高二数学高中数学综合库试题答案及解析

高二数学高中数学综合库试题答案及解析

1. 函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：

①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；

②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；

③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；

④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数．

其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)

【答案】②③

【解析】对于①所以不是单函数；对于②根据单函数的定义可知此命题正确。对于③意思是最多有一个解。显然符合单函数的要求.对于④必须说明它在整个定义域内单调或一一对应。才能说明是单函数。故④错。所以正确的有②③.

2. 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】略

3. 过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（ ）

A．0条 B．1条 C．2条 D．3条

【答案】C

【解析】略

4. 已知，，

若向区域上随机投一点P，则 点P落在区域的概率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】略

5. 已知椭圆C:（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为. (Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值

【答案】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意 …………2分

，所求椭圆方程为． …………4分

（Ⅱ）设，． （1）当轴时，． ……5分

（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．

由已知，得．

把代入椭圆方程，整理得， ………6

，． ……7分

………8分

． ………9分

当且仅当，即时等号成立．当时，， …10分

综上所述．

当最大时，面积取最大值．

【解析】略

6. (本小题满分10分)从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题．

(I)在79．5～89．5之间的频率、频数分别是多少?

(Ⅱ)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格)．

【答案】解：（Ⅰ）频率为0.025×10＝0.25;……3分

频数为60×0.25＝15.所以在之间的频率、频数分别是0.25和15.……5分

（Ⅱ）0.015×10＋0.025×10＋0.03×10＋0.005×10＝0.75

所以估计及格率为0.75.…10分

【解析】略

7. 在△ABC中，若，则其面积等于 （ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】略

8. 如图：已知平面//平面,点A、B在平面内，点C、D在内，直线AB与CD是异面直线，点E、F、G、H分别是线段AC、BC、BD、AD的中点，

求证：（Ⅰ）E、F、G、H四点共面； （Ⅱ）平面EFGH//平面.

【答案】（Ⅰ）∵点E、F是线段AC、BC的中点，∴EF∥AB,

又∵G、H是线段BD、AD的中点，∴GH∥AB,

∴EF∥GH, 因此： E、F、G、H四点共面；

（Ⅱ）∵平面//平面,点A、B在平面内，∴AB//平面

设平面ABC与平面的交线为CP,

∵直线AB与CD是异面直线, ∴CP与CD是交线，

∵AB//平面, ∴AB//CP, 又EF∥AB, ∴EF//CP,∴EF∥平面，

∵点E、H是线段AC、AD的中点，∴EH∥CD, ∴EH∥平面，

因此：平面EFGH//平面

【解析】【考点】平面与平面平行的判定．

分析：（Ⅰ）根据中位线定理可知EF∥AB，GH∥AB，从而EF∥GH，根据公理可知两平行线确定一平面，则E、F、G、H四点共面；

（Ⅱ）根据平面α∥平面β，点A、B在平面α内，则AB∥平面α，设平面ABC与平面β的交线为CP，根据AB∥平面α，则AB∥CP，又EF∥AB，则EF∥CP，根据线面平行的判定定理可知EF∥平面β，根据中位线定理可知EH∥CD，从而EH∥平面β，最后根据面面平行的判定定理可平面EFGH∥平面β．

解答：证：（Ⅰ）∵点E、F是线段AC、BC的中点，

∴EF∥AB，

又∵G、H是线段BD、AD的中点，∴GH∥AB，

∴EF∥GH，因此：E、F、G、H四点共面；

（Ⅱ）∵平面α∥平面β，点A、B在平面α内，∴AB∥平面α

设平面ABC与平面β的交线为CP，

∵直线AB与CD是异面直线，

∴CP与CD是交线，

∵AB∥平面α，∴AB∥CP，又EF∥AB，

∴EF∥CP，∴EF∥平面β，

∵点E、H是线段AC、AD的中点，

∴EH∥CD，∴EH∥平面β，

因此：平面EFGH∥平面β．

点评：本题考查证明两个平面平行的方法：在一个平面内找到两条条相交的直线和另一个平面平行，属于基础题．

9. 下图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填

入的条件是

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】略

10. 函数的值域为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】略

11. （本题满分13分）

在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍．

（1）写出此数列的前项；

（2）归纳猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．

【答案】解：（1）由已知，，分别取，得，，，

；

所以数列的前5项是：，，，，；

（2）由（1）中的分析可以猜想．

下面用数学归纳法证明：

①当时，猜想显然成立．

②假设当时猜想成立，即．

那么由已知，得，

即．所以，

即，又由归纳假设，得，

所以，即当时，公式也成立．

当①和②知，对一切，都有成立．

【解析】略 12. 某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为 （ ）

A． B． C．600 D．

【答案】略

【解析】略

13. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】略

14. 已知满足约束条件则的取值范围为 （ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】略

15. 设，若且，则下列结论中必成立的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】略

16. （本题满分10分）

⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为。

（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程。

【解析】略

17. 将参数方程化为普通方程为

A． B．K^S*5U.C#O%

C． D．

【答案】 C

【解析】略

18. （本小题满分14分）对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数. （Ⅰ）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；

（Ⅱ）设是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值.

【解析】【解】（1）对于函数，当时，.

当或时，恒成立，故是“平底型”函数

……………………………………………………………2分

对于函数，当时，；

当时，.

所以不存在闭区间，使当时，恒成立.

故不是“平底型”函数. ……………………………………4分

（Ⅱ）若对一切R恒成立，则.

因为，所以.又，则. ……6分

因为，则，解得.

故实数的范围是. …………………………………………………8分

（Ⅲ）因为函数是区间上的“平底型”函数，则

存在区间和常数，使得恒成立.

所以恒成立，即.解得或. ……10分

当时，.

当时，，当时，恒成立.

此时，是区间上的“平底型”函数. ………………12分

当时，.

当时，，当时，.

此时，不是区间上的“平底型”函数. ………………13分

综上分析，m＝1，n＝1为所求. ………………………………………14分

19. （本题12分）已知关于的不等式，其中.

（Ⅰ）当变化时，试求不等式的解集 ；

（Ⅱ）对于不等式的解集，若满足（其中为整数集）. 试探究集合能否为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由.

【答案】当时，集合的元素个数最少. …………………10分