湖南大学2011年考研真题
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湖南大学2011年数学分析真题
1.()(),...2,1,0,sin ,,1,010=+==∈+n x p x p x x n n n ε证明：n n x lim ∞
→=η存在，且η为方程p x x =sin 的唯一根。
2.()x f 在[]1,0上连续，()01=f ，证明:
()1{}n x 在[]1,0上不一致收敛；()2(){}n x x f 在[]1,0上一致收敛。
3． 已知6n
12
1n 2π=∑∞
=求()d x e In x ⎰+∞-+01。
4．函数()()[]()(),0,1,x g x f ≥=⎰x g dx x g b a b
a 上黎曼可积，在，且(),0≥''x ϕ证明：
()()()
()()dx x f x g dx x f x g b
a b
a ϕϕ⎰⎰≤⎪⎭
⎫ ⎝
⎛ 5．求(),10
2dx xe
e y
f x
xy
⎰∞
+--= y>-2. 6.函数),(ηξf 的所有二阶偏导数都连续，并且满足拉普拉斯方程
02
222=∂∂+∂∂η
ξf
f ， 证明函数)2,(2
2
xy y x f z -=也满足拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂y
z
x z 。
7.计算曲面积分⎰⎰++S
ds z yx x )46(22，S 为单位球面1222=++z y x 。
8.设)(x f 在[]1,0上黎曼可积，在1=x 可导，a f f ==)1(,0)1('，证明： ⎰
-=∞
→1
2
)(lim a dx x f x n
n n 。
9.已知c b a ≤≤，且[][][]c z b y a x ,0,,0,.0∈∈∈，又设),,min(),,(z y x z y x f =，计算⎰⎰⎰a
b
c
dzdydx z y x f 000),,(。
湖南大学2011年高等代数真题
一．计算n 阶行列式x
y
z x y
z x y
z x y
z x D n +++++=
11111
，其中，yz x =。
二．已知多项式)(x f 满足,1)4(,0)3(==f f 求)(x f 除以)4)(3(--x x 的余式。
三．设)1()!
2(1
!41!
21
1)(242≥+++
+=k x k x x x f k ，证明)(x f 不存在三重根。
四．设矩阵A,B 分别为n m ⨯和m n ⨯阶矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，且矩阵A 的秩为r(r<n)。
并且A(C+BA)=0, 证明：（1）矩阵C+BA 的秩为n-r ；（2）线性方程组0=Ax 的通解为z BA C x )(+=，其中z 为任意的n 维列向量。
五．设()n n ij a A ⨯=，且0=A ，证明：A 的伴随矩阵*A 的n 个特征值中至少有n-1个为0，且一个非零特征值（如果存在）等于nn A A A +++ 2211，其中ij A 为矩阵A 的关于元素ij a 的代数余子式。
六．设A 为n 阶实对称矩阵，()'
=n b b b b ,,,21 为n 维实的列向量，证明：
（1）若0>A ,则01>-A ,这里0>A 表示A 为正定矩阵。
（2）若0>'-b b A ，则0>A 且11<'-b A b 。
七.设n n P A ⨯∈，且n E A =2，其中n E 为n 阶单位矩阵，令
{}
x Ax P x V n =∈=|1， {}
x Ax P x V n -=∈=|2，证明：
（1）1V 和2V 均为n P 的子空间；
（2）21V V P n ⊕=,其中⊕表示子空间的直和。
八.设V 是复数域C 上的线性空间，σ和τ均为V 上的线性变换，且满足τσστ=，又设0λ为σ的一个特征值，证明：
（1）0
λV 为τ的不变子空间，其中{}αλσααλ0|0
=∈=V V 为σ的特征子空
间；
（2）σ与τ至少有一个公共的特征向量。
九.试确定正交矩阵T 使得AT T '为对角矩阵，其中
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=111111111A .。
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