圆锥曲线压轴题二

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）第1页（共8页） 题15图 1．如题15图，P是抛物线22yx上的动点，点BC,在y轴上，圆22(1)1xy内切于PBC，求PBC面积的最小值．（2008年全国高中数学联赛A卷）

[解] 设00(,),(0,),(0,)PxyBbCc，不妨设bc．

直线PB的方程:00ybybxx，

化简得 000()0ybxxyxb．

又圆心(1,0)到PB的距离为1，

0022001()ybxbybx ， …5分

故22222000000()()2()ybxybxbybxb，

易知02x，上式化简得2000(2)20xbybx，

同理有2000(2)20xcycx．

所以0022ybcx，002xbcx，则

22200020448()(2)xyxbcx．

因00(,)Pxy是抛物线上的点，有2002yx，则

220204()(2)xbcx，0022xbcx． …15分

所以00000014()(2)4222PBCxSbcxxxxx

2448．

当20(2)4x时，上式取等号，此时004,22xy．

因此PBCS的最小值为8． …20分

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）第2页（共8页） 2. 已知过点(0，1)的直线l与曲线C：)0(1xxxy交于两个不同点M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。（高中数学竞赛2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷）

解：设点M、N的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，曲线C在点M、N处的切线分别为l1、l2，其交点P的坐标为(xp，yp)。若直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1。

由方程组11kxyxxy，消去y，得11kxxx，即(k−1)x2+x−1=0。由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根x1、x2，故k≠1，且Δ=1+4(k−1)>0…(1)，01121kxx…(2)，01121kxx…(3)，由此解得143k。对xxy1求导，得211xy'，则2111|1xy'xx，2211|2xy'xx，于是直线l1的方程为))(11(1211xxxyy，即))(11()1(12111xxxxxy，化简后得到直线l1的方程为1212)11(xxxy…(4)。同理可求得直线l2的方程为2222)11(xxxy…(5)。(4)−(5)得022)11(212122xxxxxp，因为x1≠x2，故有21212xxxxxp…(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得)11(2))11(2(2212221xxxxxypp…(7)，其中111212121xxxxxx，12)1(212)(2)(112122121222121221222122212221kkxxxxxxxxxxxxxxxxxx，代入(7)式得2yp=(3−2k)xp+2，而xp=2，得yp=4−2k。又由143k得252py，即点P的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）。

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）第3页（共8页） 3．已知抛物线C：221xy与直线l：1kxy没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（2009湖北省预赛）

(1)证明：直线AB恒过定点Q；

(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：QNQMPNPM．

证明 (1)设11(,)Axy，则21121xy．

由221xy得xy，所以11|xyxx．

于是抛物线C在A点处的切线方程为)(111xxxyy，即11yxxy．

设)1,(00kxxP，则有11001yxxkx．

设22(,)Bxy，同理有22001yxxkx．

所以AB的方程为yxxkx001，即0)1()(0ykxx，

所以直线AB恒过定点)1,(kQ．

(2)PQ的方程为002()1kxyxkxk，与抛物线方程221xy联立，消去y，得

02)22(42002002kxkxkxkxkxx．

设),(33yxM，),(44yxN，则

kxkxkxxkxkxxx0024300432)22(,42 ①

要证QNQMPNPM，只需证明kxxkxxxx430403，即

02))((2043043kxxxxkxx ②

由①知，

②式左边=0000002242)(4)22(2kxkxkxxkkxkxk

0)(2)42)((4)22(20000002kxkxkxkxxkkxk． 2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）第4页（共8页） 故②式成立，从而结论成立．

4.给定双曲线x2－y22＝1， ① 过点A(2,0)的直线L与所给双曲线交于P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程； ② 过点B(1,1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1、Q2，且点B是线段Q1、Q2的中点？这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。（81年全国高考题）

【分析】两问都可以设直线L的点斜式方程，与双曲线方程联立成方程组，其解就是直线与双曲线的交点坐标，再用韦达定理求解中点坐标等。

【解】① 设直线L：y＝k(x－2)

∴ ykxxy()22122 消y得(2－k2)x2＋4k2x－(2＋4k2)＝0

∴ x1＋x2＝4222kk ∴xp＝2222kk 代入直线L得：yp＝422kk

∴ xkkykk2242222 消k得2x2－4x－y2＝0即()x1122－y22＝1

线段P1P2的中点P的轨迹方程是：()x1122－y22＝1

② 设所求直线m的方程为：y＝k(x－1)＋1

∴ ykxxy()112122 消y得(2－k2)x2＋(2k2－2k)x＋2k－k2－3＝0

∴ x1＋x2＝22222kkk＝2×2 ∴k＝2

代入消y后的方程计算得到：△<0， ∴满足题中条件的直线m不存在。

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）第5页（共8页） 5.过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点，直线y=21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.

解法一：由e=22ac,得21222aba,从而a2=2b2,c=b.

设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.

则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，

(x12－x22)+2(y12－y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy

设AB中点为(x0,y0),则kAB=－002yx,

又(x0,y0)在直线y=21x上，y0=21x0,

于是－002yx=－1,kAB=－1,

设l的方程为y=－x+1.

右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

byxbxybxy11

1221解得则

由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=89,1692a.

∴所求椭圆C的方程为2291698yx =1,l的方程为y=－x+1.

解法二：由e=21,22222abaac得,从而a2=2b2,c=b.

设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),

将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,

则x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－2212kk.

直线l：y=21x过AB的中点(2,22121yyxx),则2222122121kkkk,

解得k=0，或k=－1.

若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一. BAy=12xoyxF2F12008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A卷）第6页（共8页） 解法3：设椭圆方程为)1()0(12222babyax

直线l不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线ABxy过21中点矛盾。

故可设直线)2()1(xkyl的方程为

整理得：消代入y)1()2()3(02)(2222222222bakaxakxbak

)()(2211yxByxA，，设，22222212bakakxx知：

代入上式得：又kxxkyy2)(2121

21221xxkk，212222222akbakkk，2122kabkk，22e又

122)(22222222eacaabk，xyl1的方程为直线，

222ba此时，02243)3(22bxx化为方程，0)13(8)1(241622bb

33b，)4(22222byxC的方程可写成：椭圆，2222bbac又，

)0(，右焦点bF，)(00yxlF，的对称点关于直线设点，

则byxbxybxy112121000000，，

得：在椭圆上，代入，又点)4()11(b22)1(21bb，3343b，

1692b， 892a

所以所求的椭圆方程为：11698922yx