电磁感应中的动力学问题、能量问题、动量问题

1 第二讲：电磁感应中的动力学问题、能量问题、动量问题

2019年03月16日23:45:31

写在前面的话

在解决运动学问题时，我们有三种思路即动力学观点、能量观点、动量观点。这三个观点在解决物理问题时，互有优势，地位相同，在同学们心中总是倾向于认为动量要“低一等”这是完全错误的。动力学的核心公式是F=ma，主要用于解决匀变速（直线和曲线）问题、瞬时加速度问题；能量观点核心是能量守恒和功能关系，可以解决匀变速问题也可以解决变加速问题，相对于动力学观点更加简单，但一般不涉及时间，不能用于求瞬时加速度等问题，这就是能量观点解决问题的劣势；动量观点相对于动力学观点和能量观点，其优势在于可以在不涉及位移和加速度的情况下解决问题，主要用于解决不涉及位移又涉及时间的问题，相对于动力学方法，可以省去计算加速度的过程，相对于能量观点，动量观点可以解决涉及时间的问题，动量守恒与能量守恒相互独立，在有些情况下需要能量守恒和动量守恒联合运用，特别是在求解冲击力和碰撞的情形中，动量观点有无可替代的作用。当然这些都不是绝对的（例如在给出牵引力恒定功率的条件下，运用能量观点是涉及时间的），同学们在学习过程中需要不断自我总结，慢慢体会。

一、电磁感应中的动力学问题

电磁感应中，由于导体运动切割磁感线，产生电动势（E=nBlv），进而在导体中形成电流(I=nBlvR+r)，从而受到安培力(F=nBIL=nB2L2vR+r)，可以看出这里的安培力和速度成正比，可以理解为，在动生电动势中，安培力与速度密切相关。

例1、如图所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ=37°的绝缘斜面上，顶部接有一阻值R=3Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L=1m。整个装置处于磁感应强度B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上。质量m=1kg的金属棒ab置于导轨上，ab在导轨之间的电阻r=1Ω，电路中其余电阻不计。金属棒ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好。不计空气阻力影响。已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数μ=0.5， 2 sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s2。

（1）求金属棒ab沿导轨向下运动过程中，v=1m/s时，导体棒的加速度；

（2）请定性画出导体棒运动的v-t图像。

（3）求金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度vm；

思维点拨：安培力与速度有关，此过程一定是变加速运动，给出速度就能求解安培力(F安=B2L2vR+r),也就知道受力情况，进而由牛顿第二定律确定加速度。稳定时根据受力平衡，很容易得到最大速度。

二、电磁学中能量问题（能量守恒、功能关系）

1、什么时候用动力学观点、什么时候用能量观点

动力学（核心公式F=ma）相对于能量观点，主要用于解决恒力作用下的运动（运动的分解），与时间相关的运动（若题目中给出恒定功率除外）。其他情形下能量观点更加方便（比如匀变速运动问题，若不牵涉时间，利用动能定理更加方便）。

2、什么情况下用能量守恒，什么时候用功能关系

一般题目中所有力的施力物体都清晰，此时就可以用能量守恒和功能关系，若存在某些力施力物体不明确（往往是对某个物体施加一个拉力、推力等，但不说这个拉力的施力物体是谁），此时就只能用功能关系。在有电势能参与的情况下，如果定性分析（增大减少等）还是可以用能量守恒，如果定量分析一般就只能用功能关系，因为电势能的零势能点都取在无限远处，这给确定势能带来困难，如果先用电场力做功确定电势能的变化再用能量守恒，则繁琐，与其这样不如直接用功能关系来的直接。

（1）能量守恒解题的一般思路 3 ○1分析有哪些能量参与（一般只有势能（重力势能、系统内弹性势能、电势能）、动能、内能（摩擦生热和电生热）和电能（通常会转化为电热）四种能量参与，同学们大可不必恐惧）

○2分析哪些能量增加，哪些能量减少

○3列出守恒方程（减少量=增加量 ）这种列法是没有负值的，左边是减少量右边是增加量，都是绝对值的关系，减少量也是正值。

能量守恒方程的另外两种常用列法：

i.𝐸1=𝐸2(即两个状态的能量相等，缺点是涉及势能时，一定要规定零势能点，优点是不用考虑能量的转化方向)

II.∆𝐸1+∆𝐸2=0,即两个状态能量的变化量之和为0，这样做的好处是不用整体去看哪个能量增加，哪个能量减少，只需要单个能量考虑自身的变化量，然后简单地相加即可。注：∆𝐸=𝐸末−𝐸初

例2、(多选)如图所示,平行金属导轨与水平面间的夹角为θ,导轨电阻不计,并与阻值为R的定值电阻相连,匀强磁场垂直穿过导轨平面,磁感应强度大小为B. 有一质量为m、长为l的导体棒从ab位置获得平行于斜面的、大小为v的初速度向上运动,最远到达a′b′的位置,滑行的距离为s,导体棒的电阻也为R,与导轨之间的动摩擦因数为μ.则( )

A. 上滑过程中导体棒受到的最大安培力为B2l2v2/R

B. 上滑过程中通过电阻R的电量为Bls/R

C. 上滑过程中回路中产热为)cos(sin212mgsmv

D. 上滑过程中导体棒损失的机械能为sin212mgsmv

思维点拨：最远点、最高点的内在含义是在某个方向上的速度为零，如最高点就是竖直方向的速度为零。

4 强化训练：

1、如图所示,两根足够长的平行导轨处在与水平方向成θ=37∘角的斜面上,导轨电阻不计,间距L=0.3m,导轨两端各接一个阻值R0=2Ω 的电阻;在斜面上加有磁感应强度B=1T、方向垂直于导轨平面的匀强磁场。一质量m=1kg、电阻r=2Ω 的金属棒横跨在平行导轨间,棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5.金属棒以平行于导轨向上、v0=10m/s的初速度上滑,直至上升到最高点的过程中,通过上端电阻的电荷量△q=0.1C,求上端电阻R0产生的焦耳热Q.(g取10m/s2)

思维点拨：已知通过上端电阻的的电荷量，可以计算出，通过整个回路的电荷量（上下两个电阻并联，电流与电阻成反比，但此时上下两个电阻相等，即通过下端的电荷量和通过上端的电荷量相等，继而算出通过整个回路的电荷量等于通过上端电荷量的2倍），在应用q=n∆ΦR+r(此时外电阻为R02)，计算得出位移，再利用能量守恒解题。

2、如图所示,两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L,导轨平面与水平面夹角α=30∘,导轨上端跨接一定值电阻R,导轨电阻不计。整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中,长为L的金属棒cd垂直于MN、PQ放置在导轨上,且与导轨保持电接触良好,金属棒的质量为m、电阻为r,重力加速度为g,现将金属棒由静止释放,当金属棒沿导轨下滑距离为s时,速度达到最大值vm.求：(1)金属棒开始运动时的加速度大小；

(2)匀强磁场的磁感应强度大小； 5 (3)金属棒沿导轨下滑距离为s的过程中，电阻R上产生的电热。

思维点拨：在求热量的时候，下滑过程中，有重力势能、动能和电能参与，电能最终转化为内能，所以如果只看初末状态，就只有重力势能、动能和内能（热量）参与，重力势能在减少，动能和内能在增加，即可以看做减少的势能等于增加的内能和动能，但注意产生内能（热量）的是导体棒和导轨上端的电阻，计算出总热量后再根据串联电路特点知道，产生的内能（热量）与电阻成正比进行计算。

3、如图所示,一足够长的光滑平行金属轨道,其轨道平面与水平面成θ角,上端用一电阻R相连,处于方向垂直轨道平面向上的匀强磁场中。质量为m、电阻为r的金属杆ab,从高为h处由静止释放,下滑一段时间后,金属杆开始以速度v匀速运动直到轨道的底端。金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好,轨道电阻及空气阻力均可忽略不计,重力加速度为g.则( )

A. 金属杆加速运动过程中的平均速度为V/2

B. 金属杆加速运动过程中克服安培力做功的功率大于匀速运动过程中克服安培力做功的功率

C. 金属杆的速度为V/2时,它的加速度大小为gsinθ/2

D. 整个运动过程中电阻R产生的焦耳热为221mvmgh

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4、如图所示,光滑的轻质定滑轮上绕有轻质柔软细线,线的一端系一质量为2m的重物,另一端系一质量为m、电阻为R的金属杆,在竖直平面内有足够长的平行金属导轨PQ、EF,其间距为L,在Q、F之间连接有阻值为R的电阻,其余电阻不计,一匀强磁场与导轨平面垂直,磁感应强度为B0，开始时金属杆置于导轨下端QF处，将重物由静止释放，当重物下降h时恰好达到稳定速度而后匀速下降，运动过程中金属杆始终与导轨垂直且接触良好，不计一切摩擦和接触电阻，重力加速度为g，求：

(1)重物匀速下降时的速度v；

(2)重物从释放到下降h的过程中，电阻R中产生的热量Q；

(3)设重物下降h时的时刻t=0,此时速度为v0，若从t=0开始，磁场的磁感应强度B逐渐减小，且金属杆中始终不产生感应电流，试写出B随时间t变化的关系。

（2）利用功能关系解题

根据具体情况列出下列表达式中的一种或几种，即可解决问题

○1合外力做功等于动能变化量（W合=∆Ek）

○2保守力做功与势能：重力做功与重力势能变化的关系（WG=−∆Ep）

弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系（W弹=−∆Ep）

静电力做功与电势能变化的关系（W静=−∆Ep）

○3除了重力和系统内弹力做功，其他力做功等于系统机械能的变化量（W非重力、非系统内弹力=∆E机械能）(因为重力和系统内弹力做功不会改变协同的机械能) 7 ○4（对电荷）非静电力做功等于其他形式的能转化为电能（W非静电力=∆E电）

○5仅有感应电动势的电路中，安培力做功的绝对值等于整个回路中的电热（Q电=−W安）

推导过程：安培力功率的绝对值P安=BIL∙v=BBLvR+rv=(BLv)2R+r=(BLvR+r)2(R+r)=I2(R+r)=PQ

○6未知来源的力做功等于系统能量的变化量(WF=∆E)

例3、（功能关系）如图所示,MN、PQ是足够长的光滑平行导轨,其间距为L,且MP⊥MN.导轨平面与水平面间的夹角θ=30∘.MP接有电阻R.有一匀强磁场垂直于导轨平面,磁感应强度为B0.将一根质量为m的金属棒ab紧靠MP放在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒的电阻也为R，其余电阻均不计。现用与导轨平行的恒力F=mg沿导轨平面向上拉金属棒，使金属棒从静止开始沿导轨向上运动，金属棒运动过程中始终与MP平行。当金属棒滑行至cd处时已经达到稳定速度，cd到MP的距离为s.求：

(1)金属棒达到稳定速度的大小；

(2)金属棒从静止开始运动到cd的过程中，电阻R上产生的热量；

思维点拨：此过程不满足应用能量守恒的条件，应用功能关系，和热量有关的功能关系可以选择哪一个呢？

强化训练

1、如图所示，足够长的水平导体框架的宽度 L =0.5 m，电阻忽略不计，定值电阻 R =2Ω。磁感应强度 B =0.8 T的匀强磁场方向垂直于导体框平面，一根质量为 m =0.2 kg、有效电阻 r =2Ω的导体棒 MN 垂直跨放在框架上，该导体棒与框架间的动摩擦因数 μ =0.5，导体棒在水平恒力 F =1.2N的作用下由静止开始沿框架运动到刚开始匀速运动时，通过导体棒截面