工程光学习题解答(第1章)

第一章

1．举例说明符合光传播基本定律的生活现象及各定律的应用。

答:(1）光的直线传播定律

影子的形成；日蚀；月蚀;均可证明此定律.

应用：许多精密的测量,如大地测量（地形地貌测量）,光学测量，天文测量.

(2）光的独立传播定律

定律：不同光源发出的光在空间某点相遇时，彼此互不影响，各光束独立传播。

说明：各光束在一点交会,光的强度是各光束强度的简单叠加,离开交会点后,各光束仍按各自原来的方向传播。

2．已知真空中的光速c3×108m/s,求光在水(n=1。333)、冕牌玻璃(n=1。51)、火石玻璃（n=1。65)、加拿大树胶(n=1。526）、金刚石(n=2.417）等介质中的光速。

解：v=c/n

(1) 光在水中的速度：v=3×108/1。333=2.25×108 m/s

(2) 光在冕牌玻璃中的速度：v=3×108/1。51=1。99×108 m/s

(3) 光在火石玻璃中的速度:v=3×108/1。65=1。82×108 m/s

(4) 光在加拿大树胶中的速度:v=3×108/1。526=1。97×108 m/s

(5) 光在金刚石中的速度：v=3×108/2.417=1。24×108m/s

＊背景资料：最初用于制造镜头的玻璃，就是普通窗户玻璃或酒瓶上的疙瘩，形状类似“冠”，皇冠玻璃或冕牌玻璃的名称由此而来。那时候的玻璃极不均匀，多泡沫。除了冕牌玻璃外还有另一种含铅量较多的燧石玻璃（也称火石玻璃）.

3．一物体经针孔相机在屏上成像的大小为60mm，若将屏拉远50mm,则像的大小变为70mm，求屏到针孔的初始距离。

解:

l=300mm

4．一厚度为200mm的平行平板玻璃（设n=1。5),下面放一直径为1mm的金属片。若在玻璃板上盖一圆形纸片，要求在玻璃板上方任何方向上都看不到该金属片，问纸片最小直径应为多少？

解:本题是关于全反射条件的问题。若要在玻璃板上方看不到金属片，则纸片最小尺寸应能够挡住金属片边缘光线达到全反射的位置。

(1) 求角：nsin=n’sin90  1。5sin=1 =41。81

(2) 求厚度为h、=41。81所对应的宽度l： l=htg=200×tg41.81=179mm

(3) 纸片最小直径：dmin=d金属片＋2l=1+179×2=359mm

5．试分析当光从光疏介质进入光密介质时,发生全反射的可能性.

6．证明光线通过平行玻璃平板时，出射光线与入射光线平行。 60

50 70l

 90

h 7．如图1-15所示,光线入射到一楔形光学元件上。已知楔角为,折射率为n,求光线经过该楔形光学元件后的偏角。

解：

（1）求折射角： nsin=n’sin

若、角度较小，则有：n=n'=n

（2)求偏转角： =－=n—=(n-1） 

8．如图1-6所示，光纤芯的折射率为n1、包层的折射率为n2，光纤所在介质的折射率为n0，求光纤的数值孔径(即n0sinI1，其中I1为光在光纤内能以全反射方式传播时在入射端面的最大入射角).

9．有一直角棱镜如图1-16所示，其折射率为n。问光线以多大的孔径角0入射时,正好能够经其斜面全反射后出射。如果棱镜用冕牌玻璃K9（n=1。51630网上获得）制造，试计算0的值.

解:孔径光线中最上面的光线是临界点,所以只要该条光线能够全反射,则其它光线都可以满足。

（1） 求满足全反射条件的角: nsin=n’sin90  sin=1/n

（2） 求第一折射面的折射角1： 1=180—-（180-45）=45-

（3） 求第一折射面的入射角0: n'sin0=nsin1

sin0=nsin（45—）

(4）当棱镜用冕牌玻璃K9时,计算可得： sin=1/n=1/1.5163 ＝41。26

1=180——(180—45）=45—＝45－41.26=3。74

sin0=1.5163×sin3.74=0.1 0=5.67

10．由费马原理证明光的折射定律和反射定律。

11．根据完善成像条件，证明无限远点与有限远点的等光程反射面为抛物面。

12．导出对一对有限远共轭点成完善像的单个折射面的面形方程。

13．证明光学系统的垂轴放大率公式（1—40）和式（1—41）.

14．一物点位于一透明玻璃球的后表面，如果从前表面看到此物点的像正好位于无穷远，试求该玻璃球的折射率n.

解：即从玻璃球前看到的是平行光线。 0

n 90  

n  (1）已知条件:n为折射率，n’=1，l=2r,l’=-，

(2）利用近轴物像位置关系公式:

将已知条件代入： n=2

(与书后答案不同,本答案正确，可参考16题）

15．一直径为20mm的玻璃球，其折射率为，今有一光线以60入射角入射到该玻璃球上，试分析光线经过玻璃球的传播情况.

16．一束平行细光束入射到一半径为r=30mm、折射率n=1。5的玻璃球上，求其会聚点的位置。如果在凸面镀上反射膜，其会聚点应在何处？如果在凹面镀反射膜,则反射光束在玻璃中的会聚点又在何处?反射光束经前表面折射后,会聚点又在何处？说明各会聚点的虚实。

解:

(1）已知条件:n＝1，n’=1。5,r=30，l=-,l'=?

代入有： l'=90mm实像（没有考虑第二个折射面)

（2）已知条件：n＝1，n'=－1,r=30，l=-,l’=？

代入有： l'=15mm虚像

（3）在第(1）步的基础上进行计算，

已知条件：n＝1。5，n’=－1.5，r=－30，l=90—60＝30，l’=?

代入有: l’=—10mm实像

(4）在第(3)步的基础上进行计算,

已知条件：n＝1。5,n’=1，r=30,l=60-10＝50，l'=？

代入有： l'=75mm虚像

17．一折射球面r＝150mm，n＝1,n’=1.5，问当物距分别为-、—1000mm、—100mm、0、100mm、150mm和200mm时,垂轴放大率各为多少?

18．一直径为400mm，折射率为1。5的玻璃球中有两个小气泡，一个位于球心，另一个位于1/2半径处。沿两气泡连线方向在球两边观察，问看到的气泡在何处？如果在水中观察,看到的气泡又在何处?(水的折射率为1。33,网上查询）

解:

(1）在空气中：

①从左向右看:

• 对于1号气泡： 已知条件:n＝1。5,n’=1，r=200,l=100，l'=？ 1 2 代入有： l’=80mm

• 对于2号气泡： 已知条件:n＝1。5，n’=1，r=200，l=200，l'=?

代入有： l'=200mm

∴看上去气泡在80mm处,看到的是1号球的像.

②从右向左看:

• 对于1号气泡： 已知条件：n＝1。5,n’=1，r=－200，l=－300，l’=?

代入有: l'=－400mm

• 对于2号气泡: 已知条件：n＝1.5，n’=1,r=－200，l=－200，l’=？

代入有： l'=－200mm

∴看上去气泡在—200mm处，看到的是2号球的像.

19．有一平凸透镜r1=100mm，r2=,d＝300mm，n=1.5，当物体在-时，求高斯像的位置。在第二面上刻一十字丝,问其通过球面的共轭像在何处？当人射高度h=10mm时，实际光线的像方截距为多少?与高斯像面的距离为多少?这一偏离说明什么?

解:

（1)已知条件：n＝1，n'=1.5，r=100,l=—,l’=?

代入有： l’=300mm

（2）通过第(1）步可知：在第二面上刻一十字丝，其通过球面的高斯像在－,根据光路可逆。

（3)入射角I sinI=h/r=10/100=0.1

根据折射定律: nsinI=n’sinI' 0。1=1。5sinI’ sinI’=1/15

根据正弦定理: L=199.332

实际光线的像方截距为:L＋r=299.332mm

与高斯像面的距离为：300－299.332＝0。668mm

说明该成像系统有像差。

20．一球面镜半径r=-100mm,求=0、—0.1×、—0.2×、—1×、1×、5×、10×、时的物距和像距。

21．一物体位于半径为r的凹面镜前什么位置时，可分别得到：放大4倍的实像、放大4倍的虚像、缩小4倍的实像和缩小4倍的虚像？

解：

（1）l’=4l 代入上式，可得：l=5r/8

（2）l’=－4l 代入上式，可得：l=3r/8

（3）l’=l/4 代入上式，可得：l=5r/2

（4）l'=－l/4 代入上式，可得：l=-3r/2

22．有一半径为r的透明玻璃球，如果在其后半球面镀上反射膜,问此球的折射率为多少时，从空气中入射的光经此球反射后仍按原方向出射？

解：

(1)经过第一折射面时，n=1，l=—,n’=nx，r=r

 L （2）经过第二反射面时,n=nx，n’=—nx，r=—r,

代入公式: 

（3）经过第三折射面时，n=nx，n'=1，r=—r，， l’=—

代入公式： n=2