专题二十一 电磁感应中的动力学、能量和动量问题

第十二章 电磁感应

专题二十一 电磁感应中的动力学、能量和动量问题

核心考点 五年考情 命题分析预测

电磁感应中的动力学问题 2023：北京T18，浙江6月T19；

2022：海南T18，浙江6月T21；

2021：全国甲T21，湖北T16 高考中常通过导体棒＋导轨、导体框等模型考查电磁感应中力与运动、功与能、动量等力电综合问题，选择题和计算题都有考查，近年主要为计算题形式，试题综合性较强，难度较大.预计2025年高考可能会出现导体棒的受力及运动分析、电磁感应与动量定理和动量守恒定律相结合的综合性试题. 电磁感应中的能量问题 2023：北京T9，上海T19；

2022：全国乙T24；

2021：北京T7；

2019：北京T22

电磁感应中的动量问题 2023：全国甲T25，湖南T14；

2022：辽宁T15；

2019：全国ⅢT19

题型1 电磁感应中的动力学问题

1.导体受力与运动的动态关系

2.两种运动状态

状态 特征 处理方法

平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析

非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律结合运动学公式进行分析

3.“四步法”分析电磁感应中的动力学问题

命题点1 “单棒＋导轨”模型

1.如图所示，水平面（纸面）内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上.t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动.t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动.杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ.重力加速度大小为g.求：

（1）金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；

（2）电阻的阻值.

答案 （1）Blt0（𝐹𝑚－μg） （2）𝐵2𝑙2𝑡0𝑚

解析 （1）设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得F－μmg＝ma

设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有v＝at0

当金属杆以速度v在磁场中匀速运动时，由法拉第电磁感应定律得杆中的电动势为E＝Blv

联立解得E＝Blt0（𝐹𝑚－μg）

（2）设金属杆在磁场中匀速运动时，杆中的电流为I，根据闭合电路欧姆定律得I＝𝐸𝑅

式中R为电阻的阻值

金属杆所受的安培力为F安＝BIl

因金属杆做匀速运动，由平衡条件得F－μmg－F安＝0

联立解得R＝𝐵2𝑙2𝑡0𝑚.

2.如图，两条平行导轨所在平面与水平面的夹角为θ，平行导轨间距为L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为C.导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面.在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并接触良好.已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.金属棒和导轨的电阻可忽略不计.让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：

（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； （2）金属棒的速度大小随时间变化的关系.

答案 （1）Q＝CBLv （2）v＝𝑚（sin𝜃－𝜇𝒄os𝜃）𝑚＋𝐵2𝐿2𝐶gt

解析 （1）设金属棒下滑的速度大小为v，则产生的感应电动势为E＝BLv

平行板电容器两极板之间的电势差为U＝E

设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有C＝𝑄𝑈

联立解得Q＝CBLv

（2）设经过时间t金属棒的速度大小为v，通过金属棒的电流为i.金属棒受到的安培力方向沿导轨向上，大小为f1＝BLi

设在时间间隔t～t＋Δt内流经金属棒的电荷量为ΔQ，按定义有i＝Δ𝑄Δ𝑡

ΔQ也是平行板电容器在时间间隔t～t＋Δt内增加的电荷量，由（1）中结果可知ΔQ＝CBLΔv

式中，Δv为金属棒的速度变化量，按定义有a＝Δ𝑣Δ𝑡

金属棒受到的摩擦力方向沿导轨向上，大小为f2＝μN

式中，N是金属棒对导轨的正压力的大小，有

N＝mgcosθ

金属棒在t时刻的加速度方向沿导轨向下，设其大小为a，根据牛顿第二定律有mgsinθ－f1－f2＝ma

联立解得a＝𝑚（sin𝜃－𝜇𝒄os𝜃）𝑚＋𝐵2𝐿2𝐶g

可知金属棒做初速度为零的匀加速运动，t时刻金属棒的速度大小为v＝𝑚（sin𝜃－𝜇𝒄os𝜃）𝑚＋𝐵2𝐿2𝐶gt.

方法点拨

单棒＋电阻模型

物理模型

水平拉力F恒定，金属棒和水平导轨的电阻不计，摩擦力不计

动态分析 设运动过程中某时刻棒的速度为v，加速度为a＝Fm－B2L2vmR，a、v同向，随v的增大，a减小，当a＝0时，v最大，I恒定

最终状态 运动形式 匀速直线运动

力学特征 a＝0，v最大，vm＝FRB2L2

电学特征 I＝BLv𝑚R恒定

单棒＋电容器模型 金属棒的初速度为零，水平拉力F恒定，棒和水平导轨的电阻不计，摩擦力不计

↓

运动过程分析：棒做加速运动，持续对电容器充电，则存在充电电流，有F－BIL＝ma，I＝Δ𝑄Δ𝑡，ΔQ＝CΔU，ΔU＝ΔE＝BLΔv，联立可得F－𝐶𝐵2𝐿2Δ𝑣Δ𝑡＝ma，其中Δ𝑣Δ𝑡＝a，则可得a＝𝐹𝑚＋𝐶𝐵2𝐿2

↓

金属棒做加速度恒定的匀加速直线运动.

功能关系：WF＝12mv2＋E电

命题点2 线圈模型

3.[矩形线圈]如图所示，水平匀强磁场存在于虚线框内，矩形线圈竖直下落，线圈平面始终与磁场方向垂直.如果线圈受到的磁场力总小于其重力，则它在1、2、3、4位置时的加速度大小关系为（ B ）

A.a1＞a2＞a3＞a4 B.a1＝a3＞a2＞a4

C.a1＝a3＞a4＞a2 D.a4＝a2＞a3＞a1

解析 线圈在位置3时，线圈中没有感应电流，因此只受重力作用，故a1＝a3＝g.线圈在位置2和位置4时都有感应电流，但在位置4时的感应电流I4大于在位置2时的感应电流I2，则F安2＜F安4，而安培力均为阻力，故a4＜a2＜g，B正确.

4.[正方形单匝线圈]如图所示，电阻为0.1Ω的正方形单匝线圈abcd的边长为0.2m，bc边与匀强磁场左边界重合.磁场的宽度等于线圈的边长，磁感应强度大小为0.5T.在水平拉力作用下，线圈以8m/s的速度向右匀速穿过磁场区域.求在上述过程中

（1）线圈中感应电动势的大小E；

（2）线圈所受拉力的大小F；

（3）线圈中产生的热量Q.

答案 （1）E＝0.8V （2）F＝0.8N （3）Q＝0.32J

解析 （1）感应电动势E＝Blv 代入数据得E＝0.8V

（2）感应电流I＝𝐸𝑅

拉力的大小等于线圈受到的安培力F＝BIl

解得F＝𝐵2𝑙2𝑣𝑅，代入数据得F＝0.8N

（3）运动时间t＝2𝑙𝑣

由焦耳定律得Q＝I2Rt

解得Q＝2𝐵2𝑙3𝑣𝑅，代入数据得Q＝0.32J.

题型2 电磁感应中的能量问题

1.电磁感应中的能量转化

闭合电路中产生感应电流的过程，是其他形式的能转化为电能的过程.电磁感应中能量问题的实质是电能的转化问题，桥梁是安培力.

2.求解焦耳热的三种方法

能量转化问题的分析程序：先电后力再能量

命题点1 功能关系的应用

5.[多选]如图，MN和PQ是电阻不计的平行金属导轨，其间距为L，导轨弯曲部分光滑，平直部分粗糙，两部分平滑连接，平直部分右端接一个阻值为R的定值电阻.平直部分导轨左边区域有宽度为d、方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场.质量为m、电阻也为R的金属棒从高度为h处由静止释放，到达磁场右边界处恰好停止.已知金属棒与平直部分导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，金属棒与导轨始终垂直且接触良好，则金属棒穿过磁场区域的过程中（ BD ）

A.通过金属棒的最大电流为𝐵𝒅√2𝑔ℎ2𝑅

B.通过金属棒的电荷量为𝐵𝒅𝐿2𝑅

C.克服安培力所做的功为mgh

D.金属棒上产生的焦耳热为12mg（h－μd）

解析 金属棒由静止释放下滑到弯曲部分底端，根据动能定理有mgh＝12m𝑣02，金属棒在磁场中运动时产生的感应电动势E＝BLv，当金属棒刚进入磁场时，产生的感应电动势最大，感应电流最大，Imax＝𝐵𝐿𝑣02𝑅＝𝐵𝐿√2𝑔ℎ2𝑅，A错误；金属棒穿过磁场区域的过程中通过金属棒的电荷量q＝𝐼t＝𝐸2𝑅t＝Δ𝛷2𝑅＝𝐵𝑑𝐿2𝑅，B正确；对整个过程由动能定理得mgh－W克安－μmgd＝0，金属棒克服安培力做的功W克安＝mgh－μmgd，C错误；由功能关系可得，金属棒上产生的焦耳热Q＝12W克安＝12mg(h－μd)，D正确. 方法点拨

常见的功能关系

做功情况 能量变化

重力做功 重力势能发生变化

弹簧弹力做功 弹性势能发生变化

合外力做功 动能发生变化

做功情况 能量变化

除重力和系统内弹力以外的其他力做功 机械能发生变化

滑动摩擦力做功 有内能产生

静电力做功 电势能发生变化

安培力做正功 电能转化为其他形式的能

克服安培力做功（动生型电磁感应） 其他形式的能转化为电能，并且克服安培力做多少功，就产生多少电能

命题点2 能量守恒定律的应用

6.[多选]如图所示，间距为l的平行金属导轨与水平面间的夹角为θ，导轨电阻不计，与阻值为R的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为B.有一质量为m、长为l的导体棒在ab位置以初速度v沿导轨向上运动，最远到达a'b'处，导体棒向上滑行的最远距离为x.已知导体棒的电阻也为R，与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.导体棒与导轨始终保持垂直且接触良好，下列说法正确的是（ BCD ）

A.导体棒受到的最大安培力为𝐵2𝑙2𝑣𝑅

B.导体棒损失的机械能为12mv2－mgxsinθ

C.导体棒运动的时间为2𝑚𝑣𝑅－𝐵2𝑙2𝑥2𝑚𝑔𝑅（sin𝜃＋𝜇𝒄os𝜃）

D.整个电路产生的焦耳热为12mv2－mgx（sinθ＋μcosθ）

解析 根据E＝Blv，可以知道速度最大时感应电动势最大，电流和安培力也最

大，所以初始时刻导体棒受到的安培力最大，根据F＝BIl，I＝𝐵𝑙𝑣2𝑅，可得F＝𝐵2𝑙2𝑣2𝑅，

故A错误；从初始位置到滑行最远时，损失的机械能为ΔE＝12mv2－mgx sin θ，故B正

确；导体棒向上滑动的过程，由动量定理可得B𝐼lt＋(mg sin θ＋μmg cos θ)t＝mv，而

𝐼t＝𝐸𝑅t＝Δ𝛷𝑅＝𝐵𝑙𝑥2𝑅，联立解得t＝2𝑚𝑣𝑅−𝐵2𝑙2𝑥2𝑚𝑔𝑅(sin𝜃＋𝜇cos𝜃)，故C正确；导体棒上滑过程中克