高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.4.1 向量的数量积》43

用心 爱心 专心 - 1 - §2.4.2 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角

第一课时

【学习目标、细解考纲】

1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。

2.掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面向量点间的距离公式。

【知识梳理、双基再现】

1. 平面向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量1122a=xy,b=xy,ab= （坐标形式）。

这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于

。

如：设a (5,-7),b=(-6,-4),求ab。

2.平面内两点间的距离公式

（１）设a=(x,y),则2a=________________或a________________。

（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为________________________________________________________________________________（平面内两点间的距离公式）

3.向量垂直的判定

设1122a=x,y,b=x,y,则ab_________________

如：已知A（1，2）, B(2,3), C(-2,5),求证ABC是直角三角形。

4.两向量夹角的余弦（0≤≤）

cos＝__________________________________＝_________________

______________

如：已知A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且,aBCbCA,则a与b的夹角为_________________。

【小试身手、轻松过关】

1.已知(4,3),(5,6)ab则23a4ab=（ ）

A.23 B.57 C.63 D.83

第11课时 向量的数量积(3)

教学过程

一、 问题情境

问题1 已知两个向量a=(x1, y1), b=(x2, y2),如何用a和b的坐标来表示它们的数量积a·b呢?

二、 数学建构

设x轴上的单位向量为i,y轴上的单位向量为j,则

i·i=1, j·j=1, i·j=j·i=0.

∵ a=x1i+y1j, b=x2i+y2j,

∴ a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)

=x1i·(x2i+y2j)+y1j·(x2i+y2j)

=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j2

=x1x2+y1y2.

这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.

问题2 已知a=(x, y),如何将|a|用其坐标表示?

∵ a·a=a2=|a|2=x2+y2,

∴ |a|==.

问题3 设A(x1, y1), B(x2, y2),如何将||用A, B的坐标表示?

设表示向量a的有向线段的起点是A(x1, y1),终点是B(x2, y2),则

=a=(x2, y2)-(x1, y1)=(x2-x1, y2-y1),

∴ ||=|a|=.

这就是通过向量求模来推导平面内两点间的距离公式.

问题4 前面学过的向量的夹角、平行、垂直公式可以用坐标表示吗?

(1) 两个非零向量a=(x1, y1), b=(x2, y2),θ为a和b的夹角,则由向量数量积的定义得

cosθ==.

(2) a⊥b⇔a·b=0,可以写成a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.

(3) a∥b(b≠0)⇔存在唯一的实数λ,使得a=λb,可以写成a∥b⇔x1y2-x2y1=0.[3]

三、 数学运用 【例1】 已知向量a=(2, 1), b=(3, -1),求:(1) (3a-b)·(a-2b);(2) a与b的夹角θ.[4](见同学用书P55)

[处理建议] (1)第(1)问是向量的数量积坐标公式的直接应用,有两个运算方向:一是先开放再分别代入求解,二是先求每个因式的坐标再应用向量的数量积公式.(2)运用两向量夹角公式的坐标表示求解.

§2.4平面向量的数量积

第7课时

一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义

教学目的：

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4.掌握向量垂直的条件.

教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.

教学过程：

一、复习引入：

1． 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.

2．平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e

3．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得yjxia

把),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作),(yxa

4．平面向量的坐标运算 若),(11yxa，),(22yxb，则ba),(2121yyxx，ba),(2121yyxx，),(yxa.

若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB

5．a∥b

(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

6．线段的定比分点及λ

P1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，

使 PP1=λ2PP，λ叫做点P分21PP所成的比，有三种情况：

1 3.1.2 两角和与差的正弦

整体设计

教学分析

1．两角和与差的正弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦公式的．在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如：比较cos(α－β)与cos(α＋β)，它们都是角的余弦，只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α＋β＝α－(－β)的关系，从而由公式C(α－β)推得公式C(α＋β)，又如：比较sin(α－β)与cos(α－β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α－β)、S(α＋β)等．

2．通过对“两角和与差的正弦公式”的推导，揭示了两角和差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了对数学公式的推导和证明方法的理解．因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．

3．本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆．本节几个例子的主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如，在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等；另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简洁性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的．

三维目标

1．在学习两角和与差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．