公式法-平方差公式

公式法之平方差公式平法差公式是指在代数运算中，存在一种形如(a+b)(a-b)的乘法运算规则，可以将两个相邻的平方差式表示为一个乘法式，从而简化计算。

平方差公式的推导可以通过展开乘法(a+b)(a-b)的过程进行，具体推导如下：首先，我们假设a和b是任意实数。

那么(a+b)可以看作是一个单位，(a-b)可以看作是一个差数。

我们将其展开：(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)接下来，我们将展开式中的乘法运算进行分配：=a*a-a*b+b*a-b*b= a^2 - ab + ba - b^2由于ab和ba表示的是相同的乘法运算，所以我们可以将它们合并：= a^2 - ab + ab - b^2=a^2-b^2可以看到，展开式的结果是a^2和b^2的差。

这个差就是平方差公式的核心内容。

因此，平方差公式可以表示为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式在代数运算中非常常用，并且在很多数学问题的解答中都会用到。

通过使用平方差公式，可以将两个相邻的平方差式简化为一个乘法式，从而可以更方便地进行运算。

举例来说，假设我们需要计算(3+2)(3-2)的值。

根据平方差公式，可以得到：(3+2)(3-2)=3^2-2^2=9-4=5因此，(3+2)(3-2)的值等于5平方差公式在解决二次方程、因式分解、简化分数等问题中都有广泛的应用。

通过运用平方差公式，可以将复杂的运算问题转化为简单的代数运算，从而更加容易进行计算和解答。

总结起来，平方差公式是一种代数运算规则，可以将两个相邻的平方差式表示为一个乘法式。

通过使用平方差公式，可以简化计算过程，提高计算效率。

在数学问题的解答中，平方差公式具有广泛的应用价值。

这就是平方差公式的基本原理和推导过程。

运⽤公式法——平⽅差公式教案运⽤公式法——平⽅差公式教案教学⽬标（⼀）知识认知要求1.使学⽣了解运⽤公式法分解因式的意义；2.使学⽣掌握⽤平⽅差公式分解因式.3.使学⽣了解，提公因式法是分解因式的⾸先考虑的⽅法，再考虑⽤平⽅差公式分解因式.（⼆）能⼒训练要求1.通过对平⽅差公式特点的辨析，培养学⽣的观察能⼒.2.训练学⽣对平⽅差公式的运⽤能⼒.（三）情感与价值观要求在引导学⽣逆⽤乘法公式的过程中，培养学⽣逆向思维的意识，同时让学⽣了解换元的思想⽅法.教学重点让学⽣掌握运⽤平⽅差公式分解因式.教学难点将单项式化为平⽅形式，再⽤平⽅差公式分解因式；培养学⽣多步骤分解因式的能⼒. 教学过程⼀、创设问题情境,引⼊新课在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把⼀个多项式分解成⼏个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在⼀个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从⽽将多项式化成⼏个因式乘积的形式.如果⼀个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利⽤这种关系找到新的因式分解的⽅法，本节课我们就来学习另外的⼀种因式分解的⽅法——公式法.⼆、新课讲解1.请看乘法公式（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2 （1）左边是整式乘法，右边是⼀个多项式，把这个等式反过来就是a 2－b 2=（a +b ）（a －b ）（2）左边是⼀个多项式，右边是整式的乘积.⼤家判断⼀下，第⼆个式⼦从左边到右边是否是因式分解？符合因式分解的定义，因此是因式分解.对，是利⽤平⽅差公式进⾏的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平⽅差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平⽅差公式.2.公式讲解请⼤家观察式⼦a 2－b 2,找出它的特点.公式的特点下⾯按公式分类，⼀⼀进⾏阐述．(1)平⽅差公式：))((22b a b a b a -+=-这⾥a ，b 可以表⽰数、单项式、多项式．公式的特点是：①左侧为两项；②两项都是平⽅项；③两项的符号相反．（是⼀个⼆项式，每项都可以化成整式的平⽅，整体来看是两个整式的平⽅差.如果⼀个⼆项式，它能够化成两个整式的平⽅差，就可以⽤平⽅差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.）如x 2－16=（x ）2－42=（x +4）（x －4）.9 m 2－4n 2=（3 m ）2－（2n ）2=（3 m +2n ）（3 m －2n ）3.例题讲解例1 ：把下列各式分解因式：（1）25－16x 2; （2）9a 2－41b 2. 解：（1）25－16x 2=52－（4x ）2=（5+4x ）（5－4x ）; （2）9a 2－41b 2=（3a ）2－（21b ）2 =（3a +21b ）（3a －21b ）. 例2 ：把下列各式分解因式:（1）9（m +n ）2－（m －n ）2;（2）2x 3－8x .解：（1）9（m +n ）2－（m －n ）2=［3（m +n ）］2－（m －n ）2=［3（m +n ）+（m －n ）］［3（m +n ）－（m －n ）］=（3 m +3n + m －n ）（3 m +3n －m +n ）=（4 m +2n ）（2 m +4n ）=4（2 m +n ）（m +2n ）（2）2x 3－8x =2x （x 2－4）=2x （x +2）（x －2）说明：例1是把⼀个多项式的两项都化成两个单项式的平⽅，利⽤平⽅差公式分解因式；例2的（1）是把⼀个⼆项式化成两个多项式的平⽅差，然后⽤平⽅差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再⽤平⽅差公式分解因式，由此可知，当⼀个题中既要⽤提公因式法，⼜要⽤公式法分解因式时，⾸先要考虑提公因式法，再考虑公式法. 补充例题3：判断下列分解因式是否正确.（1）（a +b ）2－c 2=a 2+2ab +b 2－c 2.（2）a 4－1=（a 2）2－1=（a 2+1）·（a 2－1）.解：（1）不正确.本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进⾏因式分解.（2）不正确.错误原因是因式分解不到底，因为a 2－1还能继续分解成（a +1）（a －1）.应为a 4－1=（a 2+1）（a 2－1）=（a 2+1）（a +1）（a －1）.例4 ：把下列各式分解因式：（1）22b a 9-；（2）22m n 4+-；（3）22b 9a 161-；（4）422c b 25a 16-；（5）09.0y x 4122+-。

15.4，1 运用公式法——平方差公式一、学习目标1.了解运用公式法分解因式的意义；2.掌握用平方差公式分解因式.3.了解提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.二、学习重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.学习难点将单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.三、教学过程（一）创设问题情境,引入新课在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.（二）新课1.请看乘法公式（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2 （1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a 2－b 2=（a +b ）（a －b ） （2）左边是一个多项式，右边是整式的乘积你判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？2.例题讲解例1把下列各式分解因式：（1）25－16x 2; （2）9a 2－41b 2.例2把下列各式分解因式:（1）9（m +n ）2－（m －n ）2; （2）2x 3－8x .补充例题：判断下列分解因式是否正确.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2. （2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.（三）随堂练习1.判断正误（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （2）x2－y2=（x+y）（x－y）;（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.2.把下列各式分解因式（1）a2b2－m2（2）（m－a）2－（n+b）2（3）x2－（a+b－c）2（4）－16x4+81y4（5）36（x+y）2－49（x－y）2;（6）（x－1）+b2（1－x）;（8）（x2+x+1）2－1.四.小结我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.五作业习题15.4第2题六.活动与探究学后反思：。

11.3公式法――平方差公式【教材依据】本节课是冀教版数学七年级下册第十一章因式分解第三节公式法第一课时内容。

【教材分析】因式分解是初中数学的一个重要内容，它贯穿、渗透在各种代数式问题中，为以后学习分式运算、解方程和方程组提供必要的基础。

本节课是在学习了正式的乘法、乘法公式和提公因式因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是分解因式的一个重要内容。

它对学习机完全平方式因式分解和后面要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数都有着重要的影响，所以学好本节课至关重要，【学情分析】学生在本册第八章已经学习了整式的运算，前一节学习了提公因式法分解因式。

已经初步体会到了乘法公式与因式分解的互逆关系，通过对乘法公式22b -a b -a b a =+））（（的逆向变形，容易得出））（（b -a b a b -a 22+=，但准确理解和掌握公式的结构特征，进行因式分解对学生来说还存在着一定的难度，学生归纳、类比、概括的能力有待加强。

【指导思想】以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，贯穿类比、还原的数学思想方法，通过小组讨论和学生讲解习题的过程培养学生数学文字语言应用和准确应用数学符号表达问题的能力。

采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质。

【教学目标】知识与技能：会用平方差公式进行因式分解。

过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维。

情感态度与价值观:在探究的过程中培养学生独立思考的习惯。

【教学重难点】【重点】能说出平方差公式的结构特征。

【难点】能较熟练地应用平方差公式分解因式。

【教学过程】复习导入：在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式成绩的形式。

公式法之平方差公式平方差公式，又称差平方公式，是数学中常用的一个公式，可以用来计算两个数的平方差。

平方差公式可以简化计算，提高计算的效率。

平方差公式表述为：两个数的平方差等于两个数的和乘以两个数的差。

假设有两个数a和b，那么它们的平方差可以表示为：(a+b)(a-b)也可以使用符号表示为：(a+b)²-(a-b)²具体的推导过程如下：首先，我们可以展开(a+b)²和(a-b)²。

根据乘法公式，(a+b)²可以展开为：(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + 2ab+ b²同样地，(a-b)²可以展开为：(a - b)² = (a - b)(a - b) = a² - 2ab + b²接下来，我们要计算这两个展开式的差：(a + b)² - (a - b)² = (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²)通过去括号运算，可以得到：(a + b)² - (a - b)² = a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²合并同类项，可以得到：(a + b)² - (a - b)² = 4ab也就是说，两个数的平方差等于4倍两个数的乘积。

这就是平方差公式的具体推导过程。

平方差公式的应用非常广泛。

比如，我们可以利用平方差公式来简化计算多项式的乘法或除法运算。

另外，平方差公式也常常用来证明一些数学定理或解析几何问题。

在物理学中，平方差公式也常常用来分析物体的运动变化。

除了平方差公式，还有其他一些类似的公式，比如平方和公式和立方差公式。

平方和公式用来计算两个数的平方和，立方差公式用来计算两个数的立方差。

初中数学教案《公式法-平方差公式》
初中数学教案《公式法-平方差公式》
一、教学目的
【知识与技能】
理解和掌握公式(平方差)的构造特征，会运用公式法(1)因式分解。

【过程与方法】
培养观察、分析^p 才能，深化逆向思维才能和数学应用意识，浸透整体思想。

【情感态度价值观】
让学生在自主学习的过程中探究新知，体验获取新知的喜悦，增强学习数学的兴趣和信心。

二、教学重难点
【教学重点】
会运用公式法(1)因式分解。

【教学难点】
准确理解和掌握公式的构造特征，并灵敏运用公式法因式分解。

三、教学过程
(一)引入新课
提问：
1.我们学过哪些因式分解的方法?
2.我们学过哪些整式乘法的公式?
(二)探究新知
课件展示以下问题，由学生独立完成：
1.还记得七年级学过的整式的乘法公式吗?
2.你能用数学语言描绘平方差公式吗?
3.假如将平方差公式反过来，就可以得到一个什么样的公式：
这种因式分解的方法叫做公式法。

请用数学语言描绘这一公式。

4.考虑：什么样的多项式可以用这一公式因式分解?
(1)公式有什么构造特征?(二次二项式)
(2)两个平方项的符号有什么特点?
(3)公式中的字母a、b可以表示什么?
小组内三分钟内交流答案，把解决不了的难点归纳总结出来由教师帮助解决。

(三)课堂练习
让学生自己尝试完成书上的例1和例2。

(四)小结作业
提问：今天学到了什么?
本节课的课后作业我设计为：完成书后练习题。

四、板书设计。