：对任意的0x >，2()2x f x x x +>++e ．例20．（2024·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数()()ln =+f x x x m .(1)若()f x 在区间()1,e 上有极小值，求实数m 的取值范围；(2)求证：()()3e 1xf x x m x <+-.例21．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()2e 2xf x mx n mx m n x =++++在=1x -处取得极小值11e--．(1)求实数,m n 的值；(2)当()0,x ∈+∞时，证明：()16ln 9f x x x >++．变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()ln 1,R f x x a a =+-∈．当(]0,1a ∈时，证明：()()1e e x ax f x -≤．变式10．（2024·山东淄博·统考三模）已知函数e 1()x f x x-=.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)证明：当0x >时，()()ln 1f x x x >+.题型八：同构法例22．已知函数()1f x axlnx x =-+，a R ∈．（1）讨论()f x 的单调区间；（2）当1p q >>时，证明qlnp lnq plnq lnp +<+．例23．已知函数2()2()1af x lnx a R x =+-∈+．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2a =时，求证：()0f x >在(1,)+∞上恒成立；（3）求证：当0x >时，2(1)1x x ln x e +>-．例24．已知函数()1()f x ax lnx a R =--∈．（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，对(0,)x ∀∈+∞，()2f x bx -恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当1x y e >>-时，求证：(1)(1)x y ln x e ln y -+>+．变式11．已知函数()1()f x ax lnx a R =--∈．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数()f x 在1x =处取得极值，不等式()2f x bx -对(0,)x ∀∈+∞恒成立，求实数b 的取值范围；（3）当x y e >>时，证明不等式x y e lny e lnx >．题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理例25．（2024·全国·高三专题练习）证明不等式：2128x x +-(0)x >．例26．（2024·全国·高三专题练习）证明：23ln(1)23x x x x +≤-+(11)x -<<例27．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列{}n a 满足()2211102n nn n n a a a a n n n ---+-=≥，且11a =.（函数()f x 求导n 次可用()()n f x 表示）(1)求{}n a 的通项公式.(2)求证：对任意的*N n ∈，0x ≥，都有1e 1nxii i a x =≥+∑.变式12．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数()1ln 1f x x a x ⎛⎫=--⎪⎝⎭.(1)若()0f x ≥，求实数a 的值；(2)已知*n ∈N 且2n ≥，求证：111ln 23n n++⋅⋅⋅+<.变式13．已知函数2()f x x lnx ax =+-．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若2()2f x x ，对[0x ∈，)+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当1a =时()()2,1xf xg x xe x -=--设．若正实数1λ，2λ满足121λλ+=，1x ，2(0x ∈，12)()x x +∞≠，证明：11221122()()()g x x g x g x λλλλ+<+．变式14．（2024·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数()f x 可导，我们通常把导函数()f x '的导数叫做()f x 的二阶导数，记作()f x ''．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作()f x '''，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，n 1-阶导数的导数叫做n 阶导数，记作()()()()1,4n n f x f x n -'⎡⎤=≥⎣⎦．②若n N *∈，定义()()!12321n n n n =⨯-⨯-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯．③若函数()f x 在包含0x 的某个开区间(),a b 上具有n 阶的导数，那么对于任一(),x a b ∈有()()()()()()()()()()()230000000001!2!3!!n nf x f x f x f xg x f x x x x x x x x x n ''''''=+-+-+-+⋅⋅⋅+-，我们将()g x 称为函数()f x 在点0x x =处的n 阶泰勒展开式．例如，x y e =在点0x =处的n 阶泰勒展开式为21112!n x x x n +++⋅⋅⋅+．根据以上三段材料，完成下面的题目：（1）求出()1sin f x x =在点0x =处的3阶泰勒展开式()1g x ，并直接写出()2cos f x x =在点0x =处的3阶泰勒展开式()2g x ；（2）比较（1）中()1f x 与()1g x 的大小．（3）已知x y e =不小于其在点0x =处的3阶泰勒展开式，证明：sin cos 22x e x x x ++≥+．题型十：分段分析法、主元法、估算法例28．（2024·贵州安顺·统考模拟预测）已知函数()2e 1xf x ax =+-．（1）讨论函数()f x 的导函数的单调性；（2）若274e a -≥，求证：对0x ∀≥，()312f x x x +≥恒成立．例29．（2024·山东泰安·校考模拟预测）已知函数()(1)ln f x m x m x m =+--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1m £，且1x >时，1()e x f x -<．例30．若定义在R 上的函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x e x f x -'=⋅+-，21()()(1)24x g x f x a x a =-+-+，a R ∈．（Ⅰ）求函数()f x 解析式；（Ⅱ）求函数()g x 单调区间；（Ⅲ）若x 、y 、m 满足||||x m y m --，则称x 比y 更接近m ．当2a 且1x 时，试比较e x和1x e a -+哪个更接近lnx ，并说明理由．变式15．已知函数2()(sin 2)x f x e x ax a e =-+-，其中a R ∈， 2.71828e =⋯为自然对数的底数．（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当112a 时，求证：对任意的[0x ∈，)+∞，()0f x <．题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值例31．已知函数2()()xf x x x e =-（1）求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若()0f x ax e -+恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若方程()()f x m m R =∈有两个正实数根1x ，2x ，求证：12||1mx x m e-<++．例32．已知函数()(1)(1)f x x ln x =-+，曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为(,)y kx b k b R =+∈．（1）求k ，b 的值；（2）证明：()f x kx b +；（3）若函数()()()g x f x m m R =+∈有两个零点1x ，2x ，证明21||12m x x m ln ---．例33．设函数()f x xlnx =．（1）求曲线()y f x =在点2(e -，2())f e -处的切线方程；（2）若关于x 的方程()f x a =有两个实根，设为1x ，212()x x x <，证明：22112x x a e --<++．题型十二：函数与数列不等式问题例34．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数()()ln 1f x x x a x =--.(1)若()0f x ≥，求实数a 的值；(2)已知*n ∈N 且2n ≥，求证：111sin sin sin ln 23n n+++< .例35．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数21()e 2xf x ax x =--.(1)若()f x 在x ∈R 上单调递增，求a 的值；(2)证明：2211(11)(1)(1)e 4n++⋅⋅⋅+<（*N n ∈且2n ≥）.例36．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知函数()()21ln 2f x x x x t t =-+∈R .(1)()g x 是()f x 的导函数，求()g x 的最小值；(2)证明：对任意正整数()2n n ≥，都有222211111111e 234n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（其中e 为自然对数的底数）变式16．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数()()ln 11xf x x x =+-+.(1)求()f x 的极值；(2)对任意的N*n ∈，求证：111ln2122+++<++ n n n.变式17．（2024·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知函数()ln 1a x a f x x+-=.(1)若()1xf x x ≤-恒成立，求a 的取值范围；(2)当1a =时，证明：()()()212323192224f f n n n n f +++<+-+ .题型十三：三角函数例37．（2024·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x x ax x =-，R a ∈．当13a ≥，[)0,x ∞∈+时，求证：()2f x ax ≤．例38．（2024·河北·统考模拟预测）已知函数()()()ln 20f x ax ax a =-+-≠.(1)讨论()f x 的极值；(2)当0a >时，证明：()1ln e sin 1x f x x x x +>-++.例39．已知函数()f x xlnx ax b =++在(1，f （1）)处的切线为2210x y --=．（1）求()f x 的单调区间与最小值；（2）求证：sin 1cos x x e lnx x x-+>+。

2023年新高考11题评析如下：
这道题目属于数学解析题，要求我们针对2023年高考数学新一卷中的第11题进行详细解析。

题目涉及函数的单调性及其特点，要求找出函数的单调递减区间。

首先，我们需要了解函数的单调性及其特点。

函数的单调性是指在某个区间内，函数值随着自变量的增加而增加或减少。

在本题中，函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5是三次函数，其导数f'(x)可以用来判断函数的单调性。

接下来，我们需要找到函数的单调递减区间。

通过求导数并判断导数的符号，我们可以确定函数在哪个区间内是单调递减的。

在本题中，导数f'(x)=6x^2-6x-12，通过解不等式f'(x)<0，我们可以得到函数的单调递减区间。

在解题过程中，需要注意以下几点：
1. 正确求出函数的导数。

2. 正确解不等式f'(x)<0，找出函数的单调递减区间。

3. 注意区间的端点是否需要取值验证。

综上所述，这道题目考察了学生对函数单调性的理解以及导数的应用能力。

通过认真分析题目要求和运用数学知识，我们可以找到正确的答案。

高考数学考前复习资料-不等式部分易做易错题选一、选择题：1．（如中）设()lg ,f x x =若0<a<b<c,且f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是A (a-1)(c-1)>0B ac>1C ac=1D ac>1错解原因是没有数形结合意识,正解是作出函数()lg f x x =的图象,由图可得出选D. 2．（如中）设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是A 1x y +≥B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

3．（如中）不等式(0x -≥的解集是A {|1}x x >B {|1}x x ≥C {|21}x x x ≥-≠且D {|21}x x x =-≥或 错解：选B ，不等式的等价转化出现错误，没考虑x=-2的情形。

正确答案为D 。

4．（如中）某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a,第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x,则A 2a b x +=B 2a b x +≤C 2a b x +>D 2a bx +≥ 错解：对概念理解不清，不能灵活运用平均数的关系。

正确答案为B 。

5．（如中）已知1324a b a b -<+<<-<且，则2a+3b 的取值范围是A 1317(,)22-B 711(,)22-C 713(,)22-D 913(,)22- 错解：对条件“1324a b a b -<+<<-<且”不是等价转化，解出a,b 的范围，再求2a+3b的范围，扩大了范围。

正解：用待定系数法，解出2a+3b=52(a+b)12-(a-b),求出结果为D 。

6．（石庄中学）若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值范围（ ）A a ≤-21或a ≥21B a ＜21C -21≤a ≤21D a ≥ 21正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。

2021届高三高考文科数学必刷题考点60不等式的证明、柯西不等式1.已知函数/W = |x-l| + |%-3|,(1)解不等式/W<x + 1.a2b2------ 1 -------- > 1 (2)设函数/'W的最小值为c,实数a, b满足a > 0,b > 0,a +/? = c,求证：a + 1 b + 1【答案】(1) US；一⑵ 见解析【解析】①当X < I时，不等式可化为4 - 2m, x 2 1.又,「X < 1, .'.X C0;②当1<X< 3时，不等式可化为2 <x + l, X>1.又VI <x < 3, /.I <x < 3.③当x > 3时，不等式可化为2x -4 M x + 1, x <5.又•「x>3, .”〈x*.综上所得，..•原不等式的解集为〔>51.(2)证明：由绝对值不等式性质得，|X-1|+|X-3|2|(1-X)+(X-3)|=2,.•.c = 2,即0 + 6 = 2 .令a + l = m, b + \=n，则，”>l, “>1, a = m-\,b = n-\f 7n + n = 4,a2t b2 (m-1)2 . 01-1)2 . j . 1 . 1 4-4 .不 + 航=^^ + ^~ =m + n-4+- + - =—>^=1,原不等式得证.2.已知函数/W = |x-a|.(1)当a = 2时，解不等式/(x)>7-|x-l|.、r—I ------= a(m > 0,n > 0) l(2)若/(x) < 1 的解集为[0,2], m 2n\ 求证：m + 4〃22膜+ 3.【答案】(1)( - 8,- 2] U [5,+ 8)； Q)证明见解析.【解析】(1)当a = 2时，不等式为|x —2| +庆一1| 2 7,.( x< 1 书l<x< 2 书x>2 ,,<2-x + l-x>7s^l-2-x + x-l>7^tx-2 + x-l>7, ...不等式的解集为(-CO.-2] U [5. +s).(2) f{x) < 1,即|x - a| < 1,解得a - l<x<a + l,而/'(x) < 1,解集是[0.2], /.P = °解得a = 1,k a + 1 = 2所以'幸 + 土 = l(m>0,n>0),.'.in + 4?i = (?n + 4n)(二+ = 3 + —■ + ^- > 2\^2 + 3.当且仅当m =V2 + 1, n =亏与寸等号成立.3.已知函数/'(x) = |x-3|.(1)求不等式广3)< * + 1的解集M；(2)设见虬证明:(a2 + l)(b2 + 1) > 2a2 + 262.【答案】(1) M = {x\x>l} (2)见解析【解析】(1)当了2 3时，|x-3| <x +l=>x-3 |x-3| <x +lnx-3恒成立，所以x> 3；当x < 3 时，|x-3|<x+ln3 -x<x + l=>x> 1,所以l<x<3,综合可知，不等式/'(x)<x + l的解集为心={了次>1}.(2)因为(『+l)(b： + l) -(2n: +2fe=) =(a&): + a: + &: +1 —2a:— 2b: =(a&)2— a z— b2 + 1 = (a:— l)(b:— 1),又因为a.b&M,所以a > l,b > 1,因此a：> Lh3>la2-1 >0.&=-l>0,所以(a：-l)(Zf-l) >0,所以原不等式(/ + l)(b' + 1) > 2a2 + 2尸成立一/(%) = |2x - a\ + |x + -|(实数a>0)4.设函数a,(1)当a = l,求不等式Kx) > 3的解.集;(2)求证：六Q2很.【答案】(1) ｛小<-1或％>1｝； (2)膜【解析】(1)原不等.式等价于|2X-1|+|X +1|>3,1% 2 —当2时，可得2*-1 +刀+ 1>3,得%>1；1—1 V X V —当2时，可得一2x + l+x + l>3,得％<-1不成立;1x <—当2时，可得-+ 得xV- 1；•综上所述，原不等式的解集为｛x|x<-W>1]3x-fl+^,x>7-尤+ a + j, - ^ < x < 7 ,—3x + a - -,x < -- a a当一土 <x<2 时，f (x) > - + a 2 / \ 2 A当点-泸，/(x)> a+^,所以\/min(X )= :+注2 J?X j = \ 2 ,当且仅当(I = "2时等号成立法二：f(x) = |2x-a| + |x + ：| = |x-?| + |x-?| + |x+3 I 2 |x-?| + |? + 刁 *• —— M ■« *«« a *当且仅当(x -9 (x+9三o 时等号成立。