计数原理

计数原理一、知识导学1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法.注：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复.2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法. 注：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成.注：分类计数原理又称加法原理 分步计数原理又称乘法原理二、典型习题导练1.有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（ ）种..A 3 .B 12 .C 60 .D 不同于以上的答案2.体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有 （ ） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种3.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ）.A 300种 .B 240种 .C 144种 .D 96种4.同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 （ ）.A 23种 .B 11种 .C 9种 .D 6种5.设集合{}54321，，，，=I ，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）.A 50种 .B 49种 .C 48种 .D 47种6.从1,2，3，…,10中选出3个不同的数，使这三个数构成等差数列，则这样的数列共有____个7三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到_______个不同的三位数（6不能作9用）.8集合A＝｛1,2，3,4｝，集合B＝｛－1，－2｝，可建立______个以A为定义域B为值域的不同函数9. 用0，1,2，3,4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不重复的三位奇数？（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个数字不重复的大于3000，小于5421的四位数？答案：1 解析每次取一本书分三类：取一本中文书有5种，取一本数学书有4种，取一本英语书有3种，共有5+4+3=12种. 答案B2解析：学生进门有7种选择，同样出门也有7种选择，由分步计数原理，该学生的进出门方案有7×7＝49种. ∴应选D．3 解析能去巴黎的有4个人，依次能去伦敦、悉尼、莫斯科的有5个、4个、3个，∴不同的选择方案有：4×5×4×3=240种，∴选.B4 解析设4人为甲、乙、丙、丁分步进行，第一步，让甲拿，有三种方法，第二步，没拿到卡片的人去拿，有三种方法，剩余两人只有一种拿法，所以共有3×3=9种方法.答案C5 答案B6解析：根据构成的等差数列的公差，分为公差为±1、±2、±3、±4四类.公差为±1时，有8×2＝16个；公差为±2时，满足要求的数列共6×2＝12个；公差为±3时，有4×2＝8个；公差为±4时，只有2×2＝4个.由分类计数原理可知，共构成了不同的等差数列16＋12＋8＋4＝40个7解析：解法一第一步，选数字.每张卡片有两个数字供选择，故选出3个数字，共有32＝8种选法.第二步，排数字.要排好一个三位数，又要分三步，首先排百位，有3种选择，由于排出的三位数各位上的数字不可能相同，因而排十位时有2种选择，排个位只有一种选择.故能排出3×2×1＝6个不同的三位数.由分步计数原理，共可得到8×6＝48个不同的三位数.解法二：第一步，排百位有6种选择，第二步，排十位有4种选择，第三步，排个位有2种选择.根据分步计数原理，共可得到6×4×2＝48个不同的三位数.注：如果6能当作9用，解法1仍可行.8解析：函数是特殊的映射，可建立映射模型解决.B从集合A 到集合B 的映射共有42=16个，只有都与－1，或－2对映的两个映射不符合题意，故以A 为定义域B 为值域的不同函数共有16－2＝14个.9解析：（1）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；③个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个.（2）分三步：①先选百位数字，由于0不能作为百位数，因此有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法.由分步计数原理知所求三位数共有5×6×6＝180个.（3）分三步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③个位数字也有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有3×4×4＝48个.（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5＝25个；③三位数，共有5×5×4＝100个.因此，比1000小的自然数共有6＋25＋100＝131个（5）分四类：①千位数字为3,4之一时，共有2×5×4×3＝120个；②千位数字为5，百位数字为0,1，2,3之一时，共有4×4×3＝48个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0,1之一时，共有2×3＝6个；④还有5420也是满足条件的1个.故所求自然数共120＋48＋6＋1＝175个评注：排数字问题是最常见的一种题型，要特别注意首位不能排0.非常规计数方法 一.数形结合思想例1.如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?二.分类讨论思想 例2.在六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻不同色，请问一共有多少种涂法。

计数原理必备知识点总结一、计数原理的基本概念1.1 事件和样本空间在概率论中，事件是指可能发生的结果，样本空间是指所有可能的结果的集合。

在计数原理中，我们通常需要计算在一定条件下事件发生的次数，因此需要对事件和样本空间进行分析和计算。

1.2 事件的互斥和独立在计数原理中，我们需要考虑事件之间的互斥和独立关系。

互斥事件是指两个事件不能同时发生，而独立事件是指两个事件之间没有相互影响。

1.3 条件概率和联合概率在计数原理中，我们需要考虑事件的条件概率和联合概率。

条件概率是指在给定某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率；联合概率是指两个事件同时发生的概率。

1.4 达成事件的概率在计数原理中，我们需要计算事件发生的概率。

达成事件的概率是指在一定条件下事件发生的可能性，通常通过计数原理来进行计算。

二、排列组合2.1 排列在计数原理中，排列是指从给定的元素中选取一定数量的元素进行排列，排列中元素的顺序是重要的。

在计算排列时，通常使用阶乘的方法进行计算。

2.2 组合在计数原理中，组合是指从给定的元素中选取一定数量的元素进行组合，组合中元素的顺序是不重要的。

在计算组合时，通常使用二项式系数的方法进行计算。

2.3 组合公式在计数原理中，我们可以使用组合公式来计算组合的数量。

组合公式是指C（n，k）=n!/(k!(n-k)!)，其中n表示元素的总数，k表示选取的元素的数量。

2.4 排列组合的应用在计数原理中，排列组合的方法具有广泛的应用。

在实际问题中，我们常常需要考虑元素的排列和组合，例如在排列组合中考虑位置的排列和顺序的组合等。

三、二项式系数3.1 二项式定理在计数原理中，二项式定理是指一个式子的平方等于两个式子相乘的和。

例如，（a+b）^2=a^2+2ab+b^2，这就是一个二项式定理的例子。

3.2 二项式系数的计算在计数原理中，我们可以使用二项式系数来计算二项式的展开式。

二项式系数是通过排列组合的方法进行计算的，通常使用组合公式来计算。

计数原理知识讲解一、基本计数原理1.加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．2.乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．3.加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 注：分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．典型例题一．选择题（共1小题）1．（2018•蚌埠三模）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有=24种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有=36，根据分类计数原理，共有24+36=60（种）故选：D．二．填空题（共1小题）2．（2018•梅州二模）某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是98．【解答】解：∵A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门，第一类A，B，C三门课都不选，有C73=35种方案；第二类A，B，C中选一门，剩余7门课中选两门，有C31C72=63种方案．∴根据分类计数原理知共有35+63=98种方案．故答案为：98．三．解答题（共9小题）3．（2018春•南阳期末）如图所示，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4，则：（1）以这12个点（包括A，B）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？（2）以这10个点（不包括A，B）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？【解答】解：（1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：①四个点从C1，C2，…，C6中取出，有C64个四边形；②三个点从C1，C2，…，C6中取出，另一个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C63C61个四边形；③二个点从C1，C2，…，C6中取出，另外二个点从D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有C62C62个四边形．故满足条件的四边形共有N=C64+C63C61+C62C62=360（个）．（2）类似于（1）可分三种情况讨论得三角形个数为C63+C61C42+C62C41=116（个）．其中含点C1的有C52+C51C41+C42=36（个）．4．（2018•江苏）设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t 时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．为计算f n+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n+1（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．5．（2017秋•涞水县校级期中）有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：（1）5位同学站成一排，有多少种不同的方法？（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？（3）将5位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？【解答】解：（1）5位同学站成一排共有=120．（2）5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，先用捆绑排甲乙，再和戊全排，形成3个空，插入丙丁即可．故有=24．（3）人数分配方式有①3，1，1有=60种方法②2，2，1有=90种方法所以，所有方法总数为60+90=150种方法．6．（2017春•宁江区校级期中）三个女生和五个男生排成一排．（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【解答】解：（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有A33A66=4320种；（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A55A63=14400种；（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A52A66=14400种；（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A83=336种，（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，A33A55=720种7．（2016•东城区一模）现有两个班级，每班各出4名选手进行羽毛球的男单、女单、男女混合双打（混双）比赛（注：每名选手打只打一场比赛）．根据以往的比赛经验，各项目平均完成比赛所需时间如表所示，现只有一块比赛场地，各场比赛的出场顺序等可能．（Ⅰ）求按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率；（Ⅱ）求第三场比赛平均需要等待多久才能开始进行；（Ⅲ）若要使所有参加比赛的人等待的总时间最少，应该怎样安排比赛顺序（写出结论即可）．【解答】解：（I）三场比赛共有种方式，其中按按女单、混双、男单的顺序进行比赛只有1种，所以按女单、混双、男单的顺序进行比赛的概率为．（Ⅱ）令A表示女单比赛、B表示男单比赛、C表示混双比赛．按ABC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t1=20+25=45（分钟）．按ACB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t2=20+35=55（分钟）．按BAC顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t3=20+25=45（分钟）．按BCA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t4=35+25=60（分钟）．按CAB顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t5=35+20=55（分钟）．按CBA顺序进行比赛，第三场比赛等待的时间是：t6=35+25=60（分钟）．且上述六个事件是等可能事件，每个事件发生概率为，所以平均等待时间为，（Ⅲ）按照比赛时间从长到短的顺序参加比赛，可使等待的总时间最少8．（2016春•秀英区校级期末）6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？（只列式，不需计算结果）（1）任何2名女生都不相邻有多少种排法？（2）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？（3）男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？（4）男甲在男乙的左边（不一定相邻）有多少种不同的排法？【解答】解：（1）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A66A74种．（2）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A1010﹣2A99+A88种，（3）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，=A107种，（4）由于男甲要么在男乙的左边，要么在男乙的右边，所以男甲在男乙的左边（不一定相邻）A1010．9．（2016春•九龙坡区校级期中）已知一个袋内有5只不同的红球，6只不同的白球．（1）从中任取4只球，红球的只数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，从中任取5只球，使总分不小于7分的取法有多少种？（3）在（2）条件下，当总分为8时，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻的排法种数是多少？【解答】解：（1）将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，C54种；②取3个红球1个白球，C53C61种；③取2个红球2个白球，C52C62种，∴C54+C53C61+C52C62=215种，（2）设x个红球y个白球，，或或．∴符合题意的取法种数有C52C63+C53C62+C54C61=381种．（3）总分为8分，则抽取的个数为红球3个，白球2个，将抽出的球排成一排，仅有两个红球相邻，第一步先取球，共有C53C62=150种，第二步，再排，先选2个红球捆绑在一起，再和另外一个红球排列，把2个白球插入，共有A32A22A32=72根据分步计数原理可得，150×72=10800．10．（2016春•江阴市期中）将5个编号为1，2，3，4，5的小球放入5个编号为1，2，3，4，5的盒子中．（1）有多少种放法？（2）每盒至多一球，有多少种放法？（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？（5）每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？（6）把5个不同的小球换成5个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？（注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分．）【解答】解：（1）本题要求把小球全部放入盒子，∵1号小球可放入任意一个盒子内，有5种放法．同理，2、3、4，5号小球也各有5种放法，∴共有55=3125种放法．（2）每盒至多一球，有A55=120种，（3）∵恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、，1，2．先从5个小球中任选2个放在一起，有C25种方法，然后与其余3个小球看成四组，分别放入5个盒子中的4个盒子中，有A45种放法．∴由分步计数原理知共有C25A45=1200种不同的放法．（4）先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C51=5种情况，例如：5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为（2，1，4，3），（2，3，4，1），（2，4，1，3），（3，1，4，2），（3，4，1，2），（3，4，2，1），（4，1，2，3），（4，3，1，2），（4，3，2，1）共9种，故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为9C51=45种，（5）不满足条件的情形：第一类，恰有一球相同的放法：C51×9=45，第二类，五个球的编号与盒子编号全不同的放法：5!（﹣+﹣）=44，∴满足条件的放法数为：A55﹣C51×9﹣5!（﹣+﹣）=120﹣45﹣44=31种（6）恰有一个空盒，则这5个盒子中只有4个盒子内有小球，则有一个盒子里有2个小球，故有C51C41=20种放法．11．（2016春•江阴市期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的正整数．（1）共有多少个四位数？其中偶数有多少个？（2）比4301大的四位数有多少个？（3））求所有这些四位数之和．注：以上结果均用数字作答．【解答】解：（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，∴先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有C51种结果，余下的五个数字在三个位置进行全排列，共有A53种结果，根据分步计数原理知共有A15•A35=300；用0，1，2，3，4，5六个数字组成没有重复数字的四位偶数，则0不能排在首位，末位必须为0，2，4其中之一．所以可分两类，末位为0，则其它位没限制，从剩下的5个数中任取3个，再进行排列即可，共有A53=60个第二类，末位不排0，又需分步，第一步，从2或4中选一个来排末位，有C21=2种选法，第二步排首位，首位不能排0，从剩下的4个数中选1个，有4种选法，第三步，排2，3位，没有限制，从剩下的4个数中任取2个，再进行排列即可，共有12种．把三步相乘，共有2×4×12=96个最后，两类相加，共有60+96=156个（2）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，共有A53=60，当前两位是45时，共有A42=4×3=12个，当前两位是43时，共有A42=4×3=12个，去掉4301即可，即有12﹣1=11个．根据分类加法原理得到共有：60+12+12﹣1=83个（3）（1+2+3+4+5）×A53×103+（1+2+3+4+5）×C41A42×（102+10+1）=15×65328=979920。

计数原理公式
计数原理公式是一种用于数学和概率统计中的计算方法，它可以帮助我们计算组合和排列的总数。

对于一个问题，如果有m种选择，每种选择有n1、n2、...、nk个选项，则总的选择数为n1 * n2 * ... * nk。

例如，假设有5个人要选班长，其中有3个男生和2个女生。

根据计数原理，我们可以计算出总的选择数为3 * 2 = 6种。

又例如，假设有3个篮子，每个篮子里都有5个苹果。

根据计数原理，我们可以计算出总的选择数为5 * 5 * 5 = 125种。

计数原理公式的应用非常广泛，可以用于解决各种问题，例如排列组合、概率统计等。

通过使用计数原理，我们可以更加方便地计算出各种情况下的总数，从而帮助我们进行问题的分析和解答。

数学计数原理
数学计数原理是研究计算事物数量的方法和规律的数学分支。

它广泛应用于各个领域，如概率论、组合数学、统计学等。

计数原理包括排列、组合和二项式定理等重要概念和定理。

排列是从给定对象中选取特定数量的对象按一定顺序排列的方法。

排列的个数可以通过阶乘来计算，即将给定数量的对象从大到小连乘。

排列的计算可以用于解决某些问题，如抽奖、密码破解等。

组合是从给定对象中选取特定数量的对象但不考虑顺序的方法。

组合的个数可以通过排列数的除法来计算，即先计算出排列数，再除以重复的次数。

组合的计算可以用于解决某些问题，如选课、分组等。

二项式定理是用于展开二项式（两个数相加或相乘的代数式）的定理。

根据二项式定理，当一个二项式被提高到某个正整数次幂时，可以通过展开系数来计算每一项的值。

二项式定理的应用非常广泛，在代数、概率论等领域中都有重要的作用。

除了排列、组合和二项式定理之外，计数原理还包括重复计数原理、容斥原理和组合恒等式等。

这些原理和定理为解决各种实际问题提供了有力的数学工具，帮助人们更好地理解和应用数学。

计数原理题型总结
计数原理是组合数学的一个基本原理，用于计算具有特定属性的对象的个数。

常见的计数原理题型包括排列、组合和二项式系数等。

1. 排列问题：
- n个元素的全排列个数为n!，其中n表示元素的个数。

- 从n个元素中取出m（m≤n）个元素的排列个数为A(n,m)
= n!/(n-m)!，称为从n个元素中取出m个元素的排列数。

2. 组合问题：
- 从n个元素中取出m（m≤n）个元素的组合个数为C(n,m)
= n!/((n-m)!·m!)，称为从n个元素中取出m个元素的组合数。

- 组合数C(n,m)满足下列性质：
（1）C(n,0) = C(n,n) = 1；
（2）C(n,m) = C(n,n-m)；
（3）C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1, m-1)；
3. 二项式系数：
- 二项式系数的计算公式为：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-1, m-1)。

- 二项式系数有许多重要的性质，如：
（1）二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n·b^0 + C(n,1)a^(n-1)·b^1 + ... + C(n,n)a^0·b^n；
（2）二项式系数的对称性：C(n,m) = C(n,n-m)；
（3）二项式系数的递推关系：C(n,m) = C(n-1,m) + C(n-
1,m-1)；
（4）二项式系数的性质：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-2,m-1)
+ ... + C(m,m-1)。

通过理解和熟练运用计数原理，可以帮助解决各种实际问题，如排列组合选择问题、概率计算问题等。

第六章计数原理（公式、定理、结论图表）一、计数原理1.分类加法计数原理概念：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =++⋅⋅⋅+种不同的方法（也称加法原理）特征：（1）任何一类方案都能完成这件事；（2）各类方案之间相互独立；（3）分类要做到“不重不漏”2.分步乘法计数原理概念：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么，完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法（也称乘法原理）特征：（1）任何一步都不能单独完成这件事；（2）各步之间相互依存；（3）分步要做到“步骤完整”3.两个原理的联系与区别⑴.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.⑵区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一完成一件事共有n 类办法,关键词是“分类”完成一件事共有n 个步骤,关键词是“分步”区别二每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复4、计数原理的解题步骤(1)指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n 类”还是“分n 步”；(2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数；(3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；(4)作答。

5、从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数n m m m m =⋅⋅⋅⋅。

3、两个计数原理的区别n 元集合A={a 1，a 2⋯，a n }的不同子集有2n个。

4、排列： 一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

5、排列数 ： 从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

用符号 表示.6、排列数公式：其中全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!nn A n n n n =--⋅= （叫做n 的阶乘）。

规定：0!=1mnA mn A ()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---= .,,*n m N m n ≤∈并且7、组合：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

8、组合数：从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数。

用符号mn C 表示。

9、组合数公式：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且 规定：10=nC10、性质： 1、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？2、一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同。

（1）从两个口袋里，各取1封信，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋里，任取1封信，有多少种不同的取法？（3）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？3、要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？4、在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?5、如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使 用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为 A. 180 B. 160 C. 96 D. 60若变为图二,图三呢?①③④② ①②③④④③ ②① 图一图二图三mn nm n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+6、75600有多少个正约数?有多少个奇约数?7、用1,2,3,4,5可组成多少个三位数?(各位上的数字允许重复)8、用数字1,2,3可写出多少个小于1000的正整数? (各位上的数字允许重复)9、集合A=｛a,b,c,d,e ｝,集合B=｛1,2,3｝,问A 到B 的不同映射f 共有多少个?B 到A 的映射g 共有多少个?10、将3封信投入4个不同的邮筒的投法共有多少种?11、4名学生从3个不同的楼梯下楼的方法数.12、4名学生分配到3个车间去劳动,共有多少中不同的分配方案?13、求集合｛1,2,3,4,5｝的子集的个数14、用0，1，2，3，4，5这六个数字，（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？ （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？ （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？15、求下列集合的元素个数．（1）{(,)|,,6}M x y x y N x y =∈+≤； （2）{(,)|,,14,15}H x y x y N x y =∈≤≤≤≤．16、有四位同学参加三项不同的比赛，（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？17、甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己所写的贺卡,共有 多少种不同的取法?18、全国甲级联赛共有14个队参加，每队要与其他队在主，客场分别比赛一次，共进行 多少场比赛？19、计算：①66248108!A A A +-； ② 11(1)!()!n m m A m n ----．20、解方程：3322126x x x A A A +=+．21、解不等式：2996x x A A ->．22、求证：（1）nmn mn n n m A A A --=⋅；（2）(2)!135(21)2!n n n n =⋅⋅-⋅ ．23、化简：⑴12312!3!4!!n n -++++；⑵11!22!33!!n n ⨯+⨯+⨯++⨯24、（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有几种不同送法？（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同送法？25、某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意 挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示几种不同的信号？26、将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位 司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？27、（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？ （2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ （4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？28、若!3!n x =，则x = A 、3n A B 、3n n A - C 、3nA D 、33n A - 29、与37107A A ⋅不等的是A 、910AB 、8881AC 、9910AD 、1010A 30、若532m m A A =，则m 的值为A 、5B 、3C 、6D 、731、计算：5699610239!A A A +=- ； 11(1)!()!n m m A m n ---=⋅- ． 32、若11(1)!242m m m A --+<≤，则m 的解集是 ． 33、（1）已知101095mA =⨯⨯⨯ ，那么m = ； （2）已知9!362880=，那么79A = ； （3）已知256n A =，那么n = ； （4）已知2247n n A A -=，那么n = ．34、一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每 股岔道只能停放1列火车）？35、将1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，没格填一个数字，则每个方 格的标号与所填的数字均不相同的填法（ ）种.A ． 6B ． 9C ． 11D ． 2336、有5列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车A 不能停在第三条轨道上，货车B 不能停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有（ ）种. A ．78 B ．72 C ．120 D ．9637、从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不 能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？38、5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法： （1）男女相间； （2）女生按指定顺序排列39、停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起， 则停放方法数为A ．47AB ．37AC ．55AD ．5353A A ⋅40、五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排， 则不同的排法共有A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种41、6张同排连号的电影票，分给3名教师与3名学生，若要求师生相间而坐，则不同的 分法有A ．3334A A ⋅B ．3333A A ⋅C ．3344A A ⋅D ．33332A A ⋅ 42、某人射出8发子弹，命中4发，若命中的4发中仅有3发是连在一起的，那么该人 射出的8发，按“命中”与“不命中”报告结果，不同的结果有A ．720种B ．480种C ．24种D ．20种 43、一天课表中，6节课要安排3门理科，3门文科，要使文、理科间排，不同的排课方 法有 种；要使3门理科的数学与物理连排，化学不得与数学、物理连排，不同 的排课方法有 种44、某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3 台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方 式有多少种？45、计算：（1）47C ； （2）710C ；46、求证：11+⋅-+=m n mn C mn m C ．47、设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值48、4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共 有多少种？49、7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为 A ．42 B ．21 C ．7 D ．650、如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有 A ．15对 B ．25对 C ．30对 D ．20对51、设全集{},,,U a b c d =，集合A 、B 是U 的子集，若A 有3个元素，B 有2个元素， 且{}A B a = ，求集合A 、B ，则本题的解的个数为 A ．42 B ．21 C ．7 D ．352、从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法53、圆上有10个点：（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形54、（1）凸五边形有 条对角线； （2）凸n 五边形有 条对角线55、,,,,A B C D E 5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？ （2）若各队的得 分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？56、一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球， （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？57、（1）计算：69584737C C C C +++； （2）求证：nm C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C ．58、解方程：（1）3213113-+=x x C C ； （2）解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C ． 59、方程382828x x C C -=的解集为A ．{}4B ．{}9C ．φD ．{}4,9 60、式子2171010m m C C +-+（m N *∈）的值的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 61、化简：9981m m m C C C +-+= ；62、若108n n C C ，则20nC 的值为 ；63、100件产品中，有98件合格品，2件次品从这100件产品中任意抽出3件． （1）一共有多少种不同的抽法；（2）抽出的3件都不是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （4）抽出的3件中至少有1件是次品的取法有多少种？64、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作 （其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其 中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？65、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六， 问可以排出多少种不同的值周表 ？66、有两条平行直线a 和b ，在直线a 上取4个点，直线b 上取5个点，以这些点为顶点 作三角形，这样的三角形共有A ．70B ．80C ．82D ．8467、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分 配方案有 （ ）种 A ．4441284C C CB ．44412843C C C C ．4431283C C AD ．444128433C C C A 68、某兴趣小组有4名男生，5名女生： （1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必 须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有 种选派方法； （2）从中选 派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人数必须少于男生，有______种选派方法； （3）分成三组，每组3人，有 种不同分法69、某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人进行4个不同的化学实验，且每 组至多选一人，则不同的安排方法种数是A ．4484C AB ．441845C A C C ．444845C AD ．44404C A70、某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A 校定为第 一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内，其中B 、C 两校 必选，且B 在C 前问：此考生共有多少种不同的填表方法？1、二项式定理：01()()n n n r n r r n n nn n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ⑴ ()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b⑵ 展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r a b -的系数是r n C ，……， 有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是n n C ，∴01()()n n n r n r r n nnn n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ， 这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式。