2017年高考模拟试卷(6)含答案
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结束 输出S n←1, S←0
S < 100
n←n + 1 S←S + 2n N
Y
(第5题) 2017年高考模拟试卷(6)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
1. 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A∩B ={4}，则
x = ▲ .
2. 若复数z1＝2+i，z1·－z2＝5，则z2＝ ▲ .
3. 从数6，7，8，9，10，11六个数中，任取两个不同的数，
则两个数互质的概率是 ▲ .
4．已知一组数据x1，x2，…，x100的方差是2，则数据
3x1，3x2，…，3x100 的标准差为 ▲ .
5．执行右边的程序框图，则输出的S的值为 ▲ .
6．设正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是单位正方形，其表面积14，则AA1＝ ▲ .
7．不等式组y≤x+2y≥x0≤y≤4x≥0表示的平面区域的面积为S，则S的值为 ▲ ．
8．函数y＝sin(ωx＋π4)(ω＞0)的图象在［0,1］上恰有三个最高点，则ω的取值范围是 ▲ .
9．若两个非零向量a，b的夹角为60°，且(a＋2b)⊥(a－2b)，则向量a＋b与a－b的夹角的余弦值是 ▲ .
10．已知函数f(x)＝ex-1－tx，x0∈R，f(x0)≤0，则实数t的取值范围 ▲ ．
11．已知数列{an}是一个等差数列，首项a1＞0，公差d≠0，且a2、a5、a9依次成比数列，则
使a1＋a2＋…＋an＞100a1的最小正整数k的值是 ▲ .
12．抛物线y2＝2px(p＞0)和双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有一个相同的焦点F2(2，0)，而双曲线的另一个焦点F1，抛物线和双曲线交于点B、C，若△BCF1是直角三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ．
13．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a2cosA＝b3cosB＝c6cosC，则cosAcosBcosC
＝ ▲ ．
14．已知函数f(x)＝2x3+7x2+6xx2+4x＋3，x∈［0,4］，则f(x)最大值是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. A A1 B1
C D1
B C1
D
M O1 15．（本小题满分14分）已知α∈(0，π)，且sin(α＋π3)＝6－24．
(1)求sin(α－π4)的值；(2)求cos(2α－π3)的值．
16．（本小题满分14分）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，M是AB
的中点，O1是A1C1与B1D1的交点．
(1)求证：O1M∥平面BB1C1C；
(2)若平面AA1C1C⊥平面ABCD，求证：四边形BB1D1D是矩形．
17.（本小题满分14分）如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有3(N)、2(N)的
重物．现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为m(N)的重物，恰好使系统处于平衡状态．
(1)若∠AOB＝120°，求m的值；
(2)求m的取值范围．
18. 椭圆C：x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，在椭圆C上任取异于A、B的点P，直线PA、PB分别与直线x=3交于点M，N，直线MB与椭圆C交于点Q． A B
O 3N
m(N) 2N (1)求FM→·FN→的值；
(2)证明：A、Q、N三点共线．
19.（本小题满分16分）已知数列{}na满足123nnaan，nN．
（1）若数列{}na为等差数列，求1a；
（2）设1(0)aaa，2nnN≥，，不等式22113nnnnaaaa≥成立，求实数a的最小值．
20.（本小题满分16分）已知二次函数f(x)=ax2bx1，g(x)=a2x2bx1．
(1)若f(x)≥g(x)对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)有两个不同零点x1，x2；函数g(x)有两个不同零点x3，x4．
(i)若x3＜x1＜x4，试比较x2，x3，x4的大小关系；
(ii)若x1=x3＜x2，m、n、p∈1(,)x，()()()()()()fmfnfpgngpgm，求证m=n=p．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．．
A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，D是弧AC的
中点，DE⊥AB于E，AC与DE交于M，求证：AM＝DM．
B．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为a＝11，并
且矩阵M对应的变换将点（－1，2）变成点（9，15），求出矩阵M.．
C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知圆C的极坐标方程是4cos，以极点为平面 A E B C D
M 直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是2222xtmyt（t是参数）.若直线l与圆C相切，求实数m的值.
D．（选修４－５：不等式选讲）设函数()|1||1|fxxx，
若不等式|||2|||()ababafx对任意,abR且0a恒成立，求实数x的范围．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，
∠ABC＝45°，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（2）求平面OAB与平面OCD所成锐二面角的余弦值．
23．设a0＜a1＜a2＜…＜an(i∈N*，i＝1，2，…，n)，以[b，c]表示正整数b，c的最小公倍数．
求证：1[a0，a1]＋1[a1，a2]＋…＋1[an－1，an]≤1－12n．
2017年高考模拟试卷(5)参考答案
一、填空题
1．{1,2,3,6}． 2．1i． 3. 391． 4. 18． 5．29．
6．充分不必要． 7．4． 8．76． 9．10．
10．已知函数()sin(2)3fxx（0x≤），且1()()3ff（），则
▲ ． M
D O
A
B C 10．76．由0x≤，知2333x≤≤，因为31()()32ff，所以3π222332，
所以76+=．
11．(1，2]． f(f (x))＝x2－2x，x＜0，2－x2，0≤x＜1，x4－2x2，x≥1．作出函数f(f (x))的图像可知，当1＜k≤2时，函数y＝f(f (x))－k有3个不同的零点．
12．12．由2ABACAO可得OBOC0，即BOOC，所以圆心在BC上，且ABAC．
注意到||||=2ABAO，所以ππ,,4,2336BCBCAC，所以12CACB．
13．212．由()aabcbc，得1bcbcaaaa，设,bcxyaa，则1xyxy，
1abcxy，因为21()2xyxyxy≤，所以222xy≥，所以abc的最大值为212．
14．设a为实数，记函数f(x)＝ax－ax3（x∈[12，1]）的图象为C．如果任何斜率不小于1的直线与C都至多有
一个公共点，则a的取值范围是 ▲ ．
14．1,42．由任何斜率不小于1的直线与C都至多有一个公共点，也即x∈[12，1]时，曲线()yfx上
任意两点连线的斜率都小于1，所以()1fx≤在x∈[12，1]上恒成立．由2()31fxaax≤，
即2310axa≥，设()31gtata，1,14t，只需1()04g≥，且(1)0g≥，所以142a≤≤．
二、解答题
15．解：（1）由正弦定理知，bsinA＝asinB＝2，①
又acosB＝1， ②
①，②两式平方相加，得(asinB)2＋(acosB)2＝3，
因为sin2B＋cos2B＝1，
所以a＝3（负值已舍）； （2）由（1）中①，②两式相除，得sinBcosB＝2，即tanB＝2，
因为A－B＝π4，
所以tanA＝tan(B＋π4)＝tanB＋tanπ41－tanBtanπ4 ＝1＋21－2＝－3－22．（14分）
16．证：（1）方法1：取线段PD的中点M，连结FM、AM.
因为F为PC的中点，所以FM∥CD，且FM＝12CD.
因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
所以EA∥CD，且EA＝12CD.
所以FM∥EA，且FM＝EA.
所以四边形AEFM为平行四边形．所以EF∥AM.
又AM⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
方法2：连结CE并延长交DA的延长线于N，连结PN.
因为四边形ABCD为矩形，所以AD∥BC，
所以∠BCE＝∠ANE，∠CBE＝∠NAE.
又AE＝EB，所以△CEB≌△NEA.
所以CE＝NE.
又F为PC的中点，所以EF∥NP.
又NP⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
方法3：取CD的中点Q，连结FQ、EQ.
在矩形ABCD中，E为AB的中点，
所以AE＝DQ，且AE∥DQ.
所以四边形AEQD为平行四边形，
所以EQ∥AD.
又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，
所以EQ∥平面PAD.(2分)
因为Q、F分别为CD、CP的中点，
所以FQ∥PD.
又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD.
又FQ、EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD.(5分)
因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD.
(2) 设AC、DE相交于G.
在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，
E为AB的中点，所以DAAE＝CDDA＝2.
又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，
所以∠ADE＝∠DCA.
又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，
所以∠DCA＋∠CDE＝90°.
