高中数学 2.4向量的数量积课件 苏教版必修4

用心 爱心 专心 - 1 - §2.4.2 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角

第一课时

【学习目标、细解考纲】

1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。

2.掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面向量点间的距离公式。

【知识梳理、双基再现】

1. 平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量1122a=xy,b=xy,ab= （坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于

。

如：设a (5,-7),b=(-6,-4),求ab。

2.平面内两点间的距离公式

（１）设a=(x,y),则2a=________________或a________________。

（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为________________________________________________________________________________（平面内两点间的距离公式）

3.向量垂直的判定

设1122a=x,y,b=x,y,则ab_________________

如：已知A（1，2）, B(2,3), C(-2,5),求证ABC是直角三角形。

4.两向量夹角的余弦（0≤≤）

cos＝__________________________________＝_________________

______________

如：已知A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且,aBCbCA,则a与b的夹角为_________________。

【小试身手、轻松过关】

1.已知(4,3),(5,6)ab则23a4ab=（ ）

A.23 B.57 C.63 D.83

第11课时 向量的数量积(3)

教学过程

一、 问题情境

问题1 已知两个向量a=(x1, y1), b=(x2, y2),如何用a和b的坐标来表示它们的数量积a·b呢?

二、 数学建构

设x轴上的单位向量为i,y轴上的单位向量为j,则

i·i=1, j·j=1, i·j=j·i=0.

∵ a=x1i+y1j, b=x2i+y2j,

∴ a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)

=x1i·(x2i+y2j)+y1j·(x2i+y2j)

=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2

=x1x2+y1y2.

这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.

问题2 已知a=(x, y),如何将|a|用其坐标表示?

∵ a·a=a2=|a|2=x2+y2,

∴ |a|==.

问题3 设A(x1, y1), B(x2, y2),如何将||用A, B的坐标表示?

设表示向量a的有向线段的起点是A(x1, y1),终点是B(x2, y2),则

=a=(x2, y2)-(x1, y1)=(x2-x1, y2-y1),

∴ ||=|a|=.

这就是通过向量求模来推导平面内两点间的距离公式.

问题4 前面学过的向量的夹角、平行、垂直公式可以用坐标表示吗?

(1) 两个非零向量a=(x1, y1), b=(x2, y2),θ为a和b的夹角,则由向量数量积的定义得

cosθ==.

(2) a⊥b⇔a·b=0,可以写成a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.

(3) a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ,使得a=λb,可以写成a∥b⇔x1y2-x2y1=0.[3]

三、 数学运用 【例1】 已知向量a=(2, 1), b=(3, -1),求:(1) (3a-b)·(a-2b);(2) a与b的夹角θ.[4](见同学用书P55)

[处理建议] (1)第(1)问是向量的数量积坐标公式的直接应用,有两个运算方向:一是先开放再分别代入求解,二是先求每个因式的坐标再应用向量的数量积公式.(2)运用两向量夹角公式的坐标表示求解.

用心 爱心 专心 - 1 - §2.4.1 平面向量的数量积

【学习目标、细解考纲】

1.掌握平面向量数量积的意义；体会数量积与投影的关系。

2.正确使用平面向量数量积的重要性质及运算律。

3.理解利用平面向量数量积，可以处理有关长度、角度和垂直问题。

【知识梳理、双基再现】

1._______________________________________叫做ab与的夹角。

2.已知两个______向量ab与，我们把______________叫ab与的数量积。（或________）记作___________即ab＝______________________其中是ab与的夹角。______________________叫做向量ab在方向上的___________。

3.零向量与任意向量的数量积为___________。

4.平面向量数量积的性质：设ab与均为非空向量：

①ab___________

②当ab与同向时，ab＝________ 当ab与反向时，ab＝________，特别地，ab＝__________或a=___________。

③cos=___________

④ab______________

5. ab的几何意义：________________________________________。

6.向量的数量积满足下列运算律

已知向量abc，，与实数。

①ab＝___________（______律）

②ab＝___________

③a+bc＝___________

【小试身手、轻松过关】

1.已知a=4,b=2ab且与的夹角为120º，则ab=、___________。

2.已知ab＝12，且a=3,b=5则ba在方向上的投影为________。

第 9 课时：§2.4 向量的数量积（一）

【三维目标】：

一、知识与技能

1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理、几何意义；

2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的共线及垂直的充要条件

3．掌握数量积的运算性质，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

二、过程与方法

教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义；从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积；为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了例题，通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.

三、情感、态度与价值观

通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.

【教学重点与难点】：

重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；

难点：向量数量积的含义、数量积的运算性质；

【学法与教学用具】：

1. 学法：

(1)自主性学习+探究式学习法：

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

【提出问题】：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘” 呢？

二、研探新知

1.平面向量数量积的物理背景及其含义

物理学中，物体所做的功的计算方法：

||||SFW（其中是F与S的夹角）

2.向量夹角

已知两个向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB（0180）叫做向量a与b的夹角。 S F