知识归纳：空间中的位置关系

空间点线面的位置关系

【考纲要求】

（1）理解空间直线、平面位置关系的定义；

（2）了解可以作为推理依据的公理和定理；

（3）能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、平面的基本性质

1、平面的基本性质的应用

（1）公理1：可用来证明点在平面内或直线在平面内；

（2）公理2：可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面；

（3）公理3：可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点。

2、平行公理主要用来证明空间中线线平行。

3、公理2的推论：

（1）经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；

（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面；

（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。

4、点共线、线共点、点线共面 空间点线面位置关系 三个公理、三个推论 平面

平行直异面直相交直公理4及等角定理

异面直线所成的角

异面直线间的距离

直线在平面内

直线与平面平行

直线与平面相交 空间两条直概念

垂斜空间直线

与平面

空间两个平面 两个平面平行

两个平面相交 三垂线定理

直线与平面所成的角 （1）点共线问题

证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上。

（2）线共点问题

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上。

要点诠释：证明点线共面的常用方法

①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；

②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合。

考点二、直线与直线的位置关系

（1）位置关系的分类

相交直线共面直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

（2）异面直线所成的角

①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a’∥a,b’∥b,把a’与b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

《空间中直线与直线的位置关系》习题

一、选择题

1. 一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是 ( )

A.相交． B.异面 C.平行． D.相交或异面．

2.a、b是两条异面直线，c、d小也是两条异面直线，则a、c的位置关系是( )

A.相交、平行或异面． B.相交或平行．

C.异面 D.平行或异面．

3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，各侧面对角线所在的直线中与B1D成异面直线的条数是()

A.3． B.4． C.5． D.6．

4.异面直线a、b分别在平面和内，若l则直线l必定( )

A.分别与a、b相交． B.与a、b都不相交．

C.至多与a、b中的一条相交． D.至少与a、b中的一条相交．

5. 空间四边形ABCD中AB=CD，且AB与CD成60°角，E，F分别为AC，BD的中点，则EF与AB所成角的度数为( )

A．30° B．45° C．60° D．30°或60°

二、填空题

6.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线．②若两条直线没有共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是______．(把符合要求的命题序号都填上)

7.异面直线a，b所成角为80º，过空间一点作与直线a，b所成角都为θ的直线只可以作2条，则θ的取值范围为_________.

8.如果把两条异面直线看成“一对”，那么在正方体的十二条棱所在的直线中，共有_____对异面直线．

２００７年９月　第２６卷第５期　保山师专学报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｂａｏｓｈａｎ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ｓｅｐｔ．．２００７　ＶｏｌＩ２６　Ｎｏ．５　

空间中平面位置关系研究　

费绍金　

（江苏宿迁学院教师教育系，江苏宿迁２２３８００）　

摘　要：利用线性方程组解的理论讨论空间中两个平面、三个平面及个平面间位置关系，给出用矩阵的秩判定以上　关系的方法和结论。　关键词：空间；平面；矩阵的秩；位置关系　．　中图分类号：Ｏ１５　文献标识码：Ａ　文章编号：１００８－６５８７（２００７）０５－０６６－０３　

Ａ　Ｓｔｕｄｙ　ｏｆ　Ｐｌａｎｉｍｅｔｒｉｃ　Ｐｏｓｉｔｉｏｎ　Ｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｓｐａｃｅ　

Ｆｅｉ　Ｓｈａｏｊｉｎ　

（Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｄｅｐｔ．Ｓｕｑｉａｎ　Ｔｅａｃｈｅｒ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｕｑｉａｎ　Ｊｉａｎｇｓｕ　２２３８００）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ　ｗｈｉｃｈ　ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ　ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ｍａｔｒｉｘ　ｏｒｄｅｒ　ｒｅ——　

ｌａｔｉｏｎｓ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　ｌｉｎｅａｒ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ　ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ　ｓｐａｃｅ　ｔｗｏ　ｐｌａｎｅｓ，ｔｈｒｅｅ　ｐｌａｎｅｓ　

ａｎｄ　ｄｕｒｉｎｇ　ａ　ｐｌａｎｅ　ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄ：Ｓｐａｃｅ；Ｐｌａｎｅ；Ｍａｔｒｉｘ　ｏｒｄｅｒ；Ｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ　

引言　

判断空间中平面与平面、直线与直线以及直线　

与平面的位置关系，是代数知识在空间解析几何上　

的应用，体现了代数与几何的完美结合，因此也是　

历年考研常考题型。在文献中作者给出了用矩阵的　

秩判定直线与直线以及直线与平面的位置关系的　

方法，但在实际应用中我们还会遇到空间中平面间　

《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计

西吉县回民中学 潘燕

教材分析

高中数学新课程标准对本节课的要求是：在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义。它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础。

学情分析

学生通过前面知识的学习，具有一定的空间意识和空间想象能力，对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与研究，但在分析推理能力、空间想象能力方面比较欠缺。在合作交流意识方面，发展不够均衡，有待加强。

教学目标：

1、知识与技能

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；

（3）理解并掌握公理4；

（4）理解并掌握等角定理；

（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2、过程与方法

（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；

（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。

3、情感与价值

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。

教学重点、难点

重点：异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用．

难点：异面直线概念的理解与求法．

学法与教学用具

1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板

教学过程设计：

思考问题：空间直线与直线的位置关系有几种？

设计意图：由教科书第44页“思考”中的问题，引起学生注意，诱发学生探知的欲望，养成思考问题的习惯．

师生活动：（虚拟）教师放课件图片，引导学生观察：日光灯所在线与黑板左右两侧所在直线的位置关系，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的位置关系．我们今天上课的内容是：

板书：空间中直线与直线的位置关系

观察：如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，线段A'B'所在直线与线段BC所在直线的位置关系如何？