下载文档原格式
代数中“合同”与“相似”概念的区别辨析在《高等代数》中队与多个矩阵有“合同”与“相似”的概念，关于这两组概念在定义上有很多相似的地方（合同——'B C AC =，相似——-1B C AC =），并且在《高等代数》在讲到“（欧式空间下）实对称矩阵的标准形”时有如下的定理：因此在这里给我们一种印象，即矩阵间的合同与相似在某种条件下画了=“”，这究竟是怎么回事，为此我们应该去深入的探求矩阵“合同”与“相似”之间的联系。
这个过称是循序渐进的，在学习“双线性函数”后，又对这个问题有了更深刻的理解，并且大胆的估计，“合同”与“相似”在概念上的区别会是代数问题上的一类大问题，现在对这个问题的思考结果归纳如下让我们先从线性变换这一概念出发，我们知道在对线性空间上的线性变换的有关性质直接的进行研究是不好做的，为此我们引进了“线性变换的矩阵”这一概念，即在一个线性变换，n 维空间的一组基，一个n 阶矩阵之间建立起了一对一的关系，关系如图而我们知道同一个线性变换在不同的一组基下，它所对应的矩阵是不同的，而这些矩阵之间的关系我们把它定义为“相似”，并且我们可以知道这些相似矩阵之间有这样的关系1B X AX -=,X 为这两组基之间的过渡矩阵，回顾“相似”概念，我们可以看出，“相似”的提出时基于“线性变换”。
“相似”是同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系，我们在提炼一下，“相似”的出现是同一个线性变换在不同背景之下的不同的表现形式之间的关系，这对后面区别“合同”与“相似”有很重要的意义下面我们再来看看“合同”概念。
《高等代数》在二次型的章节中对二次型化标准形的过程中首次提出了“合同“的概念。
对一个二次型进行非退化的线性替换，这样的二次型的不同矩阵之间的关系定义为“合同”，即'B C AC =。
而回顾“合同”的概念，我们可以发现，“合同”的概念是基于二次型的化简中产生的概念，而当我们学习了双线性函数的内容后就会发现“合同”的概念是基于双线性函数提出的,因此在这里我们有必要提出双线性函数的有关内容：双线性函数类比欧式空间中的线性变换是线性空间上的一种映射，所谓的“双线性”是指在固定一个自变量的情况下，另一个自变量满足“线性”的关系。
4.2 二次型的标准型与规范型二次型是一个重要的数学概念，常常出现在线性代数和数学分析中。
在研究二次型的性质时，我们可以通过对其进行特征值分解来得到其标准型和规范型。
本文将对二次型的标准型与规范型进行详细阐述。
1. 二次型二次型是指形如 $f(x)=x^TAx$ 的二次齐次多项式，其中 $x$ 是 $n$ 维实向量，$A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。
其中 $n$ 称为二次型的阶数。
二次型具有以下性质：（1）对称性：$f(x)=x^TAx=x^T(A^T)x=f(x)$；（2）齐次性：$f(kx)=k^2f(x)$，其中 $k$ 是常数；（3）线性性：$f(x+y)=f(x)+f(y)$；（4）正定性：如果对于任意非零 $x$，有 $f(x)>0$，则称这个二次型是正定的；（8）无定性：如果既不是正定的，也不是负定的，则称这个二次型是无定性的。
2. 标准型标准型是指经过矩阵相似变换得到的对角矩阵。
标准型对于研究二次型的性质非常方便，因为对角矩阵的特殊性质使得二次型的性质易于判断。
我们可以通过以下步骤获得一个二次型的标准型：（1）求出二次型的矩阵 $A$ 的特征值和特征向量；（2）将特征向量按对应的特征值大小排列，组成矩阵 $P=[p_1, p_2, \cdots, p_n]$；（3）令 $D=\begin{bmatrix}\lambda_1 & & \\& \ddots & \\& & \lambda_n\end{bmatrix}$，其中 $\lambda_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值；（4）则可得到一个相似变换矩阵 $T=P^{-1}$，使得 $T^{-1}AT=D$。
此时，$D$ 即为该二次型的标准型。
标准型的优点在于可以直接通过特征值的正负性判断二次型是否正定、负定或者无定。
例如，如果所有的特征值都为正，则该二次型是正定的；如果所有的特征值都为负，则该二次型是负定的；如果特征值有正有负，则该二次型是无定性的。
标准形矩阵的定义标准形矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和计算机科学中具有广泛的应用。
标准形矩阵是一种特殊的方阵，具有一些特定的性质和特征。
在本文中，我们将对标准形矩阵的定义进行详细的介绍，包括其性质、特征和相关概念。
首先，我们来看一下标准形矩阵的定义。
标准形矩阵是指一个方阵，它满足以下两个条件，一是矩阵是对称的，即矩阵的转置等于其本身；二是矩阵的元素只能取0或1，即矩阵中的元素只能是二进制数。
换句话说，标准形矩阵是一个对称的二进制矩阵。
标准形矩阵具有一些独特的性质。
首先，由于标准形矩阵是对称的，所以它的主对角线上的元素都是0。
其次，标准形矩阵的转置等于其本身，这意味着矩阵中任意两个元素a[i][j]和a[j][i]相等。
另外，标准形矩阵的元素只能取0或1，这使得它在计算机科学中具有重要的应用，例如在图论和网络分析中。
除了以上的性质外，标准形矩阵还具有一些特征。
首先，标准形矩阵是一种特殊的对称矩阵，它具有对称矩阵的所有性质，例如对角化、特征值等。
其次，标准形矩阵在图论和网络分析中具有广泛的应用，例如在邻接矩阵和关联矩阵中。
另外，标准形矩阵还在密码学和信息安全领域有重要的应用，例如在置换密码和置换网络中。
在研究标准形矩阵时，还涉及到一些相关的概念。
例如，标准形矩阵可以通过对角化得到对角矩阵，这是矩阵理论中的一个重要概念。
另外，标准形矩阵还与图论和网络分析中的邻接矩阵、关联矩阵等有密切的联系，它们在实际问题中经常一起出现。
综上所述，标准形矩阵是一种特殊的对称二进制矩阵，具有一些特定的性质和特征。
它在矩阵理论、图论、网络分析、密码学和信息安全等领域具有广泛的应用。
通过深入研究标准形矩阵的定义、性质和特征，可以更好地理解和应用它在实际问题中的作用，为相关领域的研究和应用提供理论基础和方法支持。
正交阵实对称阵的正交化标准形及在历年考硕试卷中的相关题型分析摘要： 实对称阵的正交化标准形涉及正交阵，施密特正交变换以及矩阵的特征值，特征向量和对角形等方面的知识点，在矩阵函数的学习内容中占据着极其重要的基础地位，是我们全面掌握矩阵与二次型函数相关内容的关键环节。
关键词：实对称阵 正交阵 标准形 对角阵 正交化定义1. ()n n A a R ij⨯=∈,若E AA '=,则称A 为正交阵.正交阵的等价定义还有:()n n A a R ij⨯=∈ 11221(),1,2,,.0i j i j in jn i j i a a a a a a i j n i j =⎧+++==⎨≠⎩即同一行的乘积之和等于1，不同行的乘积之和等于0。
11221(),1,2,,0i j i j ni nj i jii a a a a a a i j n i j=⎧+++==⎨≠⎩1()iii A A -'=定理1 若A 为正交阵，则︱A ︱=1或-1引理1 正交阵的特征值的模为1，如果有实特征值B 能是±1， 以上定理及引理证明显然，我们不给出证明过程。
定义2 正交矩阵A 可以对角化，即存在复可逆矩阵T ，使11n A T T λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中1,,n λλ 为A 的全部特征值，即1,(1,2,,)i i n λ== 下面我们给出史密特（shmidt ）正交化的概念 设1,,()n n n Rαα⨯（1） 正交化。
令11βα=，,1,1111,11,1()()(2,3,,)()()k k k k k k k k k n αβαββαββββββ----=---=（2） 单位化。
令1,(1,2,,)k k kk n ηββ==（3）若令1(,,)n A ηη= ，则为正交矩阵 引理2 设A 是实对称阵，则A 的特征值皆为实数 证明： 设0λ是A 的特征值，于是有非零向量12n x xx ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足0A ξλξ= 令12n x x x ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中i x 是i x 的共轭复数，则0A ξλξ= 考察等式 ()()(),A A A A ξξξξξξξξ'''''===其左边为0λξξ'，右边为0λξξ'。
2023-11-11CATALOGUE 目录•实对称矩阵的定义与性质•实对称矩阵的对角化•实对称矩阵的正交变换与标准形•实对称矩阵标准形的求解方法•实对称矩阵标准形的应用01实对称矩阵的定义与性质实对称矩阵的定义性质1实对称矩阵的特征值都是实数。
这是因为实对称矩阵的特征多项式系数都是实数，因此其根（即特征值）也必须是实数。
性质2实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交。
这是由实对称矩阵的定义和特征向量的性质共同决定的。
性质3实对称矩阵一定可以相似对角化，即存在可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵。
这是因为实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，且可以单位化，因此这些单位化的特征向量构成的矩阵 $P$ 就是所求的可逆矩阵。
例子1二维单位矩阵 $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 是一个实对称矩阵，因为$I_2^T=I_2$。
它的特征值是1，对应的特征向量是 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。
要点一要点二例子2二维矩阵 $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 也是一个实对称矩阵，因为 $A^T=A$。
它的特征值是1和-1，对应的特征向量分别是 $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 和$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1\end{pmatrix}$。
这些特征向量正交，且可以单位化，验证了实对称矩阵的性质2和性质3。
02实对称矩阵的对角化定义性质对角化的定义与性质方法一方法二实对称矩阵对角化的方法性质实对称矩阵对角化后得到的对角矩阵D中，对角线上的元素即为原矩阵的特征值，且这些特征值都是实数。
目 录1.引言 ................................................................................................. 1 2.实对称矩阵正定、半正定的简易判别方法 . (1)2.1 实对称 矩阵的几个定义[]3 ............................................................................ 1 2.2 实对称矩阵正定的充分必要条件有下列几种方法: ............................................ 1 2.3 实对称矩阵正定简易判别的几个充分必要条件。
.............................................. 3 2.3.1 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 合同于单位矩阵E []3. (4)2.3.2 n 元实二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数[]9等于n 。
(5)2.4 实对称矩阵A 半正定的几个充分必要条件[]6。
................................................ 5 2.4.1 二次型()n x x x f ,,,21 Ax x T =，其中A A T =，()n x x x f ,,,21 半正定。
. 5 2.4.2 n 阶实对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的正惯性指数等于它的秩。
(5)2.4.3 n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
(5)2.4.4 实对称矩阵A 的所有主子式皆大于或等于零。
............................................. 5 2.4.5 有实矩阵C 使C C A T=，则A 半正定。
