高等数学在中学数学教学中的应用

浅谈高等数学在初等数学中的应用

初等数学是学习高等数学基础，高等数学是初等数学的继续和提高，它不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题，并使许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。本文从三个方面探讨高等数学在初等数学中的作用。高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与初等数学有着紧密的联系。站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面。运用高等数学的知识可以解决一些用初等方法难以解决的初等数学问题，以便使学生了解到高等数学对于初等数学的指导作用。

标签：初等数学;高等数学;联系;应用

数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。

问题的提出

许多学生经常提出这样的问题：我们为什么要学这么多高等数学？这些问题长期以来困扰着我们。本文通过讨论初等与高等数学的联系，使他们真正觉得高等数学对初等数学教学有向导性意义，帮助他们用高等数学知识去分析和理解初等数学教材，从而站得更高，对中学数学的来龙去脉看得更清楚。

一、初等数学

初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）和平面三角等内容。

二、高等数学

内容包括函数与极限、一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、常微分方程等。其中极限论是基础：微分、积分是是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质：级数理论是研究解析函数的主要手段：解析几何为微积分的研究提供了解析工具，為揭示函数的性质提供了直观模型：微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分犹记得联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。

【标题】高等数学在中学数学中的应用

【作者】丁 海 云

【关键词】高等数学 中学数学 联系 应用

【指导老师】陈 强

【专业】数学与应用数学

【正文】

1 引言

近几年来，高等师范院校数学系的不少大学生对学习高等数学存在不少看法，如“现在学的高等数学好像与初等数学没有多大联系”，“学习高等数学对今后当中学数学教师作用不大”，有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本用不上”等等．这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样：“新的大学生一入学就发现，他面对的问题好像和中学里学过的东西一点也没有联系似的，当然他很快就忘了中学学的知识．但是毕业以后当了老师，他们又突然发现，要他们按老师的教法来教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，对他们对教学毫无影响”．然而在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，可以说是数学发展的一种必然．现在的中学数学教师必须掌握高等数学的基础知识以适应数学发展和教材改革，而高等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了．本文探讨一些高等数学知识和方法在初等数学中的应用．

2 初等数学与高等数学的联系

一般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段 (萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期)或五个时期 (再加上“当代时期”)．无论何种方法，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”．理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法：所谓初等数学就是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔(R?Descartes)1637年发明的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志．而教育意义下的初等数学和高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育(即中、小学教育)阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学．当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别．事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的有机联系，只从学科表面上看，难以看清两者之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点 ．

金太阳新课标资源网

第 1 页 共 8 页 金太阳新课标资源网

高等数学与初等数学的联系及一些应用

摘 要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。

关键词：高等数学；初等数学 ；应用

1. 引言

数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。

中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。

2. 国内外研究现状

大学课程学习的思维单向性很强。大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。比如极限定义、集合和函数等。一位新数学教师在解释从非空数集A到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。如果他的数学分析中的映射掌握得好，完全可以既讲得轻松而学生又听得明白。法国数学家F·克莱因曾经说过：“教师应具备较高的数学观点，理由是，观点越高，事物就显得越简金太阳新课标资源网

浅谈高等数学在高中阶段的应用

作者简介：田帅，（1990.12-），男，籍贯：河南淮阳，单位：周口师范学院 研究方向：信息与计算科学，职业：学生。

摘要：本文介绍高中数学和高等数学的概念，然后总结了它们之间的关系，重点探讨了高等数学中导数、极限思想、柯西不等式在高中数学题中的应用，并给出了例子进行详细说明。

关键词：导数；极限思想；向量方法

1.中学数学和高等数学的关系

高等数学与中学数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别，正因为这个原因，有许多学者认为，学生不需要懂得高等数学知识。其实，这是一种误解。因为高等数学是在中学数学的基础上发展起来的，是中学数学的继续和提高，利用高等数学知识揭示中学数学的解题方法，有利于提高学生的数学思维能力，帮助学生学会以高等数学的思想、方法为工具从不同的角度去研究中学数学问题，还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决中学数学中一些或一类问题等等。中学数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能澄清，很多数学题都因为高等知识的运用才得以扩展，才让我们对题的本质有更透彻的了解，所以二者有着密切的关系。我们应该将高等数学思想方法全面渗入到中学数学中，寻找高等数学与中学数学的结合点。

2.高等数学知识在中学数学题中的应用

高等数学中有许多方法和中学数学相通，有些可以适当迁移到中学数学中来。高等数学的方法不仅可以使我们居高临下地去观察中学数学问题，帮助我们确定解题思路，有时还能够帮助我们剖析某些问题实质，寻求简捷的解法。中学数学中常用的高等数学方法有极限法、求导法、向量法、概率法等。下面以中学中常见的问题为例来说明高等数学方法在中学数学中的应用。

2.1导数的应用

导数是中学数学与高等数学的重要衔接点，在中学数学里导数的应用很广泛，比传统的方法有许多优越性，给传统的数学内容注入了新的生机和活力。