自动控制原理课程设计高阶系统的时域分析

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自动控制原理课程设计高阶系统的时域分析

目录1系统稳定性分析 (1)2高阶系统的时域响应 (2)2.1系统单位阶跃响应曲线 (2)2.2系统单位斜坡响应曲线 (4)2.3系统单位加速度响应曲线 (5)2.4动态性能指标计算 (6)2.4.1动态性能指标计算 (6)2.4.2动态性能指标计算 (6)2.5 稳态性能指标计算 (9)3根轨迹图绘制 (10)3.1根轨迹数据计算 (10)3.2用MATLAB绘制根轨迹图 (11)4心得体会 (12)参考文献 (13)本科生课程设计成绩评定表高阶系统的时域分析1 系统稳定性分析给定参数系统稳定性分析：对于开环传递函数))(95()()(2a s s s s b s K s G p ++++=在给定条件K=15,a=2,b=4时用劳斯判据判断系统的稳定性，经过化简可得系统的特征方程为:D(s)=S 4+7S 3+19S 2+33S+60=0其劳斯表为S 41 19 60 S 3 7 33 0 S2 14.3 60 S 1 3.6 0 S 0 60从表中可以看出，第一列系数符号全部为正，故系统是稳定的。

2高阶系统的时域响应K=15，a=2，b=4时，系统的开环传递函数为:G p=15（s+4）s(s2+5s+9)(s+2)=15s+60s4+7s3+19s2+18s系统为Ⅰ型系统，可以跟踪单位阶跃信号、单位斜坡信号，不能跟踪单位加速度信号。

系统响应为C(s)=15s+60s4+7s3+19s2+33s+60R(s)2.1系统单位阶跃响应曲线当输入为单位阶跃函数信号时，R(s)=1S，系统响应为C(s)=15s+60s4+7s3+19s2+33s+60·1S运用MATLAB程序作图如图2-1，程序为：num=[15 60];den=[1 7 19 33 60];G=tf(num,den);step(G);grid on;xlabel('t');ylabel('c(t)');title('单位阶跃响应')图2-1 系统阶跃响应由图中数据可得:上升时间为t=1.02sr峰值时间=1.73stp调节时间=33.1sts超调量σ%=78%稳态误差为=0ess当输入为单位斜坡函数信号时，R(s)=1s2,系统响应为C(s)=15s+60s4+7s3+19s2+33s+60·1s2运用MATLAB程序作图如图2-2，程序为：num=[15 60];den=[1 7 19 33 60];G=tf(num,den);t=0:0.01:10;u=t;lsim(G,u,t);grid on; xlabel('t');ylabel('c(t)');title('单位斜坡响应')图2-2 单位斜坡响应当输入为单位加速度函数信号时，R(s)=1s3,系统响应为C(s)=15s+60s4+7s3+19s2+33s+60·1s3运用MATLAB程序作图如图2-3，程序为：num=[15 60];den=[1 7 19 33 60];G=tf(num,den);t=0:0.01:10;u=(0.5*t.^2);lsim(G,u,t)grid on;xlabel('t');ylabel('c(t)');title('单位加速度响应')图2-3 单位加速度响应2.4动态性能指标计算2.4.1主导极点法控制系统的暂态性能指标通常是零初始条件下，通过系统的阶跃响应的特征定义的，系统的暂态性能指标实际上就是刻画阶跃响应曲线特征的一些量。

自动控制原理第三章控制系统的时域分析—3高阶系统时域分析

ct 1 a1 exp nt cos d t a2 exp nt sind t a3 exp Pt
其中： d n 1 2
2
ct 1 a1 exp ntcosdt a2 exp ntsin dt a3 exp Pt
三阶系统
ct
1
e
xp
n
t
cosd
t
1
2
s
ind
t
二阶系统
从以上分析中看出，极点的类型决定了输出情况 ❖系统稳定所有极点在s-p左半面（全为“左根”）
两者相比，仅仅是多了一项由新增极点确定的衰减项
1
a3 b 2 b 21
a3 0 a3 exp Pt 0
b 2 b 21 2 b 12 1 2 0
新增极点引发的自由运动模态项对过渡过程的影响是：
使最大超调减小，使调节时间增加
3
1.闭环极点对过渡过程的影响 s1,2 n jn 1 2
首先讨论典型三阶系统的瞬态响应，然后进行更具一般形式的高阶系统的瞬态响应分析。从下面的讨论中，可以看到:
高阶系统的瞬态响应是由若干个一阶系统和二阶系统的瞬态响应线性叠加而成。
1
1.三阶系统的单位阶跃响应
典型三阶系统的闭环传函可表示成：
(s)
C(s) R(s)
(s
P)(s2
Pn 2 2ns
n2 )
3-4 高阶系统的时域分析
由二阶以上微分方程描述的控制系统称为高阶系统。工程上，高阶系统是普遍存在的。本节的目的不在于研究高阶系统的过渡过程本身，而在于通过对三阶系统在单位阶跃函数作用下的过渡过程讨论，引出闭环主导极点的概念。以便将高阶系统在一定条件下转化为具有一对闭环主导极点的二阶系统进行分析研究。

3-5 高阶系统的时域分析

03:03
※偶极子：偶极子：偶极子定义：一对非常靠近的零、定义：一对非常靠近的零、极点会使该极点的对应留数很小，对应留数很小，其在系统动态响应中的作用近似相互抵消，这对零极点叫做偶极子。互抵消，这对零极点叫做偶极子。
jω
偶极子
− 5σ
−σ
σ
作用：通过增加含有零点的微分环节使某些极通过增加含有零点的微分环节使某些极点的作用减小或消失；点的作用减小或消失；或者增加含有极点的惯性环节使某些零点的作用减小或消失。节使某些零点的作用减小或消失。
03:03
Aj = [C ( s )( s − p j )]s = p j
进一步理解
Aj = [C ( s )( s − p j )]s = p j
a.零极点相互靠近，则对A 的影响就越小， a.零极点相互靠近，则对Ai的影响就越小，如果零极点相互靠近离虚轴较远(衰减速度快) 影响越小；离虚轴较远(衰减速度快)，对c(t)影响越小；影响越小 b.零极点很靠近，几乎没影响； b.零极点很靠近，对c(t)几乎没影响；零极点很靠近几乎没影响 c.零极点重合——偶极子，对c(t)无任何影响；无任何影响； c.零极点重合——偶极子，零极点重合——偶极子无任何影响 d.极点附近无零点，且靠近虚轴， d.极点pj附近无零点，且靠近虚轴，则此极点对极点 c(t)影响大。影响大。影响大
03:03
描述系统的微分方程高于二阶的系统为高阶系统。工程上通常把高阶系统采用闭环极点的概念适当地近似成低阶系统（常为二阶）进行分析。原因： 1、高阶系统的微分方程求解比较困难； 2、在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。
03:03

西工大、西交大自动控制原理第四节高阶系统的时域分析7-8

5
s
6
2
s
s
2
5 2s
5
闭环主导极点
第四节高阶系统的时域分析
具体的高阶系统的性能指标的计算方法，请阅读教材 3.4节
2sBiblioteka s22120
42
s
2
s
3
3
s
s
3.31s+22
+4.52
22
42
s
2
s
3
问题1：增加极点有何影响？问题2：偶极子有何作用？
4
s
s
6
2
s
3
说明
第四节高阶系统的时域分析
m
Kg s zi
s q
i 1 r
s sj
s2
2
k nk
s
2 nk
j 1
k 1
A0 q Aj r Bk
j
问题2：极点越靠近原点，效应越强还是越弱？
0
s
s2
n2 2ns
n2
j
s
n2 p3 s2 2ns n2
s p3
0
第四节高阶系统的时域分析
基本结论（定性）
1、闭环零点的作用是减少阻尼，使系统响应速度加快，并且闭环零点越接近虚轴，效果越明显。
2、闭环非主导极点的作用是增加阻尼，使系统响应速度变缓，并且闭环极点越接近虚轴，效果越明显。
s j1 s s j k 1
s knk
Cknk
1
2 k
s2 2 knk s nk
若某零、极点(Sj)的靠得很近，则Aj很小，彼此可以对消。
基本结论
第四节高阶系统的时域分析

自动控制5基于MATLAB高阶控制系统的时域响应动态性能分析

自动控制5基于MATLAB高阶控制系统的时域响应动态性
能分析
一，高阶系统时域响应分析
1、定义
时域响应动态性能分析是指对高阶系统（在此处是MATLAB控制系统）的其中一特定输入或刺激的响应随时间的变化情况的分析，其中，包括响
应的出现时间、升降时间、振荡次数、最大响应量及其回归时间等。

这种
类型的分析可以帮助我们更清楚地了解系统的动态特性，以及我们在设计
控制系统时所要达到的性能目标。

2、计算方法
MATLAB提供了一系列时域响应动态性能分析的内置工具，例如最大值、最小值、累积时间、中值、平均时延等的计算，其中，最大值计算可
以通过使用系统的输入和输出数据，使用MATLAB的关系函数max(来实现；最小值计算则可以使用min(函数；累积时间可以使用累积函数cumsum(来
实现。

最后，可以使用matlab函数plot(将计算结果可视化。

三，实验案例
下面，我们通过实验案例来检验MATLAB的时域响应动态性性能分析
是否有效：
假设有如下的MATLAB控制系统：
S = tf(1,[1 2 1])
首先，我们需要为系统设置一个输入信号u，我们在这里设置：
u=t
然后，我们计算该系统的输出信号y：
y = lsim(S,u,t)
最后，使用MATLAB函数plot(来可视化计算的输出y：plot(t,y)
从上图中可以清楚的看出。

自动控制原理-第3章-时域分析法

系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进行计算，计算过程相对简单，易于实现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算，计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点

3-4高阶系统的时域分析

h(t ) = 1 -
1
e - sot
bz 2(b - 2) + 1
-
e - zwn t
[bz 2(b -
bz 2(b - 2) + 1
2) cos wn
1- z 2t
bz (z 2(b - 2) + 1)
+
1- z2
sin wn
1- z2t]
由于
b 2 ( b 2 ) 1 2 ( b 1 ) 2 ( 1 2 ) 0 , b S 0 /w n
2、超调量的计算
n
m
si
s% i3 n
s1 zi
i1
estp 10% 0
m
s1 si
zi
i3
i1
结论：（1）闭环零点会减小系统阻尼。（2）闭环非主导极点会增大系统阻尼。（3）若系统不存在闭环零点和非主导极点，则
s%e/ 12 10% 0
3、调节时间的计算
s i为 D ( s ) 0 的根，称为闭环极点。
当输入为单位阶跃函数时，
m
K (szi)
C (s)q
i 1 r
(ssj) (s22k
ksk 2)1 sA s0jq 1s A jsjkr 1s2 B 2 ksk k C skk 2

ts 1n ln2
n
si
i2 n
s1 si

m
s1 zi
i1 m
zi

i2
i1

结论：
（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量和调节时间越大；

3.4 高阶系统的时域分析

z

5以及
n
p

5
n
2

n
(s)
z n p ( s 2
2

2
j ds n ) n一对共轭复数极点产生的瞬态分量是按指数衰减的正弦振荡曲线。
第四节高阶系统的时域分析
由上述分析可以得出：（4）系统中离虚轴最近极点附近没有零点，其它极点离虚轴的距离是这个（1）高阶系统的时域响应是由惯性环节极点3（或5）倍以上，这个为主导和二阶振荡环节的响应函数所组成。极点。（2）所有闭环极点必须位于左半平面系（5）高阶系统中加入校正装置，使系统统才能稳定。如果有一个极点在右具有一对合适的共轭复数主导极点，半平面，系统不稳定。此时系统的动态性能比较理想。（3）极点的实部在左半平面上离虚轴远（6）一对靠得很近的闭环零、极点为偶极近，确定相应的瞬态分量衰减快慢；子,在系统动态响应中可以忽略不计。
第四节高阶系统的时域分析
共轭复数极点的瞬态分量:
σ ω 式中： sk= +j Ak=|Ak|e j∠Ak Akeskt+Ak+1esk+1t
Akeskt+Ak+1esk+1t
σ sk+1= -jω Ak+1=|Ak+1|e‫־‬j∠Ak+1
系数可表示为
σt
=2|Ak|e cos( t+∠Ak ) ω
利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析。
高阶系统近似简化原则：在近似前后，确保输出稳态值不变；
在近似前后，瞬态过程基本相差不大。
例：
(s)
n (s z)

3.3高阶系统的时域分析

j 1
k 1
式中，q+2r=n, q为实数极点的个数；r为共轭复数极点的对数。
部分分式展开，并设0＜ζk＜1,取拉氏反变换，并整理
q
r
h(t) A0
Ajesjt
B e kkt k
c os ( k
1

2 k
)t
j 1
k 1

r k 1
Ck
k
Bk kk
3、调节时间的计算

ts

1
n
ln
2
n
si
m s1 zi
i2 n
i1 m

s1 si
zi
i2
i 1

结论：
（1）闭环零点越接近虚轴，峰值时间越小，超调量和调节时间越大；
（2）闭环非主导极点的作用是增大峰值时间，但可减小系统的超调量和调节时间。
高阶系统的增益常常调整到使系统具有一对闭环共轭主导极点，这时可以用二阶系统的动态性能指标来估算高阶系统的动态性能。
设单位反馈高阶系统具有一对共轭复数闭环主导极点: 系统单位阶跃响应的近似表达式：
s1,2 s jd , 0 1
C(s) M (s) 1 N(s) s
1

2 k
e kk t
s in( k
表明
1

2 k
)t,
t

0
（1）响应由一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成。当所有闭环极点都位于左半s开平面时，系统是稳定的。
（2）零极点对系统性能的影响。
三、闭环主导极点

高阶系统的时域分析

5n
n
c( t ) 1 Ai e
i 1
q
si t
Dk e si nk t cos( nk t 1 k2 k )
k 1
rn i 1
m
j
) ( s si ) s s
i
s ( s s i )
二．高阶系统单位阶跃响应的近似分析
C (s) ( s s i ) ( s 2 2 nk s nk )
2 j 1 k 1 q

1 s
r Bk ( s k nk ) C k nk 1 2 k 1 q Ai 2 s i 1 s s i k 1 s 2 2 k nk nk
§3-4 高阶系统的时域分析
一．闭环主导极点的概念
在高阶系统的诸多闭环极点中，把无闭环零点靠近，且其它闭环极点与虚轴的距离都在该复数极点与虚轴距离的五倍以上，则称其为闭环主导极点。
| ReS3 | 5 S1,2 j d
K (s - z j )
j 1 m
n
s3 s1 s2 Im Re
k
k
由此可见高阶系统的暂态响应是一阶和二阶系统。
暂态响应分量的合成则有如下结论：
（1）各分量衰减的快慢由指数衰减系数 S i 及 k nk 决定。系统的极点在s平面左半部距虚轴愈远，相应的暂态分量衰减愈快。（2）系数 Ai 和 Dk 不仅与s平面中的极点位置有关，并且与零点有关。
Ai 越小，对 c( t ) a.零极点相互靠近，且离虚轴较远，影响越小；
b.零极点很靠近，对c(t ) 几乎没影响；
c.零极点重合（偶极子），对 c(t ) 无任何影响；

自动控制原理3第四节高阶系统分析

3.4 高阶系统的时域分析
3.4 高阶系统的时域分析
1
3.4 高阶系统的时域分析
一、典型三阶系统的瞬态响应
传递函数：(s)
(s2
2
n2 ns n2
)(Ts
1)
当 0 < < 1 时，极点分布如下：
p1 n jn 1 2
p2 n jn 1 2
p3
1 T
p1
n 1 2
p3
n 0
p2
C(s) (s) 1
10
1 10 1 1 1
s s(s 1)( s 10) s 9 s 1 9 s 10
c(t) 1 10 et 1 e10t 99
8
3.4 高阶系统的时域分析
⒉零点的影响
高阶系统的定性分析
零点不影响响应的形式。零点只影响各项的系数。零点若
靠近某个极点，则该极点对应项的系数就小。
s0
n2(s z) 2 ns n2 )( s
p)
z p
lim s 1 s (s2
s0
n2z 2 ns n2 ) p
z p
12
3.4 高阶系统的时域分析
小结
零、极点位置对高阶系统单位阶跃响应曲线的影响情况。极点位置决定衰减快慢，零点和极点同时决定各项系数的大小
主导极点高阶系统简化为二阶系统的原则
间常数。
11
3.4 高阶系统的时域分析
例如：
(s)
(s2
n2(s z) 2 ns n2 )(s
p)
jd
如果： z 5以及 p 5
n
n
z p n
则：
(s)
p(s2
z n 2 2 ns n2 )

自动控制原理-时域分析法

稳定性
快速性
三个性能相互制约的，需要综合考虑
准确性
理论部分
一、系统性能指标
2.典型输入信号
理论部分
一、系统性能指标
系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标。动态指标又可分为跟随性能指标和抗扰性能指标。
典型二阶系统的单位阶跃响应为例：
理论部分
一、系统性能指标
抗扰性能指标。
典型二阶系统的单位阶跃响应为例：
理论部分
一、系统性能指标
理论部分
一、系统性能指标
理论部分
一、系统性能指标
理论部分
一、系统性能指标
稳定性能指标。稳态性能一般指稳态精度，常用稳态误差ess描述。稳态误差指系统期望值与实际稳态值之间差值。
空白演示
自动控制原理
本讲内容ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ时域分析法
理论部分
1、系统性能指标 2、一阶系统性能分析 3、二阶系统性能分析 4、高阶系统性能分析 5、控制系统稳定性分析 6、稳态误差分析
理论部分
一、系统性能指标
1、为了准确地描述系统的稳定性、准确性和快速性三方面的性能，定义若干个反映稳、准、快三方面性能的指标。

自动控制原理第3章时域分析

该曲线的特点是：在t＝0处曲线的斜率最大，其值为 1/T。若系统保持初始响应的变化率不变，则当t＝T时输出就能达到稳态值，而实际上只上升到稳态值的63.2%，经过 4T的时间，响应达到稳态值的98％。显然，时间常数T反映了系统的响应速度。
16
1)暂态性能指标 tr＝2.2T (按第二种定义) ts＝4T (Δ＝±2%) 2)稳态性能指标
ess
lim[r(t)
t
c(t)]
0
17
3.2.3 单位脉冲响应
对于单位脉冲输入r(t)＝δ(t)，R(s)＝1，于是
C(s)
1 Ts 1
1 T
s
1 1
T
因此
(3-7)
g(t)
c(t)
1
t
eT
(t 0)
(3-8)
T
18
响应曲线如图3-5所示。该曲线在t＝0时等于1/T，正好与单位阶跃响应在t＝0时的变化率相等，这表明单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数，而单位阶跃响应是单位脉冲响
3
3.1 控制系统的时域性能指标
评价一个系统的优劣，总是用一定的性能指标来衡量。
系统的时域性能指标是根据系统的时间响应来定义的。
控制系统的时间响应通常分为两部分：稳态响应和暂
态响应。如果以c(t)表示时间响应，那么其一般形式可写为
c(t)＝css(t)＋ct(t)
式中：css(t)为稳态响应；ct(t)为暂态响应。
(3-1)
4
稳态响应由稳态性能描述，而暂态响应由暂态性能描述。因此，系统的性能指标由稳态性能指标和暂态性能指标两部分组成。
5
3.1.1 暂态性能指标
控制系统常用的输入信号有脉冲函数、阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数以及正弦函数等。通常，系统的暂态性能指标是根据阶跃响应曲线来定义的，如图3-1所示。

4高阶系统的时域分析

c 于是系统的单位阶跃响应为： ( t ) = A0 +
n
∑
i =1
Ai e p i t
分析其响应可见，系统的响应是由一系列指数函数（运动模态）的和构成，其中每一项所占的“比重”就由留数 Ai 的大小决定，而 Ai 的大小由零点和极点共同来决定。那些远离虚轴的极点所对应的运动形态对阶跃响应的影响很小，同样那些周围有靠得比较近零点的极点（构成偶极子）对暂态响应比较小（极点所对应的基本运动模态“比重”很小）。
如果 ξωn p > 5 ，则该系统的闭环主导极点为 p，系统可以简化为一阶系统：
2 10ωn Φ(s) = 2 2 ( s + 2ξωn s + ωn )( s + p ) 2 10ωn 10 = ≈ 2ξ 1 2 1 2 pω n ( 2 s 2 + s + ωn )( s + 1) s + p p ωn ωn
2．闭环主导极点和高阶系统的近似
★在稳定的高阶系统中，对于其时间响应其主导作用的闭环极点称为闭环主导极点。 ★闭环主导极点的条件：第一：在S左半平面上离虚轴最近，且其周围没有其它零点；第二：其它极点离虚轴的距离是该极点离虚轴的距离在5倍以上（工程上并非这么绝对）。 ★高阶系统的降阶（近似）原则：在符合简化对极点分布要求的前提下，还必须保证简化前后的传递函数的稳态值要相等。步骤：第一，确定系统的闭环主导极点；第二，将高阶系统的开环传递函数或闭环传递函数写为时间常数表达形式；第三，忽略小时间常数项。
在零初始条件为零和单位阶跃输入信号作用下，输出响应为：
( s − z1 )(( s − z2 )⋯ ( s − zm ) 1 × C ( s) = G ( s) R( s) = K g ( s − p1 )( s − p2 )⋯ ( s − pn ) s A0 n Ai = +∑ s i =1 s − pi

自动控制原理第三章控制系统的时域分析方法

ln p
( 2%);
2 1 2
N
1.5 1 2
N
N 1.5 ( 5%)
ln p
3.3.4 二阶系统的计算举例
例 3-3-1
二阶系统如图所示，其中 0.6，n 5rad/s。 r(t) 1(t),求tr , t p , ts , p和N。
解 : 1 2 1 0.62 0.8, d n 1 2 5 0.8 4， n 0.6 5 3
tp
d
n
1 2
1 2
Td
3.最大超调（量） p 的计算
p
c(tp ) c() c()
entp
cosdtp
1
2
sin dt p
100%
entp cos
sin 100%
1 2
即
p e / 1 2 100% e cot
4.过渡过程时间 ts 的计算
c(t)位于响应曲线包络线1 ent 内，
c(3T ) 1 e3 0.95, c(4T ) 1 e4 0.982, c() 1
率•
c(0)
1
t
eT
T
t 0
1 T
T为时间常数，1/T为初始斜
3.2.2一阶系统的单位斜坡响应
令r(t)=t,则有R(s) 1/ s 2 可求得输出信号的拉氏变换式
C(s) 1 1 1 T T 2 Ts 1 s 2 s 2 s Ts 1
C(s)
n2
1
s 2 2 n s n2 s
c(t) L1[C(s)]
1.欠阻尼状态（0<ζ<1）
C(s) 1
s 2 n
s (s n jd )(s n jd )
1
s n

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4 4 3 2
1 5 8.4 -5.8 40
12 18 40
40
3
2
1
0
从表中可以看出，第一列有两次符号变化，故系统不稳定，且有两个正实部根。
1.2 未给定参数系统稳定参数范围
当 K、a、b 未知时，需要确定系统的参数范围，从而进一步判断系统是否稳定。经过简化可得系统的特征方程为： D(s) =S +(a+4)S +(4a+8)S +(8a+k)S+Kb=0 其劳斯表为：
2
高阶系统的时域响应.............................................................................................................. 3 2.1 系统单位阶跃响应曲线................................................................................................... 3 2.2 系统单位斜坡响应曲线................................................................................................... 5 2.3 系统单位加速度响应曲线............................................................................................... 6 2.4 动态性能指标计算........................................................................................................... 7 2.5 稳态性能指标计算.......................................................................................................... 8
图 2-4 闭环零极点图
取主导极点为 s1,2=-0.64 则高阶系统的单位阶跃响应可以近似为：
c(t)=
7
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计算得：
==2.01s
计算得：
=0.272
2.5 稳态性能指标计算
=
当输入信号为单位阶跃响应时，R(s)=
sE(s)=
=0 当输入为单位斜坡函数信号时，R(s)=
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高阶系统的时域分析
1 系统稳定性分析
1.1 给定参数系统稳定性分析
对于开环传递函数 G p ( s )
K ( s b) s ( s 4s 8)( s a )
2
在给定条件 K=10,a=1,b=4 时用劳斯判据判断系统的稳定性，经过化简可得系统的特征方程为: D(s)=S +5S +12S +18S+40=0 其劳斯表为 S S S S S
10
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3.2 用 MATLAB 绘制根轨迹图
运用 MATLAB 作图如图 2-4 所示，程序如下 num=[1 4]; den=[1 5 12 8 0]; rlocus(num,den)
图 3-1 根轨迹图
11
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4 心得体会
3
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图 2-1 系统阶跃响应
由图中数据可得: 上升时间为 tr=0.835s 峰值时间 tp=1.99s 调节时间 ts=5.75s 超调量 =26.3 稳态误差为 ess=0
4
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2.2 系统单位斜坡响应曲线
当输入为单位斜坡函数信号时，R(s)=,系统响应为 C(s)=· 运用 MATLAB 程序作图如图 2-2，程序为： num=[10 70]; den=[1 10 32 58 70]; G=tf(num,den); t=0:0.01:10; u=t; lsim(G,u,t); grid on; xlabel('t');ylabel('c(t)'); title('单位斜坡响应')
4 3 2
1
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S S S S S
4
1 a+4 4(a+2) +K+16
2 2
4a+8 8a+K Kb(a+4)
2 2
Kb
3
2
1
32a[(a+2) +4]+3K(a+4)(a+2)+K -Kb(a+4) Kb(a+4)
0
由劳斯稳定判据可知，该系统稳定的条件是： a>-4 Kb>0 4(a+2) +K+16>0 32a[(a+2) +4]+3K(a+4)(a+2)+K -Kb(a+4) >0
当输入为单位阶跃函数信号时，R(s)=，系统响应为 C(s)=· 运用 MATLAB 程序作图如图 2-1，程序为： num=[10 70]; den=[1 10 32 58 70]; G=tf(num,den); step(G); grid on; xlabel('t ');ylabel('c(t) '); title('单位阶跃响应')
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2 2 2 2
2
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2 高阶系统的时域响应
在系统稳定的参数范围内，选取一组参数，令 K=10，a=6，b=7。则系统的开环传递函数为 Gp= 系统为型系统，可以跟踪单位阶跃信号、单位斜坡信号，不能跟踪单位加速度信号。系统响应为 C(s)=R(s)
2.1 系统单位阶跃响应曲线
3
根轨迹图绘制........................................................................................................................ 10 3.1 根轨迹数据计算............................................................................................................. 10 3.2 用 MATLAB 绘制根轨迹图..............................................................................................11
12
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参考文献
[1] 胡寿松.自动控制原理（第四版）.科学出版社,2002 [2] 胡寿松.自动控制原理习题解析（第五版）．科学出版社,2006 [3] 黄忠霖.完全手册 MATLAB 使用详解.电子工业出版社,2009 [4] 邹伯敏.自动控制理论.机械工业出版社,2007 [5] 刘泉、江雪梅.信号与系统.高等教育出版社.2006
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目
1
录
系统稳定性分析...................................................................................................................... 1 1.1 给定参数系统稳定性分析............................................................................................... 1 1.2 未给定参数系统稳定参数范围....................................................................................... 1
sE(s)=
sE(s)=
8
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=
9
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3 根轨迹图绘制
3.1 根轨迹数据计算
当 a=1，b=4 时， GF= 根轨迹相关参数计算如下： 1）系统开环零点为 z=-4； 2）开环极点为 s1=0,s2=-2+j2,s3=-2-j2,s4=-1； 3）系统有 max{ m，n }=4 根分支； 4）实轴上的根轨迹为（-1，0）和（-∞，-4）； 5）系统的 m=1，n=4，故根轨迹的渐近线为 3 条，渐近线与实轴的交角分、、。渐近线与横轴交点为（，0）； 6）根轨迹的分离点：由方程 0）； 7）根轨迹与虚轴的交点，用劳斯判据可算得 w= K=6.65 A’B-B’A=0 可计算得约为（-5，0）和（-0.475，
4
心得体会................................................................................................................................ 12
参考文献....................................................................................................................................... 13

自动控制原理课程设计高阶系统的时域分析

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