微分几何_2.4___直纹面与可展曲面

§4.直纹面和可展曲面1. 证明曲面r =}32,2,31{2432v u u uv u v u 是可展曲面.证法一： 已知曲面方程可改写为r =},2,{432u u u +v }32,,31{2u u ，令()a u r =},2,{432u u u ，()b u r =}32,,31{2u u ，则r =()a u r + v ()b u r ，且()b u r 0，这是直纹面的方程 ，它满足(',,')a b b r rr =23226412334013u u u u u u =0 ,所以所给曲面为可展曲面。

证法二：证明曲面的高斯曲率为零。

（略）2。

证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。

证法一： 曲面的方程可改写为 r =()a v r + u ()b v r ，其中()a v r={cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v}，()b v r ={-sinv, cosv,1} ，易见()b v r0，所以曲面为直纹面，又因为(',,')a b b r rr =2sin cos 2cos sin 2sin cos 1cos sin 0v v v v v v v v vv=0，所以所给曲面为可展曲面。

证法二：证明曲面的高斯曲率为零。

（略）3．证明正螺面r={vcosu,vsinu,au+b}(a 0)不是可展曲面。

证法一：原曲面的方程可改写为r=()a u r+ v ()b u r ，其中()a u r={0,0,au+b},()b u r ={cosu,sinu,0}.易见()b u r0, 所以曲面为直纹面, 又因为(',,')a b b r r r=00cos sin 0sin cos 0au u u u =a 0.故正螺面不是可展曲面。

证法二：证明曲面的高斯曲率为零。

§4.直纹面和可展曲面1. 证明曲面r =}32,2,31{2432v u u uv u v u +++是可展曲面.证法一： 已知曲面方程可改写为r =},2,{432u u u +v }32,,31{2u u ，令()a u r =},2,{432u u u ，()b u r =}32,,31{2u u ，则r =()a u r + v ()b u r ，且()b u r ≠0，这是直纹面的方程 ，它满足(',,')a b b r r r =23226412334013u u u u u u =0 ,所以所给曲面为可展曲面. 证法二：证明曲面的高斯曲率为零.（略）2.证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面.证法一： 曲面的方程可改写为 r =()a v r + u ()b v r ，其中()a v r={cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v}，()b v r ={-sinv, cosv,1} ，易见()b v r≠0，所以曲面为直纹面，又因为(',,')a b b r rr =2sin cos 2cos sin 2sin cos 1cos sin 0v v v v v v v v v v ------=0，所以所给曲面为可展曲面. 证法二：证明曲面的高斯曲率为零.（略）3．证明正螺面r={vcosu,vsinu,au+b}(a ≠0)不是可展曲面.证法一：原曲面的方程可改写为 r =()a u r + v ()b u r ，其中()a u r={0,0,au+b},()b u r ={cosu,sinu,0}.易见()b u r ≠0, 所以曲面为直纹面, 又因为(',,')a b b r r r=00cos sin 0sin cos 0au u u u -=a ≠0.故正螺面不是可展曲面.证法二：证明曲面的高斯曲率为零.（略）4．证明挠曲线的主法线曲面与副法线曲面不是可展曲面.证 挠曲线（C ）:()a a s =r r 的主法线曲面为 1():()()s r a s v s β=+r r r,因为(,,)a ββr r r &&=(,,)0αβκατγτ-+=≠r r r r ，故1():()()s r a s v s β=+r r r 不是可展曲面.挠曲线（C ）:()a a s =r r 的副法线曲面为 2():()()S r a s v s γ=+r r r ，因为(,,)a γγ=r r r &&(,,)0αγτβτ-=≠r r r ，故2():()()S r a s v s γ=+r r r不是可展曲面.5.求平面族{}απ：xcos α+ysin α-zsin α-1=0 的包络.解 cos sin cos 0sin cos cos 0F x y z F x y z ααααααα=+-=⎧⎨=-+-=⎩，即c o s ()s i n 1s i n()c o s 0x y z x y z αααα+-=⎧⎨-+-=⎩ ，将此两式平方后相加得 22()1x y z +-= .这就是所求的包络面.6．求平面族2222a x ay z a +=的包络.解 从222202220a F a x ay z a F ax y ⎧=++-=⎨=+-=⎩中消去参数a ，则得所求的包络面为2(1)20y axz --=.7．证明柱面、锥面、任意曲线的切线曲面是可展曲面.证 柱面1()S 的方程可写为 r =()a u r + v 0b r ，（0b r ≠0 为常向量）因为(',,')a b b r r r =0(',,0)0a b =rr .故1()S 是可展曲面.锥面2()S 的方程可写为 r =0a r + v ()b u r （0a r 为常向量），因为(',,')a b b r r r =(0,,')b b r r =0，故2()S 是可展曲面. 曲线（C ）:()a a s =r r 的切线曲面为 3():()()S r a s v s α=+r r r .因为(',,')a b b r rr =(,,')0ααα=r r r ，故3():()()S r a s v s α=+r r r是可展曲面. 8．证明0uu uv r r ==r r的曲面(S):r=r(u,v)r r 是柱面.证法： 因为uu r 0=r ，所以()u r b v =r r ，又因为0uv r =r ，因此00u r b =≠r rr 为固定向量.从而积分得0(,)()r u v a v ub =+r r r.故曲面(S):r=r(u,v)r r 是柱面. §5 曲面的基本定理1．平面上取极坐标系时，第一基本形式为2222ds d d ρρθ=+，试计算第二类克氏符号kij Γ.解 因为21,0,E F G ρ===，所以1211111120,0,0222E E E EG EρθθΓ==Γ=-=Γ==， 2121222221,,0222G G G GEGρρθρρΓ==Γ=-=-Γ==. 2．证明高斯曲率det()j i K μ=. 证 因为d e t ()d e t ()d e t ()d e t ()j kjkjk ji i ki k i kL g L g L g μ=-∑=-=，而1()()kj kjg g -=，所以1det()det()kjkj g g =，从而22det()det()/det()ji ik kj LN ML g EG F μ-==-， 故det()j i K μ=.3．证明平均曲率12121()2H μμ=-+. 证 因为121211211222121211122122()k k k k kkL g L g L g L g L g L g μμ+=-∑-∑=-+++=-22221121111122122()(2)/()g g g gL L L L LG MF NE EG F g g g g--+=--+-=2H -， 所以12121()2H μμ=-+. 5．对于3R 中的空间曲面来说，()ll l ijk j jk k ij R K g g δδ=--其中K 是曲面的高斯曲率.证 因为121211221221,,R Kg g g g g g =-=-所以121211221221()R K g g g g =--，又1212211212212121,0(mijk R R R R R m i =-=-===或j=k),从而()mijk mj ik mk ij R K g g g g =--上式两边分别与ml g 相乘并关于m 从1到2求和，则得[()()ml ml ml mijkmj ik mk ij g R K g g g g g g =--=()l l j ik k ij K g g δδ--,而,ml l mijk ijk g R R =故得()ll l ijk j jk k ij R K g g δδ=--.注 在解题过程中省略了求和号∑. 6．证明以下公式： ⑴ 22122212221112111211221211121[()()()]v u K E=Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ；⑵ 221112[))]K v u ∂∂=-∂∂；⑶ 112212[))]K u v ∂∂=-∂∂；⑷对于曲面上的等温坐标网有222()ds du dv λ=+，求证21[(ln )(ln )]uu vv K λλλ=-+；⑸ 对于曲面上的半测地坐标网有222ds du Gdv =+，求证K =证 ⑴ 高斯公式mijk ij mk ik mj R L L L L =-的两边分别与mk g 相乘并关于m 从1到2求和,再注意到l mk i j k mi j k R g R =及lijk R 的定义，可得()()l l ijp l p lmk ik ij pk ik pj ij mk ik mj kj p mg L L L L u u ∂Γ∂Γ-+∑ΓΓ-ΓΓ=∑-∂∂,今取i=1,j=1,k=2,l=2, 则有2212221222111211121122121112()()()v u Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ=2112121()m m m mg L L L L ∑-=12221112121111221221()()g L L L L g L L L L -+-=22222()()Eg LN M LN M KE EG F-=-=- 故 22122212221112111211221211121[()()()]v u K E=Γ-Γ+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-Γ. ⑵ 因为1212R K g =，所以2221221112112111212121121211g R g R g R g R R g K gααα=∑=+==-， 又因为222221211121121112()p p p p p Ru v∂Γ∂Γ=-+∑ΓΓ-ΓΓ∂∂，所以22122212221112111112112212111221g K v u ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ∂∂=222211112112212()v u ∂Γ∂Γ-+ΓΓ+Γ∂∂-221122112121111121112()2()ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ ①而212212Γ+Γ=211211Γ+Γ=② 22221111121112112[11,1]2[12,1]g g u v ∂∂Γ-Γ=Γ-Γ∂∂=2211112112112()2()k k k k k kg g ∑ΓΓ-∑ΓΓ= 12212212121111121112111212121111111212112()2()2()g g g g g Γ+ΓΓ-Γ+ΓΓ=ΓΓ-ΓΓ，即12122211111112121112111112()()g g g u v∂∂ΓΓ-ΓΓ=Γ-Γ∂∂ ③ 于是将②，③代入①可得：.2222221112111111121211111()g g g K v u g u v ∂Γ∂Γ∂∂=-+ΓΓ+Γ-Γ∂∂∂∂221112K ∴=ΓΓ221211221112[))]v u ΓΓ∂∂=-∂∂因此命题得证.⑶ 因为1212R K g =，所以2111222122121212121222g R g R g R R g K gααα=∑===-， 又因为111112122212212221()p p p p p Rv u∂Γ∂Γ=-+∑ΓΓ-ΓΓ∂∂，所以11112121121222212222111221222121222212()()2()g K u v∂Γ∂Γ=-+ΓΓ+Γ-ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂ ①而212221Γ+Γ=211211Γ+Γ=② 1121212222212222222121222()g g g v u∂∂Γ-Γ=ΓΓ-ΓΓ∂∂ 即12121122222122221221222212()()g g g v u∂∂ΓΓ-ΓΓ=Γ-Γ∂∂ ③ 于是将②，③代入①并整理得：112212[))]Ku v∂∂=-∂∂⑷因为E=G=2λ,F=0,所以2211][()()][(ln)(ln)]u vu v u v uu vvKλλλλλλλλ=+=-+=-+因此命题得证.⑸因为E=1， F=0, G=G（u，v），所以]0]u v uuK=+=+=因此命题得证.7．如果曲面的第一基本形式为222222()du dvdsu v c+=++，计算克氏符号kijΓ.解因为2221,0()E G Fu v c===++，所以111222,2uE uE u v c-Γ==++212111212222222222,,222v v uE E Gv v uG u v c E u v c G u v c--Γ=-=Γ==Γ==++++++，1222222uG uE u v cΓ=-=++，2222222vG vG u v c-Γ==++.8．求证第一基本形式为222222()du dvdsu v c+=++的曲面有常高斯曲率 .证因为2221,0()E G Fu v c===++，所以]u vK=+=-()22222222222222()2()[]()()v c u u c vu v cu v c u v c-+--+-+++++++=4c故所给曲面有常高斯曲率 .9．求以E=1,F=0,G=1,L=-1,M=0,N=0为第一、第二类基本量的曲面.解由已知条件和kijΓ的定义易知kijΓ=0，所以所求曲面的基本方程是,0,0,0,uu uv vvu u vr n r rn r n=-==⎧⎨==⎩，从第一式和第四式可得0uuu ur r+=，所以()cos()sin()r a v u b v u c v=++，再由第二式得'sin'cos0a ub u-+=，因此,a b是常向量，于是从第三式得(,c dv ed e=+为常向量），从而所求的方程为cos sinr a u b u dv e=+++，而sin cos,u vr a u b u r d=-+=，所以2222sin cos2sin cos1u ur r a u b u ab u u=+-=，因此221,0,a b ab===又sin cos0u vr r ab u bd u=-+=，所以0,ad bd==再注意到1v vr r dd==，于是,,,a b d可以分别作为x,y,z轴上的单位向量，故所求曲面可表示为{cos,sin,}r u u v e=+，因此所求曲面是半径为1的圆柱面.10．证明不存在曲面，使E=G=1,F=0,L=1,M=0,N=-1.证 若存在曲面满足题设条件，则所给E,F,G,L,M,N 必须满足在正交坐标网下的G —C —M 公式，但2]01u v LN M EG -+=≠=-，所以不满足高斯公式，故不存在满足题设条件的曲面.§6 曲面上的测底线1．求正交网的坐标曲线的测地曲率. 解 因为坐标网是正交的，所以F=0，故g d k ds θθθ=， 而对u-曲线来说，θ=0，故gu k = 对v-曲线来说，θ=222n gκκκ=+2π ，所以gv k =2．证明球面r ={acosucosv,acosusinv,asinu}上曲线的测地曲率sin ,n d udvds dsθκ=- 其中θ表示曲线与经线的交角.证 易求出E=2a , F=0,G=2a 2cos u ,因此g d k ds θθθ==221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ∂+∂=sin sin cos d u ds a u θθ-，而1cos dv sin ds a u θθ==，故 sin g d dv k u ds ds θ=-. 3．求位于半径为R 的球面上半径为a 的圆的测地曲率.解法一：因为sin ,(,)n n κκθθβ=±=∠，而1,sin a R κθ==，所以n κ=. 解法二：半径为a 的圆的曲率为1a κ=，圆上每一点处的法曲率1n Rκ=±，由222n g κκκ=+知，2222222g n R a R a κκκ-=-= ，所以g κ= .解法三：任何球面上的圆都可以通过建立适当的曲纹坐标网使其成为纬圆，过不妨求半径为a 的纬圆的测地曲率.由1题知所求即为v-线的测地曲率：gv k =Γ因为所考虑纬圆的半径为a，所以cos ,sin R u a u ==所以v g Raκ=-4．求位于正螺面r={ucosv,usin,av}上的圆柱螺线00():{cos ,sin ,}C r u v u v av =（0u =常数）的测地曲率.解 易计算出E=1，F=0，G=22a u +，而（C ）是一条v-曲线：u=0u ,于是由22221ln()2gv a u uu a u κ∂+===∂+，可知（C ）的测地曲率为0220gv u a u κ=+. 5．设曲面(S)上曲率线(C)，(C)上的点不是抛物点.证明(C)在点P 的测地曲率的绝对值等于在(S)的球面映射下(C)的象在对应点的测地曲率与(C)在点P 的法曲率之积的绝对值.分析 本题是一个综合应用题，可利用球面像和测地曲率及曲率线等概念，罗德里格定理，默尼埃定理证之.证 设所给曲面(S)上曲率线(C)的方程为r =)(s r，它的球面像()C 的方程为()r n s =，注意到曲率线的定义及罗德里格定理，则有n n dn dn ds dr ds ds ds ds ds ds ds dsακκα===-=-，其中s 是()C 的弧长，即(1)n ds ds αεαεκ==±=-，所以1nds ds αεαακ==- ，又因为(C)的点都不是(S)抛物点，即K ≠0,所以||Kn n K =，（n 为(S)的球面像（S ）的单位法向量），从而有测地曲率的定义可得11()()g g n n k n n αααακκκ=⨯=±⨯=±，即||||gg nκκκ= ，即||||g g n κκκ= .6．若曲面(S)(,)r r u v =上曲线(C):u = u(t),v = v(t),t 为曲线(C)上的任意参数，试导出测地曲率g k 的计算公式.解 由于(,,)g r r n κκβε== ，而222',''()ds ds d sr r r r r dt dt dt ==+ ，所以()22332','',[(())](,,)()|'|g ds ds d s dsr r n r r r n r r n r dt dt dt dtκ=⨯+==，所以3(','',)/|'|g r r n r κ=， 又'i i i du r r dt =∑， 22,''i j iij i i j i du du d u r r r dt dt dt=∑+∑ = 22,,,i j i j kkijk ij k i j k i j k du du du du d u r Ln r dt dt dt dtdt ∑Γ+∑+∑ ， 从而(','',)(''')r r n r r n =⨯= [1222222122,,()(i j i jij ij i j i j du d u du du du d u du du dt dt dt dt dt dt dt dt +∑Γ-+∑Γ|'|ij du r g =，由此得到：1222222122,,2[()()]()i j i jg ij ij i j i j ij du d u du du du d u du du dt dtdt dt dt dt dt dt g dt dtκ=+∑Γ-+∑Γ. 7．求证旋转曲面的子午线是测地线，而平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 . 证 设旋转曲面为(S)，{()cos ,()sin ,()}(()0)r t t t t ϕθϕθψϕ=，则易计算出E='2'22,0,F G ϕψϕ+==,于是子午线（t —曲线）的测地曲率为'2'21ln()02gt k ϕψϕθ∂+==-=∂，故子午线是测地线.又平行圆（θ-曲线）的测地曲率为2g k θ=== .所以0g k θ=的充要条件是'()0t ϕ= ，即{'()cos ,'()sin ,'()}{0,0,'()}t r t t t t ϕθϕθψψ== 故平行圆仅当子午线的切线平行于旋转轴时才是测地线 . 8．求证 ⑴ 如果测地线同时为渐近线，则它是直线；⑵如果测地线同时为曲率线，则它是一平面曲线.证 ⑴因为所给曲线是测地线，所以0g k =； 又因为所给曲线是渐近线，所以0n k =，而222n gk k k =+ ，所以k=0，故所给曲线是直线. ⑵ 方法一：因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有n ‖β，n ‖α，而γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=，又γτβ=-，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.方法二：因所给曲线是测地线，所以沿此曲线有n ‖β，所以β‖dn ，又因曲线是曲率线，所以dn ‖dr ‖α ，所以()κατγ-+‖α ，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.方法三：因所给曲线是测地线，所以该曲线的主法线重合于曲面的法线；因为是曲率线，所以沿此曲线曲面的法线曲面是可展曲面.从而该曲线的主法线曲面是可展曲面，而挠曲线的主法线曲面不是可展曲面，因此该曲线一定是平面曲线.方法四：设Γ是测地线，所以Γ的主法向量β‖n （曲面的单位法向量），所以Γ的副法向量γ⊥n ；即曲线Γ在每点处的副法向量与曲面在该点的法向量成定角，因Γ是曲率线，所以由P 114习题14知，曲线Γ是平面曲线.9．已知曲面的第一基本形式22()v du dv I =+，证明它上面的测地线是uv 平面上的抛物线. 证 因为E=G=v,F=0,所以测地线的微分方程化为1,2d dv tg du v du θθ== ，于是2dv tg d vθθ= ，积分后得12cos v h θ=（常数），由此得tg θ= .将此式代入第二式得du = ，积分后得002(u u u =±=常数），即2220()4()u u h v h -=- .故测地线在uv 平面上的表示为抛物线.10．求正螺面r={ucosv,usin,av}上的测地线.解 易计算出E=1，F=0，G=22a u +，所以测地线的微分方程化为22,d u dv tg du a u du θθθ=-=+，对第一式积分得sin h =（常 数）.于是tg θ=，将此式代入第二式并积分，则得所求测地线为v h = .11．利用刘维尔公式证明：⑴平面上的测地线为直线；⑵圆柱面上的测地线为 圆柱螺线.证 ⑴方法一：由于曲面的第一基本形式可写为22du dv I =+，所以由利乌维 公式可知，平面上的测地线的微分方程为0,0,d d dv tg du dv duθθθ===，于是有θ=常数，v utg c θ=+，故测地线为直线.方法二：取平面直角坐标系xoy ， 平面方程为{,,0}r x y =，可得1,0,1E F G ===，所以 22dx dy I =+.由刘维尔公式，对平面上的测地线有：g d d ds ds θθκθθ== = 0 所以测地线的（相对曲率）r d k dsθ== 0 ，所以测地线是直线. 方法三： 如方法二得0d dsθ=，所以0θθ=是常数，所以 0000cos ,cos ,sin ,sin dx dy x s y s ds dsθθθθ==== 即测地线方程是0v u K ⎧⎫⎪=+=⎬⎪⎭00cos sin x s y s θθ=⎧⎨=⎩ ，所以测地线是直线. ⑵ 证法一：设圆柱面为{cos ,sin ,}r a u a u v =，则易计算2,0,1E a F G ===.所以测地线的微分方程为g d d ds ds θθκθθ== = 0，,du dv ds ds θθ== ，所以θ=常数，0,0,d d dv atg du dv duθθθ===，()v atg u c θ=+，即圆柱面上的测地线为{cos ,sin ,}.r a u a u bu c =+.其中b atg θ=，这正是圆柱面上的圆柱螺线.因此得证.证法二：设圆柱面为{cos ,sin ,}r a u a u v =，则易计算2,0,1E a F G ===.所以测地线的微分方程为,gd dds dsdu dvds dsθθκθθθθ⎧===⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以0001cos,sindu dvds a dsθθθθ===是常数，，0102cos,sinu S C v s Caθθ=+=+ .所以测地线为：001102cos cos{cos(),sin(),sin}r a s C a s C s Ca aθθθ=+++（C1,C2为常数）.因为0{s i n}rθ'=…，…，与z周成定角，所以测地线为圆柱螺线：θ=时为112{cos(),sin(),}s sr a C a C Ca a=++是纬圆；02πθ=时为112{cos,sin,}r a C a C s C=+是直母线.12．证明：若曲面上非直线的所有测地线均为平面曲线，则它必为曲率线.证法一：因为所给曲面曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有nβ=±，从而()nκατγ=±-+，又因为曲线是平面曲线，所以0τ=，从而nκα=±.因此由罗德里格定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.证法二：设曲面上非直线的曲线Γ为测地线且为平面曲线.因为Γ为测地线，所以它的主法线是曲面的法线，又因Γ为平面曲线，所以Γ的主法线曲面是可展曲面，于是曲面沿Γ的法线组成曲面是可展曲面，所以Γ为曲率线.13．如果曲面上引进半测地坐标网，222(,)ds du G u v dv=+.求证：1[gds d tgκ-= .证明因为E=1，F=0，G=(,)G u v，所以根据Liouville公式有sin2ugGd dds ds Gθθκθθθ==+，而dvdsθ=，dvduθθ==，从而1[gdtgdsκ-=+故得1[gds d tgκ-= .14．给出曲面的第一基本形式为222(,)ds du G u v dv=+，如果此曲面上的测地线与u-曲线交于角α时，求证ddvα=证因为E=1，F=0，G=(,)G u v，所以与u-曲线交于角α的测地线应满足微分方程组sin2cosuGdds Gdudsdvdsααααααα⎧==-⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩于是有ddvα=，故有ddv uα=-∂.15．证明：若曲面上两族测地线交于定角，则曲面是可展曲面.证法一：取一族测地线为u-曲线，与其正交的测地平行线为v-曲线，在曲面上建半测地坐标网，则曲面的第一基本形式可写为222(,)ds du G u v dv=+，由于两族测地线交于定角（设为ϑ），所以对另一族测地线来说应有0sin02uGdds Gθθθ==-=，所以0Gu∂=∂，这说明G仅与v有关，于是曲面的第一基本形式可写为222()ds du G v dv=+，作参数变换,u u v==，则曲面的第一基本形式化为22du dvI=+，这与平面的第一基本形式一致.因此所给曲面与平面是等距的，故为可展曲面.证法二：同上得到曲面的第一基本形式为222()ds du G v dv=+，所以曲面的高斯曲率v uK⎧⎫⎪=+=⎬⎪⎭，所以曲面为可展曲面.证法三：同17题利用高斯--泼涅公式证明曲面的高斯曲率处处为零，从而曲面为可展曲面.16．求半径为R的球面上测地三角形三内角之和.解任给半径为R的球面上的一个测地三角形∆，设其边缘为G∂，所围成的区域为G，则有高斯--泼涅公式可知31()2iiGKdσπαπ=+-=∑⎰⎰，其中iα（i=1,2,3）是∆的三个内角，而曲面的高斯曲率K=21R，所以3211()2iiGdRσπαπ=+-=∑⎰⎰，故得3211iiSRαπ∆==+∑，其中s∆是测地三角形∆的面积.17．利用高斯--泼涅公式证明若曲面(S)上存在两族交于定角的测地线，则它的高斯曲率处处为零.证不妨选取题设中的两族交于定角（设为α）的测地线为坐标曲线.若(S)在一点P处的高斯曲率K（P）≠0，不妨设K（P）> 0,则由K的连续性可知，存在点P的一个充分小的邻域G使得K(P)>0(P∈G).不妨设G是由两条u-曲线和两条v-曲线所围成，则由高斯--泼涅公式可知()()2GKdσπααπααπ+-++-+=⎰⎰，从而可知0GKdσ=⎰⎰，这与K(P)>0，从而上式左边大于零矛盾，因此命题得证.注：如果不对证题方法有特殊要求，则用15题中的证明方法也可.18．若曲面(S)的高斯曲率处处小于零，则曲面(S)上不存在围成单连通区域的光滑闭测地线.证 若不然，则(S)上存在围成单连通区域G 的光滑闭测地线（C ），于是由高斯--泼涅公式可得2G Kd σπ=⎰⎰.因为K<0,所以0GKd σ⎰⎰，这与上式右边的20π相矛盾，因此命题得证.19．设,a b 是沿曲面上曲线（C ）的向量场，f 是定义在（C ）上的数量函数，证明下列绝对微分的运算性质：⑴ ()D a b Da Db +=+； ⑵ ()()D fa df a fDa =+；⑶ ()()d ab Da b aDb =+ .证⑴ ()()[()][()][()]D a b d a b nd a b n da nda n db ndb n Da Db +=+-+=-+-=+⑵ ()()[()]()[()]D fa d fa nd fa n df a fda n df a fda n =-=+-+()[()]()df a f da nda n df a fDa =+-=+⑶ ()()[(()][()]d ab da b adb Da nda n b a Db ndb n =+=+++=()Da b aDb + .20． 设(),()a s b s 是曲面上曲线():()C r r s =的两个平行向量场，证明ab =常数，并由此证明当曲面上一点处二向量沿曲面上曲线作勒维—其维塔平行移动时，他们的长度和夹角不变.证 ⑴ 因为()()d ab Da b aDb =+，且(),()as bs 是沿():()C r r s =的两个平行向量场，即0,0Da Db ==，所以()0,d ab =故ab =常数.⑵ (),()a s b s 是沿():()C r r s =的两个平行向量场，所以由⑴可知2a aa ==常数，2b bb ==常数，ab =常数.故||a =常数，||b =常数，cos (,)||||ab a b a b ∠==常数，因此命题得证.。

《微分几何》课程教学大纲一、课程信息课程名称：微分几何Differentia1Geometry课程代码：06S1022B课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：45学时（理论35,实践10）课程学分：2.5学分修读学期：第6学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程二、课程目标微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一一流形。

微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。

本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。

（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。

【支撑毕业要求3、4、7]2.掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念;综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的问题，具备一定的计算能力。

【支撑毕业要求3、4]3.掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯-波涅公式及其应用。

直纹曲面是可展曲面的一个充要条件摘要：可展曲面是直纹面的一种类型，可展曲面就是沿每一条直母线只有一个切平面.通过几何分析方法，讨论了直纹曲面，给出了直纹曲面是可展曲面的一个充分切必要条件，说明直纹曲面)()(),(:u e v u v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：沿准线)(,0:u r v C ρ==，曲面S 是它的切平面的包络面，并且给出了这个定理应用的两个例子.关键词：直纹曲面 可展曲面 包络面1直纹曲面与可展曲面我们知道由动直线产生的曲面为直纹曲面，动直线为该直纹曲面的直母线。

如柱面、锥面、一条曲线的切线曲面等都是直纹曲面。

文献[1]利用曲线测地挠率与曲线挠率的关系来刻划直纹曲面是可展曲面。

本文利用包络面来刻划直纹曲面是可展曲面。

设))((:21u u u u C ≤≤=ρρ是直纹曲面S 上的一条准线，即C 与所有直母线相交，设)(u e 是过))((u P ρ点的直母线上的非零矢量，则直纹曲面S 的参数方程是)()(:u e v u r S +=ρ （1） 其中21u u u ≤≤，+∞<<∞-v ，u 线是与准线C 平行的曲线，v 线是值母线。

特别地，当0)(ρρ=u 是常矢时)(:0u e v r S +=ρ （2） 是锥面，0)(:e v u r S +=ρ （3）是柱面，其中0)(e u e =是常矢。

定义1 若直纹曲面（1）式沿每一条直母线只有一个切平面，即对一切的v 值，法线方向上的矢量v u r r N ⨯=彼此平行，即对21v v ≠有：0),(),(21=⨯v u N v u N （4） 则称直纹曲面（1）式是可展曲面。

定理1 直纹曲面)()(:u e v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：0))(),(),((''=u e u e u ρ （5） 定理2 直纹曲面)()(:u e v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：或者S 是柱面，或者S 是锥面，或者S 是一条曲线的切线曲面。

微分几何——特殊曲线分析特殊曲线分析1． 直纹面：由连续族直线的轨迹形成的曲面:(,)()()S r u v a u b u v =+。

这里直纹面的v 曲线是直纹面的直母线，u 为一族与其相交的曲线。

2． 常Gauss 曲率曲面对于正常Gauss 曲率曲面，曲面的第一基本形式为222cos )I du dv =+； 对于Gauss 曲率恒为0的曲面，曲面的第一基本形式为22I du dv =+；对于负常Gauss 曲率曲面，曲面的第一基本形式为222c )I du h dv =+. 定理1 具有相同的Gauss 曲率的曲面总是等距等价的，这种等价也是局部的.3． 可展曲面：直纹面沿着它的每条直母线都只有一个切平面，或者说沿直母线，法向量平行，称其为可展曲面。

定理2 直纹面S 可展⇔ ()'(),(),'()0a u b u b u =.定理3 可展曲面局部地或为柱面，或为锥面，或为某条空间曲线的切线曲面.定理4 无平点的曲面为可展曲面⇔高斯曲率0K ≡.4． 全脐点曲面：全部由脐点构成的曲面，曲面上满足L M N E F G==。

定理5 曲面是全脐点曲面当且仅当曲面是平面或球面（或它们的一部分）.5． 极小曲面：平均曲率恒为0的曲面。

平面、正螺面都是极小曲面。

由公式222()EN FM GL H EG F -+=-，其充要条件是20EN FM GL -+=。

极小曲面是使面积的第一变分变为零的曲面。

除平面外旋转极小曲面必为悬链面，直纹极小曲面必为正螺面。

相关命题命题1 常高斯曲率曲面中的常平均曲面是全脐点曲面（平面/球面）或圆柱面. 推论1.1 可展曲面中的常平均曲率曲面是平面或圆柱面.推论1.2 极小曲面中的常高斯曲率曲面是平面.命题2 直纹面中的常Gauss 曲率曲面是可展曲面.命题3 直纹面中的常平均曲率曲面是平面、正螺面或圆柱面.推论3.1 直纹面中的极小曲面是平面和正螺面.相关图示所有可展曲面都是直纹面，且仅有柱面、锥面、切线面三种，如下图：常高斯曲率旋转曲面，在高斯曲率小于零时是伪球面：极小旋转曲面是悬链面：。

直纹面成为可展曲面的充要条件摘要 可展曲面是特殊的直纹面，直纹面成为可展曲面必须满足一定的条件.本文根据可展曲面的定义，从该曲面是否为单参数曲面族的包络、高斯曲率是否为零、直纹面是否可以展为平面等几个方面，对直纹面成为可展曲面的几个充要条件作了初步的探讨. 关键词 直纹面；可展曲面；包络；高斯曲率；等距对应1直纹面与可展曲面的定义 1.1直纹面的定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面，这些直线称为直纹面的直母线. 直纹面上取一条曲线()C ，它的参数表示是()u a a ρρ=.曲线()C 和所有直母线相交，即过曲线()C 的每一点，有一条直母线，曲线()C 称为直纹面的导线.设()u b ρ是过导线()C 上()u a ρ点的直母线上的单位向量.导线()C 上()u a ρ点到直母线任一点()v u P ,的距离为v ，则向径→OP 可以表示成()()u b v u a r ρρρ+= （1）,这就是直纹面的参数表示. 1.2可展曲面的定义直纹面上任一点()v u P ,的法向量n ρ平行于v u r r ρρ⨯，从（1）容易算出：()()u b v u a r u '+'=ρρρ，()u b r v ρρ=，所以b b v b a r r v u ρρρρρρ⨯'+⨯'=⨯.当点在曲面上沿一条直线移动时有两种情形：情形1：b a ρρ⨯'与b b ρρ⨯'不平行，即()0,,≠''b b a ρρρ.情形2：b a ρρ⨯'与b b ρρ⨯'平行，即()0,,=''b b a ρρρ.对于第2种情形的直纹面我们称为可展曲面，也就是说，可展曲面是沿一条直母线有同一个切平面的直纹面.2直纹面成为可展曲面的几个充要条件2.1定理1[]2：一个曲面是可展曲面⇔该曲面或是柱面，或是锥面，或是任意空间曲线的切线曲面.证明：⇐：由于柱面、锥面、任意空间曲线的切线曲面是直纹面，所以直纹面的参数方程为()()u b v u a r ρρρ+=.(1)因为柱面的()=u b ρ常向量，所以()0='u b ρ.则()()()()()0,,='⋅⨯'=''b b a u b u b u a ρρρρρρ.故柱面是可展曲面.(2)锥面的腰曲线为一点，导线也为一点，故()=u a ρ常向量，所以()0='u a ρ.从而()()()()()0,,='⨯⋅'=''b b a u b u b u a ρρρρρρ.故锥面是可展曲面.(3)任意空间曲线的切线曲面的切线()()u b u a ρρ//'，故()()0=⨯'u b u a ρρ，从而()()()()0,,=''u b u b u a ρρρ.任意空间曲线的切线曲面是可展曲面. ⇒：对于可展曲面有()0,,=''b b a ρρρ，取腰曲线为导线，即此时有0='⋅'b a ρρ.(1)当0='a ρ时，()=u a ρ常向量，这表示为腰曲线退化为一点，也就是说，各条直母线上的腰点都重合.我们得到以所有母线上公共的腰点为顶点的锥面.(2)当0≠'a ρ时，由条件()0,,=''b b a ρρρ，0='⋅'b a ρρ并且1=b ρ，b b '⊥ρρ得到()()u b u a ρρ//'.这时得到切于腰曲线的切线曲面.(3)当0='b ρ时，()=u b ρ常向量，这表示柱面.例1[]1求证正螺面{}b au u u v r +=,sin ,cos ρ是不可展曲面. 证明：令()()u b v u a r ρρρ+=，则所给的曲面可写为{}{}0,sin ,cos 0,0u u v b au r ++=ρ.则{}b au a +=,0,0ρ，{}0,sin ,cos u u b =ρ，从而{}a a ,0,0='ρ，{}0,cos ,sin u u b -='ρ，则()()()()()b b a u b u b u a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b uu a e e e '⋅ρρρρ0sin cos 0321={}{}0,cos ,sin 0,cos ,sin u u u a u a -⋅- =a .当0≠'a ρ时，有()0,,≠''b b a ρρρ.故正螺面{}b au u u v r +=,sin ,cos ρ是不可展曲面.2.2定理2[]4：设直纹面S 的参数方程是()()u b v u a r ρρρ+=，则S 是可展曲面的充分必要条件是，向量函数()u a ρ，()u b ρ满足方程()()()()0,,=''u b u b u a ρρρ. *证明：对直纹面S 的参数方程求导得到()()u b v u a r u '+'=ρρρ，()u b r v ρρ=， 因此曲面的法向量是()()()()u b u b v u a r r v u ρρρρρ⨯'+'=⨯.如果S 是可展曲面，则在直母线上的任意两个不同点()1,v u 和()2,v u ，其中21v v ≠，曲面S 的法向量应该互相平行，即()()()()()()()u b b v u a u b u b v u a ρρρρρρ⨯'+'⨯'+'21,//根据向量的双重向量积的公式()()()a cb bc a c b a ρρρρρρρρρ⋅-⋅=⨯⨯，我们有()()()()()()()()()u b b v u a u b u b v u a ρρρρρρ⨯'+'⨯⨯'+'21,=()()()()()()()()()u b u b u b v u a u b v u a ρρρρρρ⨯'+''+'21=()()()()()()()()()u b u b u b v u a u b v u a ρρρρρρ,,21'+''+'=()()()()()()u b u b u b u a v v ρρρρ''-,,21.由于()()()0,211≠-=⨯u b v v r r v u v u ρρρ，所以上式末端的混合积为零，即*式成立.上面的论证过程是可逆的，因此*式也是直纹面为可展曲面的充分条件，定理成立.例2[]2证明曲面()(){}v u v v u v v v u v r 2,cos sin ,sin cos ++++-=ρ是可展曲面.证明：令()()u b v u a r ρρρ+=，则由题得{}v v v v v v v a 2,cos sin ,sin cos +-=ρ，{}1,cos ,sin v v b -=ρ，则{}2,sin cos 2,cos sin 2v v v v v v a ---='ρ，{}0,sin ,cos v v b --='ρ，则()()b b a b b a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b vv vv v v v v e e e '⋅----ρρρρ0cos sin 2sin cos 2cos sin 2321={}b v v v v v '⋅--ρ,cos ,sin=0sin cos sin cos ⋅--v v v v v v v =0. 即()0,,=''b b a ρρρ.故所给曲面为可展曲面.2.3定理3[]2：曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线的曲面的法线组成一可展曲面.证明：设曲面上的曲线()s a a ρρ=是曲率线，则根据罗德里格定理可知a d n d ρρ1κ-=，即()()()s a s s n&ρ&ρ1κ-=， 其中()s 1κ为对应的主曲率.由此得出a n&ρ&ρ//，所以有 ().0,,=nn a &ρρ&ρ 因此沿此曲线，曲面的法线组成的曲面n v a r ρρρ+=是可展曲面.反之，设()s a a ρρ=是曲面上一条曲线.曲面沿此曲线的法线构成一个可展曲面n v a r ρρρ+=.于是有().0,,=nn a &ρρ&ρ 由于n ρ是单位向量，所以n n &ρρ⊥.而且a&是曲面的切向量，因而a n &ρ&ρ//. 由此可得a n &ρ&ρ//或a d n d ρρ//. 根据罗德里格定理,a d ρ是主方向. 因此曲线()s a a ρρ=是曲面的曲率线.例3[]1求证挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.证明：设有空间挠曲线()s a a ρρ=，曲线的副法线曲面为()()s v s a r γρρρ+=，βτγρ&ρ-=，则()()()()0,,,,≠=-⋅⨯=-'=''τβτγβτγρρρρρρρρρa a b b a ，故副法线曲面不是可展曲面.2.4 定理4[]4：一曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单参数平面族的包络.证明：充分性：单参数平面族为()()()()0=+++ααααD z C y B x A .则特征线方程为()()()()()()()()()()⎩⎨⎧='+'+'+'==++++=0,,0,,αααααααααD z C y B x A z y x F D z C y B x A z y x F . 它是平面与平面的交线，即为直线，所以这些特征线的轨迹为直纹面，即包络面为直纹面，下证是可展的.由于包络面沿特征线（现为直母线）与族中曲面（平面）相切，所以此平面是直母线所有点的公共切平面，即沿一条直母线有同一个切平面，按可展曲面的定义，它是可展的.必要性：设曲面可展.由于直纹面的坐标曲线为直母线和与导线平行的曲面，所以对于可展曲面，它的直母线就是v 线（u =常数），当u 变化时，得到v 族线，所以可展曲面可以看成是由单参数u 的直母线族所构成的，即可展区面的直母线族仅与单参数有关，而且经过给定的母线，可引唯一的切平面，因此，所有切于可展曲面的切平面也只与一个参数有关，这就是说可展曲面在它每一点处切于它的单参数平面族中的某一平面，即可展曲面是这个单参数平面族的包络. 例4[]4 求证可展曲面()1222=-+y x 是单参数平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络.证明：先求所给单参数平面族的1sin sin cos =-+αααz y x 包络. 令()1sin sin cos ,,,--+=ααααz y x z y x F ，则()αααααcos cos sin ,,,z y x z y x F -+-=.将方程组中0=F ，0=αF 的参数α消去得到()1222=-+y x .即证得可展曲面()1222=-+y x 是单参数平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络.2.5 定理5[]2：一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲率恒等于零.证明：如果曲面是可展的，则沿同一直母线的单位法向量n ρ不变，即0=n d ρ，零向量与任意另外的向量共线，因此有r d n d ρρ//.根据罗德里格定理，沿直母线的方向是主方向，并且主曲率01=κ（或02=κ），于是021≡=κκK .反之，如果0≡K ，则021≡=κκK .设02=κ，这时对应它的方向是渐进方向也是主方向，所以这一族渐进曲线也是曲率线. 根据罗德里格定理,沿渐进曲线有r d n d ρρ2κ-=，因而0=n d ρ，即=n ρ常向量.这说明单位法向量沿渐进曲线保持常向量.因此，在所有渐进曲线上曲面的法线都互相平行.又对于渐进曲线的切向量r d ρ有0=⋅n r d ρρ.所以沿渐进曲线有=⋅n r ρρ常向量. 设0r ρ是渐进曲线上某定点0M 的向径，则由以上结果有n r n r ρρρρ⋅=⋅0，即()00=⋅-n r r ρρρ.由此得到连接渐进曲线上的定点0M 和渐进曲线上任意点的向量0r r ρρ-垂直于n ρ，因而必在点0M 的切平面上，所以渐进曲线的所有点都在点0M 的切平面上.于是，这个包含渐进曲线而且垂直于沿它的常法向量n ρ的平面，就是渐进曲线所有点的切平面.换句话说，对同一条渐进曲线上的点，其切平面是同一个.由此可见，曲面是一个单参数平面族的包络面，因而是可展曲面.例5[]2求取面{}v u v v r +=,sin ,cos ρ的高斯曲率.解：令()()v b u v a r ρρρ+=，则所给曲面为{}{}1,0,0,cos ,sin u v v v r +=ρ，则{}v v v a ,cos ,sin =ρ，{}1,0,0=b ρ则{}1,sin ,cos v v a -='ρ，{}0,0,0='b ρ，则()()b b a b b a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b vv e e e '⋅-ρρρρ1001sin cos 321=0.即()0,,=''b b a ρρρ.故该曲面是可展曲面，从而其高斯曲率为0.2.6定理6[]2：可展曲面可以与平面成等距对应（简称展为平面）. 证明:在直角坐标系()y x ,下，平面的第一基本形式为22dy dx I +=，在极坐标系()θρ,下，通过变换θρcos =x ，θρsin =y 得第一基本形式22θρd d I +=，（1） 柱面：()()s b v s a r ρρρ+=其中b ρ为沿柱面母线的单位常向量，()s a a ρρ=是与柱面母线正交的一条曲线，s 是它的弧长.于是αρ&ρρ==a r s ，b r v ρρ=，12===αρρρs s r r E ，0==v s r r F ρρ，1==v v r r G ρρ从而第一基本形式为22dv ds I +=.这与上述平面的第一基本形式有相同的形式，因此柱面可以展为平面，.(2)锥面：()()s b v s a r ρρρ+=0，其中0a ρ为常向量，()s b ρ为锥面母线上的单位向量， 而s 是单位球面曲线()s b b ρρ=的弧长，则有12=b ρ，0=⋅b b &ρρ，12=b &ρ，于是b v r s &ρρ=，b r v ρρ=，2v r r E s s ==ρρ，0==v s r r F ρρ，1==v v r r G ρρ第一基本形式为222dv ds v I +=，这与上述平面的第一基本形式有相同的形式，因此锥面可以展为平面.（3） 切线曲面：()()s v s a r αρρρ+=其中()s αρ为曲线()s a a ρρ=的切向量()s a&ρρ=α，s 为曲线()s a ρ的弧长. 于是βκαρρρv r s +=，()s r v αρρ=，221κv r r E s s +==ρρ，1==v s r r F ρρ，1==v v r r G ρρ，有222221dv dsdv ds v I +++=κ.上式中出现曲率，但没有挠率，所以如果两条曲线曲率相同，即使挠率不同，它们的切线曲面也有相同的第一基本形式，即是等距的，由此，现给定曲率和挠率分别为()s κκ=，()s λττ=，()10<≤λ由曲线论基本定理，除空间位置差别外， 确定了唯一一条曲线()c ，当λ从1连续变到0时，得到一个连续的曲线的曲线族{}λc ,这些曲线族的切线曲面也变动，但由于曲率不变，因此这些切线曲面是等距的.当λ=0是τ=0，此时曲线为平面曲线，但平面曲线的切线还在此平面上，这时的切线曲面就是平面曲线所在的平面，但第一基本形式不变，因此切线曲面也可展成曲面.又由前面结论，可展区面只有以上三种，综上所述，命题成立.例6[]3 证明曲面⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++=v u u uv u v u r 243232,2,31ρ可以展为平面.证明：令()()u b v u a r ρρρ+=，则所给曲面为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=243232,,31,2,u u v u u u r ρ，则{}432,2,u u u a =ρ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=232,,31u u b ρ，从而{}324,6,2u u u a ='ρ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧='u b 34,1,0ρ，则()()()()()b b a u b u b u a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b u u u uu e e e '⋅ρρρρ2323213231462 =b '⋅ρ0 =0. 即()0,,=''b b a ρρρ故曲面是可展曲面，从而可以展为平面.参考文献：[1]王幼宁、刘继志.微分几何讲义[M].本经师范大学出版社，2007年1月第一版 [2]梅向明、黄敬之.微分几何[M].高等教育出版社，2003年12月第三版 [3]黄振荣、杨文茂.微分几何[M].武汉大学出版社，2008年9月第一版 [4]陈维桓.微分几何[M].北京大学出版社，2006年6月第1版。

《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。

1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。

古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间--流--形。

微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。

本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。

2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。

3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（B公式。

重点让学生把握理解本教材的前二章。

二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。

通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。

教学内容：第一节向量函数1.1向量函数的极限1.2向量函数的连续性1.3向量函数的微商向量函数的泰勒（）公式1.5向量函数的积分第二节曲线的概念2.1曲线的概念2.2光滑曲线、曲线的正常点2.3曲线的切线和法面2.4曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1空间曲线的密切平面3.2空间曲线的基本三棱形空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式3.4空间曲线在一点邻近的结构3.5空间曲线论的基本定理3.一6般螺线考核要求：i理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（L公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。

直纹面和可展曲面一 直纹面的定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面。

这些直线称为直纹面的直母线。

如，柱面、锥面、单叶双曲面（纸篓面)、双曲抛物面。

空间曲线的切线曲面、正螺面、空间曲线的主法线曲面等都是直纹面。

二 直纹面的参数表示在直纹面上取一条与所有直母线都相交的曲线（C ），其参数表时为()a a u =，这样的曲线称为直纹面的导线。

设()b u是过 导线（C ）上()a u点的直母线上的单位向量，导线（C ）上()a u 点到直母线上任一点P(u,v)的距离为|v|,则向径O P r=可以表示为 :()()r a u vb u =+。

这就是直纹面的参数方程。

直纹面的v-线是直母线，u-线是与导线（C ）平行的曲线。

三 直纹面的切平面对直纹面()()r a u vb u =+, ()()u r a u vb u ''=+ , u v r r a b vb b ''⨯=⨯+⨯ ,()()(,,)a b b b b a b b ''''⨯⨯⨯=- ，()a b '∴⨯ ‖()b b '⨯ ⇔(,,)0a b b ''=。

（1）若()a b '⨯ 不平行于()b b '⨯ ，即(,,)0a b b ''≠，则当P 点在一条直母线上移动时，参数v 随 P 点的变化而变化，因此直纹面的法向量n（或切平面）绕直母线而旋转。

（2）若()a b '⨯ 平行于()b b '⨯ ，即(,,)0a b b ''=，则当P 点在一条直母线上移动时，虽然v 变化了，但是 u vr r ⨯ 只改变长度，不改变方向。

也即u v u vr r n r r ⨯=⨯保持不变。

这说明当P 点沿直母线移动时，它的法向量（或切平面）不变，此时直纹面沿一条直母线有同一个切平面。

直纹曲面是可展曲面的一个充要条件摘要：可展曲面是直纹面的一种类型，可展曲面就是沿每一条直母线只有一个切平面.通过几何分析方法，讨论了直纹曲面，给出了直纹曲面是可展曲面的一个充分切必要条件，说明直纹曲面)()(),(:u e v u v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：沿准线)(,0:u v C ρ==，曲面S 是它的切平面的包络面，并且给出了这个定理应用的两个例子.关键词：直纹曲面 可展曲面 包络面1直纹曲面与可展曲面我们知道由动直线产生的曲面为直纹曲面，动直线为该直纹曲面的直母线。

如柱面、锥面、一条曲线的切线曲面等都是直纹曲面。

文献[1]利用曲线测地挠率与曲线挠率的关系来刻划直纹曲面是可展曲面。

本文利用包络面来刻划直纹曲面是可展曲面。

设))((:21u u u u C ≤≤=ρρ是直纹曲面S 上的一条准线，即C 与所有直母线相交，设)(u 是过))((u P 点的直母线上的非零矢量，则直纹曲面S 的参数方程是)()(:u v u S +=ρ （1） 其中21u u u ≤≤，+∞<<∞-v ，u 线是与准线C 平行的曲线，v 线是值母线。

特别地，当0)(ρ=u 是常矢时)(:0u e v r S += （2） 是锥面，0)(:e v u r S += （3）是柱面，其中0)(e u e =是常矢。

定义1 若直纹曲面（1）式沿每一条直母线只有一个切平面，即对一切的v 值，法线方向上的矢量v u r r N ⨯=彼此平行，即对21v v ≠有：),(),(21=⨯v u v u （4） 则称直纹曲面（1）式是可展曲面。

定理1 直纹曲面)()(:u v u S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：0))(),(),((''=u e u e u （5） 定理2 直纹曲面)()(:u e v u r S +=是可展曲面，其充要条件是：或者S 是柱面，或者S 是锥面，或者S 是一条曲线的切线曲面。

第三章 曲面的第一基本形式§2 直纹面与可展曲面从解析几何中已经知道，直纹面是一类特殊的曲面，它可以由一族直线“织成”，即：过曲面上每一点都存在过该点的直线落在该曲面上．将直纹面参数化，可以较为方便和深入地讨论其几何属性；同时，作为其特殊类别，可展曲面的一些特征将得到揭示．一．直纹面及其上的参数变换如果直纹面 S 能够被局部正则参数化，那么，在其上取一条直纹以及垂直于该直纹的一条正则曲线 C ⊂S ，则经过曲线 C 的直纹全体构成了直纹面 S 的一部分．因此，当讨论局部性质时，直纹面 S 通常被视为由一个单参数直线族而构成，族中直线称为直纹面的直纹或（直）母线；该族直纹总经过一条参数曲线——准线（该曲线不一定要求正则）．直纹的位置和直纹上的点的相对位置，将给出直纹面 S 的下列自然参数化(2.1) S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，其中准线为连续可微参数曲线(2.2) C : r * = a (u ) ，过准线上点 a (u ) 处的直纹方向确定为向量l (u ) ，且 l (u ) 连续可微．此时，(2.3) r u = a '(u ) + v l '(u ) ，(2.4) r v = l (u ) ，(2.5) r u ⨯r v = [a '(u ) + v l '(u )]⨯l (u ) = a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) ．由此可确定正则条件．其中较为简单的情况是，当准线正则并且不与直纹相切时，直纹面局部为正则参数化；对照熟知的圆柱面、圆锥面等等，可以直观考虑正则性条件．下面一组例子介绍了一些所关心的直纹面．图3-7例1 设 (2.1) 式给出直纹面 S 的一种参数化，则可按准线与直纹方向的关系归为不同的子类．① 柱面：各直纹平行．不妨设已经规范为l (u ) ≡ l 0 ≠ 0 ，则正则性条件化为(2.6) r u ⨯r v = a '(u )⨯l (u ) ≠ 0 ，此即准线不与直纹相切．此时可知，单位法向沿着直纹是常向量，即切平面沿着直纹重合．② 锥面：各直纹相交于锥顶点．形象地看，准线可以“收缩”为一点——锥顶．不妨设已经规范为a (u ) ≡ a 0 ，则正则性条件化为(2.7) r u ⨯r v = v l '(u )⨯l (u ) ≠ 0 ．故锥顶是奇点；并且，当直纹单位方向向量在单位球面上为正则曲线时，也只有锥顶是奇点．其切平面沿着直纹也重合．③ 切线面：直母线族是某条准线的切线族，即直母线族有包络线可作为准线．不妨设已经规范为a '(u ) = l (u ) ≠ 0 ，且此时不妨设准线以 u 为弧长参数，则正则性条件化为(2.8) r u ⨯r v = v T '(u )⨯T (u ) ≠ 0 ．此时的准线称为切线面的脊线，其上点点为奇点．当脊线无逗留点时，切线面上除脊线外的各点都是正则点．其切平面沿着直纹也重合．④ 主法线面：直母线族是某条准线的主法线族，其中准线无逗留点．可类似讨论．⑤ 从法线面：直母线族是某条准线的从法线族，其中准线无逗留点．也可类似讨论．① ② ③图3-8例2 垂直相交于旋转轴并匀速转动的直线，同时沿着旋转轴方向匀速直线运动，所构成的直纹面称为正螺旋面或正螺面；其准线可取为旋转轴．取常数 b ≠ 0 ，正螺面可参数化为r (u , v ) = (0, 0, b u ) + v (cos u , sin u , 0)= (v cos u , v sin u , b u ) ，直接计算可得r u ⨯r v = (-b sin u , b cos u , -v ) ≠ 0 ． 故此，此正螺面为正则曲面．z 轴上的点对应于参数值 v = 0 ，相应单位法向垂直于z 轴；既得，旋转轴上各点处的切平面公交于旋转轴． ☐例3 Möbius 带是一种曲面的模型，可以用矩形纸条拧 180︒ 后粘合一组对边而构成．它可以如下参数化为直纹面：准线取为单位圆周，直母线沿准线移动时垂直于准线转动，并且转动角速率是准线动点移动角速率的一半．光滑的参数方程可写为r (u , v ) = (cos u , sin u , 0) + v (sin u 2 cos u , sin u 2 sin u , cos u 2) = ((1+ v sin u 2 ) cos u , (1+ v sin u 2 ) sin u , v cos u 2) ； 它是参数 u 的 4π 周期函数，但曲面关于参数 u 以 2π 为封闭周期．直接计算可得|r u ⨯r v |2 = (1+ v sin u 2 )2 + v 2 4> 0 ． 由此可知曲面正则．若限制参数 |v | < 1 2 ，则曲面实体是“简单”的（定义详见第八章）；此时，曲面只有一个“面”和一条“边”．易知单位法向 n 关于参数 u 以 4π 为周期，并且对应于曲面实体的同一个点有n (2π + u , v ) = - n (u , v ) ．这说明Möbius 带实体无所谓“正”的定向． ☐图3-9图3-10注意，直纹面按照准线和直母线族的自然参数化，只是其参数化的特定形式（参见习题4）．这种参数化具有明显的几何直观，在分析其几何性质的过程中具有直观优势，因而得到特别注意．为了使相关分析和运算更为简便，往往需要根据具体情况选取特定的准线和直纹方向向量．准线的转换以及直纹方向向量长度的转换，在自然参数化下，就等价于适当的参数变换；当然这是一种具有几何意义的参数变换．下面将一般性地考察直纹面的这种参数变换．设直纹面S的自然参数化由 (2.1)-(2.2)式给出．作直母线方向向量的“伸缩”变换和准线变换分别为(2.9) l*(u) =λ(u) l(u) , λ(u) ≠ 0 ，(2.10) a*(u) =a(u) +μ(u) l(u) ，其中变换系数函数λ(u) 和μ(u) 都是连续可微的．则有(2.11) r=r(u, v) =a(u) +v l(u) =a*(u) + [v-μ(u) ] l(u)=a*(u) + [v-μ(u) ]λ(u) l*(u) ．令(2.12) {u* =uv* =[v-μ(u) ]λ(u)，则由以下计算结果得到参数变换的容许性：(2.13) ∂(u*, v*)∂(u, v)=1 *1λ(u)=1λ(u) ≠ 0 ．在新参数下，直纹面仍然有自然参数化方程，与原有方程的对应关系为(2.14) r=r(u, v) =a(u) +v l(u) =r*(u*, v*) =a*(u*) +v* l*(u*) ．由此可以进一步考察准线和直母线是否允许有特殊关系，比如垂直相交等等．下列引理（其证明留作习题）说明，这类考察是有效的．引理1已知直纹面的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出，则存在新的参数化，使其准线与直母线处处正交，并且直纹方向向量为单位向量．图3-11二．可展曲面及其局部形状分类从例1已经知道，柱面、锥面、切线面的切平面分别沿着直纹重合；而从例2正螺面的图形观察到，沿着所给定的直纹移动时，切平面将发生扭转．按直纹面切平面的特殊行为，可以进一步考察直纹面的子类．定义1 若直纹面的切平面沿着每一条直纹都分别重合，则称该直纹面为可展曲面，或称该直纹面可展．例4 柱面、锥面、切线面都可展．单叶双曲面和双曲抛物面都不可展——这从图形上可以观察到；也可以在任何直纹上展开计算，而由定义得到验证（略）．定理1(直纹面可展的解析条件) 设直纹面 S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) 正则．S 可展的充要条件为a ' , l , l ' 共面，即(2.15) (a ' , l , l ' ) ≡ 0 ．证明 由 (2.1)-(2.5) 式给出了直纹面 S 的基本情况．必要性： S 可展，即单位法向 n 沿直母线 v 线平行，即 n 与 v 无关而只是 u 的函数，表示为n (u ) = r u (u , v )⨯r v (u , v ) |r u (u , v )⨯r v (u , v )| = a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) |a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) |． 将上式分母记为函数 λ(u , v ) ，变形为a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) = λ(u , v ) n (u ) ．当 v 变动而 u 保持不变时，直纹面上的点沿着直纹运动，上式右端保持平行而使左端也保持平行．注意，如图3-12所示，两个不平行向量的线性组合不能保持平行，故可判断成立[a '(u )⨯l (u )]∥[l '(u )⨯l (u )] ．事实上，取 v 1 ≠ v 2 分别代入上式，得a '(u )⨯l (u ) + v 1 l '(u )⨯l (u ) = λ(u , v 1) n (u ) ，a '(u )⨯l (u ) + v 2 l '(u )⨯l (u ) = λ(u , v 2) n (u ) ；此两式作外积或相减，易得 a '(u )⨯l (u )∥l '(u )⨯l (u ) ．此时，几何上看，三个向量 a '(u ) , l (u ) , l '(u ) 都垂直于 n (u ) ，因而共面．解析推导可分两种情况讨论如下：① 当 l '(u )⨯l (u ) = 0 时，显然 (a '(u ) , l (u ) , l '(u ) ) = a '(u )•[l '(u )⨯l (u )] = 0 ; ② 当 l '(u )⨯l (u ) ≠ 0 时，存在 μ 使 a '(u )⨯l (u ) = μ l '(u )⨯l (u ) ，故图3-12(a'(u) , l(u) , l'(u) ) =[a'(u)⨯l(u)]•l'(u) =[μl'(u)⨯l(u)]•l'(u) = 0 ．充分性：已知 (a' , l , l' ) ≡ 0 ，则分两种情况讨论．①当l'(u)⨯l(u) =0时，显然r u⨯r v=a'(u)⨯l(u)与v无关，从而单位法向n与v无关，即n沿直母线v线平行；②当l'(u)⨯l(u) ≠0时，存在λ和μ使a'(u) =λl'(u) +μl(u) ，从而a'(u)⨯l(u) =λl'(u)⨯l(u) ，r u(u, v)⨯r v(u, v) = (λ+v) l'(u)⨯l(u) ，n(u) =l'(u)⨯l(u)|l'(u)⨯l(u)|sgn(λ+v) ，沿直母线v线平行．由两种情形的结果以及可展定义，结论得证．对指定直纹族的直纹面而言，该解析条件不依赖于准线以及直纹方向向量长度的选取；因而，当直纹面的准线以及直纹方向向量容易求出时，应用该解析条件将是方便的．当然，有时直纹面的准线以及直纹方向向量并不容易求出，这就要考虑可展曲面的其它特征；除了本节将继续讨论的以外，可展曲面的“内在特征”将在后续章节中出现．注记直纹面的直纹族并不一定是唯一的，比如单叶双曲面、双曲抛物面都有两族直纹，而平面的直纹族更加随意指定．以后可以证明，两族坐标曲线都是直线的正则曲面若可展，则只能是平面（或其局部）．此结论得到确认后，应用解析条件判定是否可展时，将更加灵活．在“较好”的准线a(u) 和直纹方向向量l(u) 之下，解析条件可以进一步化简．特别当直纹方向向量规范为单位向量场时，即|l(u)|2≡ 1 时，有l'(u)•l(u) ≡ 0 ；进而分两种情形：①当l'(u)⨯l(u) =0时，自然总有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔l'(u) =0；②当l'(u)⨯l(u) ≠0时，l'(u) ≠0，便有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔∃λ(u), μ(u) 使a'=λl'+μl；从此出发，利用准线变换，对可展曲面的局部形状可构造性地进行分类．参数变换的目标是确定如例1所给出的规范参数方程．在下面定理的证明中，可注意体会几何直观对证法的启发，以及如何明确地加以表述．定理2（可展曲面局部形状分类）可展曲面必是柱面、锥面和切线面之一或由它们沿直母线所适当拼接而成．证明由引理1和定理1，设可展曲面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 满足|l(u)|2≡ 1 ；则由简化的解析条件，可完全分类为以下三种情形：①l'≡0，则l(u) = const. ≠0；此时S为柱面．②l'≠0，∃λ, μ使a'=λl'+μl；此时要证S为锥面或切线面．（注意：锥面存在新准线C*: a*(u) 使a* =const. ，而切线面存在新准线C*:a*(u) 使关于弧长的导数d a*d s C*=l，它们的共同特征是a*'(u)∥l．）作待定的新准线C*: a*(u) =a(u) +b(u) l(u) 使a*'(u)⨯l(u) ≡0，其中待定函数b(u)连续可微，则a*'=a'+b'l+b l'= (λ+b) l'+ (μ+b') l；故取b=-λ即可满足要求．此时，a*'= (μ-λ') l．由此，当a*'≡0即λ'≡μ时，a* = const. ，则S为锥面；当a*'≠0即λ'≠μ时，l=a*'μ-λ'=d a*d s C*，则S为切线面．③其他；由以上两种情形的讨论过程可知，l'以及 (μ-λ') 的例外零点对应于曲面上相应的直母线．综合各种情形，得证．三．单参数曲面族的包络类似于考虑曲线族与其它曲线的关系，这里将讨论较为简单的曲面族与其它曲面的关系．观察下例．例5单位球面|r(u, v) -r0|2≡ 1 当球心r0沿着指定的正则曲线C: a(λ) 平行移动时，形成单位球面族：Sλ: r*(u, v; λ) =a(λ) +r(u, v) ．形象地看，这族球面都落在一条“管子”——管状面内，管子的“半径”就是球面的半径（可参阅第八章§3以及图8-3）．直观感觉上看（可以得到验证），对管状面上的任何一条正截圆周，在单位球面族中有且只有一张球面与管状面公切于这条单位圆周．当球面族的参数λ连续变动时，公切圆周同时在管状面上连续可微变动，并且对于相近的公切点而言，所在的两张球面上对应于本身参数 (u , v ) 的取值 (u λ, v λ) 也很相近；管状面上可以取参数 λ 作为正则参数之一，同时可以取公切圆周的参数作为正则参数之一，此时公切圆周在单位球面上可以对应于连续可微参数曲线 u = u λ(t ) , v = v λ(t ) ．定义2 对于给定的单参数 λ 正则曲面族 S λ: r (u , v ; λ) 和对应的正则曲面 S *: r *(λ, t ) ，对应关系为 r *(λ, t ) = r (u (λ, t ), v (λ, t ); λ) ；设曲面族和对应关系关于参数 (λ, t ) 都是连续可微的，即二元函数组 u (λ, t ), v (λ, t ) 和三元向量函数 r (u , v ; λ) 都是连续可微的．若对 S * 上的任意点 r *(λ, t ) ，在曲面族中都存在对应曲面 S λ 与 S * 公切于该点，而且曲面族中的每张曲面都与 S * 公切于某点，则称曲面 S * 为单参数曲面族 S λ 的一张包络面，简称包络．例6 可展曲面是其本身切平面族的包络，切平面族的单参数就取为某条正则准线的参数．事实上，设可展曲面 S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) 满足 |l (u )|2 ≡ 1 ；则 n 与 v 无关而只是 u 的函数，表示为n (u ) ，从而切平面族为T u : n (u )•[ρ - r (u , v 0)] = 0 ，其中 ρ 表示切平面上的点的位置向量，v 0 是取定的参数值，r (u , v 0) 是取定的准线，而函数 n (u )•r (u , v 0) 由参数 u 确定．作为特例，当 n '(u ) ≡ 0 时，S 为平面，其切平面族重合于该平面；当 n '(u ) ≠ 0 时，S 不是平面，其切平面族为单参数 u 切平面族 T u ．平面 T u 与曲面 S 公切于直母线l u : r (u , v ) - r (u , v 0) = (v - v 0) l (u ) ．类似于曲线的情况，在求解包络时，定义中的连续可微性条件有时当成先验假定，此时需要根据求解情况反验其合理性．从已知的单参数曲面族出发，可以确定如何求解其包络．按定义中的记号，在对应点 r *(λ0, t 0) = r (u (λ0, t 0), v (λ0, t 0); λ0) ，曲面 S * 具有自然切向 (2.16) r *λ(λ0, t 0) = ⎝⎛⎭⎫∂∂λ r (u (λ, t ), v (λ, t ); λ)| λ=λ0, t =t 0= ⎝⎛⎭⎫r λ(u , v ; λ) + r u (u , v ; λ) ∂u ∂λ + r v (u , v ; λ) ∂v ∂λ| u =u (λ, t ), v =v (λ, t ); λ=λ0, t =t 0 ， (2.17) r *t (λ0, t 0) = ⎝⎛⎭⎫∂∂t r (u (λ, t ), v (λ, t ); λ)| λ=λ0, t =t 0= ⎝⎛⎭⎫r u (u , v ; λ) ∂u ∂t + r v (u , v ; λ) ∂v ∂t | u =u (λ, t ), v =v (λ, t ); λ=λ0, t =t 0， 而相应的曲面 S λ0在对应参数值 (u (λ0, t 0), v (λ0, t 0)) 的同一点具有自然切向 (2.18) ∂r (u , v ; λ0) ∂u | u =u (λ0, t 0), v =v (λ0, t 0) = r u (u (λ0, t 0), v (λ0, t 0); λ0) ，(2.19)∂r(u, v; λ0)∂v|u=u(λ0, t0), v=v(λ0, t0)=r v(u(λ0, t0), v(λ0, t0); λ0) ．由于对应点是公切点，切向 (2.16) 和 (2.17) 与曲面Sλ0在对应点的法向(r u⨯r v)|u=u(λ0, t0), v=v(λ0, t0)垂直，即等价化为混合积(2.20) (r u , r v , rλ )|u=u(λ, t), v=v(λ, t); λ=λ0, t=t0= 0 ．这就是具有包络的单参数曲面族所必须满足的条件．反之，注意 (2.20) 式能够保证对应点为公切点，故已导出单参数曲面族包络的如下判别条件．定理3给定连续可微单参数λ正则曲面族Sλ: r(u, v; λ) ．如果判别式(2.21) (r u , r v , rλ ) = 0能够决定连续可微的两个函数u(λ, t) 和v(λ, t)，那么，该曲面族的包络若存在则只能确定为判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ)；而若判别式无解函数u(λ, t) 和v(λ, t) ，则该单参数曲面族没有包络．注记：①判别式所确定的函数同时明确了对应点的位置．当然允许两个函数u(λ, t) 和v(λ, t) 在形式上合为一个函数u= u(v, t) 或v= v(u, t) ．②判别式如果是平凡的，则判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 有可能蜕化为非正则的；此时需要反验是否符合包络条件．③如果判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 是正则的，则其为包络面，并且切向 (2.16) 和 (2.17) 的外积非零；此时在某些具体条件下，两个函数u(λ, t) 和v(λ, t) 允许存在反函数，此即为包络面上的特殊参数变换．④对包络面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) ，当选定参数λ=λ0时，其上曲线r(u(λ0, t), v(λ0, t); λ0) 是与族中曲面Sλ0的公切点构成的曲线，称之为包络面的特征线．例7已知具有包络S* 的连续可微单参数λ曲面族Sλ: r(u, v; λ) = (x(u, v; λ),y(u, v;λ) ,z(u, v;λ))是由隐式方程F(x, y, z; λ) = 0 给出的，其中梯度向量∇F= (F x , F y , F z) ≠0．试证S* 的隐式方程为(2.22) {F(x, y, z; λ) = 0 ，Fλ(x, y, z; λ) = 0 ．证明：由隐式方程F(x, y, z; λ) = 0 求微分得d F(x, y, z; λ) = [∇F•d r](x, y, z; λ) +Fλ(x, y, z; λ) dλ≡ 0 ；而对于Sλ之上的点总有d F(x, y, z; λ) = [∇F•d r](x, y, z; λ) = 0 ，即其总以梯度向量∇F(x, y, z; λ) 为非零法向量；故在特征线Sλ⋂S* 之上总有Fλ(x, y, z; λ) dλ≡ 0 ．又特征线Sλ⋂S* 满足隐式方程F(x, y, z; λ) = 0 ，故结论得证．☐单参数曲面族由隐式方程给出时，其包络的判别曲面由特征线族方程(2.22) 式给出．有时，隐式方程对于表示曲面整体非常有效，比如球面、双叶双曲面等等；此时，由 (2.22) 式讨论包络是较为方便的．例8求单参数λ球面族x2+y2+ (z-λ)2= 1 的包络．解：记F=x2+y2+ (z-λ)2- 1 ，则Fλ=-2(z-λ) ．令Fλ= 0 ，得λ= z．代入球面族方程消去参数λ，由 (2.22) 式即知，所求包络为x2+y2= 1 ，此为单位圆柱面．☐定理4给定连续可微单参数t平面族T t: n(t)•r-p(t) = 0 ，|n|≡ 1 ，n'(t) ≠0．如果 {T t} 的包络面S存在，则S可展．证明包络面S的隐式方程由 (2.22) 式给为特征直线族方程{n(t)•r-p(t) = 0 ，n'(t)•r-p'(t) = 0 ．由于n'(t) ≠0是垂直于n(t) 的向量，故直纹面S的位置向量r可以在基向量组 { n(t), n'(t), n(t)⨯n'(t)} 下分解，表达为r(t, v) =p(t)n(t) +p'(t)|n'(t)|2n'(t) +v n(t)⨯n'(t) ．这是以特征线为直母线的直纹面，其切平面沿直纹重合于平面族中的某张平面，故由可展定义得知S可展．☐习题⒈证明引理1．⒉已知直纹面的参数化由(2.1)-(2.2) 式给出．试证：存在容许参数变换，使准线是坐标系原点O到直母线的垂足的轨迹．⒊试证：柱面可以取到平面曲线作为准线，并且使准线与直母线垂直相交．⒋试证：平面是柱面，其局部也是正则参数化的锥面和切线面．⒌证明下列曲面是可展曲面：①r= (cos v , sin v , u+v) ；作者：王幼宁②r= (u2+v , 2u3+ 3uv , u4+ 2u2v) ；③r= (cos v- (u+v) sin v , sin v+ (u+v) cos v , u+ 2v) ．⒍证明挠曲线的主法线面和从法线面都不可展．⒎证明正螺面是某条圆柱螺线的主法线面．⒏证明正螺面一定不是某条曲线的切线面．⒐已知弧长参数化挠曲线C: r(s) ，以之为准线、分别以以下所给条件下的连续可微单位向量场l(s) 为直纹方向，所作的直纹面分别记为S．试分别讨论S是否可展．①l(s) 总落在C的从切平面上；②l(s) 总落在C的法平面上；③l(s) 总落在C的密切平面上．⒑已知单参数λ平面族Tλ: r(u, v; λ) = (u , a(λ) -b(λ)u , u+v) ，其中两个函数a(λ) 和b(λ) 连续可微且b'(λ) 不取零值．试确定其包络面的参数方程．⒒求平面族x cos λ+y sin λ-z sin λ= 1 的包络面，并证明它是柱面．⒓求平面族a2x+ 2ay+ 2z= 2a的包络面，并证明它是锥面．⒔对双曲抛物面r(u, v) = (u+v , u-v , uv) ，试讨论其切平面在如下指定的沿线上所形成的单参数平面族的行为：①沿坐标曲线；②沿曲线C: r(v+a , v) , a= const. ．- 11 -。

直纹面成为可展曲面的充要条件摘要 可展曲面是特殊的直纹面，直纹面成为可展曲面必须满足一定的条件.本文根据可展曲面的定义，从该曲面是否为单参数曲面族的包络、高斯曲率是否为零、直纹面是否可以展为平面等几个方面，对直纹面成为可展曲面的几个充要条件作了初步的探讨. 关键词 直纹面；可展曲面；包络；高斯曲率；等距对应1直纹面与可展曲面的定义 1.1直纹面的定义由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面，这些直线称为直纹面的直母线. 直纹面上取一条曲线()C ，它的参数表示是()u a a ρρ=.曲线()C 和所有直母线相交，即过曲线()C 的每一点，有一条直母线，曲线()C 称为直纹面的导线.设()u b ρ是过导线()C 上()u a ρ点的直母线上的单位向量.导线()C 上()u a ρ点到直母线任一点()v u P ,的距离为v ，则向径→OP 可以表示成()()u b v u a r ρρρ+= （1）,这就是直纹面的参数表示. 1.2可展曲面的定义直纹面上任一点()v u P ,的法向量n ρ平行于v u r r ρρ⨯，从（1）容易算出：()()u b v u a r u '+'=ρρρ，()u b r v ρρ=，所以b b v b a r r v u ρρρρρρ⨯'+⨯'=⨯.当点在曲面上沿一条直线移动时有两种情形：情形1：b a ρρ⨯'与b b ρρ⨯'不平行，即()0,,≠''b b a ρρρ.情形2：b a ρρ⨯'与b b ρρ⨯'平行，即()0,,=''b b a ρρρ.对于第2种情形的直纹面我们称为可展曲面，也就是说，可展曲面是沿一条直母线有同一个切平面的直纹面.2直纹面成为可展曲面的几个充要条件2.1定理1[]2：一个曲面是可展曲面⇔该曲面或是柱面，或是锥面，或是任意空间曲线的切线曲面.证明：⇐：由于柱面、锥面、任意空间曲线的切线曲面是直纹面，所以直纹面的参数方程为()()u b v u a r ρρρ+=.(1)因为柱面的()=u b ρ常向量，所以()0='u b ρ.则()()()()()0,,='⋅⨯'=''b b a u b u b u a ρρρρρρ.故柱面是可展曲面.(2)锥面的腰曲线为一点，导线也为一点，故()=u a ρ常向量，所以()0='u a ρ.从而()()()()()0,,='⨯⋅'=''b b a u b u b u a ρρρρρρ.故锥面是可展曲面.(3)任意空间曲线的切线曲面的切线()()u b u a ρρ//'，故()()0=⨯'u b u a ρρ，从而()()()()0,,=''u b u b u a ρρρ.任意空间曲线的切线曲面是可展曲面. ⇒：对于可展曲面有()0,,=''b b a ρρρ，取腰曲线为导线，即此时有0='⋅'b a ρρ.(1)当0='a ρ时，()=u a ρ常向量，这表示为腰曲线退化为一点，也就是说，各条直母线上的腰点都重合.我们得到以所有母线上公共的腰点为顶点的锥面.(2)当0≠'a ρ时，由条件()0,,=''b b a ρρρ，0='⋅'b a ρρ并且1=b ρ，b b '⊥ρρ得到()()u b u a ρρ//'.这时得到切于腰曲线的切线曲面.(3)当0='b ρ时，()=u b ρ常向量，这表示柱面.例1[]1求证正螺面{}b au u u v r +=,sin ,cos ρ是不可展曲面. 证明：令()()u b v u a r ρρρ+=，则所给的曲面可写为{}{}0,sin ,cos 0,0u u v b au r ++=ρ.则{}b au a +=,0,0ρ，{}0,sin ,cos u u b =ρ，从而{}a a ,0,0='ρ，{}0,cos ,sin u u b -='ρ，则()()()()()b b a u b u b u a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b uu a e e e '⋅ρρρρ0sin cos 0321={}{}0,cos ,sin 0,cos ,sin u u u a u a -⋅- =a .当0≠'a ρ时，有()0,,≠''b b a ρρρ.故正螺面{}b au u u v r +=,sin ,cos ρ是不可展曲面.2.2定理2[]4：设直纹面S 的参数方程是()()u b v u a r ρρρ+=，则S 是可展曲面的充分必要条件是，向量函数()u a ρ，()u b ρ满足方程()()()()0,,=''u b u b u a ρρρ. *证明：对直纹面S 的参数方程求导得到()()u b v u a r u '+'=ρρρ，()u b r v ρρ=， 因此曲面的法向量是()()()()u b u b v u a r r v u ρρρρρ⨯'+'=⨯.如果S 是可展曲面，则在直母线上的任意两个不同点()1,v u 和()2,v u ，其中21v v ≠，曲面S 的法向量应该互相平行，即()()()()()()()u b b v u a u b u b v u a ρρρρρρ⨯'+'⨯'+'21,//根据向量的双重向量积的公式()()()a cb bc a c b a ρρρρρρρρρ⋅-⋅=⨯⨯，我们有()()()()()()()()()u b b v u a u b u b v u a ρρρρρρ⨯'+'⨯⨯'+'21,=()()()()()()()()()u b u b u b v u a u b v u a ρρρρρρ⨯'+''+'21=()()()()()()()()()u b u b u b v u a u b v u a ρρρρρρ,,21'+''+'=()()()()()()u b u b u b u a v v ρρρρ''-,,21.由于()()()0,211≠-=⨯u b v v r r v u v u ρρρ，所以上式末端的混合积为零，即*式成立.上面的论证过程是可逆的，因此*式也是直纹面为可展曲面的充分条件，定理成立.例2[]2证明曲面()(){}v u v v u v v v u v r 2,cos sin ,sin cos ++++-=ρ是可展曲面.证明：令()()u b v u a r ρρρ+=，则由题得{}v v v v v v v a 2,cos sin ,sin cos +-=ρ，{}1,cos ,sin v v b -=ρ，则{}2,sin cos 2,cos sin 2v v v v v v a ---='ρ，{}0,sin ,cos v v b --='ρ，则()()b b a b b a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b vv vv v v v v e e e '⋅----ρρρρ0cos sin 2sin cos 2cos sin 2321={}b v v v v v '⋅--ρ,cos ,sin=0sin cos sin cos ⋅--v v v v v v v =0. 即()0,,=''b b a ρρρ.故所给曲面为可展曲面.2.3定理3[]2：曲面上的曲线是曲率线的充分必要条件是沿此曲线的曲面的法线组成一可展曲面.证明：设曲面上的曲线()s a a ρρ=是曲率线，则根据罗德里格定理可知a d n d ρρ1κ-=，即()()()s a s s n&ρ&ρ1κ-=， 其中()s 1κ为对应的主曲率.由此得出a n&ρ&ρ//，所以有 ().0,,=nn a &ρρ&ρ 因此沿此曲线，曲面的法线组成的曲面n v a r ρρρ+=是可展曲面.反之，设()s a a ρρ=是曲面上一条曲线.曲面沿此曲线的法线构成一个可展曲面n v a r ρρρ+=.于是有().0,,=nn a &ρρ&ρ 由于n ρ是单位向量，所以n n &ρρ⊥.而且a&是曲面的切向量，因而a n &ρ&ρ//. 由此可得a n &ρ&ρ//或a d n d ρρ//. 根据罗德里格定理,a d ρ是主方向. 因此曲线()s a a ρρ=是曲面的曲率线.例3[]1求证挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.证明：设有空间挠曲线()s a a ρρ=，曲线的副法线曲面为()()s v s a r γρρρ+=，βτγρ&ρ-=，则()()()()0,,,,≠=-⋅⨯=-'=''τβτγβτγρρρρρρρρρa a b b a ，故副法线曲面不是可展曲面.2.4 定理4[]4：一曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为单参数平面族的包络.证明：充分性：单参数平面族为()()()()0=+++ααααD z C y B x A .则特征线方程为()()()()()()()()()()⎩⎨⎧='+'+'+'==++++=0,,0,,αααααααααD z C y B x A z y x F D z C y B x A z y x F . 它是平面与平面的交线，即为直线，所以这些特征线的轨迹为直纹面，即包络面为直纹面，下证是可展的.由于包络面沿特征线（现为直母线）与族中曲面（平面）相切，所以此平面是直母线所有点的公共切平面，即沿一条直母线有同一个切平面，按可展曲面的定义，它是可展的.必要性：设曲面可展.由于直纹面的坐标曲线为直母线和与导线平行的曲面，所以对于可展曲面，它的直母线就是v 线（u =常数），当u 变化时，得到v 族线，所以可展曲面可以看成是由单参数u 的直母线族所构成的，即可展区面的直母线族仅与单参数有关，而且经过给定的母线，可引唯一的切平面，因此，所有切于可展曲面的切平面也只与一个参数有关，这就是说可展曲面在它每一点处切于它的单参数平面族中的某一平面，即可展曲面是这个单参数平面族的包络. 例4[]4 求证可展曲面()1222=-+y x 是单参数平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络.证明：先求所给单参数平面族的1sin sin cos =-+αααz y x 包络. 令()1sin sin cos ,,,--+=ααααz y x z y x F ，则()αααααcos cos sin ,,,z y x z y x F -+-=.将方程组中0=F ，0=αF 的参数α消去得到()1222=-+y x .即证得可展曲面()1222=-+y x 是单参数平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络.2.5 定理5[]2：一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲率恒等于零.证明：如果曲面是可展的，则沿同一直母线的单位法向量n ρ不变，即0=n d ρ，零向量与任意另外的向量共线，因此有r d n d ρρ//.根据罗德里格定理，沿直母线的方向是主方向，并且主曲率01=κ（或02=κ），于是021≡=κκK .反之，如果0≡K ，则021≡=κκK .设02=κ，这时对应它的方向是渐进方向也是主方向，所以这一族渐进曲线也是曲率线. 根据罗德里格定理,沿渐进曲线有r d n d ρρ2κ-=，因而0=n d ρ，即=n ρ常向量.这说明单位法向量沿渐进曲线保持常向量.因此，在所有渐进曲线上曲面的法线都互相平行.又对于渐进曲线的切向量r d ρ有0=⋅n r d ρρ.所以沿渐进曲线有=⋅n r ρρ常向量. 设0r ρ是渐进曲线上某定点0M 的向径，则由以上结果有n r n r ρρρρ⋅=⋅0，即()00=⋅-n r r ρρρ.由此得到连接渐进曲线上的定点0M 和渐进曲线上任意点的向量0r r ρρ-垂直于n ρ，因而必在点0M 的切平面上，所以渐进曲线的所有点都在点0M 的切平面上.于是，这个包含渐进曲线而且垂直于沿它的常法向量n ρ的平面，就是渐进曲线所有点的切平面.换句话说，对同一条渐进曲线上的点，其切平面是同一个.由此可见，曲面是一个单参数平面族的包络面，因而是可展曲面.例5[]2求取面{}v u v v r +=,sin ,cos ρ的高斯曲率.解：令()()v b u v a r ρρρ+=，则所给曲面为{}{}1,0,0,cos ,sin u v v v r +=ρ，则{}v v v a ,cos ,sin =ρ，{}1,0,0=b ρ则{}1,sin ,cos v v a -='ρ，{}0,0,0='b ρ，则()()b b a b b a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b vv e e e '⋅-ρρρρ1001sin cos 321=0.即()0,,=''b b a ρρρ.故该曲面是可展曲面，从而其高斯曲率为0.2.6定理6[]2：可展曲面可以与平面成等距对应（简称展为平面）. 证明:在直角坐标系()y x ,下，平面的第一基本形式为22dy dx I +=，在极坐标系()θρ,下，通过变换θρcos =x ，θρsin =y 得第一基本形式22θρd d I +=，（1） 柱面：()()s b v s a r ρρρ+=其中b ρ为沿柱面母线的单位常向量，()s a a ρρ=是与柱面母线正交的一条曲线，s 是它的弧长.于是αρ&ρρ==a r s ，b r v ρρ=，12===αρρρs s r r E ，0==v s r r F ρρ，1==v v r r G ρρ从而第一基本形式为22dv ds I +=.这与上述平面的第一基本形式有相同的形式，因此柱面可以展为平面，.(2)锥面：()()s b v s a r ρρρ+=0，其中0a ρ为常向量，()s b ρ为锥面母线上的单位向量， 而s 是单位球面曲线()s b b ρρ=的弧长，则有12=b ρ，0=⋅b b &ρρ，12=b &ρ，于是b v r s &ρρ=，b r v ρρ=，2v r r E s s ==ρρ，0==v s r r F ρρ，1==v v r r G ρρ第一基本形式为222dv ds v I +=，这与上述平面的第一基本形式有相同的形式，因此锥面可以展为平面.（3） 切线曲面：()()s v s a r αρρρ+=其中()s αρ为曲线()s a a ρρ=的切向量()s a&ρρ=α，s 为曲线()s a ρ的弧长. 于是βκαρρρv r s +=，()s r v αρρ=，221κv r r E s s +==ρρ，1==v s r r F ρρ，1==v v r r G ρρ，有222221dv dsdv ds v I +++=κ.上式中出现曲率，但没有挠率，所以如果两条曲线曲率相同，即使挠率不同，它们的切线曲面也有相同的第一基本形式，即是等距的，由此，现给定曲率和挠率分别为()s κκ=，()s λττ=，()10<≤λ由曲线论基本定理，除空间位置差别外， 确定了唯一一条曲线()c ，当λ从1连续变到0时，得到一个连续的曲线的曲线族{}λc ,这些曲线族的切线曲面也变动，但由于曲率不变，因此这些切线曲面是等距的.当λ=0是τ=0，此时曲线为平面曲线，但平面曲线的切线还在此平面上，这时的切线曲面就是平面曲线所在的平面，但第一基本形式不变，因此切线曲面也可展成曲面.又由前面结论，可展区面只有以上三种，综上所述，命题成立.例6[]3 证明曲面⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++=v u u uv u v u r 243232,2,31ρ可以展为平面.证明：令()()u b v u a r ρρρ+=，则所给曲面为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=243232,,31,2,u u v u u u r ρ，则{}432,2,u u u a =ρ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=232,,31u u b ρ，从而{}324,6,2u u u a ='ρ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧='u b 34,1,0ρ，则()()()()()b b a u b u b u a '⋅⨯'=''ρρρρρρ,,=b u u u uu e e e '⋅ρρρρ2323213231462 =b '⋅ρ0 =0. 即()0,,=''b b a ρρρ故曲面是可展曲面，从而可以展为平面.参考文献：[1]王幼宁、刘继志.微分几何讲义[M].本经师范大学出版社，2007年1月第一版 [2]梅向明、黄敬之.微分几何[M].高等教育出版社，2003年12月第三版 [3]黄振荣、杨文茂.微分几何[M].武汉大学出版社，2008年9月第一版 [4]陈维桓.微分几何[M].北京大学出版社，2006年6月第1版。

直纹曲面是可展曲面的一个充要条件摘要：可展曲面是直纹面的一种类型，可展曲面就是沿每一条直母线只有一个切平面.通过几何分析方法，讨论了直纹曲面，给出了直纹曲面是可展曲面的一个充分切必要条件，说明直纹曲面)()(),(:u e v u v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：沿准线)(,0:u r v C ρ==，曲面S 是它的切平面的包络面，并且给出了这个定理应用的两个例子.关键词：直纹曲面 可展曲面 包络面1直纹曲面与可展曲面我们知道由动直线产生的曲面为直纹曲面，动直线为该直纹曲面的直母线。

如柱面、锥面、一条曲线的切线曲面等都是直纹曲面。

文献[1]利用曲线测地挠率与曲线挠率的关系来刻划直纹曲面是可展曲面。

本文利用包络面来刻划直纹曲面是可展曲面。

设))((:21u u u u C ≤≤=ρρ是直纹曲面S 上的一条准线，即C 与所有直母线相交，设)(u e 是过))((u P ρ点的直母线上的非零矢量，则直纹曲面S 的参数方程是)()(:u e v u r S +=ρ （1） 其中21u u u ≤≤，+∞<<∞-v ，u 线是与准线C 平行的曲线，v 线是值母线。

特别地，当0)(ρρ=u 是常矢时)(:0u e v r S +=ρ （2） 是锥面，0)(:e v u r S +=ρ （3）是柱面，其中0)(e u e =是常矢。

定义1 若直纹曲面（1）式沿每一条直母线只有一个切平面，即对一切的v 值，法线方向上的矢量v u r r N ⨯=彼此平行，即对21v v ≠有：0),(),(21=⨯v u N v u N （4） 则称直纹曲面（1）式是可展曲面。

定理1 直纹曲面)()(:u e v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：0))(),(),((''=u e u e u ρ （5） 定理2 直纹曲面)()(:u e v u r S +=ρ是可展曲面，其充要条件是：或者S 是柱面，或者S 是锥面，或者S 是一条曲线的切线曲面。