九年级数学画相似图形

位似图形的概念和画法【学习目标】1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．【学习重点】位似图形的有关概念、性质与作图．【学习难点】利用位似将一个图形放大或缩小。

情景导入生成问题情景引入：1．在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？答：这样的放大或缩小，没有改变图形的形状，经过放大或缩小的图形与原图形是相似的．2．图中多边形相似吗？观察下面的四个图，你发现每个图中的两个多边形各对应点的连线有什么特征？答：每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点．自学互研生成能力知识模块一位似图形的有关概念、性质阅读教材P95～P96“议一议”，完成下面的内容：(1)位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边平行或重合，那么这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作位似中心，这时的相似比又称为位似比．(2)掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有特殊位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．(3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比(相似比)．(4)两个位似图形特征是：每对位似对应点与位似中心共线．【例】如图D，E分别是AB，AC上的点．(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE 和△ABC 是位似图形，那么DE ∥BC 吗？为什么？解：(1)△ADE 和△ABC 是位似图形．理由是：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C .∴△ADE ∽△ABC .又∵点A 是△ADE 和△ABC 的公共点，点D 和点B 是对应点，点E 和点C 是对应点，直线BD 与CE 交于点A ， ∴△ADE 和△ABC 是位似图形．(2)DE ∥BC .理由是：∵△ADE 和△ABC 是位似图形．∴△ADE ∽△ABC .∴∠ADE ＝∠B .∴DE ∥BC .知识模块二 利用位似将一个图形放大或缩小阅读教材P96后两段～P97，完成下面的内容：【变例】 把图中的四边形AB CD 缩小到原来的13. 解：作法一：①在四边形ABCD 外任取一点O ；②过点O 分别作射线OA ，OB ，O C ，OD ；③分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A′、B′、C′、D′，使得OA ′OA ＝OB ′OB ＝OC ′OC ＝OD ′OD ＝13； ④顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到四边形A′B′C′D′，如左栏图1.作法二：①在四边形ABCD 外任取一点O ；②过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；③分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得OA ′OA ＝OB ′OB ＝OC ′OC ＝OD′OD ＝13； ④顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如左栏图2.作法三：①在四边形ABCD 内任取一点O ； ②过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；③分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A′B′C′D′，使得OA ′OA ＝OB ′OB ＝OC ′OC ＝OD ′OD； ④顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，取得所要画的四边形A′B′C′D′，如左栏图3.点拨：利用位似将图形放大或缩小的步骤①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不唯一，所作的图形与所确定的位似中心的位置有关．问题：当点O 在四边形ABCD 的一条边上或在四边形ABCD 的一个顶点上，或在四边形ABCD 内时，怎样画？ 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 位似图形的有关概念、性质知识模块二 利用位似将一个图形放大或缩小检测反馈 达成目标1．下图中的两个图形不是位似图形的是( D )2．图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( D )A ．点MB ．点NC ．点OD ．点P,(第2题图)) ,(第3题图))3．如图，两个位似图形△ABO和△A′B′O，若OA∶OA′＝3∶1，则正确的是( A)A．AB∶A′B′＝3∶1 B．AA′∶BB′＝AB∶AB′C．OA∶OB′＝2∶1 D．OA∶OB′＝3∶14．如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，画出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为2∶1.解：略课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。

九年级（上）第四章图形的相像(1)形态一样的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形.(2) 相像多边形：假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多 边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比．一．成比例线段（1）线段的比假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有依次的，假如说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,假如b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。

③推断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小依次排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0） 根本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以削减未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 留意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不行能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

专题14 网格中画相似1．如图，大小为4×4的正方形方格中，能作出与△ABC 相似的格点三角形（顶点都在正方形的顶点上），其中最小的一个面积是______．【答案】12##0.5【点睛】本题考查作图﹣相似变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．2．图①，图②，图③均是66´的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中．按下列要求作图．（不写作法，保留画图痕迹）(1)在图①中，在BC 上画一点D ，使ABD ACD S S =V V ；(2)在图②中，在BC 上画一点E ，使ABE S V ：2ACE S =V ：3；(3)在图③中，在ABC 内画一点F ，使ACF S △：ABF S △：2BCF S =V ：3：3．（2）在图②中，点E 即为所求；点C 下移三个单位得到点连接MN ，得到CME ∽△△32CE CM BE BN ==∴，∴ABE S V ：2ACE S =V ：3（3）在图③中，点F 即为所求．由图可知，6AC =，AB =12ABC S =∴△，∵ACF S △：ABF S △：BCF S =V 21238ACF S =´=∴△，ABF S =△【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形相似性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．3．（1）如图，4×4的正方形方格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 在小正方形的顶点上．请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在小正方形的顶点上．并将此三角形涂上阴影（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．①如图1，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH（2）①如图1，点F 为所作；理由：因为三角形的三条中线交于同一点，四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点，∵E 是CD 的中点，根据三条中线交于同一点，连接BE 交AC 于P ，则点P 为三条中线的交点，作射线DP 交DP 于点F ，则点F 为BC 的中点；②如图2，找到格点D ，过A 点作AD 垂直AB ，再平移DA 得到CE ，则CE ⊥AB ，接着作MN 垂直AC ，平移MN 得到BF ，则BF ⊥AC ，BF 与CE 的交点O 为△ABC 的垂心，所以延长AO 交BC 于H ，则AH ⊥BC ，AH 为所作．理由：∵ABG DAKV V ≌∴GAB ADKÐ=Ð90GAB DAK ADK DAK \Ð+Ð=Ð+Ð=°∴90BAD Ð=°∴BA AD^平移AD 至CJ ，并延长，交AB 于点E ，∴CE AB^同理作出BF AC ^，,BF CE 交于点O根据三角形三条高所在的直线交于同一点，延长AO 交BC 于点H ，则AH 即为所求．【点睛】本题考查了画相似三角形：根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，也考查了三角形的重心和平行四边形的性质．4．在4*4的方格中，ABC V 的三个顶点都在格点上．(1)在图1中画出与ABC V 成轴对称且与ABC V 有公共边的格点三角形（画出一个即可）；(2)将图2中画一个与ABC V 相似的三角形．【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】（1）选取AC 所在的直线为对称轴作图即可；（2）保证每条边方向一致，且边长减小为原来的一半作图即可．【详解】（1）解：如下图所示，AB C ¢V 即为所求作的三角形；（答案不唯一）（2）如下图所示，DEF V 即为所求作的三角形；【点睛】本题考查轴对称作图与作相似图形，掌握两个图形关于某条直线对称的性质与相似三角形的性质是解题的关键．5．如图，ABC D 是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），请在正方形网格上按下列要求画一个格点三角形与ABC D 相似．(1)在图甲中画△111A B C ，使得△111A B C 的周长是ABC D 的周长的2倍；(2)在图乙中画出△222A B C ，使得△222A B C 的面积是ABC D 的面积的2倍．（1）A B C，即为所求；解：如图所示：△111（2）A B C，即为所求．解：如图所示：△222【点睛】此题主要考查了相似变换，正确得出对应三角形的边长是解题关键．6．如图，在8×8的正方形网格中，△ABC是格点三角形，请按以下要求作图．(1)在图1中画出格点△EDP，使得△EDP∽△ABC，且面积比为1；2(2)在图2中将△ABC绕着某格点逆向时针旋转90°得到格点△PFG，其中C与P对应．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用位似图形的性质，结合位似中心得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．（1）如图，（案不唯一）（2）如图，【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．7．如图，在74´方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．(1)在图1中的线段AC上找一个点D，使25CD AC=；(2)在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据“8字形”相似，可得CD:AD=2:3，从而得出点D的位置；（2）根据∠ACB=90°，AC=2BC，即可画出△CEF．【详解】（1）解：如图1所示，点D即为所求，（2）如图2所示，△CEF即为所求，【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．8．如图，在7×6的正方形网格中，点A、B、C、D在格点（小正方形的顶点）上，从点A、B、C、D四点中任取三点，两两连接，得到一个三角形，请在所得的所有三角形中，写出互为相似的两个三角形及它们的相似比．∵AB=2221+=5，AC=∴55225ADBD==，ABCD=∴52 AD AB BDBD CD BC===，∴△ABD∽△DCB，相似比9．如图，在5×5的边长为1小的正方形的网格中，如图1△ABC和△DEF都是格点三角形（即三角形的各顶点都在小正方形的顶点上）．(1)判断：△ABC与△DEF是否相似？并说明理由；(2)在如图2的正方形网格中，画出与△DEF相似且面积最大的格点三角形，并直接写出其面积．【答案】(1)相似，见解析(2)图见解析，面积为5【点睛】此题考查了作图—相似变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握相似变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．10．按要求作图，无需写作法：图①图②(1)如图①，已知∠AOB，OA=OB，点E 在OB 边上，四边形AEBF 是平行四边形，只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB 的平分线．(2)如图②，在边长为1个单位的方格纸上，有△ABC，请作一个格点△DEF，使它与△ABC相似，但相似比不能为1．Q即为所求\11．如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中画等腰△ABC ，使得∠CAB ＝90°；(2)在图②中画等腰△DEF ，使△ABC ∽△DEF ：1．10AB =Q ,10AC =,25BC =,5,5,10DE DF EF ===,21AB AC BC DE DF EF \===．\△ABC ∽△DEF ，且相似比为2：1．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，掌握勾股定理与相似三角形的性质是解题的关12．图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A 、B 、C 、D 、E 、P 、Q 、M 、N 均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画线段AB 的中点F ．(2)在图②中，画CDE V 的中位线GH ，点G 、H 分别在线段CD 、CE 上，并直接写出CGH V 与四边形DEHG 的面积比．(3)在图③中，画PQR V ，点R 在格点上，且PQR V 被线段MN 分成的两部分图形的面积比为1：3．【答案】(1)见解析(2)见解析，面积比为1：3(3)见解析【分析】（1）根据网格的特点，找到,A B 之间单元网格的对角线，交AB 于点F ，则点F 即为所求；（2）根据（1）的方法找到,CD CE 的中点,G H ，连接GH ，根据相似三角形的性质即可求出CGH V 与四边形DEHG 的面积比；（3）根据（2）的结论，可知，只要MN 经过PQR V 的中位线，根据R 在网格上，找到符合题意的点R 即可求解．(1)如图①：13．如图，已知ABC V 和点O ．(2)用无刻度的直尺，在AC边上画出点P，使23PAPC=（要求保留作图痕迹，不写作法）．（2）解：如图，取网格点E、F，连接EF交AC14．如图，ABC V 是格点三角形（三角形的三个顶点都在格点上），每个小正方形的边长均为1．(1)在图（1）中将ABC V 绕点C 逆时针旋转90°，得到CDE V ．(2)在图（2）中找格P ，使以格点P 、C 、B 为顶点的三角形与ABC V 相似，但不全等，请画出一个符合条件的三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）找到旋转角度、旋转中心、旋转方向后可得出各点的对应点，进而顺次连接即可得出答案；（2）可找能使PCB V 是直角三角形且2PB BC =或2PC BC =的P ．(1)所作图形如下：(2)【点睛】本题考查旋转作图及相似三角形的性质，明确旋转角度、旋转中心、旋转方向是解本题的关键．15．如图是由边长为1的小正方形构成的69´网格，各个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的顶点在格点上，边BC 上的点D 也是一个格点．仅用无刻度的直尺在定网格中画图．画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，先画出AC 的平行线DE 交AB 边于点E ，可在BC 边上画点F ，使ACF BCA ∽△△；(2)在图2中，先在边AB 找点M ，使△MDC 与△MAC 的面积相等，再在AC 上画点N ，使△CDN 的面积是△ABC 的面积的三分之一．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据格点特点画出AC 的平行线即可；根据格点特点作MA ⊥AC ，连接MC ，则△AMC16．如图，在6×7的矩形网格中，我们把顶点都在格点上的多边形称为格点多边形，点A，B，C 均在格点上，按下面要求画出格点三角形．(1)在图1中，画一个△ABD，使得△ABD与△ABC全等．(2)在图2中，画一个△ACE，使得S△ABC＝3S△ACE，且点E不在边BC上．注：图1，图2在答题纸上．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）运用三角形全等判定定理SSS，在网格上构造△ABD与△ABC全等．（2）△ACE与△ABC共顶点A，因此考虑两个三角形在以A为顶点的高线相等的情况下，构造3CE=BC，从而满足S△ABC＝3S△ACE．（1）解：（2）解：【点睛】本题考查三角形全等判定定理，三角形面积计算方法，找到相应的作图依据是解题关键．17．如图，在7×8的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺完成下列作图：(1)在AC上画点E，使AE=3CE；(2)在AB上画点D，使AD=CD；(3)在BC上画点F（不与B重合），使AF^BC．(4)在AB上画点P，使tan13 ACPÐ=．(2)如图，取格点,P Q，连接PQ，交AC于点M，Q=∥,AP CQ AP CQ\APM CQM∽V VAM AP\=1=MC PQ\=AM MCM，连接根据网格的特点作正方形，同理取中点1则DM是AC的垂直平分线，\=．DA DC(3)如图，方法同（2）作正方形BXYC ，作AZ ∥(4)如图，同方法（3）作正方形，作EE AC ¢^，同方法（连接1KK 交EE ¢于点S ，作射线CS 交AB 于点13,44AE AC CE AC ==Q ，1tan 3SE ACP EC \Ð==．【点睛】本题考查了网格中无刻度直尺作图，相似三角形的性质，正方形的性质，根据相似三角形的性质确定线段的长度是解题的关键．18．如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段．(1)在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直．(2)在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意找到格点,P Q，画出线段PQ即可（1）如图所示，PQ即为所求，19．请在如图所示的网格中，运用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）(1)在图1中画出线段AB的中垂线AC CB=．(2)如图2，在线段AB上找出点C，使:1:2\点C 即为所求，如图所示：【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，相似三角形的应用，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题．20．如图在5×5的网格中，△ABC 的顶点都在格点上．（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）(1)在图1中画出△ABC 的中线AD ；(2)在图2中画线段CE ，点E 在AB 上，使得ACE S V ：BCE S V ＝2：3；(3)在图3中画出△ABC 的外心点O ．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由题知BO =CO ，取两个格点F 、G 构造CFD BGD △≌△，即可得中点D ．（2）由ACE S V ：BCE S V ＝2：3得AE ：BE =2∶3，取格点H 、J ，构造△∽△AHE BGE ，且相似比为2∶3，即可得到E 点．（3）由O 为△ABC 的外心知O 为AB 、AC 的中垂线的交点，作出两条中垂线，交点即为O ．（1）如图1中，取格点F 、G ，连接FG 交BC 于点D ，线段AD 即为所求．（2）如图2中，取格点H 、J ，连接HJ 交AB 于点E ，线段CE 即为所求．（3）如图3中，取格点K 、L 、M 、N ，连接KL 、MN 交于点O ，则点O 为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．21．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A ，B ，C 均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．(1)在图1中以线段AB 为边画一个ABD △，使其与ABC V 相似，但不全等．(2)在图2中画一个EFG V ，使其与ABC V 相似，且面积为8．（2）如图，△EFG 即为所求．【点睛】本题考查作图-相似变换，三角形的面积，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．22．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点均在格点上，按要求完成下列画图（要求：用无刻度的直尺，保留画图痕迹，不要求写出画法）．(1)在图①中，在线段AB 上找到一点E ，使AE BE＝23；(2)在图②中，画出一个以A 、B 、C 为顶点的三角形，且cos ∠BAC (3)在图③中，画出一个四边形ACBD ，使其既是中心对称图形，又是轴对称图形，且邻边之比为12，C 、D 为格点．【答案】(1)见解析(2)见解析（2）V即为所求；如图所示，ABC（3）如图所示即为所求作【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相关知识与性质．。

27.3 位似第1课时位似图形的概念及画法1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的相关知识；(重点)2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．(难点)一、情境导入生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的．观察图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么共同的特征？二、合作探究探究点：位似图形【类型一】判定是否是位似图形下列3个图形中是位似图形的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：根据位似图形的定义可知两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行(或共线)，所以位似图形是第一个和第三个．故选C.方法总结：判断两个图形是不是位似图形，首先要看它们是不是相似图形，再看它们对应顶点的连线是否交于一点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】确定位似中心找出下列图形的位似中心．解析：(1)连接对应点AE、BF，并延长的交点就是位似中心；(2)连接对应点AN、BM，并延长的交点就是位似中心；(3)连接AA′，BB′，它们的交点就是位似中心．解：(1)连接对应点AE、BF，分别延长AE、BF，使AE、BF交于点O，点O就是位似中心；(2)连接对应点AN、BM，延长AN、BM，使AN、BM的延长线交于点O，点O就是位似中心；(3)连接AA′、BB′，AA′、BB′的交点就是位似中心O.方法总结：确定位似图形的位似中心时，要找准对应顶点，再经过每组对应顶点作直线，交点即为位似中心．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】画位似图形按要求画位似图形：(1)图①中，以O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍；(2)图②中，以O为位似中心，把△ABC缩小为原来的1 3.解析：(1)连接OA、OB、OC并延长使AD＝OA，BE＝BO，CF＝CO，顺次连接D、E、F就得出图形；(2)连接OA、OB、OC，作射线CP，在CP上取点M、N、Q使MN＝NQ＝CQ，连接OM，作NF∥OM交OC于F，再依次作EF∥BC，DE∥AB，连接DF，就可以求出结论．解：(1)如图①，画图步骤：①连接OA、OB、OC；②分别延长OA至D，OB至E，OC 至F，使AD＝OA，BE＝BO，CF＝CO；③顺次连接D、E、F，∴△DEF是所求作的三角形；(2)如图②，画图步骤：①连接OA、OB、OC，②作射线CP，在CP上取点M、N、Q 使MN＝NQ＝CQ，③连接OM，④作NF∥OM交OC于F，⑤再依次作EF∥BC交OB于E，DE∥AB交OA于D，⑥连接DF，∴△DEF是所求作的三角形．方法总结：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题【类型四】位似图形的实际应用在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点P 为放映机的光源，△ABC 是胶片上面的画面，△A ′B ′C ′为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是2.5cm ×2.5cm ，放映的银幕规格是2m ×2m ，光源P 与胶片的距离是20cm ，则银幕应距离光源P 多远时，放映的图象正好布满整个银幕？解析：由题中条件可知△A ′B ′C ′是△ABC 的位似图形，所以其对应边成比例，进而即可求解．解：图中△A ′B ′C ′是△ABC 的位似图形，设银幕距离光源P 为x m 时，放映的图象正好布满整个银幕，则位似比为x 0.2＝22.5×10－2，解得x ＝16.即银幕距离光源P 16m 时，放映的图象正好布满整个银幕．方法总结：在位似变换中，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于对应边的比，面积比等于相似比的平方．【类型五】 利用位似的性质进行证明或计算如图，F 在BD 上，BC 、AD 相交于点E ，且AB ∥CD ∥EF ，(1)图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；(2)若AB ＝2，CD ＝3，求EF 的长．解析：(1)利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质得出答案；(2)利用比例的性质以及相似三角形的性质求出BE BC ＝EF DC ＝25，求出EF 即可． 解：(1)△DFE 与△DBA ，△BFE 与△BDC ，△AEB 与△DEC 都是位似图形．理由：∵AB ∥CD ∥EF ，∴△DFE ∽△DBA ，△BFE ∽△BDC ，△AEB ∽△DEC ，且对应边都交于一点，∴△DFE 与△DBA ，△BFE 与△BDC ，△AEB 与△DEC 都是位似图形；(2)∵△BFE ∽△BDC ，△AEB ∽△DEC ，AB ＝2，CD ＝3，∴AB DC ＝BE EC ＝23，∴BE BC ＝EF DC ＝25，解得EF ＝65. 方法总结：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．位似图形的对应线段的比等于相似比．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题三、板书设计位似图形的概念及画法1．位似图形的概念；2．位似图形的性质及画法．在教学过程中，为了便于学生理解位似图形的特征，应注意让学生通过动手操作、猜想、试验等方式获得感性认识，然后通过归纳总结上升到理性认识，将形象与抽象有机结合，形成对位似图形的认识．教师应把学习的主动权充分放给学生，在每一环节及时归纳总结，使学生学有所收获.第2课时 平面直角坐标系中的位似1．学会用图形坐标的变化来表示图形的位似变换；(重点)2．掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，对应点的坐标变化的规律．(难点)一、情境导入观察如图所示的坐标系．试着发现坐标系中几个图形间的联系，然后自己作出一个类似的图形．二、合作探究探究点一：平面直角坐标系中的位似 【类型一】 利用位似求点的坐标如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( )A ．(3，3)B ．(4，3)C ．(3，1)D ．(4，1)解析：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半，∴端点C 的坐标为(3，3)．故选A.方法总结：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第3题【类型二】 在坐标系中画位似图形在13×13的网格图中，已知△ABC 和点M (1，2)．(1)以点M 为位似中心，位似比为2，画出△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′；(2)写出△A ′B ′C ′的各顶点坐标．解析：(1)利用位似图形的性质及位似比为2，可得出各对应点的位置；(2)利用所画图形得出对应点坐标即可．解：(1)如图所示，△A ′B ′C ′即为所求；(2)△A ′B ′C ′的各顶点坐标分别为A ′(3，6)，B ′(5，2)，C ′(11，4)．方法总结：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第7题【类型三】 在坐标系中确定位似比△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13)，则△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是________．解析：∵△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13)，∴△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是1∶3.方法总结：以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：位似在坐标系中的简单应用【类型一】 确定图形的面积如图，原点O 是△ABC 和△A ′B ′C ′的位似中心，点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是32，则△A ′B ′C ′的面积是________．解析：∵点A (1，0)与点A ′(－2，0)是对应点，原点O 是位似中心，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，∴△ABC 和△A ′B ′C ′的面积比是1∶4，又∵△ABC 的面积是32，∴△A ′B ′C ′的面积是6.方法总结：位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题【类型二】 位似变换与平移、旋转、轴对称的综合如图，点A 的坐标为(3，4)，点O 的坐标为(0，0)，点B 的坐标为(4，0)．(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(________)，△A 1O 1B 1的面积为________；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐标为(________)；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(________)；(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点A 4的坐标为(________)，△A 4O 4B 4的面积为________．解析：(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(2，4)，△A 1O 1B 1的面积为12×4×4＝8；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐标为(－3，－4)；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(3，－4)；(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点A 4的坐标为(－6，－8)，△A 4O 4B 4的面积为12×8×8＝32.故答案为(1)2，4；8；(2)－3，－4；(3)3，－4；(4)－6，－8；32.方法总结：此题主要考查了图形的旋转以及平移和位似变换、三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．三、板书设计位似变换的坐标特征：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化，教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活跃，这样才能真正激发学生学习数学的兴趣，提高课堂学习效率.。